GIOI HAN Gioi han ham so Ly thuyet Bai tap van dung File word

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Định nghĩa:
 Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số
dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều
lim un 0
lim un 0
có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: x 
.Hay là: x 0
khi và chỉ
u   , n  n0
khi với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho: n
.


lim un a  lim  un  a  0

x  

x  

, tức là: Với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên

n0 sao cho un  a   , n  n0 .
Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
1.2. Một số giới hạn đặc biệt


lim

1
0
nk
với k   *

lim q n 0
 Nếu q  1 thì n 
lim u  lim c c
 Nếu un c (với c là hằng số) thì n  n n 
lim un a
Chú ý: Ta viết lim un a thay cho cách viết n 
.

2. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa
lim un 0
.

un  vn

kể từ số hạng nào đó trở đi và lim vn 0 thì

Định lí 2. Cho lim un a , lim vn b . Ta có:
 lim(un  vn ) a  b
lim(un  vn ) a  b



lim

 lim(un .vn ) a.b



un a
 (b 0)
vn b

 Nếu un 0 n thì lim un  a

3. Tổng của CSN lùi vô hạn
q 1
Cho CSN (un ) có cơng bội q thỏa
. Khi đó tổng
S u1  u2  ...  un  ....

gọi là tổng vô hạn của CSN và
u1 (1  q n )
u
S lim Sn lim
 1
1 q
1 q .

4. Giới hạn vô cực


4.1. Định nghĩa:
lim un  



n  



n 

với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một
số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .
lim un    lim   un  
n  

.

4.2. Một số kết quả đặc biệt
k
 lim n  với mọi k  0
n
 lim q  với mọi q  1 .

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.
Quy tắc 1: Nếu lim un  , lim vn  thì lim(un .vn ) được cho như sau;
lim un

lim vn

lim(un vn )

























Quy tắc 2: Nếu lim un  , lim vn l thì lim(un .vn ) được cho như sau;
lim un
lim(un vn )
Dấu của l
















Quy tắc 3: Nếu lim un l , lim vn 0 và vn  0 hoặc vn  0 kể từ một số hạng nào dó trở
u
lim n
vn
đi thì
được coi như sau;
u
Dấu của l
Dấu của vn
lim n
vn

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

 Để chứng minh lim un  ta chứng minh với
mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un  M n  nM .
 Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(  un )  .


 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

1.

lim

n2
1
n 1

2.

lim

n2  1 1

2 n2  1 2

1  2n

lim

n2  1

3.

 2

Lời giải:
1
na   1
a
1. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
, ta có:
n2
1
1
1

a
n 1
n  1 na  1
lim
Suy ra

với n  na

n2
n2
 1 0  lim
1
n 1

n 1
.

2. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
n2  1 1
3
3
  2
 2
a
2
2n  1 2 n  1 na  1
lim
Suy ra

n2  1

2 

lim
Suy ra

3
1
a
, ta có:

với n  na

n2  1 1

n2  1 1


0

lim

2 n2  1 2
2n2  1 2

3. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
1  2n

na 

1  2 n  2 n2  1

1  2n
n2  1

n2  1

na 



 2 0  lim

.

9
1
a2
, ta có:

1  2n  2(n  1)
n2  1
1  2n

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số

n2  1



3

3



n2  1

2
a

a

n 1

với n  na .

 2
.

(un ) : un (  1)n

khơng có giới hạn.

Lời giải:
Ta có: u2 n 1  lim u2 n 1; u2 n1  1  lim u2 n1  1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) khơng có giới hạn.
Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:
1.

lim

n2  1

n

lim
2.
Lời giải:

1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:

2 n
n

 


n2  1
M  M2  4
 M  n2  Mn  1  0  n 
n
2
 M  M2  4 
n2  1
n0 

 M , n  n0
2


Ta chọn
thì ta có: n
Do đó:

lim

n2  1

n
.

2. Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta có:

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

D. 3
Lời giải:
1
1
1
1

 a n  na
na   1
lim
0
n

1
n

1
a
a
n 1
Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
ta có
nên có
.
Bài 2. Giá trị của

lim

A. 0

1
nk

( k  *) bằng:
B.2

C.4

D. 5

Lời giải:
Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Bài 3. Giá trị của
A. 0

lim

na  k

1
1
1
1
 k  a n  na
lim k 0

k
n
n
a ta có
a
n
nên có
.

sin 2 n
n  2 bằng:
B.3

C.5

D. 8

Lời giải:
sin 2 n
1
1
1


 a n  na
na   2
n  2 n  2 na  2
a

0

a
Với
nhỏ tùy ý, ta chọn
ta có
nên có
2
sin n
lim
0
n2
.
Bài 4. Giá trị của lim(2n  1) bằng:
A. 
B.  

C.0
Lời giải:

Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn

nM 

M 1
2

D. 1


Ta có: 2n  1  2nM  1  M n  nM  lim(2n  1)  .
Bài 5. Giá trị của

A. 

lim

1  n2
n

bằng:
B.  

C.0

D. 1

Lời giải:
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa
 nM 

2
nM
1
M
nM

M  M2  4
2
.

n2  1
n2  1

 M n  nM  lim

n
Ta có: n
Vậy

lim

1  n2
 
n
.

Bài 6. Giá trị của
A. 

lim

2
n  1 bằng:
B.  

C.0

D. 1

Lời giải:
2
na  
a

Với mọi a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn


1  1


2
2
 a n  na  lim
0
n 1
Suy ra n  1
.
Bài 7. Giá trị của
A. 

lim

cos n  sin n
n2  1
bằng:
B.  

C.0

D. 1

Lời giải:
cos n  sin n
Ta có

n

2



Bài 8. Giá trị của
A. 

2
1
cos n  sin n
lim 2 0  lim
0
2
n mà
n
n2  1
lim

n 1
n2
B.  

bằng:
C.0
Lời giải:

 1


na  2  1  1
a

Với mọi số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
n 1
1
n 1

 a n  na  lim
0
n

2
n

2
n

1
Ta có:
.

D. 1


Bài 9. Giá trị của
A. 

lim

3n3  n
n2

bằng:

B.  

C.0

D. 1

Lời giải:
 M
nM    1
 3
Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn
3n 3  n
1
3n   M n  nM
2
n
Ta có: n
Vậy

lim

3n 3  n

n2

.
lim

2 n
n 1

Bài 10. Giá trị của
A. 

bằng:

B.  

C.0

D. 1

Lời giải:
2

1

nM    3   1
a

Với mọi M  0 lớn tùy ý , ta chọn
n 2
Ta có:

1n

lim

Suy ra

3

 n1 

2 n
n 1

n 1

 1  n  3  M n  nM

 

Bài 11. Giá trị của
A. 

.
2n  1
n  2 bằng:
B.  

A lim

C.2

D. 1

Lời giải:
Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn

na 

5
2  2
a

2n  1
5
5
2

 a n  na
n 2
n  2 na  2

Ta có:
Vậy A 2 .

Bài 12. Giá trị của
A. 

B lim

2n  3
n2  1

bằng:

B.  

C.0
Lời giải:

Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa
 na 

1  a 2  4a  13
a

2na  3
a
na2  1

D. 1


2n  3
 a n  na  B 0
2
Ta có: n  1
.
n2  1
C lim
n 1
Bài 13. Giá trị của
bằng:

A. 
B.  

C.0

D. 1

Lời giải:
1
na   1
a
Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
n2  1
n2
1
1
1
 a n  na
n 1
n 1
na  1

Ta có:
Vậy C 1 .

Bài 14. Giá trị của
A. 

A lim

n 2 n
2n

bằng:
1
C. 2

B.  

D. 1

Lời giải:
A

1
2

Bài 15. Giá trị của
A. 

B lim

n sin n  3n2
n2

bằng:
C.  3

B.  

D. 1

Lời giải:
B  3

C lim
Bài 16. Giá trị của
A. 

1
2

n 2 n 7

B.  

bằng:
C.0

D. 1

Lời giải:
C 0
D lim
Bài 17. Giá trị của
A. 

4n  1
n 2  3n  2

B.  

bằng:
C.0

D. 4

Lời giải:
D 4
an
lim 0
n!
Bài 18. Giá trị của
bằng:
A. 
B.  

C.0
Lời giải:

m 1  a
Gọi m là số tự nhiên thỏa:
. Khi đó với mọi n  m  1

D. 1


m

a  a 

an
a a a
a
a
0
 . ... .
... 
.

n ! 1 2 m m  1 n m !  m  1 
Ta có:
 a 
lim 

 m 1 


Mà

n m

n m

0
. Từ đó suy ra:

lim

an
0

n!
.

n
Bài 19. Giá trị của lim a với a  0 bằng:
A. 
B.  

D. 1

C.0

Lời giải:
Nếu a 1 thì ta có đpcm
a  1 

 Giả sử a  1 . Khi đó:
Suy ra:

0  n a  1





n

a  1   n


n



n

a 1



a
0
n
n
nên lim a 1

1
1
 1  lim n 1  lim n a 1
a
 Với 0  a  1 thì a
.
n
Tóm lại ta ln có: lim a 1 với a  0 .

Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
lim
 Khi tìm

tử và mẫu.

f ( n)
g(n) ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là bậc lớn nhất của

lim  k f ( n)  m g( n) 

 trong đó lim f ( n) lim g( n)  ta thường tách và sử
 Khi tìm
dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau :

1.

A lim

n 1  3  5  ...  (2n  1)
2n 2  1

B lim
2.
Lời giải:

2
1. Ta có: 1  3  5  ...  2n  1 n

n2
A lim 2
lim

2n  1
Suy ra

1
2

1
n2



1
2
.

1  2  ...  n  n
3

2

1  2 2  ...  n2  2n


2. Ta có:

1  2  ...  n 

n(n  1)
2
;

12  2 2  ...  n2 

n( n  1)(2n  1)
6


1
n2  1  
n
n(n  1)

n
n
2
2
B lim
lim

n
(
n

1)(2
n

1)

1



1

3
3
 2n
n3  1    2  
3
6
n
n


  2n
6
Suy ra :

1
1
2
1
2
3
.

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :

1 
1 
1 

C lim   1  2   1  2  ...  1  2  
2 
3  
n 

1.

 1
1
1
1 
D lim 


 ... 
n(n  1) 
 1.2 2.3 3.4
2.
Lời giải:

1. Ta có:

1

1 ( k  1)( k  1)

k2
k2
nên suy ra


1 
1 
1  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1

 1  2   1  2  ...  1  2   2 . 2 ...
2n
2 
3  
n  2 3
n2

Do vậy

C lim

n 1 1

2n
2.

1
1
1
1
1
1
1
1
 



 ... 
1 
n(n  1)
n 1
2. Ta có k( k  1) k k  1 nên suy ra 1.2 2.3 3.4

1 
D lim  1 
1
n  1 

Vậy
.
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau :
4n1  5n 1
A lim n
4  5n
1.

4.3n2  2.7 n 1
B lim
4 n  7 n1
2.
Lời giải:
n

 4
4   5

5
A lim  n
 5
n
 4
 4
lim   0
 5  1
n


 5
5
1. Chia cả tử và mẫu cho
ta có:
( do
).
n

 4 2
36   
7
7
2
B lim  n

49
 4
 7  7
 

2. Ta có:
.



1 
1 
1 
C lim   1  2   1  2  ...  1  2  
2 
3  
n 

Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau :
Lời giải:
Ta có:

1

1 ( k  1)( k  1)

k2
k2
nên suy ra


1 
1 
1  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1


 1  2   1  2  ...  1  2   2 . 2 ...
2n
2 
3  
n  2 3
n2

Do vậy

C lim

n 1 1

2n
2.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Giá trị của
A. 

A lim

2n2  3n  1
3n2  n  2 bằng:
2
C. 3

B.  

D. 1

Lời giải:
3 1
2  2
n n 2
A lim
1 2 3
3  2
n n
Ta có:
.
n2  2 n

B lim
Bài 2. Giá trị của

3n2  1 bằng:

n

1
A. 

B.  

C.0

D. 1 

Lời giải:

1
n2  n
1
n  1
n
B lim
lim
2
1 1 3
n  3n  1
1 3  2
n
n
Ta có:

Bài 3. Giá trị của
A. 

 2n
C lim

2

B.  

1

4

  n  2

n17  1

9

bằng:
C.16
Lời giải:

1 4 9
2
1
2
) .n (1  )9
(2  2 )4 .(1  )9
2
n lim
n
n
n
1
1
n17 (1  17 )
1  17
n
n

n8 (2 
C lim
Ta có:

Suy ra C 16 .

D. 1

3


n2  1 

D lim

4

Bài 4. Giá trị của

3

3n 3  2

2n4  n  2  n bằng:
1

A. 

3

3

4

D. 1

C.3

D. 1

C. 2  1

B.  

Lời giải:

1
2 
n 1  2  3 3  3 

n
n  1  3 3
D lim 
4


2 1
1
2
n  4 2  3  4  1


n n



Ta có:
.
A lim

Bài 5. Giá trị của
A. 



n2  6 n  n

 bằng:

B.  

Lời giải:
A lim
Ta có





n2  6n  n lim
6n

lim

n 2  6n  n

Bài 6. Giá trị của
A. 

B lim



lim

3

n 2  6 n  n2
n2  6n  n
6
6
1 1
n

n3  9 n2  n

3

 bằng:

B.  

C.0

D. 3

Lời giải:
Ta có:

B lim



3

n3  9n 2  n


9n2

lim
3

n

3

 9n2



2

 n 3 n3  9 n 2  n 2

9

lim

3

2

3


9
9
 1 n   1 n 1


n

Bài 7. Giá trị của
A. 

C lim

.

n

3.2  3
2 n1  3n1 bằng:

B.  

1
C. 3


Lời giải:

D. 1


n

C lim

3.2n  3n
2 n1  3n1

Ta có:
Bài 8. Giá trị của

 2
3.    1
3
1
lim  n

3
 2
2.    3

 3

D lim

A. 



n 2  2n 

3

n 3  2n 2

 bằng:
1
C. 3

B.  

D. 1

Lời giải:
Ta có:

D lim
lim
lim





n2  2n  n  lim
2n

n2  2n  n
2
1

2
1
n

Bài 9. Giá trị của
A. 

 lim



3

n3  2 n2  n



2 n2
3

(n3  2n2 )2  n 3 n3  2n2  n2
2

 lim
3

A lim

2
2
(1  )2  3 1   1
n
n



n2  2 n  2  n



1
3
.

 bằng:

B.  

C.2

D. 1

Lời giải:


2 2
A lim n  1   2  1  


n n


Ta có


2 2
lim n ; lim  1   2  1  2


n n


Do
.
Bài 10. Giá trị của
A. 

B lim



2n2  1  n

 bằng:

B.  

C.0

D. 1

Lời giải:


1
B lim n  2   1  


n


Ta có:
4

C lim
Bài 11. Giá trị của
A. 

3n3  1  n

2n4  3n  1  n bằng:
B.  
C.0

3 1 1
 8 
5
n 0
n
n
C lim
3
1 1
2 3  4 
2
n
n n
3. Chia cả tử và mẫu cho n ta có được
.
4

D. 1


D lim
Bài 12. Giá trị của
ak bp 0
).
bằng:
A. 

ak nk  ...  a1n  a0
bp np  ...  b1n  b0

(Trong đó

B.  

k, p

là các số nguyên dương;

C.Đáp án khác

D. 1

Lời giải:
Ta xét ba trường hợp sau
D lim
k
 k  p . Chia cả tử và mẫu cho n ta có:

D lim

ak  1
a
 ...  0k  if a b  0
k p
n
n 


bp
b
   if ak bp  0
 ...  0k
p k
n
n
.

ak 

ak  1
a
 ...  0k a
n
n  k
b0
bk
bk  ...  k
n
.

ak 

k
 k p . Chia cả tử và mẫu cho n ta có:

ak
a

 ...  0p
p k
n 0
D lim n
b
bp  ...  0p
p
k

p
n

. Chia cả tử và mẫu cho n :
.
( n  2)7 (2n  1) 3
(n2  2)5
bằng:
B.  
C.8

F lim
Bài 18. Giá trị của.
A. 

D. 1

Lời giải:
7

3


2 
1
1 n   2  n 
 
 8
F lim 
5

5 
 1  n2 


Ta có:
Bài 19. Giá trị của.
A. 

H lim



n2  n  1  n

 bằng:
1
C. 2

B.  

Lời giải:
1
n 1
1
n
H lim
lim

2
2
1 1
n  n 1 n
1  2 1
n n
Ta có:
1

Bài 20. Giá trị của.

M lim



3

1  n 2  8n 3  2n

 bằng:

D. 1

1
12


A.

B.  

D. 1

C.0
Lời giải:

M lim
Ta có:

1  n2
3

3

(1  n2  8n3 )2  2n 1  n2  8n3  4n2

Bài 21. Giá trị của.
A. 

N lim



4 n2  1 

3

8 n3  n

B.  



1
12

 bằng:
D. 1

C.0
Lời giải:

Ta có:

N lim

lim
Mà:
lim



3





4n2  1  2n  lim

4n2  1  2n lim



8n2  n  2n lim

3

8 n3  n  2 n

1







4n2  1  2n



0

n
3

0

(8n  n)  2n 3 8n2  n  4n2
2

2

Vậy N 0 .

Bài 22. Giá trị của.

K lim

A. 



3

n 3  n 2  1  3 4 n 2  n  1  5n
5
C. 12


B.  

 bằng:
D. 1

Lời giải:
Ta có:
Mà:

K lim

lim



3



3



n3  n2  1  n  3lim



n3  n2  1  n 

1

lim
3;





4 n2  n  1  2 n



4 n2  n  1  2 n 



1
4

1 3
5
K   
3 4
12
Do đó:
Bài 23. Giá trị của.
A. 

A lim

2n  1

1  3n bằng:
2
C. 3


B.  

D. 1

Lời giải:
A 

2
3

4n2  3n  1
B lim
(3n  1)2 bằng:
Bài 24. Giá trị của.
A. 

B.  

4
C. 9

D. 1


Lời giải:

B

4
9
C lim

Bài 25. Giá trị của.
A. 

n3  1
n(2n  1)2 bằng:
1
C. 4

B.  

D. 1

Lời giải:
C

1
4

n3  3n2  2
D lim 4
n  4n3  1 bằng:
Bài 26. Giá trị của.
A. 
B.  

C.0

D. 1

Lời giải:
D 0
Bài 27. Giá trị của.
A. 

n3  2n  1
n2
bằng:
B.  
C.0

E lim

D. 1

Lời giải:
E 
4

F lim

n4  2 n  1  2n
3

Bài 28. Giá trị của.

3n3  n  n

bằng:
3

A. 

3
C. 3  1

B.  

D. 1

Lời giải:
F 3

3
3 1

Bài 29. Giá trị của.
A. 

M lim



n2  6n  n

 bằng:

B.  

C.3

D. 1

Lời giải:
6n

M lim

n 2  6n  n

Bài 30. Giá trị của.
A. 

3

N lim



3

n3  3n2  1  n

B.  

 bằng:

C.0

Lời giải:
N lim

3n2  1
3

(n3  3n2  1)2  n. 3 n3  3n2  1  n2

1

D. 1


Bài 31. Giá trị của.

H lim n

A. 



3

8n3  n 

4n2  3

 bằng:

2
C. 3


B.  

D. 1

Lời giải:
H lim n



3



8n3  n  2n  lim n

Bài 32. Giá trị của.

K lim

1
3


A.





4n2  3  2n 

2
3

3.2n  3n
2 n1  3n1 bằng:

B.  

C.2

D. 1

Lời giải:
n

 2
3   1
3
1
K lim  n

3
 2
2   3

 3
Bài 33. Giá trị của.
A. 

2n3  sin 2n  1
n3  1
bằng:
B.  
C.2

A lim

D. 1

Lời giải:
2
A lim

sin 2 n  1
n3
2
1
1 3
n
n

B lim

n!

n3  2n bằng:
B.  

Bài 34. Giá trị của.
A. 

C.0

D. 1

Lời giải:
n

n!

3

n  2n

Ta có:

n



3

nn

n



n  2n

3

3.3n  4 n
3n1  4 n1 bằng:

C lim
Bài 35. Giá trị của.
A. 

 0  B 0

n  2n

1
B. 2

C.0
Lời giải:

C

1
2
D lim

Bài 36. Giá trị của.

n 1
n 2 ( 3n 2  2 

3n2  1) bằng:

D. 1


2
A. 

C. 3

B.  

D. 1

Lời giải:
D

2 3
3

2
Bài 37. Giá trị của. E lim( n  n  1  2n) bằng:
A. 
B.  
C.0

D. 1

Lời giải:
E  
F lim

Bài 38. Giá trị của.
A. 



n 1  n

 bằng:

B.  

D. 1

C.0
Lời giải:

F 
k
2
Bài 39. Giá trị của. H lim( n  1 
A. 
B.  

p

n2  1) bằng:
C.Đáp án khác

D. 1

Lời giải:
Xét các trường hợp
k  p  H  
TH1:
k  p  H 
TH 2:
k p  H 0
TH 3:
.
Bài 40. Giá trị của

K lim n

A. 



n2  1  n

 bằng:
1
C. 2

B.  

D. 1

Lời giải:
K

1
2
un 

Bài 41. Tính giới hạn của dãy số
A. 
B.  

1
2 1 2



C.0
Lời giải:

1
Ta có: ( k  1) k  k k  1
un 1 
Suy ra

1
n 1



1
k



 lim un 1

1
k 1

1
3 2 2 3

 ... 

1
( n  1) n  n n  1 :
D. 1


Bài 42. Tính giới hạn của dãy số
A. 

un 

(n  1) 13  2 3  ...  n3
3n3  n  2

:
1
C. 9

B.  

D. 1

Lời giải:
 n(n  1) 
13  2 3  ...  n3 

 3 
Ta có:

2

n(n  1)2
1
un 
 lim un 
3
9.
3(3n  n  2)
Suy ra
un (1 
Bài 43. Tính giới hạn của dãy số
A. 

1

1
1
)(1  )...(1  )
T1
T2
Tn

trong đó

1
C. 3

B.  

Tn 

D. 1

Lời giải:
1
Ta có:

1
2
( k  1)( k  2)
1 

Tk
k( k  1)
k( k  1)

1 n2
1
un  .
 lim un 
3 n
3.
Suy ra
2 3  1 3 3  1 n3  1
un  3
.
....
2  1 3 3  1 n3  1 . :
Bài 44. Tính giới hạn của dãy số
A. 

2
C. 3

B.  

D. 1

Lời giải:
k3  1
( k  1)( k 2  k  1)

3
2
Ta có k  1 ( k  1)[( k  1)  ( k  1)  1]

2 n2  n  1
2
 un  .
 lim un 
3 (n  1)n
3
Suy ra
n

Bài 45. Tính giới hạn của dãy số
A. 
B.  

2k  1
2k . :
k 1

un 

D. 1

C.3
Lời giải:

un 
Ta có:


1
1 1 1

1  2n  1
un     2  ...  n 1   n1
2
2 2 2
2  2

1
3 2n  1
un   n1  lim un 3
2
2 2
.
Bài 46. Tính giới hạn của dãy số

un q  2q 2  ...  nq n

với

q 1

.:

n(n  1)
2
.:


q
A. 

 1  q
C.

B.  

q
2

 1  q
D.

2

Lời giải:
Ta có:

un  qun q  q 2  q 3  ...  q n  nq n1

 (1  q)un q

q
1  qn
lim un 
2
 nq n1
1  q

1 q
. Suy ra
.

n

Bài 47. Tính giới hạn của dãy số
A. 
B.  

n
k 1 n  k

un 

2

.:
D. 1

C.3
Lời giải:

Ta có:

n

n
n
n
1
un n 2
 2
un  1  2

n n
n 1 n 1
n 1
2

 un  1 

n
 0  lim un 1
n 1
.
2

A lim
Bài 48. Tính giới hạn của dãy số
A. 
B.  

ak .nk  ak  1nk  1  ...  a1n  a0
bp .np  bp  1np  1  ...  b1n  b0
C.Đáp án khác

với
D. 1

ak bp 0

Lời giải:
Ta chia làm các trường hợp sau
ak  1

a
 ...  0k a
n
n  k
A lim
bp  1
bp
b
bp 
 ...  0k
k
n
n
TH 1: n k , chia cả tử và mẫu cho n , ta được
.
k
kp
TH 2:
, chia cả tử và mẫu cho n , ta được
a
a
ak  k  1  ...  0k

khi ak bp  0

n
n
A lim

bp

bp  1
b0   khi ak bp  0


...

nk
nk  p nk  p 1
ak 

ak
a
a
 pk k11  ...  0p
p k
n
n 0
A lim n
bp  1
b
bp 
 ...  0p
p
kp
n
n
TH 3:
, chia cả tử và mẫu cho n , ta được
.
3

n6  n  1  4 n 4  2 n  1
B lim
(2n  3)2
Bài 49. Tính giới hạn của dãy số
.:
A. 

B.  

C.3
Lời giải:

3
D. 4

.:


2
Chia cả tử và mẫu cho n ta có được:

3

1

B lim

1 1
2 1

 6  4 1 3  4
5
n n
n n 1  4  3
2
4
4

3
2 n


.

Bài 50. Tính giới hạn của dãy số
A. 

C lim



4n2  n  1  2n

B.  



.:
1
D. 4

C.3
Lời giải:

1
1
n
C lim
lim

4
1 1
4n 2  n  1  2n
4  2 2
n n
Ta có:
1

n 1

D lim

Bài 51. Tính giới hạn của dãy số
A. 



n 2  n  1  2 3 n3  n2  1  n
1
C. 6



B.  

 .:

D. 1

Lời giải:
Ta có:

D lim





n2  n  1  n  2 lim



3

n 3  n2  1  n



1
1
n

lim

n 1
2
1 1
n2  n  1  n lim
1



1
n n2
n2  n  1  n
1

lim
Mà:
lim



3







n3  n2  1  n lim

1

lim

n2  1
3

(n3  n2  1)2  n. 3 n3  n2  1  n2

1
n2



2

3


1 1 
1 1
 1  n 4  n6   3 1  n  n3  1



1
3

1 2
1

D   
2 3
6.
Vậy
Bài 52 . Cho các số thực a,b thỏa
A. 

a  1; b  1

. Tìm giới hạn

I lim

1 b
C. 1  a

B.  

1  a  a2  ...  a n
1  b  b2  ...  b n .
D. 1

Lời giải:
2
n
Ta có 1, a , a ,..., a là một cấp số nhân công bội a

1  a  a 2  ...  an 

1  an1

1 a