HSG TRIEU SON13

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2012 – 2013Môn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 11/01/2013

Đề chính thức

(

5

)(

5

)

+1 .
Câu 1: (4,0 điểm) 1. Cho biểu thức: P= 1+ x + √ 1 − x :
√
√1 − x 2
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm x để √ P> P .

2. Cho

a> 0 , thoả mãn điều kiện:

5

A=a +

1
.
a5

a2 +

1
=23 .
a2

Tính giá trị của biểu thức:

Câu 2: (4,0 điểm)1. Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: (k - 2)x +
(k - 1)y = 1 (k là tham số). Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn

nhất.

2. Giải hệ phương trình:

¿
1 1 9
x+ y+ + =
x y 2
1 5
xy + =
xy 2

¿{
¿

Câu 3: (4,0 điểm)
1. Tìm các cặp số nguyên x, y thoả mãn điều kiện: ( x − 2013 )2= y ( y +1)( y +2)( y+ 3).
2. Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 8 điểm, trong
đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác là 1, chứng minh rằng
tồn tại một tam giác có ba đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá
1
.
10

Câu 4: (6,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC có AC = 3AB = 3a và BAC = 60 0. Trên cạnh BC lấy điểm D sao
cho ADB = 300. Đường thẳng vng góc với AD tai D cắt tia AB ở E và cắt cạnh AC ở
F. Hạ EK vng góc với AC (K  AC).
a) Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC theo a.
b) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF và EK đồng quy.
2. Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đường chéo lớn có giá trị bé nhất là bao
nhiêu?

3
Câu 5: (2,0 điểm) Cho x , y , z > 0 và x+ y+ z ≤ 2 . Chứng minh rằng:

√

2

x+

1
1
1 3
2
2
+ y + 2 + z + 2 ≥ √ 17 .
2
x
y
z 2

√

√


Câu

Điểm

Nội dung đáp án

0,5

1. a) ĐKXĐ: −1< x <1 .
2

5
5
5+ 1− x 5+ √ 1− x

+1 = √
:
Ta có: P= 1+ x + √ 1 − x :
2
√
√ 1+ x
√1 − x
√1 − x 2

(

)(

)

2

0,75

5+ √1 − x 2 √ 1 − x 2
.
= √1 − x .
√ 1+ x 5+ √1 − x 2
b) Với −1< x <1 và √ P> P thì 0< P<1
Suy ra P=√ 1 − x< 1 => 1− x<1  0< x <1

0,75

¿

1
(4,0đ)

0,5
0,25

Vậy với 0< x <1 thì √ P> P .
2. Từ giả thiết, suy ra:

0,25
2

(a+ 1a ) =25

1
=> a+ a =5 (vì a> 0 )

0,25

1
1 2 1
3
Ta có: a + 3 = a+ a a + 2 − 1 =110 .
a
a

( )(

)

0,25

1
1
1
1
5
2
3
Vậy A=a + 5 = a + 2 a + 3 − a+ a =2525 .
a
a
a
1. Với k = 1. Phương trình đường thẳng (d) có dạng x = -1, khoảng cách từ gốc toạ độ đến

(

)(

)( )

0,5
0,25

(d) là 1.
Với k = 2. Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = 1, khoảng cách từ gốc toạ độ đến
(d) là 1.
Với k
1 và k
2. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox, Oy.

1
k−2
1
¿
k−1

=> OA ¿

Thay x = 0 vào phương trình ta được yB

=> OB

1
1
1
=
+ 2
2
2
OH OA OB

2
(4,0đ)

=> OH=

Do đó:

OH ≤

2

0,25

y

(d)

1

√2 k

2

−6 k +5
3
1 1
2
2 k − 6 k +5=2 k −
+ ≥
(với mọi k)
2
2 2
2

Mặt khác, ta có:

0,25

|k −21 |

1
¿|
k −1|

Thay y = 0 vào phương trình ta được xA ¿

Rõ ràng (d) khơng đi qua gốc toạ độ với mọi k 1 và k
Tam giác AOB vuông tại O. Theo định lý Pitago, ta có:

0,25

( )

O

A
H

1
=√ 2
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi k =
1
2

x

√

3
2

B

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) lớn nhất là √ 2
khi k =

3
.
2

2. ĐKXĐ: xy ≠ 0.

0,25

0,25


0,5

¿
(
)
2 [ xy x + y + ( x + y ) ]=9 xy
(1)
2
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
2 ( xy ) − 5 xy +2=0
(2)
¿{
¿

1
Giải phương trình (2) theo xy , ta được: xy=2 hoặc xy= 2
* Với xy=2 , thay vào (1) ta được x+ y=3 . Từ đó tìm được ( x ; y ) ∈ { (1 ; 2 ) , ( 2; 1 ) }
1
3
* Với xy= 2 , thay vào (1) ta được x+ y= 2 . Từ đó tìm được
1 1
(x; y)∈ 1; , ;1
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:
2 2

0,5
0,5

{( ) ( )}
( ) ( )}
{

( x ; y ) ∈ ( 1; 2 ) , ( 2 ; 1 ) , 1;

1 1
, ;1
2 2

1. Đặt t= y 2 +3 y thì ( x − 2013 )2=t 2+2 t
t+ 1¿
2
2
t Do đó ( x − 2013 )2 khơng là số chính phương.

Vậy t ≤ 0 , khi đó y 2+ 3 y= y ( y+ 3 ) ≤ 0
Vì y nguyên nên y ∈ { 0 ; −1 ; −2 ; −3 }
Vậy ( x ; y ) ∈ { (2013 ; 0 ) , ( 2013 ; −1 ) , ( 2013; − 2 ) , ( 2013 ; −3 ) } .

Nếu t> 0 thì

3
(4,0đ)

0,5

2

0,5
0,5
0,5

2. Nối các điểm sao cho chúng tạo thành các tam giác đôi một chỉ chung nhau nhiều 0,75

nhất một cạnh và phủ vừa kín tứ giác.
Do tổng các góc trong tam giác bằng: 3600 + 4.3600 = 10.1800 nên chỉ có 10 tam
giác. Như vậy, theo nguyên lý Diriclet thì phải có ít nhất một tam giác có diện tích 0,75
1

khơng vượt q 10 .

0,5

4

a

1.a) (2,0đ) Kẻ BH  AC, ta có AH = AB.cos BAH
= a.cos 600 = 2 ,
(6,0đ)
a 3

BH = AB.sin BAH
= a.sin 600 = 2 .
a 5a
CH = AC – AH = 3a – 2 = 2
25a 2 3a 2
BH  CH 

a 7
4
4
Suy ra BC =
.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
BC a 7
( I ∈ BC )

2 .
Kẻ OI  BC
, ta có BI = 2
2

2

BI
a 7
a 7 3 a 21


: sin BAC

:


2
2
2
3 .
BO = sin BOI
0
0
0



b) (2,0đ) Ta có BDF BDA  ADF 30  90 120 .
0
0
0


Tứ giác ABDF có BAF  BDF 60  120 180 .
 tứ giác ABDF nội tiếp.

H

A

O
K

B

F
I

E

D

C


0


Suy ra ABF ADF 90 .
Hay FB là đường cao của tam giác AEF.
Do FB, AD, EK là ba đường cao của tam giác AEF nên ba đường thẳng AD, EK,
BF đồng quy.
2. (2,0đ)
Giả sử hình thang ABCD có hai đường chéo AC = m1 và BD = m ❑2 và
m 1 ≥ m 2> 0 .
Hạ đường cao AH và BK suy ra HC ≥ KD

⇒ 2HC
HC + KD = DC + AB (*)
Δ AHC vuông tại H. Theo định lý Pitago,
2
2
2
ta có: H  HC m1 2 AH .HC ( DC  AB).h 2S ABCD 2

0,5

0,5

Theo BĐT Cosi, ta có:
2

2 2
2
H 
H
HC
 HC
m212 
m
2 1AH
.2HC
AH
.HC
( DC( DC
AB ).
hAB

2).Sh ABCD
2S
2 2
ABCD

0,5

Kết hợp với (*), ta có:
2

2

2
1

H  HC m 2 AH .HC ( DC  AB).h 2S ABCD 2
2

⇒

m1 ≥ 2⇒ m1 ≥ √2
⇔

Dấu bằng xảy ra

 HC KD

 AH HC

0,5

khi đó min m1  2
Vậy nếu diện tích của một hình thang bằng 1 thì đường chéo lớn có giá trị bé nhất là
m1  2

.

1 1 1
9
3
+ + ≥
≥6 (vì x+ y+ z ≤
)
x y z x+ y+ z
2
1 1 1 2
Đặt a= x + y + z , suy ra a ≥ 62
2
b=( x+ y+ z ) ,
Khi đó, ta có ab ≥ 92
2
2
2
3
a
b
3 a
3
ab
3

2
a+b=
+
+
6
−
≥2
+ 62 −
2
2
2
2
2 6
2 6
2
2
3
9
2

Ta có:

(

0,5

)

()

5

[

2

[
]
()
2

( )]

( )√

[

0,5
2

( ) ] 6a

2

2

3
3
3
2

2
a+b ≥ 2
+6 −
=
+6
(2,0đ) Suy ra
2
2
2
Bây giờ áp dụng bất đẳng thức:
√ a21 +a22 +√ b12+b 22+ √ c21 +c 22 ≥ √( a1+ b1 +c 1 )2+ ( a2 +b 2+ c 2) 2
Ta được

()

() ()

0,25

1
1
1 1 1 2
2
2 1
2
+
y
+
+
z

+
≥
(
x
+
y
+
z
)
+
+ + ≥
2
2
2
x y z
x
y
z
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= y=z = 2 .

√

2

Q= x +

√

0,25

√

√

(

3 2 2 3
+6 = √ 17
2
2

) √( )

0,25

0,25

Chú ý:


1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2. Nếu thí sinh tiếp tục sử dụng kết quả sai để làm bài ở các phần tiếp theo thì khơng tính điểm ở các
phần tiếp theo đó.