Tài liệu Chương 2. kéo (nén) đúng tâm pdf

10
Chơng 2.

kéo (nén) đúng tâm
I. Lực dọc v biểu đồ lực dọc

Thanh bị kéo (nén) đúng tâm l thanh m trên mọi mặt cắt
ngang chỉ có một thnh phần nội lực l lực dọc
z
N
G
nằm trên trục
thanh.


Để biết sự biến thiên của lực dọc
z
N
G
theo trục thanh, ngời
ta lập một đồ thị biểu diễn, gọi l
biểu đồ lực dọc
.
Ví dụ 2.1
: Vẽ biểu đồ lực dọc của một thanh chịu lực nh
(hình 2.1a)
Bi giải
:
1. Xác định phản lực
tại C: P

1
- P
2
- P
c
= 0

P
c
= P
1
- P
2
= 20 kN, có
chiều nh hình vẽ.
2. Vẽ biểu đồ:
+ Xét đoạn AB:
(hình 2.1b) (0 < z < 2a)
Chiếu xuống trục z,
ta có:
1
zZ1
FN P0==



1
z1
N P 40kN 0== >

+ Đoạn BC
(hình 2.1c), (
aza 32
2

)
Xét cân bằng của
phần phải, ta đợc:
2
zz21
FN PP0=+=


Suy ra:
2
Z12
N
P P 40 60 20kN 0== = <
- lực nén.
Tơng tự ta có thể xét các mặt cắt từ phần trái, chọn gốc toạ
độ tại C (hình 2.1d). Kết quả thu đợc cũng giống nh trên.
Biểu đồ nội lực nh trên hình 2.1e.
Hình 2.1

11
II. ứng suất v biến dạng
1. Các giả thiết tính toán


Mặt cắt ngang của thanh trớc v sau khi biến dạng vẫn

luôn thẳng v vuông góc với trục thanh.


Trong quá trình biến dạng các thớ dọc luôn thẳng, song
song với trục của thanh v không tác dụng tơng hỗ lên nhau.

2. ứng suất
Theo các giả thiết trên đợc rút ra từ thí nghiệm thì trên
mặt cắt ngang của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm có biến dạng
di theo phơng trục z:

=
z
du
dz
(2.1)
Định luật Húc do nh khoa học Anh, Robert Hooke tìm ra
năm 1660:

z
= E
z
(2.2)
trong đó, hệ số tỉ lệ E đợc gọi l
môđun đn hồi Young
.
Mặt khác, ta có:

= = =

zz z z
FF
NdFdFF

=
z
z
N
F
(2.3)
Trong tính toán thờng viết:
z
z
N
F
=
(2.4)
2. Biến dạng dọc v biến dạng ngang
Từ các công thức (2.2) v (2.3) suy ra:
()
()
()
z
z
Nz
z
EF z
=
(2.5)

Biến dạng dọc tuyệt đối
l:
=

l
z
0
N
ldz
EF
(2.6)
z,n

du

z

dz

P
O
H
ình 2.2
N
z
dz
a)
b)

12

Trờng hợp đặc biệt khi
z
N
EF
= const:

z
Nl
l
EF
=
;
mn
zi i
i
i1 i1
ii
Nl
ll
EF
==
= =

(i = 1, 2, , n) (2.7)

Biến dạng ngang
(tơng đối) theo phơng ngang x hoặc y
đợc kí hiệu l
x
hoặc

y
:

x
=
y
=
z
(2-8)
trong đó l hằng số tỉ lệ, đợc
gọi l
hệ số Poatxông.

Ví dụ 2.2.
Một thanh thép di
4m (hình 2.3a) có tiết diện vuông
mỗi cạnh a = 20mm chịu hai lực
P
1
= 80kN ở mút A v P
2
= 20kN
ở điểm giữa B. Cho biết E =
2.10
5
N/mm
2
, = 0,25. Hãy tính
chuyển vị của mút thanh v biến
dạng tuyệt đối của kích thớc

ngang tại mặt cắt nguy hiểm.
Giải:
1. Lập biểu đồ lực dọc
2. Biến dạng dọc (độ giãn) của thanh:

()
= + = + = + =
12
12
zz
12 z z
Nl Nl
1
ll l NN 4,5mm
EF EF EF

Các mặt cắt nguy hiểm thuộc đoạn BC: ứng suất pháp bằng:

2
3
z
2
z
N
100.10
250N / mm
F400
= = =

Biến dạng dọc (tơng đối) của đoạn ny bằng:

z
5
250
0,00125 0,125%
E
2.10

= = = =

Biến dạng ngang:
x
=
y
=
z
= 0,25.0,00125 = 0,03125%
Biến dạng tuyệt đối của mặt cắt ngang (lợng co):
x
a a 0,0003125.20 0,00625mm= = =

Biến dạng ngang rất nhỏ so với biến dạng dọc.
Hình 2.
3


13
III. Tính chất cơ học của vật liệu
Tính chất cơ
học của vật liệu l

những tính chất
vật lí thể hiện
trong quá trình
biến dạng dới tác
dụng của ngoại lực.
Thông thờng,
ngời ta chia vật liệu lm hai loại:
vật liệu dẻo
v
vật liệu giòn

1. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo
Mẫu thử
hay
mẫu thí nghiệm
(hình 2.4).
Quan hệ giữa lợng giãn l v lực kéo P đợc biểu diễn bằng
biểu đồ kéo (hình 2.5). Quá trình biến dạng gồm 3 giai đoạn:

Giai đoạn thứ nhất: giai đoạn tỉ lệ
hay
giai đoạn đn hồi
OA.
Giới hạn tỉ lệ
hay giới hạn
đn hồi
tl
:
tl
tl

0
P
F
=
(2.9)

Giai đoạn
thứ hai
:
giai
đoạn chảy dẻo
.
ứng suất:
C
C
0
P
F
=
(2.10)
đợc gọi l
giới
hạn chảy (dẻo)
.
Trên mặt mẫu
sẽ thấy xuất hiện những đờng gợn nghiêng với trục thanh một
góc khoảng 45
0
(hình 2.6).

Giai đoạn thứ ba (giai đoạn củng cố):
Hình 2.4
Hình 2.5
Đối với thép số 3:

t1
= 200MN/m
2


C
= 240MN/m
2


B
= 420MN/m
2


14
ứng suất cực đại:
B
B
0
P
F
=
đợc gọi l
giới hạn bền

.

2. Thí nghiệm nén vật liệu dẻo
Mẫu thử thờng hình 2.8a.
Biểu đồ nén
(hình 2.8b) có giới hạn
tỉ lệ, giới hạn chảy nhng không có giới hạn bền.

3. Thí nghiệm kéo v nén vật liệu giòn
Vật liệu giòn chịu kéo rất kém, nên bị phá hỏng đột ngột
ngay khi độ giãn còn rất nhỏ. Hình 2.9 - biểu đồ kéo (Pl). Khi
bị nén cũng bị phá hỏng ngay khi biến dạng còn nhỏ.
Vật liệu giòn chỉ có giới hạn bền:
=
B
B
0
P
F

Hình 2.9
Hình 2.8
Hình 2.
7
Hình 2.6
Hiện tợng tái bền

15
IV. Thế năng biến dạng đn hồi
Công của ngoại lực chuyển hoá thnh thế năng biến dạng

đn hồi U: U = A U =
2
P.
2EF
l
=
2
z
N.
2EF
l
(2-11)
Nếu nội lực N
z
biến thiên từ 0
l
thì có thể biểu diễn:
U =

2
z
0
N
dz
2EF
l
(2-12)
Gọi u l thế năng riêng biến dạng đn hồi (thế năng tích luỹ
trong một đơn vị thể tích) thì thế năng riêng đó có trị số: u=U/V
Thay V = F.l v

z
= N
z
/F ta đợc
u =
2
zzz
2E 2

=
hoặc u =
ll
2
zzz
00
dz dz
2E 2

=

ll
(2-13)
V. Tính toán về kéo (nén) đúng tâm
1. ứng suất cho phép Hệ số an ton
ứng suất cho phép []:
[]
0
n
1

=
(2.14)


Nh vậy đối với vật liệu dẻo:
[] []
n
ch
kn

==
(2-15)


Đối với vật liệu giòn, vì khả năng chịu nén tốt hơn chịu kéo
k
B
n
B
>
, nên ta có hai ứng suất cho phép khác nhau:

[]
n
n
B
n

=
;

[]
n
k
B
k

=
(2-16)


Hệ số an ton
n thờng lớn hơn 1 v phụ thuộc vo yêu cầu
thiết kế cũng nh tầm quan trọng của công trình, chi tiết máy.
2. Ba loại bi toán cơ bản
Để đảm bảo sự lm việc an ton khi thanh chịu kéo (nén)
đúng tâm, ứng suất trong thanh phải thoả mãn
điều kiện bền
:

[]
z
z
N
F
=
(2-17)
Từ bất đẳng thức trên, ta có
ba loại bi toán cơ bản
sau đây:
a. Kiểm tra bền (bi toán loại 1)

Điều kiện bền của thanh:
[]
z
max
N
F

=
(2-18)

16


Đối với các vật liệu giòn l:

[]
z
max
k
N
F
=
;
[]
z
min
n
N
F

=
(2-19)
b. Chọn kích thớc mặt cắt ngang hay thiết kế (bi toán loại 2)


[]
[]
z
min
N
FF=

(2-20)
Để đảm bảo an ton v tiết kiệm, chỉ nên chọn F xấp xỉ tỉ số
N
z
/[] chừng 5% l đủ.
c. Tải trọng cho phép

(bi toán loại 3)

[]
[
]
zmax z
NFN=
(2.25)
Từ
điều kiện cứng

của thanh, cũng dẫn đến ba loại bi toán
tơng tự.
VI. bi toán siêu tĩnh
Trong các
bi toán tĩnh định
chỉ cần dựa đơn thuần vo các
phơng trình cân bằng tĩnh học để xác định nội lực. Trong
bi
toán siêu tĩnh
nếu chỉ dựa vo phơng trình cần bằng tĩnh học
thì không đủ giải đợc nội lực m phải dựa thêm vo một số
phơng trình bổ sung
lập đợc nhờ việc xét
điều kiện biến dạng

của cơ hệ. Số phơng trình bổ sung gọi l
bậc siêu tĩnh
của cơ hệ.
Ví dụ 2.3.
Tìm ứng suất
pháp trong các thanh EB v
FC lm bằng cùng một loại
vật liệu dùng để treo một
thanh AD tuyệt đối cứng
(hình 2.10). Các thanh treo có
diện tích mặt cắt F = 12cm
2
.
Giải
Thay liên kết bằng các phản

lực liên kết
AA 1 2
Y
,Z ,N ,N
GG GG
; Lập
phơng trình cân bằng:

A
m(F)
= 2aN
2
+ aN
1
3aP = 0 ặ 3P = N
1
+ 2N
2
(a)
Hình 2.
1
0


17
Đây l bi tập toán siêu tĩnh bậc 1. Điều kiện tơng thích biến
dạng (l
1
= BB, l
2

= CC, ABB ACC): l
2
= 2l
1
(b)

Theo công thức (2-7) ta có:
= =
12
12
NN
l,l
EF EF
ll

Thay vo biểu thức (b), dễ thấy: N
2
= 2N
1


== = = =
21
6P 6.160 192
N 192kN; N 96kN
55 2

ứng suất trong các thanh EB v FC l:
42 2
1

1
4
N
96
8.10 kN / m 80MN / m
F
12.10

= = = =
;
2
= 2
1
= 160MN/m
2

Ví dụ 2.4
. Dầm tuyệt
đối cứng AB đợc giữ
bởi các thanh bằng
thép có giới hạn chảy
2
ch
24kN / cm=
. Xác định
tải trọng cho phép [q].
Biết n = 1,6; E =
2.10
4
kN/cm

2
.
Bi giải (hình 2.11).
Lấy tổng mômen các
lực đối với điểm A, ta
có:

0)
2
3
2.(3.q5.N2.N)F(m
21)A(
=++=

(a)
Phơng trình phụ tìm đợc từ điều kiện hai tam giác đồng
dạng
CAC~BAB

, ta có:
11122
21122
lNN
2
52
l5 EF EF
ll

= =

(b)
trong đó: E
1
= E
2
= E ; F
1
= F
2
= F; l
1
= 1,8l ; l
2
= l
Giải phơng trình (a) v (b) ta đợc:

12
21 84
Nq;Nq
44 44
==


N
2
> N
1
.
Vậy điều kiện bền phải xuất phát từ N
2

. Theo (2.25) ta có:
[]
= FN
2
. Tra bảng thép góc 56
ì
56
ì
5 có: F = 4,11cm
2
Do
[]
2
ch
24
15kN /cm
n1,6

= = =
[]
ì
= =
4,11 15
q
44 32,3 kN / cm
84

Hình 2.11