De thi chon HSG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO
ĐỒNG NAI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM HỌC 2016-2017
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút.
Ngày thi: 05/04/2017
(Đề thi này gồm 01 trang, có 05 câu)

Câu 1 (4 điểm)
mx 4  2 m  1 x 2  m  10 0 (1)



Cho phương trình
a/. Giải phương trình (1) khi m 0 .
b/. Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình (1) vơ nghiệm.
Câu 2 (4 điểm)
Giải hệ phương trình
 x  x  4 y  1 2 y  4 y 2

 x  4 y  2 3  3 x  4 y  1

Câu 3 (4 điểm)
a/. Cho tam giác ABC thoả điều kiện 2 cos A(sin B  sin C ) sin 2C  sin 2 B . Chứng minh rằng
tam giác ABC là một tam giác vuông hay một tam giác cân.
b/. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Biết BC a, CA b, AB c. Chứng minh
2
2

2
rằng a.OA  b.OB  c.OC abc .

Câu 4 (4 điểm)
d : 2 x  y  3 0,  d 2  : 4 x  3 y  9 0
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng  1 
và điểm
M   1;  4 

d , d
. Tìm toạ độ hai điểm A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng  1   2  sao cho chu vi tam
giác MAB nhỏ nhất.

Câu 5 (4 điểm)
Cho a, b, c là 3 số thực dương.
1 1
4
 
a./ Chứng minh rằng a b a  b
1 1 1
  432
b./ Biết a b c
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T

1
4
4
16




a  b 2a  b  c a  b  2c 2a  3b  3c

(HẾT)
Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay!


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO
ĐỒNG NAI

HƯỚNG DẪN CHẤM THI VÀ BIỂU ĐIỂM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10
Khoá thi ngày 05/04/2017
Câu
Nội dung
Điểm
4
2
mx  2  m  1 x  m  10 0(1)
1
4,0
Cho phương trình
a/. Giải phương trình (1) khi m 0
1,0
m 0 : (1)  2 x 2  10 0
 x  5
m
b/. Định để phương trình (1) vơ nghiệm.

1,0
3,0

2

Đặt t  x (t 0)

 1  mt 2  2  m 1 t  m  10 0  2 
  2

(1) vơ nghiệm
khơng có nghiệm thoả t 0
Theo câu a với m 0 thì (1) có hai nghiệm nên ta chỉ xét với m 0 . Từ (2) ta có :
2  m 1
m  10
; P
m
m
1
 '  0  12m  1  0  m  
12
TH1: (2) vô nghiệm 
2

 '  m  1  m  m  10  12m  1; S 

0,5

0,5
0,5

TH2: (2) chỉ có nghiệm t<0
1

m 

12
 ' 0 

 m 1
0
S  0  
m
P  0


 m  10
 m 0

1

m  12

 m   1 hay m  0  m  10
m  0 hay m  10


1
m
hay m  10

12
Vậy

2

 x  x  4 y  1 2 y  4 y 2

Giải hệ phương trình :  x  4 y  2 3  3 x  4 y  1
2

 x  x  4 y 1 2 y  4 y  1


 x  4 y  2 3  3x  4 y  1  2 

0,5

0,5

0,5
4,0
0,5


 1  x 2  4 xy  x  2 y  4 y 2 0
  x  2 y   x  2 y  1 0
 x 2 y

 x 2 y  1

2
TH1: Thay x 2 y vào  

 2 

6 y  2 3  2 y  1

 6 y  2 9  6 2 y  1  2 y  1

1,0

3

 2 y  3 3 2 y  1  y  
2

2
 4 y  30 y  18 0
15  3 17
 y
4
(loại)
15  3 17
15  3 17
y
 x
4
2
hay
(nhận)

 2
x 2 y  1

TH2: Thay

 2 

0,5

vào

6 y  1 3  2 y  4

 6 y  1 9  6 2 y  4  2 y  4

1,0

 2 y  2 3 2 y  4  y 1
 4 y 2  26 y  40 0
 y 4  x 7

 y  5  x 4

2
 15  3 17 15  3 17 
 5  
S 
;
 ,  7; 4  ,  4;  
2

4
 2  


Vậy tập nghiệm của hệ là

3

0,5

0,5
4,0

a/. Cho tam giác ABC thoả 2 cos A(sin B  sin C ) sin 2C  sin 2 B . Chứng minh
rằng tam giác ABC là một tam giác vuông hay một tam giác cân.

2,0

2 cos A(sin B  sin C ) sin 2C  sin 2 B

1,0

B C
B C
sin
 2 cos  B  C  sin  B  C 
2
2
B C
B C

 B C   B C 
 4 cos A cos
sin
4 cos A cos 
 sin 

2
2
 2   2 
 4 cos A cos

B C
B C
B C
 cos
 cos
 0
2 
2
2 
B C
B
C
  8cos A sin
sin sin 0
2
2
2
 4 cos A sin

B
C
, sin
2
2
 cos A 0


B C
 sin
0

2
Do sin

0

nên :

 A 90
 B C


1,0

Vậy tam giác ABC vuông tại A hay cân tại A (đpcm)
b/. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O và biết
BC a, CA b, AB c. Chứng minh rằng a.OA2  b.OB 2  c.OC 2 abc .
Xét tứ giác AMON có :

AM=AN, OM=ON và A = π- O (*)

B
a

M
c
A

S AMON S AMN  SOMN

P

1
1
AM . AN .sin A  OM .ON .sin O
2
2
1
1
= AM 2 sin A  OM 2 .sin A (do (*))
2
2
1
= OA2 .sin A
2
1
1
 OB 2 .sin B
SCNOP  OC 2 .sin C

2
2
và
(**)
=

O
b

2,0

N

C

Chứng minh tương tự ta có:

S BMOP

1,0

S AMON  S BMOP  SCNOP
1
S ABC
1
1
1
OA2 .sin A
OB 2 .sin B
OC 2 .sin C

2
2
2



1( theo (**))
1
1
1
b.c.sin A
a.c.sin B
a.b.sin C
2
2
2
OA2 OB 2 OC 2



1
b.c
a.c
a.b
 a.OA2  b.OB 2  c.OC 2 a.b.c

4

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm

 d1  : 2 x  y  3 0,

M   1;  4 

 d 2  : 4 x  3 y  9 0

và hai đường thẳng

. Tìm toạ độ hai điểm A, B lần lượt thuộc

d , d
hai đường thẳng  1   2  sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất.

1,0

4,0


y

3

M2

2

B
O
-5

-3

-2

x
2

-1

A

-1

M1

3

7

H2

-2
-3

H1

-4
d1

d2

M

Gọi M1, M2 lần lượt là điểm đối xứng của M qua (d1) và (d2)
Ta có : MA = M1A và BM = BM2
Mà chu vi tam giác MAB là MA + AB + BM = M1A + AB + BM2
Vậy chu vi tam giác MAB bé nhất  M1, A, B , M2 thẳng hàng
Gọi H1 là hình chiếu vng góc của M lên (d1) 

H1   3;  3
H 2  3;  1

Và H2 là hình chiếu vng góc của M lên (d2) 
M  5;  2 
Do M1 là điểm đối xứng với M qua (d1)  1 
M 7; 2
Và M2 là điểm đối xứng với M qua (d2)  2  
Phương trình đường thẳng (M1M2) là x  3 y  1 0
A  d1   M 1M 2  A   2;  1
Vậy

5

 1
B  d 2   M 1M 2  B  2; 
 3
Và
Cho a, b, c là số thực dương

1 1

4
 
a./ Chứng minh rằng a b a  b

1,0

1,0

1,0

1,0
4,0
1,0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số a, b  0 : a  b 2 ab
1 1
1 1
2
,  0:  
a b
ab
Và cũng áp dụng tương tự cho 2 số a b
1 1
1 1
4
 a  b     4   
a b a  b (đpcm)
 a b
Do đó

1 1 1
  432
b./ Biết a b c
.

1,0
3,0


Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T

1
4
4
16



a  b 2a  b  c a  b  2c 2a  3b  3c

1 1
4
 
 1
Theo kết quả câu a ta có: a b a  b
1 1 1 1
4
4

16
   


 2
a
b
a
c
a

b
a

c
2
a

b

c
Tương tự ta có :
1 1 1 1
4
4
16
   


 3

Cũng tương tự : a c b c a  c b  c a  b  2c
1 1 1 1 1 1 1 1
4
4
4
4
       



a b a c b c b c a b a c b c b c
1 1 1 1 1 1 1 1
16
16
64
        
+

a b a c b c b c 2a  b  c 2b  2c 2a  3b  3c
Và :

Cộng từng vế đầu và cuối các bất đẳng thức

1,0

1,0

 4

 1 ,  2  ,  3 ,  4 

6 6 6
4
16
16
64
 1 1 1
  



 6     4T  648 T
a b c a  b 2a  b  c a  b  2c 2a  3b  3c
a b c
1
a b c 
144
Vậy giá trị lớn nhất của T = 648. Dấu bằng xảy ra khi

1,0