PHUONG TRINH PHUONG TRINH CHUA AN TRONG CAN BAC HAI Ly thuyet Bai tap ung dung File word

 DẠNG TỐN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI.
1. Phương pháp giải.
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Phân tích thành tích.
– Đặt ẩn phụ.
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau
a)

x2 + 2x + 4 = 2 - x

A.1 nghiệm
b) x -

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

2x - 5 = 4
A.1 nghiệm

Lời giải:
ìï x 2 + 2 x + 4 ³ 0
ïí
Û x£ 2
ïï
2
x
³
0
a) ĐKXĐ: ỵ
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
éx =- 1
x 2 + 2 x + 4 = 2 - x Û x 2 + 3x + 2 = 0 Û ê
êx =- 2
ë
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x =- 1 và x =- 2 .

b) ĐKXĐ:
x-

2x - 5 ³ 0 Û x ³

2x - 5 = 4 Û

5
2 .

2 x - 5 = x - 4 (*)

VT (*) ³ 0, VP(*) < 0

TH1: Với x - 4 < 0 Û x < 4 ta có
suy ra phương trình vơ nghiệm


TH2: Với x - 4 ³ 0 Û x ³ 4 ta có hai vế khơng âm nên phương trình (*) tường đương
với
éx = 3
2
2 x - 5 = ( x - 4) Û x 2 - 10 x + 21 = 0 Û ê
êx = 7
ë
Đối chiếu với điều kiện x ³ 4 và điều kiện xác định suy ra chỉ có x = 7 là nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 .
Nhận xét: Từ các lời giải các bài toán trên ta suy ra đối với các dạng phương trình sau ta
có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương:
ìï f ( x) = g( x)
f ( x) = g( x) Û ïí
ïïỵ f ( x) ³ 0 ( hay g( x) ³ 0)

ìï f ( x) = ég( x)ù2
ï
ë û
í
ï
g( x) ³ 0
f ( x ) = g( x )

 ïïỵ
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau
a) x =

3x 2 + 1 - 1

A.1 nghiệm

b)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

2x - 1 + x 2 - 3x + 1 = 0
A.1 nghiệm

Lời giải:
a) Phương trình tương đương với
ìï x ³ 0
ïí
Û
ï x 2 = 3x 2 + 1 - 1
ỵï

ìï x ³ 0
ïí
ï 3x2 +1 = x2 +1
ỵï

ìï x ³ 0
ìï x ³ 0
ïí
Û ïí 2
Û
Û
ïï 3x + 1 = ( x 2 + 1)2
ïï x 4 - x 2 = 0
ỵ
ỵ

ïìï x ³ 0
í 2 2
ï x x - 1) = 0
ïỵï (


ìï x ³ 0
ïï
Û ïí éx = 0 Û
ïï ê
ïïỵ ê
ëx = ±1

éx = 0

ê
êx = 1
ë

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 1
b) Ta có

2 x - 1 + x2 - 3x +1 = 0 Û

2 x - 1 =- x 2 + 3 x - 1

ìï
- x 2 + 3x - 1 ³ 0
ì
- x 2 + 3x - 1 ³ 0
ïï
ïï
Û í
2 Û í
ïï 2 x - 1 = ( - x 2 + 3 x - 1)
ïï ( x - 1)2 ( x 2 - 4 x + 2) = 0
ỵ
ïỵ
ìï - x 2 + 3x - 1 ³ 0
ïï
Û ïí é
Û
x =1
ïï ê 2
ïỵï ê

ëx - 4 x + 2 = 0

ìï ïï
ï
í
ïï
ï
ỵï

x 2 + 3x - 1 ³ 0
é x =1
ê
é x =1
Û
êx = 2 - 2
ê
ê
êx = 2 ± 2
ë
ê
ë

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình

A.

m³

3
2

B.

m³ -

2

x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 có hai nghiệm phân biệt.

9
2

C.

m³

9
2

D.

m³ -

Lời giải:

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.
m- 4
1
>- Û m > 1
2
+ TH2: Nếu 6
:

3
2


Ta cú bng bin thiờn

x

1
2
+Ơ

m- 4
6

-

ổ
yỗ
ỗ
ỗ

ố

ử
1ữ
ữ
2ữ
ứ

+Ơ

y

ổm yỗ
ỗ
ỗ 6
ố

Suy ra thị hàm số

điểm phân biệt

y = 3x 2 + (4 - m)x - 1

ổ
yỗ
ỗ
ỗ
ố

ổm 1ử

ữ
0 > yỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ 6
2ứ
ố

4ử
ữ
ữ
ữ
ứ

trờn

[-

1
; +Ơ )
2
ct trc honh ti hai

4ử
2m - 9
1
ữ
ữ
0 > ( - m2 + 8m - 28)

÷Û
ø
4
12
(1)

- m2 + 8m - 28 =- ( m - 4) - 12 < 0, " m
2

Vì

(1) Û 2 m - 9 ³ 0 Û m ³

Vậy

m³

nên

9
2 (thỏa mãn m > 1 )

9
2 là giá trị cần tìm.

Loại 2: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp.
Để trục căn thức ta nhân với các đại lượng liên hợp;

· A-

B=

(

A-

B

)(

A+ B

A+ B

)=

A- B
A+ B


à 3 A-

3

B=

(

A-

3

2
ổ3
B ỗ
A +3 A3 B+
ỗ
ỗ
ố

)( )
( A) + A
3

3

2

3

3

B+

( B)
3

ư

( B ) ø÷÷÷

2

3

=

2

A- B

( A)
3

2

+3 A3 B+

( B)
3

2

Với A, B khơng đồng thời bằng khơng.
Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của phương trình
2 ( x - 1)
a)

( 3-

2

7 + 2x

)

2

= x + 20

A.1 nghiệm

b)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

3x - 2 + 3 x = 2

A.1 nghiệm

2
2
3
c) 3 x + x + 8 = x + 15 + 2

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

Lời giải:

a) ĐKXĐ:

ïìï 7 + 2 x 0

ớ
ùù 3 ạ 7 + 2 x
ợ

ỡù
ùù x - 7
ớ
2
ùù
ùợ x ạ 1
2

Phng trỡnh

(

2 ( x - 1) 3 + 7 + 2 x

( 3-

7 + 2x

) ( 3+
2

)

2

7 + 2x

)

2

= x + 20


2

Û

(

2 ( x - 1) 10 + 2 x + 6 7 + 2 x

( 2-

2 x)

2

) = x + 20

Û 10 + 2 x + 6 7 + 2 x = 2 ( x + 20)
Û

7 + 2 x = 5 Û x = 9 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có ngjiệm x = 9

b) ĐKXĐ:

x³

2
3

Nhẩm ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình nên ta tách như sau
Phương trình

(

Û

Û

(

)(

3x - 2 - 1

) (

3x - 2 - 1 +

3x - 2 + 1
3x - 3

Û

3x - 2 +1

+

) +(

3x - 2 +1

3

3

)

x - 1 =0

)(

x- 1
3

3

x2 + 3 x +1

ổ
ử
3
1
ữ
ữ
ỗ
+
=0
= 0 ( x - 1) ỗ
ữ
ỗ
3 2
3
ữ
2

3
ỗ
3
x
2
+
1
ố
ứ
x
+
x
+
1
x + x +1
(*)
x- 1

3

2

3

Do

ổ3
1ử 3
x + x +1 = ỗ
x+ ữ

ữ+ > 0
ỗ
ỗ
ữ 4
2ứ
ố
2

) =0

x2 + 3 x + 1

3

3

nên

3x - 2 + 1

+

1
3

x2 + 3 x +1

>0

Phương trình (*) Û x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
2
3
c) Phương trình được viết lại như sau: 3 x - 2 = x + 15 -

Vì

x 2 + 15 -

x>

8
27

x2 + 8

x 2 + 8 > 0 nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 3 3 x - 2 hay

Ta có phương trình tương đương với:


3 3 x - 3 = x 2 +15 - 4 + 3 -

x- 1

Û 3
3

1
3

x>

2

3

+

x + x +1
3

x2 + 8 + 3

x2 + 8 + 3

3

8
27 suy ra

x2 - 1

-

x +1

+

x + x +1

1
2

x 2 + 15 + 4

x + 3 x +1

Û ( x - 1)(

Vì

x2 - 1

=

2

x2 + 8

x +1
x +8 +3
2

x +1
x2 + 8 + 3

x 2 + 15 + 4

x +1

-

-

x +1

-

x + 15 + 4
2

x +1
x 2 + 15 + 4

) =0
(**)

>0
nên

>0

Phương trình (**) Û x = 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của phương trình
2
2
a) ( x + 3) 2 x + 1 = x + x + 3

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

2
2
b) ( 3x + 1) x + 3 = 3 x + 2 x + 3

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

Lời giải:
a) Ta thấy x =- 3 không là nghiệm của phương trình

Xét x ¹ - 3 , phương trình
Û

2 x 2 +1 - 1 =

x2
Û

x +3

Û

x2 + x + 3
2 x +1 =
x +3
2

2x 2
2 x2 +1 +1

=

x2
Û
x +3

é
x =0
ê
ê
2 x + 3) = 2 x 2 +1 +1 (*)
ê
ë(


Phương trình (*) Û

2 x2 +1 = 2 x + 5

ìï
ìï
5
5
ïï
ïï
x³ x³ Û í
Û í
2
2
ïï 2
ïï 2
2
ïỵ 2 x + 1 = 4 x + 25 + 20 x ïỵ x +10 x +12 = 0
ìï
5
ïï
x³ Û í
Û x = 5 + 13
2
ïï
ïïỵ x =- 5 ± 13
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x =- 5 + 13

b) Ta thấy

Xét

x¹ -

x =-

1
3 khơng là nghiệm của phương trình

1
Û
3 , phương trình đã cho

x2 + 3 =

3x2 + 2 x + 3
3x + 1

1
8
3 x 2 + 2 x + 3 = 3( x + )2 + > 0
3
3
Đến đây, chú ý

Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn
Û

x2 + 3 - 2x =

Do đó phương trình đã cho
Û

Û

x >-

1
Þ
3

x2 + 3 + 2x > 0

3x2 + 2x + 3
- 2x
3x +1

x 2 + 3 - 4 x2

3x 2 + 2 x + 3 - 6 x 2 - 2 x
=
3x +1
x2 + 3 + 2x
3(1 - x 2 )

3(1 - x 2 )
=
Û
3x + 1
x2 + 3 + 2x

é
x2 = 1

ê
ê 2
ê
ë x + 3 + 2 x = 3x +1

2
* TH1: x = 1 Û x = ±1

Nhưng x =- 1 không thoả mãn
* TH2:

x2 + 3 + 2x = 3x +1 Û

x >-

1
3 nên phương trình có nghiệm x = 1

x2 + 3 = x +1


ìï
x³ - 1
Û ïí 2
Û x =1
ïïỵ x + 3 = x 2 + 1 + 2 x
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
Loại 3: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 6: Tìm số nghiệm của phương trình

2
2
a) x + x + 11 = 31

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

2
b) ( x + 5)(2 - x) = 3 x + 3 x

A.1 nghiệm

x2 + x + 1

c)

x2 - x +1

=3 x

A.1 nghiệm

Lời giải:
2
a) Đặt t = x + 11, t ³ 0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành:

ét = 6
t2 + - 42 = 0 Û ê
êt =- 7
ë
Vì t³ 0 Þ

= 6 , thay vào ta có

x 2 + 11 = 6

x 2 + 11 = 36 Û x = ±5

Vậy phương trình có nghiệm là x = ±5


2
2
b) Phương trình Û x + 3 x + 3 x + 3 x - 10 = 0

2
Đặt t = x + 3x , t ³ 0 . Phương trình đã cho trở thành

ét = 2
t2 + 3 - 10 = 0 Û ê
êt =- 5
ë
.
Vì t³ 0 Þ

= 2 , thay vào ta có

x2 + 3 x = 2

éx = 1
Û x 2 + 3x - 4 = 0 Û ê
êx =- 4
ë
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x =- 4 .
c) ĐKXĐ: x ³ 0
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình
1
1
Û x +1 + = 3 x - 1 +
x
x
Xét x > 0 , phương trình Û x + x + 1 = 3 x . x - x + 1
2

2

1
1
t = x - 1 + , t ³ 1 Þ x + = t 2 +1
x
x
Đặt
t2 + 2 = 3tÛ
Phương trình trở thành

· Với t = 1 ta có

· Với t = 2 ta có

2

ét = 1
- 3 +2 = 0 Û ê
êt = 2
ë

x- 1+

1
= 1 Û x 2 - x +1 = x Û x = 1
x
(thỏa mãn)

x - 1+

1
5 ± 21
= 2 Û x 2 - 5x + 1 = 0 Û x =
x
2

Vậy phương trình có nghiệm là

x=

5 ± 21
2
và x = 1 .


Nhận xét: Phương trình có dạng

af ( x) + b f ( x) + c = 0

ta đặt

f ( x) = t

.

Ví dụ 7: Tìm số nghiệm của phương trình
a)

4x - 1 + 4x2 - 6x +1 = 0
A.1 nghiệm

b)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

3x2 - 2 x + 9 + 3x2 - 2x + 2 = 7

A.1 nghiệm

1
1
3 x + 8 = 9x + +
x
x
c)
A.1 nghiệm

2 x2 + 8x +1
=5 x
2 x +1
d)
A.1 nghiệm

Lời giải:

a) ĐKXĐ:

Đặt

x³

1
4

t = 4 x - 1, t ³ 0 Þ x =

t 2 +1
4

2

Phương trình trở thành

ỉ
t2 + 1ử
ữ
ữ
t + 4ỗ
- 6
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
4
ố
ứ

2

+1
+1 = 0
4


Û 4t+ t4 + 2 2 + 1 - 6 (

2

+ 1) + 4 = 0

Û t4 - 4t2 + 4 - 1 =t0 Û t( - 1) (

3

+ 2 - 3 + 1) = 0

é t =1
2
Û ( t- 1) ( t 2 + 2 - 1) = 0 Û ê
êt =- 1 ± 2
ê
ë
(loại t =- 1 -

Với t = 1 ta có

1 = 4x - 1 Û x =

Với t =- 1 + 2 ta có

1
2

- 1 + 2 = 4x - 1 Û 4x - 1 = 3 - 2 2 Û x =

Vậy phương trình có hai nghiệm

x=

Phương trình trở thành
t2 + 7 = 7 -

ïì t £ 7
Û ïí
Û t =3
ïïỵ t = 3
Với t = 3 ta có

ìï
t£ 7
Û ïí 2
ïïỵ t + 7 = t 2 - 14 + 49

3x2 - 2 x + 2 = 3

é 1 + 22
êx =
ê
3
Û 3x 2 - 2 x + 2 = 9 Û 3 x 2 - 2 x - 7 = 0 Û ê
ê 1 - 22
êx =
ê
3
ë

Vậy phương trình có hai nghiệm
c) ĐKXĐ: x > 0 .

Phương trình tương đương với

2
2

3x2 - 2 x + 9 = t 2 + 7 .

t2 + 7 + = 7

x=

2-

1
2- 2
x=
2 .
2 và

2
b) Đặt t = 3 x - 2 x + 2 , điều kiện t ³ 0 . Khi đó

Û

2 )

1 ± 22
3
.

ổ
1 ử
1
ữ
ữ
3ỗ
+ 8 = 9( x + )
ỗ xữ
ữ
ỗ
9x
ố
3 xứ
.
t= xĐặt

1
3 x

Þ t2 = x +

1 2
1
2
- Þ x + = t2 +
9x 3
9x
3

Phương trình trở thành:
é
2
êt =
ỉ2 2 ư
ê
3
3t+ 8 = 9 ỗ
t+ ữ
9 2 - 3 - 2 =0 ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
1
3ứ
ố
ờ
ờt =ờ
3
ở

Vi

Vi

t=

2
3 ta cú

t =-

1
3 ta cú

1

2
x= Û 3x - 2 x - 1 = 0 Û
3 x 3

x-

1
3 x

=-

é x =1
ê
ê
Û x =1
ê x =- 1
ê
3
ë

1
3

é
ê x = - 1 + 13
ê
7 - 13
6
Û 3x + x - 1 = 0 Û ê
Û x=
ê
18
ê x = - 1 - 13
ê
6
ë

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và

x=

7-

13
18

.

d) ĐK: x ³ 0 .
Dễ thấy x = 0 khơng là nghiệm của phương trình.
Xét x ¹ 0 . Khi đó phương trình tương đương với
10 x x + 5 x = 2 x 2 +1 + 8 x Û 5( x +

t= x+
Đặt

1
2 x

³ 2

x.

1
2 x

1
2 x

= 2 Þ t³

) = 2( x +

2

1
) +4
4x


Suy ra

x+

1
= t2 - 1
4x
. Phương trình trở thành:

5t= 2(t2 - 1)t+ 4 Û 2 2 - 5 + 2 = 0 Û

Với t = 2 ta có

x+

= 2 (thỏa mãn) hoặc

1
2 (loại)

1
3 ±2 2
= 3 Û 4 x 2 - 12 x +1 = 0 Û x =
4x
2
(thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là

x=

3 ±2 2

2

af ( x) ±
Nhận xét: Phương trình có chứa
t = af ( x) ±

t=

1

bf ( x)

a 2 f 2 ( x) +
và

1
b f 2 ( x)
2

thì ta đặt ẩn phụ là

1

bf ( x)

Ví dụ 8: Tìm số nghiệm của phương trình

( x +1)
a)

2

- 2 2 x( x 2 + 1) = 0

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

3
2
b) 10 x + 1 = 3( x + 2)

A.1 nghiệm

2
c) 4 + x + 1 = 3 x - 1 + 2 x - 1

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

Lời giải:
a) ĐKXĐ:

2 x ( x 2 + 1) ³ 0 Û x ³ 0


Đặt

2 x = a , x 2 + 1 = b; a ³ 0, b ³ 0

Suy ra

a 2 + b 2 = 2 x + x 2 + 1 = ( x + 1)

2

a 2 + b2 - 2 ab = 0 Û ( a - b) = 0 Û a = b
2

Phương trình trở thành

2 x = x2 + 1 Û 2 x = x 2 +1 Û ( x - 1) = 0 Û x = 1
2

Suy ra

(thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1
3
b) ĐKXĐ: x + 1 ³ 0 Û x ³ - 1 .
2
2
Phương trình Û 10 ( x + 1)( x - x + 1) = 3( x + 2)

Đặt

x + 1 = a,

x 2 - x +1 = b , a ³ 0, b ³ 0

2
2
2
Suy ra a + b = x + 2 khi đó

Phương trình trở thành
10ab = 3 ( a2 + b2 ) Û 3a2 - 10 ab + 3b2 = 0
é3a = b
Û ( 3a - b) ( a - 3b) = 0 Û ê
êa = 3b
ë
3 x + 1 = x 2 - x + 1 Û 9 ( x + 1) = x 2 - x + 1
Với 3a = b ta có
Û x 2 - 10 x - 8 = 0 Û x = 5 ± 33 (thỏa mãn điều kiện)

Với a = 3b ta có

x + 1 = 3 x 2 - x + 1 Û x + 1 = 9 ( x 2 - x + 1)

Û 9 x 2 - 10 x + 8 = 0 (phương trình vơ nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5 ± 33 .
c) ĐKXĐ: x ³ 1


x + 1 = a , x - 1 = b; a ³ 0, b ³ 0

Đặt

Phương trình trở thành 4 + a = 3ab + 2b
2 ( a2 + b2 ) + a = 3ab + 2b Û ( a - 2b) ( 2a + b + 1) = 0
2
2
Mặt khác a + b = 2 suy ra
Û a = 2b (do 2 a + b + 1 > 0 )

Suy ra

5
3 (thỏa mãn)

x + 1 = 2 x - 1 Û x + 1 = 4 ( x - 1) Þ x =

Vậy phương trình có nghiệm là

x=

5
3 .

Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

( 2 x - 1)
a)
A.

2

+ m = x2 - x + 1

m³

- 12 + 3
2

B.

(1)
m>

- 12 + 3
2

C.

m£

- 12 + 3
2

D.

m<

- 12 + 3
2

4 2
b) 3 x - 1 + m x + 1 = 2 x - 1 (2)

A. - 1 < m

B.

m£

1
3

C.

- 1
1
3

Lời giải:
2
a) Đặt t = x - x + 1

Þ t 2 = x 2 - x + 1 Þ ( 2x - 1) = 4x 2 - 4x +1 = 4t 2 - 3
2

2

æ 1ử
3 3
3
x - x +1 = ỗ
x- ữ
ữ+
ỗ
t
ỗ
ữ
2
4
4
ố
ứ
2
Vỡ
nờn
2

2
2
3=
Phng trỡnh (1) trở thành 4t - 3 + m = tÛ - 4t + +m

(1')

D.

- 1
1
3


y =- 4t + - 3
2

Xét hàm số
Ta có

với

t³

3
2

b
1

3
= <
2a 8
2

Bảng biến thiên

x

3
2

y

+¥

- 12 + 3
2

- ¥

Phương trình (1) có nghiệm Û phương trình (1') có nghiệm

Û đồ thị hàm số y =- 4t + - 3 trên
2

Û m£

[

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

m£

- 12 + 3
2

b) ĐKXĐ: x ³ 1 .

( 2) Û 3

x- 1
x +1

x + 1 ta có

+m = 2

4

x2 - 1
x +1

Û - 3

3
2

3
; +¥ )

2
cắt đường thẳng y = m

- 12 + 3
2
.

Chia cả hai vế cho

t³

x- 1
x- 1
+24
=m
x +1
x +1


t= 4
Đặt

x- 1 4
2
= 1Þ 0 £ <1
x +1
x +1

2
Phương trình (2) trở thành - 3t + 2m=

y =- 3t + 2
2

Xét hàm số

(2')

trên [0;1) , ta có

-

1÷ 1
b
1 y ổử
ỗ
ữ
ỗ
=
ữ= 3
ố3 ứ
2a 3 , ỗ

Bng bin thiờn

x

1
3

0
y

1

1
3

- 1

0

Phng trỡnh (2) có nghiệm Û phương trình (2') có nghiệm t Î [0;1)

Û đồ thị hàm số

y =- 3t2 + 2

1
Û - 1y
=
m
3
trên [0;1) cắt đường thẳng

Vậy phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi

- 1

1
3

Lưu ý: Khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ , đối với loại tốn khơng chứa tham số thì
có thể khơng nêu điều kiện(hoặc điều kiện "lỏng") của ẩn phụ vì sau khi tìm được
nghiệm ẩn phụ rồi chúng ta phải thay lại để giải. Nhưng với bài toán chứa tham số thì
chúng ta cần phải nêu điều kiện "chặt" đối với ẩn phụ.
Loại 4: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn
2
Ví dụ 10: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình 3 x + 3 = 3 x + 4 x - 1

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm
Lời giải:

D. Vô nghiệm


ĐKXĐ: x ³ - 3
Û - 27 ( x + 3) - 3 x + 3 + 3 x 2 + 31x + 80 = 0

Phương trình
t = x +3

Đặt

( t ³ 0)

2
phương trình trở thành - 27 t - 3x+ 3

t1 =

Có
·

x +3 =

- 3 x - 16
- 3 x - 16
<0
9
9
Vơ nghiệm vì với x ³ - 3 thì

·

x +3 =

x +5
Û x2 + x - 2 = 0 Û x = 1
3
hoặc x =- 2

suy ra

x+ 31 + 80 = 0

- 3x - 16
x +5
,t 2 =
9
3

D t = ( 18 x + 93)

2

2

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 1 và x =- 2
Nhận xét:Trong lời giải trên ta thấy khó nhất là biến đổi phương trình ban đầu thành
- 27 ( x + 3) - 3 x + 3 + 3x 2 + 31x + 80 = 0

để sau khi đặt ẩn phụ t = x + 3

thì

V= ( 18 x + 93) ( là bình phương của một nhị thức)
phương trình ẩn t có
2

Nếu ta tách khơng hợp lý thì

V khơng là bình phương của một nhị thức hoặc là một

hằng số ,trong trường hợp đó việc giải phương trình theo hướng trên là không thể thực

hiện được.
Vậy làm thế nào để tách được phương trình mà thỏa mãn các điều kiện trên và việc tách
ra như thế có là duy nhất?.Để trả lời được câu hỏi này ta thực hiện theo các bước như
sau:
B1: Viết
B2: Đặt

(1) Û m ( x + 3) - 3 x + 3 + 3x2 +( 4 - m) x - 1 - 3m = 0
t = x +3

Có

( t ³ 0)

pt trở thành

mt2 - 3x+ 3

2

+m
( 4 -x

( m ¹ 0)
)

- 1
m- 3 = 0

D t =- 12 mx 2 - 4 m ( 4 - m) x + 12m 2 + 4 m + 9 = f ( x)

ïìï - 12m > 0
Û
í /
ïï D f = 0
B3: Tìm m sao cho ỵ

ìï - 12m > 0
ï
Û m =- 27
í /
ïï D f = 4 m ( m + 27 ) ( m2 + m +1) = 0
ïỵ

Đến đây việc giải pt như đã trình bày ở trên
60 - 24 x - 5 x 2 = x 2 + 5 x - 10

Ví dụ 11: Tìm số nghiệm của phương trình sau
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vơ nghiệm

Lời giải:
2
ĐKXĐ: 60 - 24 x - 5 x ³ 0

Đặt t = 60 - 24 x - 5 x

2

1 2
1
t + x- x 2 (t ³ 0) pt trở thành 6
6

Phuơng trình ẩn t này có

D / = ( x + 3)

2

ìï x ³ 0
60 - 24 x - 5x 2 = x Û ïí 2
Û x =- 2 + 14
ïï x + 4 x - 10 = 0
ỵ

·

ìï - x - 6 ³ 0
60 - 24 x - 5 x2 =- x - 6 Û ïí 2
Û x =- 3 ïï x + 6 x - 4 = 0
ỵ
14 , x2 =- 3 -

Ví dụ 12: Tìm số nghiệm của phương trình
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

- 6 =0

13

13

( x + 3) ( 4 - x) ( 12 + x) = 28 C. 3 nghiệm

Lời giải:
2
ĐKXĐ: - x - 8 x + 48 ³ 0

t = - x 2 - 8 x + 48 (t ³ 0) phương trình trở thành
- 1 2
- 1 2
t +( x + 3) t +
x - 3x - 4 = 0
2
2

2

nên ta tìm được t1 = x , t2 =- x - 6

·

Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1 =- 2 -

=t0 Û x2 + 6 x-

( t ³ 0)

x

D. Vô nghiệm