Tiểu luận toán học: chuyên đề Tích Phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (544.18 KB, 73 trang )
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
Bài tiểu luận
CÁC DẠNG TỐN VỀ TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Họ và tên: Trịnh Thị Kim Phượng
Lớp : ĐHSP Toán 07A
MSSV: 107121028
Người hướng dẫn: Th.s Lê Thị Kiều Nga
Tiền Giang, tháng 06 năm 2011
Trịnh Thị Kim Phượng
1
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu........................................................................................................2
Chương 1. Lý thuyết........................................................................................3
I. Lí thuyết cơ sở..............................................................................................3
I.1. Bảng các đạo hàm...................................................................................3
I.2. Bảng các vi phân.....................................................................................4
I.3. Các công thức về giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác.............7
I.4. Các cơng thức phân tích lượng giác ra thừa số đặc biệt.........................8
I.5. Các hằng đẳng thức.................................................................................8
I.6. Nguyên hàm ...........................................................................................9
I.6.1. Định nghĩa nguyên hàm....................................................................9
I.6.2. Các tính chất cơ bản của nguyên hàm...............................................9
II. Tích phân....................................................................................................10
II.1. Định nghĩa tích phân.............................................................................10
II.2. Các qui tắc tính tích phân.....................................................................11
II.3. Các phương pháp tính tích phân...........................................................11
II.3.1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ
bản.........................................................................................11
II.3.2. Phương pháp đổi biến........................................12
II.3.3. Phương pháp tích phân từng phần...................13
II.3.4. Tích phân hữu tỉ..........................................................................14
II.4. Ứng dụng của tích phân........................................................................22
II.4.1. Tính diện tích..................................................................................22
II.4.2. Tính thể tích....................................................................................27
Chương 2. Bài tập............................................................................................31
I.Bài tập...........................................................................................................31
I.1. Tính tích phân.......................................................................................31
I.1.1. Tính tích phân các bài sau................................................................31
I.1.2. Tính tích phân các bài sau ( trong các đề thi đại hoc, cao đẳng).....44
I.2. Công thức Newton và các bài tốn chứng minh liên quan đến tích
phân.................................................................................................55
I.3. Tính diện tích và thể tích.......................................................................59
II. Tốn tự kiểm tra.........................................................................................64
Trịnh Thị Kim Phượng
2
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
LỜI NĨI ĐẦU
Ngun hàm và tích phân là một nội dung mà tơi khơng thích học trong
thời gian học ở trường trung học phổ thơng vì có rất nhiều kiến thức liên quan
đến tích phân, có rất nhiều dạng bài tập tích phân mà giáo viên đưa ra và yêu cầu
học để tính tích phân trong khi tơi khơng hiểu gì về những kiến thức đó. Mặc
khác tơi khơng hề biết tích phân có những ứng dụng gì trong cuộc sống mà chỉ
biết tìm cách nhận dạng bài tập tích phân và tính ra kết quả bài đó.
Tơi muốn tìm hiểu về tích phân để hiểu rõ hơn những kiến thức lí thuyết,
sự phân chia các dạng bài tập về nguyên hàm và tích phân đã được học; biết
được ứng dụng của nguyên hàm và tích phân; giúp học sinh hiểu rõ hơn về tích
phân trong chương trình dạy học ở phổ thơng. Chính vì vậy, thơng qua bài tiểu
luận này, tôi muốn tập hợp và cũng cố những kiến thức trọng tâm nhất về nguyên
hàm, tích phân và ứng dụng của nó, tạo điều kiện thuận lợi để giúp tơi cơng tác
tốt sau này.
Để hồn thành tốt bài tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn thạc sĩ LÊ
THỊ KIỀU NGA, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ trong suốt thời gian qua.
Trịnh Thị Kim Phượng
3
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CHỦ ĐỀ 9
CÁC DẠNG TỐN VỀ TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH
PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chương 1. Lí thuyết
I. Lí thuyết cơ sở
I.1. Bảng các đạo hàm
Đổi x thành u , nhớ nhân thêm u’
1.(C)’=0
1.(C)’=0
2. (x)’=1
2. (u)’=u’
3. ( xα ) = α xα −1
3. ( uα ) = α u α −1u '
'
4.
( )
'
1
'
x =
4.
2 x
'
( u)
'
1
=
2 u
.u '
'
1
1
5. ÷ = − 2
x
x
'
1
6. ( ln x ) =
,
x
( ln x )
'
=
1
x
1
1
5. ÷ = − 2 .u '
u
u
'
1 '
6. ( ln u ) = .u ,
u
'
( ln u )
'
1
= .u '
u
'
1 1
1 1 '
'
ln x
ln u
≠
=
log
u
=
=
.u , 0 < a ≠ 1
7. ( log a x ) =
,0
<
a
1
7.
(
)
÷
a
÷
ln
a
ln
a
x
ln
a
ln
a
u
'
( ) =e
( a ) = a .ln a
8. e
x
'
( )
x
x '
x
,
0
8. e
u
( )
'
'
= e .u '
u
u
au = a .ln a.u '
0 < a≠ 1
9. ( sin x ) = cos x
9. ( sin u ) = cos u.u '
10. ( cos x ) = − sin x
10. ( cos u ) = − sin u. u '
'
'
'
'
2
11. ( tgx ) = 1 + tg x =
'
1
cos 2 x
2
'
11. ( tgu ) = (1 + tg u )u =
'
Trịnh Thị Kim Phượng
1
. u'
2
cos u
4
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2
12. ( cotgx ) = −(1 + cotg x ) = −
'
1
1
'
2
'
'
12. ( cot gu ) = −(1 + cotg u ).u = − 2 . u
2
sin x
sin u
I.2. Bảng các vi phân
u = u(x) là hàm số theo biến x, u’ là đạo hàm của u, vi phân của u là:
du=u’dx
Bảng các vi phân giúp định hướng tốt trong các bài tích phân giải bằng
phương pháp đổi biến
d (2 x + 3)
du
1. d(2x + 3) = 2 dx, suy ra dx =
, dx đã đổi thành
khi đặt u = 2x + 3.
2
2
d (ax + b)
du
1’. d(ax + b) = adx, suy ra dx =
, vậy dx đã đổi thành
khi đặt
a
2
u = ax + b (a ≠ 0), hay dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi u = ax + b.
1
1
1
1
1
1’’. d ( ) = − 2 dx suy ra 2 dx = −d ( ) , vậy biểu thức 2 dx đã đổi thành −du
x
x
x
x
x
khi đặt u =
1
.
x
1
1
dx = 2ad (a x + b) , vậy biểu thức
dx
2 x
x
x
đã đổi thành 2adu khi đặt u = a x + b.
du
d ( x 2 + 1)
2
2. d(x + 1) = 2xdx suy ra xdx =
, vậy biểu thức xdx đã đổi thành
2
2
2
khi đặt u = x + 1, hay biểu thức xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt
u = x2 + 1.
du
d ( x 2 + 1)
2
2’. d(ax + b) = 2axdx suy ra xdx =
, vậy biểu thức xdx đã đổi thành
2a
2a
2
khi đặt u = ax + b, hay biểu thức xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt
u = ax2 + b (a ≠ 0).
du
d ( x3 + 2)
3
2
2
3. d(x + 2) = 3x dx suy ra x dx =
, vậy biểu thức x2dx đã đổi thành
3
3
3
2
khi đặt u = x + 2, hay biểu thức x dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt
u = x3 + 2.
d (ax 3 + c)
3’. d(ax3 + c) = 3ax2dx suy ra x2dx =
,vậy biểu thức x2dx đã đổi thành
3a
du
khi đặt u = ax3 + c, hay biểu thức x2dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số,
3a
1’’’. d (a x + b) = a
1
dx suy ra
Trịnh Thị Kim Phượng
5
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
khi đặt u = ax3 + c.
du
d ( x 4 + c)
, vậy biểu thức x3dx đã đổi thành
4
4
4
3
khi đặt u = x + c, hay biểu thức x dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt
u = x4 + c.
d (ax 4 + c )
4
3
3
4’. d(ax + c) = 4ax dx suy ra x dx =
, vậy biểu thức x3dx đã đổi thành
4a
du
khi đặt u = ax4 + c, hay biểu thức x3dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số,
4a
khi đặt u = ax4 + c.
5. d(ex) = exdx suy ra biểu thức exdx = d(ex), hay biểu thức exdx đồng nhất với
du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = ex.
d (ae x + c)
x
x
x
5’. d(ae + c) = ae dx suy ra biểu thức e dx =
, hay biểu thức exdx
a
x
đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= ae + c.
d (me x + c )
mx
mx
mx
5’. d(e + c) = me dx suy ra biểu thức e dx =
, hay biểu thức
m
emxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = emx + c.
1
1
1
6. d(lnx) = dx suy ra biểu thức dx = d(lnx), hay biểu thức dx đồng nhất
x
x
x
với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= lnx.
1
1
d (a ln x + c)
1
6’. d(alnx + c) = a dx suy ra biểu thức dx =
hay biểu thức dx
x
x
x
a
đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = alnx + c.
7. d(sinx + c) = cosx dx suy ra biểu thức cosxdx = d(sinx + c)
hay biểu thức cosxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sinx + c.
d (a sin x + c)
7’. d(asinx + c) = acosx dx suy ra biểu thức cosxdx =
hay biểu
a
thức cosxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= asinx+c.
d (sin mx + c)
7’’. d(sinmx + c) = mcosmx dx suy ra biểu thức cosmxdx =
hay
m
biểu thức cosmxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sinmx+c.
8. d(cosx + c) = - sinx dx suy ra biểu thức sinxdx = - d(cosx + c) hay biểu thức
sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cosx+c.
d (a cos x + c)
8’. d(acosx + c) = - asinx dx suy ra biểu thức sinxdx = hay biểu
a
thức sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= acosx+c.
4. d(x4 + c) = 4x3dx suy ra x3dx =
Trịnh Thị Kim Phượng
6
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
d (cos mx + c )
hay
m
biểu thức sinmxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cosmx+c.
1
1
dx = (1 + tg2x)dx suy ra biểu thức
dx = (1 + tg2x)dx = dtgx
9. dtgx =
2
2
cos x
cos x
1
dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= tgx.
hay biểu thức
cos 2 x
1
dx = a(1 + tg2x)dx suy ra biểu thức
9’. d(atgx + c) = a
2
cos x
1
d (atgx + c )
1
dx = (1 + tg2x)dx =
dx đồng nhất với
hay biểu thức
2
cos x
a
cos 2 x
du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= atgx+c.
1
1
d (tgmx + c )
dx
dx
9’’. d(tgmx) = m
suy
ra
biểu
thức
=
hay biểu
cos 2 mx
cos 2 mx
m
1
dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= tgmx.
thức
cos 2 mx
1
dx = - (1 + cotg2x)dx suy ra biểu thức
10. d(cotgx) = 2
sin x
1
1
2
dx
dx đồng nhất với
=
(1
+
cotg
x)dx
=
d(cotgx)
hay
biểu
thức
sin 2 x
sin 2 x
du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cotgx.
1
10’. d(acotgx + c) = -a 2 dx suy ra biểu thức
sin x
1
d (acotgx + c )
1
dx = -(1 + cotg2x)dx = dx đồng nhất
hay biểu thức
2
sin x
a
sin 2 x
với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = acotgx + c.
1
1
d (cotgmx)
dx suy ra biểu thức
dx = 10’’. d(cotgmx) = -m 2
hay
2
sin mx
sin mx
m
1
dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cotgmx.
biểu thức
sin 2 mx
d (cos 2 x)
2
11. d(cos x) = -2cosx sinx dx suy biểu thức cosx sinxdx = hay biểu
2
thức cosx sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cos2x,
d(cos2x) = - 2cosx sinx dx = -sin2x dx suy ra biểu thức sin2xdx = - d(cox2x) hay
biểu thức sin2xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cos2x.
8’’. d(cosmx + c) = -msinx dx suy ra biểu thức sinmxdx = -
Trịnh Thị Kim Phượng
7
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
d (sin 2 x)
hay biểu
2
thức cosx sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sin2x,
d(sin2x) = 2cosx sinx dx = sin2x dx suy ra biểu thức sin2xdx = d(sin2x) hay biểu
thức sin2xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= sin2x.
12. d(sin2x) = 2 sinx cosx dx suy ra biểu thức cosxsinxdx =
I.3. Các công thức về giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
tan a.cot a = 1
1. Công thức cơ bản:
sin 2 a = 1 − cos 2 a
sin a + cos a = 1 ⇒ 2
2
cos a = 1 − sin a
sin a
sin a
tan a =
cot a =
cos a ,
cos a
2
2
1
cos 2 a
1
1 + cot 2 a =
sin 2 a
1 + tan 2 a =
π
- a) = cotga
2
π
cotg( - a)= tga
2
2. Cung đối: α và -α
tg(
y
(chéo phụ)
4.Cung bù:
O
Hai cung a,b bù nhau nếu a + b = π
vậy b = π -a
x
y
cos(-a) = cosa
sin(-a) = - sina
tg(-a) = - tga
cotg(-a) = - cotga
(cos : đối)
O
3.Cung phụ:
Hai cung a, b phụ nhau nếu a + b =
vậy b =
π
-a
2
π
- a) = cosa
2
π
cos( - a) = sina
2
sin(
π
2
x
sin(π - a) = sina
cos(π - a) = - cosa
tg(π - a) = - tga
cotg(π - a) = - cotga
(sin: bù)
5. Trong 1 tam giác ABC:
(A + B) + C = π, nên A + B bù C
Trịnh Thị Kim Phượng
8
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A+ B C π
A+ B
C
+ =
nên
phụ
2
2
2 2
2
cos(a + k2 π) = cosa, ∀k∈Z
*y = tgx, y = cotgx có chu kỳ là π,
Nên tg(a + k π) = tga, ∀k∈Z
cotg(a + k π) = cotga, ∀k∈Z
6. Chu kỳ:
*y = sinx, y = cosx có chu kỳ là 2 π,
Nên sin(a + k2 π) = sina, ∀k∈Z
I.4. Các cơng thức phân tích lượng giác ra thừa số đặc biệt
sin2x = 1 – cos2x = (1 – cos x).(1 + cosx)
cos2x = 1 – sin2x = (1 – sinx).(1 + sinx)
cos2x = cos2x – sin2x = (cosx – sinx).(cosx + sinx)
1+ sin2x = sin2x + cos2x + 2sinxcosx = (sinx + cosx)2
2
x
x
x
x
⇒ 1 + sinx = sin x + cos x + 2sin cos = sin + cos ÷
2
2
2
2
2
2
2
1 – sin2x = sin x +cos x - 2sinxcosx = (sinx – cosx)
2
x
x
x
x
2
2
⇒ 1 – sinx = sin x + cos x - 2sin cos = sin + cos ÷
2
2
2
2
cos 2 x
(cos x − sin x)(cos x + sin x) cos x − sin x
=
=
1 + sin 2 x
(sin x + cos x) 2
cos x + sin x
cos 2 x
(cos x − sin x)(cos x + sin x) cos x + sin x
=
=
1 − sin 2 x
(sin x − cos x) 2
cos x − sin x
2
sin x cos x sin x + cos 2 x
2
+
tanx + cotx =
=
=
cos x sin x
sin 2x
cos x.sinx
2
2
sin x cos x sin x − cos x
− cos 2 x
−
= −2cot 2 x
tanx - cotx =
=
=
cos x sin x
sin x cos x
cos x.sinx
sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx
⇒ sin3x + cos3x = 3sinx – 4sin3x + 4cos3x – 3cosx
= - 3(cosx – sinx) + 4(cos3x – sin3x)
= - 3(cosx – sinx) + 4(cosx – sinx)(cos2x + cosx sinx + sin2x)
= - 3(cosx – sinx) + 4(cosx – sinx)(1 + cosx sinx)
= (cosx – sinx)(1 + 4sinxcosx)
sin3x - cos3x = 3sinx – 4sin3x - 4cos3x + 3cosx
= 3(sinx + cosx) - 4(sin3x + cos3x)
= 3(sinx + cosx) - 4(sinx + cosx)(cos2x - cosx sinx + sin2x)
= 3(sinx + cosx) - 4(sinx + cosx)(1 - cosx sinx)
= (sinx + cosx)(-1 + 4sinxcosx)
2
2
I.5. Các hằng đẳng thức
Trịnh Thị Kim Phượng
9
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. sin4x + cos4x = (sin2x +cos2x)2 – 2sin2x.cos2x = 1 – 2(
1
sin2x)2
2
1 2
3 cos 4 x
sin 2x = +
(hạ bậc).
2
4
4
2. sin6x + cos6x = (sin2x +cos2x)3 – 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x)
=1-
1
2
= 1 – 3sin2x.cos2x = 1 – 3( sin2x)2 = 1 -
3
sin22x
4
5 3cos 4 x
+
8
8
3
3
3
(Nhờ a + b = (a + b) – 3ab(a + b) = S3 – 3PS)
3. sin8x + cos8x = (sin4x + cos4x)2 – 2sin4xcos4x
1
1
= (1 - sin2x)2 – 2( sin2x ) = …
2
2
π
π
3
1
4. 3 cosx + sinx = 2(
cos x + sin x ) = 2cos(x - ) = 2sin(x + )
6
3
2
2
I.6. Nguyên hàm
I.6.1. Định nghĩa nguyên hàm
=
Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm
của hàm số f(x) trên (a; b) nếu với mọi x thuộc (a; b) ta có
F’(x) = f(x) )
Ví dụ: a) Hàm số F(x) = x2 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R vì
F’(x) = (x2)’ = 2x với mọi x thuộc R.
b) Hàm số F(x) = sin x là nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên
’
R vì F (x) = (sin x)’ = cos x với mọi x thuộc R.
I.6.2. Các tính chất cơ bản của nguyên hàm
- Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên (a; b) thì tập hợp tất cả các
nguyên hàm của f(x ) là F(x)+C, C là hằng số thực thay đổi trong R, ghi là
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
Vậy
-
∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇔ F ′( x) =
f ( x)
( ∫ f ( x)dx ) ′ = f ( x)
- ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
với mọi số thực k ≠ 0
- ∫ [f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x) dx
- ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇒ ∫ f (t )dt = F (t ) + C
Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên (a; b) đều có nguyên hàm trên (a; b)
Trịnh Thị Kim Phượng
10
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bảng các nguyên hàm
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
thường gặp
(u = u(x))
1. ∫ dx = ∫1dx = x + C
1. ∫ du = ∫1du =u + C
xα +1
+C
2. ∫ x dx =
α +1
1
3. ∫ dx = ln x + C
x
x
x
4. ∫ e dx = e + C
α ≠ -1
α
ax
+C
5. ∫ a dx =
ln a
6. ∫ cos xdx = sin x
0
x
+C
7. ∫ sin xdx = − cos x + C
uα +1
+C
2. ∫ u du =
α +1
1
3. ∫ du = ln u + C
u
u
u
4. ∫ e du = e + C
α ≠ -1
α
au
+C
5. ∫ a du =
ln a
6. ∫ cos udu = sin u
0
u
+C
7. ∫ sin udu = − cos u + C
1
1
dx = tan x + C 8. ∫ (1 + tan 2 u )dx = ∫
du = tan u + C
2
cos x
cos 2u
1
1
2
2
9. ∫ (1 + cot x)dx = ∫ 2 dx = − cot x + C 9. ∫ (1 + cot u )dx = ∫ 2 du = − cot u + C
sin x
sin u
cos kx
1
+C
10. ∫ sin kxdx = −
k ≠ 0 10. ∫ sin(kx + b)dx = − cos(kx + b) + C ,
k
k
k≠ 0
sin kx
1
+C
11. ∫ cos kxdx =
k ≠ 0 11. ∫ cos(kx + b)dx = sin(kx + b) + C , k
k
k
≠0
1 kx+b
e kx
kx +b
k≠ 0
12. ∫ ekx dx =
+C
k ≠ 0 12. ∫ e dx = e + C
k
k
1
1
∫ kx + b dx = k ln kx + b + C k ≠ 0
2
8. ∫ (1 + tan x )dx = ∫
II. Tích phân
II.1. Định nghĩa tích phân
Cho hàm số f liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích
phân xác định trên [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là
Trịnh Thị Kim Phượng
11
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
b
∫ f ( x)dx
a
b
Công thức NEWTON-LEIBNITZ:
∫ f ( x)dx = F ( x)
a
b
a
= F (b) − F (a )
b
∫ f ( x)dx chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu
Chú ý:
a
biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết
b
b
b
a
a
a
F (b) − F (a ) = F ( x ) = ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du = ...
b
a
II.2. Các qui tắc tính tích phân
a/ Đặt thừa số chung ra ngồi dấu tích phân , Đặt thừa số chung ra ngồi
cả khi thay cận lấy tích phân.
b/ Tích phân của tổng 2 hàm số bằng tổng 2 tích phân, có cùng cận, do đó
có xu hướng phân tích thành tổng các tích phân nếu được.
a
b
d/ ∫ f ( x )dx =0
c/ ∫ cdx = c (b − a )
a
b
a
a
b
a
a
e/ ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x)dx
g/ Phân chia cận lấy tích phân :
f/
a
∫ f ( x)dx =∫ f (u )du
a
b
c
a
a
a
b
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
h/ Nếu f(x) ≥ g(x), với mọi x thuộc [a; b], thì
c
b
b
a
a
∫ f ( x)dx ≥∫ g ( x)dx , tức là
dấu ≥ còn được bảo tồn sau khi lấy tích phân 2 hàm số.
II.3. Các phương pháp tính tích phân
II.3.1. Tra bảng nguyên hàm để tìm 1 ngun hàm F(x), sau đó thay cận
vào (đối với tích phân dễ, đơn giản).
π
cos x
Ví dụ 1: Tính ∫ e sin xdx
0
Do d( cosx) = − sinxdx ⇒ sinxdx =
π
π
0
0
cos x
cos x
nên ∫ e sin xdx = ∫ e
d(cosx)
−1
d (cos x) π cos x
u
u
= - ∫ e d (cos x) (tra bảng ∫ e du = e + C )
−1
0
Trịnh Thị Kim Phượng
12
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
π
cos x
= - e 0 = - ( e cos π −ecos0 ).
2
3
Ví dụ 2: Tính ∫ (1 − 3 x) dx
0
d (1 − 3x)
3
2
2
12
3
3 d (1 − 3 x )
(1
−
3
x
)
dx
=
(1
−
3
x
)
=
−
(1 − 3 x)3 d (1 − 3 x)
nên ∫
∫
∫
−3
30
0
0
Ta có d (1 − 3x ) = −3dx ⇒ dx = −
(tra bảng ∫ uα du =
4
1 ( 1 − 3x )
=−
3 4
uα +1
+C )
α +1
1
4
=−
( 1 − 3.2 ) − (1 − 3.0)4 = −52 .
3.4
0
2
II.3.2. Phương pháp đổi biến, nhờ sử dụng bảng các vi phân, nhớ kèm
đổi cận
Ngoài cách đổi biến nhờ vào bảng các vi phân, chú ý 2 cách đổi biến sau đây:
β
dx
1 β dx
b
dx
=
π π
∫
, đặt x = tgt, với t ∈ (− ; ) → α∫ a 2 + x 2 a α∫
2
1 + ( x )2 ,
2 2
a 1+ x
a
x
π π
đặt = tgt với t∈ (− ; ) .
a
2 2
1
a
a
a >0
π π
x
∫ 1− x 2 dx , đặt x = sint, với t ∈ [− ; ] → ∫ a 2 − x 2 dx = a ∫ 1 − ( ) 2 dx
2 2
0
a
0
0
x
π π
, đặt = sint, với t∈ [− ; ] .
a
2 2
2
1
Ví dụ 1: Tính I = ∫ ( 2 x − 3) e
(
x2 −3 x + 2
dx
)
0
Do d x − 3x + 2 = (2x − 3) dx
2
Đặ
t t = x2 − 3x + 2 ⇒ dt = ( 2x − 3) dx
x = 1⇒ t = 0
Khi
x = 0 ⇒ t = 2
0
2
(
⇒ I = ∫ e dt = − ∫ etdt tra baû
ng ∫ eudu = eu + C
t
2
2
(
0
)
= − et = − e2 − Trịnh
e0 =Thị
1− Kim
e2. Phượng
0
)
13
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
dx
∫0 (1 + x 2 )2
1
Ví dụ 2: Tính
Đặ
t x = tgt ⇒ d(x) =
dt
= (1+ tg2t)dt
2
cos t
π
x =1⇒t =
Khi
4
x = 0 ⇒t = 0
π
4
π
4
π
4
(1+ tg t)dt
1
2
=
dt
=
cos
t dt
∫
∫
2 2
2
(1
+
tg
t)
1
+
tg
t
0
0
0
2
Do đóI = ∫
π
π4
4
1
1
= ∫ (1+cos2t) dt = ∫ dt+∫ cos2t dt
20
2 0
0
π
π4
tra baû
4
ng ∫ du = u + C,
1
d(2t)
÷
= ∫ dt+∫ cos2t
cosudu = sinu + C ÷
2 0
2
0
∫
π
1 π 1 2π
1 π4 1
= t 0 + sin2t 04 = + sin − sin2.0÷
2
2
4
2 4 2
1 π 1 π 1
= + = + .
2 4 2 8 4
π
4
II.3.3. Phương pháp tích phân từng phần:
b
∫ udv = uv
a
b
a
b
b
− ∫ vdu , với tích phân sau ∫ vdu phải tính dễ hơn tích phân trước
a
a
b
Chứng minh:
∫ udv = uv
a
b
a
b
− ∫ vdu
a
Trịnh Thị Kim Phượng
14
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
/
Ta coù
: uv = u/ v + uv/
b
b
(
b
)
b
⇒ ∫ ( uv) dx = ∫ u v + uv dx = ∫ u vdx + ∫ uv/ dx
/
a
a
b
/
b
/
/
a
a
b
⇒ ∫ uv dx = ∫ ( uv) dx − ∫ u/ vdx
/
/
a
a
b
b
a
b
⇒ ∫ udv = uv a − ∫ vdu
a
a
( điều phảichứng minh)
Các dạng sử dụng tích phân từng phần:
b
∫ p( x).cos mxdx , ∫ p( x).sin mxdx , ∫ p ( x ).e
a
a
b
∫ p( x).
a
b
b
mx
dx ,
a
1
1
dx
p
(
x
).
dx , với p(x) là đa thức, đều đặt u = p(x), suy
,
∫a
cos 2 x
sin 2 x
b
ra
du = p’(x)dx nhằm hạ bậc được đa thức, dv là nhân tử còn lại.
b
1
∫ p ( x).ln xdx , đặt u = lnx, suy ra du = dx nhằm mất ln, dv là nhân
x
a
tử còn lại, (trong bảng ngun hàm, khơng có hàm số nào dưới dấu tích phân có
chứa ln cả).
π
2
b
Ví dụ 1: I = x2 sinxdx (códạng P(x).sinxdx)
∫
0
∫
a
Trịnh Thị Kim Phượng
15
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
u = x2 ⇒ du = 2xdx
Đặ
t
dv = sinxdx ⇒ v = − cosx
π
2
π
2
⇒ I = − x2 cosx + 2∫ xcosxdx
0
0
π
π
2
2
π 2
π
2
= − ÷ cos − 0 cos0÷+ 2∫ xcosxdx = 2∫ xcosxdx
2
÷ 0
2
0
u1 = x ⇒ du1 = dx
Đặ
t
dv1 = cosxdx ⇒ v1 = − sinx
π
2
π
π
π
⇒ I = 2xsinx − 2∫ sinxdx = 2 sin − 0sin0÷+ 2cosx 02
2
2
0
π
2
0
π
= π + 2 cos − cos0÷ = π − 2.
2
3
Ví dụ 2: Tính
I = ∫ 4xlnxdx
1
1
u = lnx ⇒ du = dx
Đặ
t
x
dv = 4xdx ⇒ v = 2x2
π
2
(
)
3
1
⇒ I = − lnx.2x − 2∫ x dx = −2 32.ln3− 12.ln1 − 2∫ xdx
1
x
0
1
2
3
2
x2
ng ∫ xdx =
+ C÷
tra bả
2
3
x2
= −18ln3− 2.
= −18ln3− 32 − 12 = −18ln3− 8.
21
(
Trịnh Thị Kim Phượng
)
16
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
b
P(x)
dx
Q(x)
a
II.3.4. Tích phân hữu tỉ: I = ∫
P(x)
1 1
1
1
có 1 trong các dạng , n = x− n ,
, n = u− n thì áp
Q(x)
x x
kx + b u
dụng bảng ngun hàm để tính.
II.3.4.1. Nếu
P(x)
chưa có dạng nói trên (II.3.4.1) và bậc của P(x) < bậc
Q(x)
của Q(x) thì tiến hành các bước sau:
Bước 1: Phân tích mẫu số Q(x) về dạng tích số.
Bước 2:
P(x)
•
Phân tích
về dạng tổng.
Q(x)
II.3.4.2. Nếu
Dạng 1:
P(x)
A
B
C
=
+
+
...
+
(x − x0 )n x − x0 (x − x0 )2
(x − x0 )n
3x2 − 5x + 2
A
B
C
=
+
+
Ví dụ:
x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3
(x − 1)3
Dạng 2:
P(x)
A
B
C
=
+
+
+ ...
(x − x1)(x − x2 )(x − x3)... x − x1 x − x2 x − x3
2x2 − x
A
B
C
=
+
+
Ví dụ:
(x − 1)(x + 3)(x + 8) x − 1 x + 3 x + 8
Tổng quát:
P(x)
A
B
C
=
+
+ ... +
2
(x − x0 ) (x − x1)(x − x2)... x − x0 (x − x0)
(x − x0 )n
n
+
D
E
+
+ ...
x − x1 x − x2
x3
A
B
C
D
=
+
+
+
Ví dụ:
(x + 2)2(x − 1)(x + 3) x + 2 (x + 2)2 x − 1 x + 3
• Tính các hệ số A, B, C, …
Tính bằng cách dùng phương pháp đồng nhất các hệ số cùng bậc.
Trịnh Thị Kim Phượng
17
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2x2 − 9x + 10 2x2 − 9x + 10
=
Ví dụ: 2
x − 3x + 2 (x − 1)2(x + 2)
2x2 − 9x + 10
A
B
C
⇔
=
+
+
2
2
(x − 1) (x + 2) x − 1 (x − 1) x + 2
⇔ 2x2 − 9x + 10 = A(x − 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x − 1)2
⇔ 2x2 − 9x + 10 = (A + C)x2 + (A + B − 2C)x − 2A + 2B + C
A = −2
A +C=2
⇔ A + B − 2C = −9 ⇔ B = 1
−2A + 2B + C = 10 C = 4
Bước 3: Áp dụng tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng hai tích phân
có cùng cận rồi áp dụng bảng cơng thức nguyên hàm để tính.
S(x)
Chú ý: Nếu gặp hàm số hữu tỉ y =
mà bậc của S(x) ≥ bậc của Q(x)
Q(x)
thì ta phải thực hiện phép chia đa thức để biến đổi hàm số y về dạng
P(x)
y = T(x) +
(trong đó bậc của P(x) < bậc của Q(x) rồi tiếp tục làm như đã
Q(x)
nói ở mục II.3.4.2 trên).
3x4 − x3 − 7x2 + 8
Ví dụ: y =
x3 − 3x + 2
Thực hiện phép chia đa thức, ta có:
2x2 − 9x + 10
y = 3x − 1+ 3
x − 3x + 2
2
1
4
⇔ y = 3x − 1−
+
+
x − 1 (x − 1)2 x + 2
(do maã
u x3 − 3x + 2 = (x − 1)2(x + 2))
Đặc biệt:
b
a. Dạng
f (x)
∫ g(x)dx
a
ln g ( x) .
với f(x) = g’(x) → đặt u = g(x), nguyên hàm là
1
1
m(x − a) + n (x − b)
dx
→
=
k
,
∫α (x − a)(x − b)
(x − a)(x − b)
(x − a)(x − b)
β
b. Dạng cơ bản 1:
cần tìm hai số thực m, n để mất x ở tử, sau đó tìm số thực k để cân bằng hai vế
Trịnh Thị Kim Phượng
18
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
β
1
dx .
α x −a
β
dx
π π
; )→
c. Dạng cơ bản 2: ∫
2 , đặt x = tgt, với t ∈ ( −
1+ x
2 2
α
→ tổng các tích phân có dạng ∫
β
dx
1
=
2
2
∫α a + x a 2
β
dx
∫α x 2 , đặt x = tgt với t ∈ (− π , π ) .
1+ ( )
a
2 2
a
β
1
dx, f (x) = ax 2 + bx + c, ∆ > 0 , phân tích mẫu
d. Dạng ∫
f (x)
α
ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2) → dạng cơ bản 1.
β
1
dx,f (x) = ax 2 + bx + c, ∆ < 0 , phân tích mẫu ax2 + bx + c
e. Dạng ∫
f (x)
α
b
b
về dạng a [x2 + b’x + c’] → dạng cơ bản 2 nhờ x 2 + bx = ( x + ) 2 − ( ) 2 .
2
2
β
1
dx,f (x) = ax 2 + bx + c, ∆ = 0 , phân tích mẫu ax2 + bx + c
f. Dạng ∫
f (x)
α
β
về dạng a(x + b’) → dạng
2
1
∫α u 2 du .
1
Ví dụ 1: Tính I =
2x + 6
∫0 x2 − 2x − 3 dx
Giải
Ta có: x2 − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3)
Trịnh Thị Kim Phượng
19
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2x + 6
2x + 6
A
B
=
=
+
x − 2x − 3 (x + 1)(x − 3) x + 1 x − 3
2x + 6
A(x − 3) + B(x + 1) (A + B)x − 3A + B
⇒ 2
=
=
(x + 1)(x − 3)
(x + 1)(x − 3)
x − 2x − 3
⇒ 2x + 6 = (A + B)x − 3A + B
⇒
2
A+B=2
A = −1
⇔
⇔
B − 3A = 6 B = 3
2x + 6
−1
3
⇒ 2
=
+
x − 2x − 3 x + 1 x − 3
1
−1
3
⇒ I = ∫
+
÷dx
x
+
1
x
−
3
0
1
1
1
1
−1
3
1
1
= ∫
dx
+
dx
=
−
dx
+
3
dx
÷
÷
∫
∫
∫
x
+
1
x
−
3
x
+
1
x
−
3
0
0
0
0
1
1
1
1
= −∫
d(x + 1) + 3∫
d(x − 3)
x
+
1
x
−
3
0
0
d(x + 1) = dx
do
÷
d(x
−
3)
=
dx
÷
÷
du
Tra bả
ng nguyê
n hà
m∫
= ln u + C ÷
u
1
1
0
0
= − ln x + 1 + 3ln x − 3
= −(ln2 − ln1) + 3(ln2 − ln3) = 2ln2 − 3ln3.
2
2x2 − x − 1
dx
Ví dụ 2: Tính A = ∫
x
+
1
0
Giải
Ta có: 2x2 − x − 1= (2x − 3)(x + 1) + 2
nên
Trịnh Thị Kim Phượng
20
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2
1
1
1
2
2
A = ∫ 2x − 3+
dx
÷dx = ∫ 2xdx + ∫ −3dx + ∫
x
+
1
x
+
1
0
0
0
0
1
1
1
1
= 2∫ xdx − 3∫ dx + 2∫
dx
x
+
1
0
0
0
do d(x+1)=dx
d(x + 1)
÷
= 2∫ xdx − 3∫ dx + 2∫
du
x + 1 tra bả
ng ∫
= ln u + C ÷
÷
0
0
0
u
1
1
1
2
2
2
x2
=2
− 3x 0 + 2ln x + 1
0
20
2
= 22 − 02 − 3(2 − 0) + 2ln x + 1 = −2 + 2ln3.
0
0
Ví dụ 3: Tính B =
1+ 3x
∫−1 2− x dx
Giải
1+ 3x
7
= −3+
2− x
2− x
0
0
0
0
0
7
7
1
⇒ B = ∫ −3 +
dx = −3∫ dx + 7∫
dx
÷dx = ∫ (−3)dx + ∫
2
−
x
2
−
x
2
−
x
−1
−1
−1
−1
−1
Ta có
:
d(2 − x)
do
d(2
−
x)
=
−
dx
⇒
dx
=
÷
1 d(2 − x)
−
1
÷
= −3∫ dx + 7∫
2
−
x
−
1
du
÷
−1
−1
ng ∫
= ln u + C
tra bả
÷
u
0
0
0
= −3x −1 − 7ln 2 − x
0
−1
= −3− 7( ln2 − ln3) = 7( ln3− ln2) − 3.
Ví dụ 4: Tính I =
(
= −3( 0 − (−1)) − 7 ln 2 − 0 − ln 2 − (−1)
)
1
2
1
∫0 x2 − 1dx
Giải
Trịnh Thị Kim Phượng
21
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta có:
1
1
A
B
=
=
+
x2 − 1 (x − 1)(x + 1) x − 1 x + 1
A(x + 1) + B(x − 1) x(A + B) + A − B
=
=
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1)
1
A
=
A + B = 0
2
⇒
⇔
A − B = 1 B = − 1
2
⇒
1
1 1
1
=
−
x2 − 1 2 x − 1 x + 1
1
12
2
1
1
1
1 1
1
⇒I = ∫
−
dx = ∫
dx − ∫
dx
2 0 x − 1 x + 1
2 0 x −1
x+1
0
1
12
do d(x − 1) = dx vaød(x + 1) = dx
2
1 d(x − 1)
d(x + 1)
÷
= ∫
−∫
du
÷
2 0 x −1 0 x + 1
tra baû
ng ∫
= ln u + C
÷
u
1
1
1
2
= ln x − 1 − ln x + 1 2
0
0
2
1
1 1
= ln − 1 − ln 0− 1 ÷− ln + 1 − ln 0 + 1 ÷
2 2
2
1 1
3
1
= ln − ln = − ln3.
2 2
2
2
1
2
Ví dụ 5: Tính I =
12
2x + 1
∫10 x2 + x − 2 dx
Giải
Ta có: d(x2 + x − 2) = (2x + 1)dx
12
d(x2 + x − 2)
du
⇒I= ∫ 2
tra
bả
n
g
=
ln
u
+
C
÷
∫u
10 x + x − 2
Trịnh Thị Kim Phượng
22
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
= ln x2 + x − 2
12
10
= ln122 + 12 − 2 − ln102 + 10 − 2
= ln154 − ln108 = ln
Ví dụ 6: Tính I =
154
77
= ln = ln77− ln54.
108
54
0
dx
∫ 2
−1 x + 2x + 5
Giải
Nhận xét: f(x) = x + 2x + 5 coù∆ = 42 − 15 = −1< 0
2
(
)
(
2
)
2
Ta có: x2 + 2x + 5 = x + 1 − 12 + 5 = x + 1 + 4
1
1
π
dx
⇒I= ∫
=
2
4 −∫1 x + 12
−1 ( x + 1) + 4
2 ÷ +1
x+1
dx
Đặ
t
= tgt ⇒
= 1+ tg2t dt ⇒ dx = 2 1+ tg2t dt
2
2
π
x = 1⇒ tgt = 1⇒ t =
Khi
4
x = −1⇒ tgt = 0 ⇒ t = 0
dx
(
π
4
)
(
)
π
4
π
1 2(1+ tg t)dt 1
1 π4 1 π
⇒I= ∫
= ∫ 2dt = t 0 = − 0 = .
2
4 0 tg t + 1
40
2
24 8
2
II.4. Ứng dụng của tích phân
II.4.1. Tính diện tích
II.4.1.1. S là hình thang cong: có 2 đáy song song là 2 đường thẳng x = a,
x = b, b ≥ a,
2 đáy cong là 2 đồ thị y = f(x), y = g(x), có diện
y
tích cũng đặt là S, thì
y = f(x)
b
O a
S
b
y = g(x)
x
S = ∫ f (x) −g(x) dx
a
yêu cầu: diện tích S ≥ 0
Trịnh Thị Kim Phượng
23
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
II.4.1.2. Chú ý 1: không thể tra bảng nguyên hàm khi còn trị tuyệt đối cho
hàm số dưới dấu tích phân, phải xóa dấu trị tuyệt đổi hoặc biến đổi sau cho tra
được bảng nguyên hàm để tính được tích phân.
Có các cách xố trị tuyệt đối như sau: (dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối
a neáu a ≥ 0
a=
)
−
a
neá
u
a
<
0
Cách 1: Xét dấu biểu thức f(x) - g(x), trong miền a ≤ x ≤ b.
Cách 2: Dựa vào tính chất: (khơng được SGK giới thiệu)
Nếu ở bên trong miền giữa 2 đường thẳng x = a, x = b, 2 đường cong
y = f(x), y = g(x) khơng có giao điểm nào, thì đưa được ttrị tuyệt đối ra ngồi
b
dấu tích phân: S =
∫
f ( x ) − g ( x ) dx =
b
∫ ( f ( x) − g ( x))dx
(tính tích phân
a
a
trước rồi lấy trị tuyệt đối sau).
b
Cách 3: Vẽ hình miền tính diện tích → S =
∫
f ( x) − g ( x ) dx → nhìn vào
a
hình vẽ xố trị tuyệt đối:
f (x) − g(x) nếu đồthị y = f (x) trên đồthịy = g(x)
f (x) − g(x) =
g(x) − f (x) nếu đồthị y = g(x) trên đồthịy = f (x)
(do a − b = số lớn hơn trừ số nhỏ hơn)
II.4.1.3. Chú ý 2:
1. Miền S giới hạn không đủ 4 đường: x = a, x = b, y = f(x), y = g(x),
chưa thể đưa ra cơng thức tích phân.
2. Miền S giới hạn bởi 3 đường: x = a, y = f(x), y = g(x) → Tìm phương
trình hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) và giải → vẽ hình miền S → cắt S làm vài
b
hình thang cong → S bằng tổng các tích phân có dạng
∫
f ( x) − g ( x) dx , →
a
nhìn hình vẽ xố từng trị tuyệt đối.
3. Miền S giới hạn bởi 2 đường: y = f(x), y = g(x) → Tìm phương trình
hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) và giải → vẽ hình miền S → cắt S làm vài hình
b
thang cong → S bằng tổng các tích phân có dạng
∫
f ( x) − g ( x) dx , → nhìn
a
hình vẽ xố từng trị tuyệt đối.
Trịnh Thị Kim Phượng
24
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
4. Miền S giới hạn bởi 3 đường: y = f(x), y = g(x), y = h(x), hay nhiều
đường → vẽ hình miền S → tìm các giao điểm khi có nhu cầu → cắt S làm vài
b
∫
hình thang cong → S bằng tổng các tích phân có dạng
f ( x) − g ( x) dx ,
a
→ nhìn hình vẽ xố từng trị tuyệt đối.
II.1.4. Chú ý 3: S là hình thang cong: có 2 đáy song song là 2 đường
thẳng y = c, y = d,
2 đáy cong là 2 đồ thị x = f(y), x = g(y), d >
x = f(y)
x = g(y)
c ,có diện tích cũng đặt là S, thì
d
d
S = ∫ f (y) − g(y) dy
S
c
c
(xem y là biến số, x là hàm số )
O
Ví dụ 1: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
x = 0, x = 1, y = x −1, y = 3x 2 + 9 là
1
1
S = ∫ (3x − 9) − (x −1) dx = ∫ 3x 2 − x +10dx
2
0
0
Xét dấu 3x − x +10 trên [0; 1]
Ta có: ∆ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4.3.10 = −119 < 0
2
⇒ f(x) cuø
ng dấ
u vớ
i a ∀x ∈ R
màa = 3 > 0
⇒ f(x) > 0∀x ∈ R ⇒ f(x) > 0∀x ∈[0;1]
1
(
)
1
1
1
0
0
⇒ S = ∫ 3x − x + 10 dx = ∫ 3x dx + ∫ −xdx + ∫10dx
0
2
1
1
2
0
1
1
1
1
x3
x2
= 3∫ x dx − ∫ xdx + 10∫ dx = 3
−
+ 10x
0
30 2 0
0
0
0
2
= 1−
1
21
+ 10 =
(đơn vịdiệ
n tích).
2
2
Trịnh Thị Kim Phượng
25
