Các phương pháp tính tích phân và những sai lầm thường gặp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.01 MB, 35 trang )
tai lieu, document1 of 66.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG XN HỊA
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
VÀ NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Tác giả sáng kiến: HÀ THỊ THANH
Mã sáng kiến
: 37.52.03
Vĩnh Phúc, năm 2020
luan van, khoa luan 1 of 66.
tai lieu, document2 of 66.
SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC
Đơn vị: Trường THPT Xuân Hòa
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
PHIẾU ĐĂNG KÝ VIẾT SÁNG KIẾN
CẤP: CƠ SỞ: x ; TỈNH: .
I. Thông tin về tác giả đăng ký sáng kiến
1. Họ và tên: HÀ THỊ THANH
2. Ngày sinh: 22/06/1978
3. Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Hòa-Phúc Yên- Vĩnh Phúc
4. Chuyên môn: TOÁN-TIN
5. Nhiệm vụ được phân công trong năm học: Chủ nhiệm 12A2.
Giảng dạy môn Toán, Tin lớp 12A2, 12A3
II. Thông tin về sáng kiến
1. Tên sáng kiến: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ
NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP
2. Cấp học: THPT
3. Mã lĩnh vực (Theo danh mục tại Phụ lục 3): 37.52.03
4. Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 1/2019 đến tháng 2/2020.
5. Địa điểm nghiên cứu: Trường THPT Xuân Hòa.
6. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12A2, 12A3 trường THPT Xuân
Hòa.
Ngày tháng
năm 20.....
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu)
Ngày tháng
năm 20.....
TỔ TRƯỞNG/NHĨM
TRƯỞNG CHUN MƠN
(Ký, ghi rõ họ tên)
Ngày tháng
năm 20.....
NGƯỜI ĐĂNG KÝ
(Ký, ghi rõ họ tên)
Hà Thị Thanh
luan van, khoa luan 2 of 66.
tai lieu, document3 of 66.
MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu .................................................................................................... 1
2. Tên sáng kiến ................................................................................................... 2
3. Tác giả sáng kiến ............................................................................................. 2
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến ........................................................................... 2
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến .......................................................................... 2
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử ........................... 2
7. Bản chất của sáng kiến ................................................................................... 2
Thứ nhất: Về nội dung ......................................................................................... 2
VẤN ĐỀ I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ..................................... 2
PHẦN I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ ....................................................................... 2
PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH ................................................... 4
PHẦN III: KIẾN THỨC MỞ RỘNG ................................................................. 12
PHẦN IV: CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐH 2002-2015 .. 16
VẤN ĐỀ II: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN 18
Thứ hai: Về khả năng áp dụng của sáng kiến ................................................. 29
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có) .............................................. 30
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến …. ...................................... 30
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến ...................................................................................................................... 30
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu (nếu có)....................................................................... 31
luan van, khoa luan 3 of 66.
tai lieu, document4 of 66.
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong nhà trường phổ thông, mơn Tốn có vai trị, vị trí và ý nghĩa quan
trọng. Đặc biệt mơn Tốn có vai trị quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu
chung của giáo dục phổ thơng, mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách học
sinh. Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹ
năng Toán học cần thiết, mơn Tốn cịn có tác dụng góp phần phát triển năng
lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hố, khái qt hố... Rèn
lụn những đức tính, phẩm chất của con người lao động mới như tính cẩn thận,
chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ.
Nhiệm vụ của dạy học mơn Tốn là: trang bị tri thức cơ bản cần thiết cho
học sinh, rèn luyện kỹ năng Toán học và kỹ năng vận dụng Toán học vào thực
tiễn, phát triển trí tuệ cho học sinh, bồi dưỡng những phẩm chất đạo đức tốt đẹp
cho học sinh, đảm bảo trình độ phổ thông, đồng thời chú trọng bồi dưỡng những
học sinh có năng khiếu về Tốn.
Trong chương trình toán học phổ thơng, mạch kiến thức về ngun hàm,
tích phân đóng một vai trị vơ cùng quan trọng. Nó khơng chỉ liên quan đến các
phần khác của toán học mà còn liên quan đến các môn học khác. Đây là những
phần kiến thức có ý nghĩa lớn trong việc phát triển các năng lực cho học sinh
trong đó có năng lực phân tích, tổng hợp. Trong các đề thi THPT Quốc Gia gần
đây luôn xuất hiện các câu về nguyên hàm và tích phân.
Mặc dù có nhiều tài liệu sách tham khảo viết về vấn đề nêu trên nhưng
hầu như chưa có sự phân tích tỉ mỉ hoặc các dạng toán đã trở nên quá quen thuộc
với học sinh. Việc hệ thống hóa về loại toán này cũng chưa thật kỹ. Do đó khi
vận dụng vào các bài thi học sinh thường lúng túng.
Chính vì những lý do trên nên mạch kiến thức về nguyên hàm, tích phân
cần phải được chuẩn hóa. Và do đó tơi chọn nghiên cứu về vấn đề này. Trong
khn khổ của sáng kiến, tơi sẽ trình bày các kiến thức về nguyên hàm và tích
phân mang tính cập nhật nhất, phù hợp với các bài thi hiện nay giúp cho học
sinh rèn luyện năng lực phân tích, tổng hợp trên cơ sở đó hình thành và phát
triển các năng lực chung như: tự học, giải quyết vấn đề, tư duy sáng tạo, bám sát
luan van, khoa luan 4 of 66.
1
tai lieu, document5 of 66.
chương trình và nội dung kiến thức cơ bản của hai bộ sách giáo khoa và nội
dung thường gặp trong các đề thi quốc gia.
2. Tên sáng kiến:
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG SAI LẦM
THƯỜNG GẶP
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Hà Thị Thanh
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên Toán trường THPT Xuân Hòa
- Số điện thoại: 0974673955
- E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: (Nêu rõ lĩnh vực có thể áp dụng sáng kiến và
vấn đề mà sáng kiến giải qút)
Do khn khổ và thời gian có hạn, với điều kiện thực tế của người thực hiện
đề tài, tôi chỉ mới dừng lại nghiên cứu và hệ thống các phương pháp tính tích
phân và những sai lầm mà học sinh dễ mắc trong quá trình làm bài tập.
- Sáng kiến tập trung nghiên cứu các phương pháp tính tích phân và những
sai lầm mà học sinh dễ mắc được áp dụng cho hai lớp 12A2 và 12A3 trường
THPT Xuân Hòa.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Học kì 1 năm học 2019 -2020.
7. Bản chất của sáng kiến:
Thứ nhất: Về nội dung
VẤN ĐỀ I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHẦN I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1) Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K, a,b là hai số bất kỳ thuộc K, nếu
F là một nguyên hàm của f trên K thì F b F a được gọi là tích phân
b
của f từ a đến b và kí hiệu là
f x dx .
a
luan van, khoa luan 5 of 66.
2
tai lieu, document6 of 66.
b
Trong trường hợp a b thì f x dx được gọi là tích phân của f trên a; b
a
b
Như vậy :
f x dx F x a F b F a trong đó F là một nguyên
b
a
hàm của f trên K
Từ ĐN ta thấy bài tốn tính tích phân thực chất là bài tốn tìm ngun
hàm sau đó thay cận vào.
2) Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị không âm trên a; b , khi đó
diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục
b
hoành và hai đường thẳng x=a, x=b là S f x dx
a
3) Các tính chất của tích phân: Giả sử f , g là hai hàm số liên tục trên K và a,b,c
là ba số thực tùy ý thuộc K. Ta có:
a
1) f x dx 0
a
b
a
a
b
2) f x dx f x dx
b
c
c
a
b
a
3) f x dx f x dx f x dx
b
b
b
a
a
4) ( f x g x )dx f x dx g x dx
a
b
b
a
a
5) kf x dx k f x dx, k ¡
4) Các phương pháp tính tích phân:
Phương pháp 1: Tìm bằng định nghĩa.
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích phân (đưa tích phân cần tìm
về tổng, hiệu của những tích phân đã tính được)
Phương pháp 3: Phương pháp đổi biến số
Phương pháp 4: Phương pháp tích phân htừng phần.
luan van, khoa luan 6 of 66.
3
tai lieu, document7 of 66.
PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
1. Phương pháp 1: Tìm bằng định nghĩa.
Ví dụ 1: Tìm
1
(e
x
1)dx .
0
Lời giải: Ta có (e x 1)dx e x x C
1
Vậy (e x 1) dx e x x e 1 1 e
1
0
0
0
Ví dụ 2: Tính 2015 x3 x dx
1
3
Lời giải: Ta có
x
x4 x2
3
2015x 3 dx 2015 4 6 C
x
x4 x2
2015 x3 dx 2015
3
4 6
1
0
0
1
2015 1
6043
4
6
12
Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp này thì bài toán tính tích phân chính là bài
tốn tìm ngun hàm chỉ thêm một bước là thế cận để ra kết quả.
2. Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích phân (đưa tích phân cần tìm về
tổng, hiệu của những tích phân đã tính được)
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
2
a)
x
2
3x
4
dx
b)
1
4
4
c)
2
x 1 dx
x 2 dx
1
1
Lời giải:
2
2
3
3
a) x 3x dx x dx 3x dx x 3 x 8 1 1 1 35
24
3 1 3 1 3 3 8
1
1
1
2
2
4
b)
2
4
2
4
2
4
2
4
4
1
2
4
x 1 dx x 2 x 1 dx xdx 2 x dx dx
1
1
1
1
1
2 4
x
2
4
1
3 4
2
x
3
x 1
4
7
6
1
c)
4
2
1
1
4
2
4
1
2
x 2 dx x 2 dx x 2 dx 2 x dx x 2 dx
x2
2x
2
luan van, khoa luan 7 of 66.
2
2
x2
2x
2
1
4
2
5
2
4
tai lieu, document8 of 66.
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau
1
1)
x3 x 2 x
2)
dx
x
1
3
x x 1 dx
3
0
5)
16
2
6)
1 x dx
3) ln x dx
4)
cos x dx
0
1
e
2
5
7) x 2 1 dx
dx
x9 x
0
0
e
4
x
3. Phương pháp 3: Phương pháp đổi biến số
Loại 1: Đặt u t
b
Cần tìm
I f (u (x ))u '(x )dx
a
B1: Đặt t u(x ) dtu b u '(x )dx , đổi cận x a t u a ; x b t u b
I
B2: Ta có
f (t )dt
u a
Như vậy cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số, cơ bản sẽ
giống hệt như bài tốn tìm ngun hàm bằng phương pháp đổi biến số, chỉ
khác là ta cần đổi cận. Vì thế các kinh nghiệm đã biết ở phần tìm nguyên hàm
bằng phương pháp đổi biến số vẫn tiếp tục được vận dụng.
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
1
2
a) x 1 x dx
b)
5
1
1
2x 1
x2 x 1
2
c)
dx
1
1 x2
dx
x4
2
Lời giải: a) x 1 x 5 dx I
1
Đặt u 1 x du dx
Đổi cận : x 1 u 0; x 2 u 1
1
1
7
6
Ta có I 1 u u du u u du u u
7 6
0
0
5
6
1
5
0
13
42
Như vậy ta vẫn sử dụng kinh nghiệm: có lũy thừa đặt u= cơ số như ở
bài tập tìm nguyên hàm. Theo tư duy này ta có thể làm tiếp b, c một cách đơn
giản như sau:
1
b)
1
2x 1
x2 x 1
dx
luan van, khoa luan 8 of 66.
(Có dạng phân thức hoặc chứa căn)
5
tai lieu, document9 of 66.
Đặt u x 2 x 1 u 2 x 2 x 1 2udu 2 x 1 dx
Đổi cận : x 1 u 1; x 1 u 3
3
3
Ta có I 2udu 2du 2u
1
1
2 32
1
1 x
dx . Trên 1;2, x 0 nên
x4
2
2
c)
u
3
1
Đặt u
2
1
1 x
dx
x4
1
2
2
1
1
2
x2
dx ( Chứa f x )
3
x
1
1
du 2 dx
x
x
Đổi cận: x 1 u 1; x 2 u 1
2
Ta có
3
2
2
1
u
1
1
1
2
2
2
2
I u u 1du u 1 d u 1
3
21
1
2
2
1
2
1
2
1/ 2
1
5 52 2
3
1
Loại 2: Đặt x=u(t)
b
f x dx
Cần tính
a
Với điều kiện f x liên tục trên [a;b], u t có đạo hàm liên tục trên ; sao
cho u a; u b và a u t b; t ;
B1: Đặt x u t . Chọn miền D sao cho t D; x a; b dx u ' t dt
B2: Từ phương trình x u t ,
đổi cận: x=a a u t , t D t ; x=b b u t , t D t
b
a
f x dx f u t u 't dt
B3:
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:
a)
1
b) 1 2 dx
1 x
0
1
1 x dx
2
0
1
c)
0
dx
4 x2
1
d) 1 x 2 dx
0
Lời giải
a)
1
1 x 2 dx
0
Đặt x sin t , t ; dx cos tdt ;
2 2
luan van, khoa luan 9 of 66.
6
tai lieu, document10 of 66.
Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t
1
1
b)
2
1 x 2 dx
0
0
1
1 x
2
2
2
1 cos2t
1 1
2
1 sin 2 t cos tdt cos 2 tdt
dt t sin 2t
2
2 4
0 4
0
0
dx
2
0
Đặt x tan t , t ; dx 1 2 dt ;
2 2
cos t
Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t
4
4
4
1
1
4
dx
dt
dt
t
0 1 x2 0 cos2t 1 tan 2 t 0
0
4
1
c)
1
0
dx
4 x2
Đặt x 2sin t , t ; dx cos tdt ;
2 2
Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t
6
1
dx
4 x2
0
d)
6
0
6
6
cos t
1
1 6
dt
dt dt t
2
2 cost
2
2 0 12
4 - 4sin t
0
0
cos t
1
1 x 2 dx
0
Đặt x tan t , t ; dx 1 2 dt ;
2 2
cos t
Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t
1
0
4
1 x 2 dx 1 tan 2 t
0
4
4
4
4
d sin t
1
1
1
1
dt
dt
dt
0 cos t cos t 0 cos3 t 0 1 sin 2 t 2
cos 2 t
Đặt u sin t du cos tdt
Đổi cận: t 0 u 0; t u 2
4
4
0
d sin t
1 sin t
2
2
2
2
0
du
1 u
2 2
luan van, khoa luan 10 of 66.
2
2
2
1
1
1
1
2 1
0 u 12 u 1 u 12 u 1 du 2 2 ln 1 2
7
tai lieu, document11 of 66.
Ghi nhớ:
1) Có a 2 x 2 đặt x a cos t; t 0; hoặc x a sin t; t ;
2 2
2) Có a 2 x 2 đặt x a tan t ; t ; hoặc x a cot t; t 0; .
2 2
3) Có x2 a 2 đặt x a ; t 0; ; Hoặc x a ; t ;0 0;
cost
x a b x
dx
6) Có
2
sint
2
2
dx
5) Có
2
đặt x a cos 2u,0 u
ax
ax
4) Có
2
ax b
2
c
0 a b đặt
,c 0
x a b a sin 2 u;0 u
2
đặt ax b c tan t ; t ;
2 2
Bài tập tự luyện
1) Tính các tích phân sau:
1
a) 3 x 1dx
b)
0
2
c)
x
1 1 x 1 dx
A 04
ln 5 x
x
e) e x e 1dx
0
e 3
ex
0 1 e x dx
x2
0 x 1 x 1 dx
7
d)
2
2 3
f)
5
x3
x2 2
1
x x2 4
dx
dx
A 03
2
1
g)
3
h)
3
1 2 x dx
1
2) Tính các tích phân sau:
a)
2
2
sin
3
x cos xdx
b) sin 2 x cos4 xdx
0
0
2
2
c) sin x cos 4 xdx
1
0
2 sin x dx
4
2
d)
0
1
e)
dx
2
2
2
c
os
x
sin
x
0
f)
0
2
g) cos x sin x dx
0
2 sin 2 x
luan van, khoa luan 11 of 66.
cos x
1 sin x dx
h)
/3
4
sin 2 x
dx
cos6 x
8
tai lieu, document12 of 66.
2
2
sin x
1 3cos x dx
i)
l)
0
2
12
1
p)
1 cos3 x sin x cos5 xdx
1
dx
cos 3x 1 tan 3x
o)
2
0
0
3
6
0
4sin x 3cos x 5 dx
m)
1
q)
sin 2 x dx
4
2
1
1 cos x dx
0
3) Tính các tích phân sau:
e / 2
1)
1
2)
3 ) (sin x cos x )sin 2 xdx
4)
6
1 x
0
/2
dx
;
2
/ 6 sin xcos x
8 ) sin5 xdx;
2
0
/3
cos 2 x
dx
4
4
/ 4 sin x cos x 1
2
e
10) dx2
9)
11 )
4 sin3 x
dx;
1 cos x
6)
dx
3
/4
7)
cot xdx;
/2
x2
1
0
0
3
dx
/4
6
0
( e x 1 )3
0
/4
5 )
ex
ln 2
cosln x
dx;
x
e
xln x
/4
x
dx;
2 x 2 x
12 ) (tan x e sin x cos x )dx
0
Phương pháp 4: Tích phân từng phần
b
Cần tìm
I
f (x )g(x )dx
a
Trong đó : f(x) dễ tìm đạo hàm cịn g(x) dễ tìm nguyên hàm
du f '(x )dx
u f (x )
B1: Đặt dv g(x )dx
v g(x )dx
của g(x))
(v là nguyên hàm đơn giản nhất
B2: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần
b
b
b
I udv uv a vdu
a
a
luan van, khoa luan 12 of 66.
9
tai lieu, document13 of 66.
Chú ý: Nguyên hàm sau phải dễ hơn hoặc “đồng dạng” với nguyên hàm
ban đầu.
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
2
1
e
b) x 1e dx
a) x sin xdx
ln x
c) 2 dx
x
1
x
0
0
e
d ) ln xdx
1
4
x
dx
1
c
os2x
0
e)
Lời giải:
a) Đặt u x
du dx
dv sin xdx v cos x
2
x sin xdx x cos x
2
2
cos xdx x cos x sin x
0
0
2
0
1
0
1
b) x 1e x dx
0
u x 1
du dx
Đặt
x
x
dv e dx
v e
1
Ta có
x 1e dx x 1 e
x
x1
0
1
e x dx x 1 e x e x e
0
e
ln x
dx
x2
1
c)
1
0
0
1
du dx
u ln x
x
Đặt
1
dv x 2 dx v 1
x
e
e
Ta có ln2x dx 1 ln x 12 dx 1 ln x 1 1 2
x
x 1
e
x
1 1 x
x
1
e
e
d ) ln xdx
1
1
u
ln
x
du
dx
Đặt
x
dv dx v x
e
Ta có
ln xdx x ln x
e
1
1
4
e
e
dx x ln x x 1 1
e
1
4
x
x
e)
dx
dx
1 cos2x
2cos 2 x
0
0
1
1
u 2 x
du dx
.Đặt
2
1
dv
dx v tan x
cos 2 x
Ta có
4
x
1
dx
2
0 2cos x 2 x tan x
luan van, khoa luan 13 of 66.
4
4
1
1
1
2
1
4
tan xdx x tan x ln cos x ln
2
2
2
0 4 2 2
0
0
10
tai lieu, document14 of 66.
Ví dụ 7: Tính các tích phân sau:
2
1
b) x 2 2 x sin xdx
a) e x sin xdx
0
0
x
Lời giải: Đặt u e
du e x dx
dv sin xdx v cos x
1
1
I e sin xdx e cos x e x cos xdx e x cos x J
x
1
x
0
0
1
0
0
Tìm J ?
du e x dx
dv cosxdx v sin x
Đặt u e
x
1
1
J e cos xdx e sin x e x sin xdx e x sin x I
x
1
x
0
0
1
0
0
Vậy:
1
I e x sin xdx e x cos x e x sin x I
1
1
0
0
0
2 I e x cos x e x sin x e cos1 1 e sin1 I
1
1
0
0
1
e cos1 1 e sin1
2
(phương pháp truy hồi)
2
b) x 2 2 x sin xdx
0
2
du 2 x 2 dx
Đặt u x 2 x
dv sin xdx
2
x
2
v cos x
2 x sin xdx x 2 2 x cos x
0
2
2
0
2 x 2 cos xdx
0
2
Tính 2 x 2 cos xdx : Đặt u 2 x 2 du 2dx
dv cos xdx
0
2
2 2 x cos xdx 2 2 x sin x
0
2
2
0
2sin xdx 2 2 x sin x 2cos x 2
0
0
2
Vậy:
v sin x
2
2
x 2 x sin xdx x 2 x cos x 0
2
0
luan van, khoa luan 14 of 66.
11
tai lieu, document15 of 66.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính các tích phân sau
2
a) 2 x 1 cos xdx
b) x3 sin xdx
0
0
1
1
d ) x ln 1 x 2 dx
c) x 2 ln xdx
0
0
Bài 2: Tính các tích phân sau
1
ln 2
a) ( x 1)e dx;
x
b)
0
0
c) x sin 3xdx ;
2 2x
x e dx;
0
2
e
5
e) 2 x 3 ln xdx
d) ( x 2 1)cos xdx;
0
f) ln( x 2 3 x 2) dx
1
3
1 2x
dx
3x
0 e
1
e
g) x 2 ln 2 xdx ;
1
ln x
dx;
5
e x
h)
1
2
i)
PHẦN III: KIẾN THỨC MỞ RỘNG
MỘT SỐ KỸ THUẬT CĨ TÍNH CHẤT MẸO KHI TÍNH TÍCH PHÂN
Kỹ thuật 1: Tích phân liên kết
Ví dụ 8: Tính
4
sin x
dx
sin
x
cos x
0
I
4
Lời giải: Để tính I ta liên kết với J
cos x
dx
sin x cos x
0
Ta có:
4
I J dx x 4
0
0
4
4
4
cos x sin x
d (sin x cos x)
dx
ln sin x cos x
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
0
0
J I
4
0
ln 2
Vậy 2 I (ln 2 ) I ( 1 ln 2 )
4
2
8
b
Kinh nghiệm: Cần tính
f x dx
trong một số bài tập cảm thấy không áp dụng
a
những phương pháp thường làm thì thử đặt x a b t xem có sử dụng được
tích phân liên kết không?
luan van, khoa luan 15 of 66.
12
tai lieu, document16 of 66.
Bài tập tự luyện:
2
1
0
1
1
5) x
1
dx ;
2
x
1 ( x 1)(4 1)
4)
7)
2
sin x
x dx
3 1
/ 2
10)
0
13)
0
x cos x
0 1 cos
sin 2017 x
dx
2017
x cos 2017 x
0 sin
11) x cos x . sin xdx
4
dx
3
x
6)
dx ;
x
4
9) ln(1 tan x)dx ;
0
3
1/ 2
12)
0
1/ 2
/ 4
/ 2
x 7 3x 5 1
14)
dx
2
cos
x
/ 4
dx
2
/ 2 4 sin x
3) x sin x dx ;
2
2
sin x
dx
cos x sin x
8)
;
5 cos x 4 sin x
/ 2
4
1 1 2
2
sin x cos x
3
2) ln( x x 2 1) dx ;
1
1) ( 3 cos x 3 sin x )dx ;
15)
/ 2
cos x ln
1x
dx ;
1x
e x cos 2x
ex 1
dx
16) Cho f(x) liên tục trên R và với mọi x thuộc R ta có f (x ) f ( x ) 2 2 cos x .
3 / 2
Tính I=
f (x )dx ;
3 / 2
17) Cho f(x) liên tục trên ( 2;2) và với mọi x thuộc ( 2;2) ta có
1
. Tính I= f (x )dx .
1
f (x ) f (1 x )
4x
2
0
Kỹ thuật 2: Tách tích phân cần tìm về tổng các tích phân có thể tính được
bằng phương pháp đồng nhất hệ số.
3
Ví dụ 9: Tính
dx
x 1 x 1
2
2
Lời giải: Ta có
1
A
B
C
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
B C x 2 A 2C x A B C
2
x 1 x 1
2
2
1
C
4
B C 0
1
A 2C 0 B
4
A C B 1
1
A 2
luan van, khoa luan 16 of 66.
13
tai lieu, document17 of 66.
Kỹ thuật 3: Tách tích phần thành hai phần sao cho khi TP từng phần của
phần thứ nhất thì phần thứ 2 sẽ khử được -vdu.
e x
2x
Ví dụ 10: Tính
2
4 x 1 dx
Lời giải : Bình thường ta phải tính Ngun hàm từng phần 2 lần, nhưng để ý:
du 2 xdx
u x 2
1 2 x vdu xe2 x dx để khử -vdu ta phải thêm bớt để tạo ra
2x
dv e dx v e
2
xe
2x
dx
Như sau:
e x
2x
2
4 x 1 dx e2 x x 2 3x x 1 dx e2 x x 2 3x dx e2 x x 1 dx
du 2 x 3 dx
2
u
x
3
x
1
3
Đặt
1 2x
e2 x x 2 3x dx x 2 3x e 2 x e 2 x x dx
2x
2
2
dv 2 dx
v e
2
1 2
3
x 3x e2 x e2 x x dx e2 x x 1 dx
2
2
1
1
1
1
x 2 3x e2 x e2 x dx x 2 3x e2 x e2 x C
2
2
2
4
e x
2x
2
4 x 1 dx
Tương tự ta xét ví dụ 11: Tính e x x3 4 x 2 1 dx
Lời giải : Ta có
e x
x
3
4 x 2 1 dx e x x3 x 2 2 x 3x 2 2 x 1 dx
e x x3 x 2 2 x dx (3x 2 2 x 1)e x dx
Ta đặt
u x3 x 2 2 x du 3x 2 2 x 2 dx
x
x
dv e dx
v e
e x
x
3
x 2 2 x dx x3 x 2 2 x e x e x 3x 2 2 x 2 dx
Suy ra e x x3 4 x 2 1 dx = x3 x2 2 x e x e x 3x 2 2 x 2 dx +
(3x
2
2 x 1)e x dx
= x3 x2 2 x e x 3e x dx x3 x 2 2 x e x 3e x C
Kỹ thuật 4: Thêm hằng số cho v khi tính tích phân từng phần
Trong các bài mà du có mẫu số ta nên chọn v thêm một hằng số thích hợp
để vdu khử bớt mẫu số.
luan van, khoa luan 17 of 66.
14
tai lieu, document18 of 66.
1
Ví dụ 12: Tính 2 x 1 ln x3 1dx
0
Lời giải :
3x 2
u ln x3 1
du
dx
Đặt
x 1 x 2 x 1
dv 2 x 1 dx
2
v x x 1
Lẽ ra ta thường lấy v x 2 x nhưng rõ ràng thêm hằng số 1 vào v việc tính tích
phân tiếp thep nhàn hơn rất nhiều
1
1
1
1
1
3
3x 2
2
3
=
=
2
x
1
ln
x
1
dx
x x 1 ln x 1 0
dx ln 2 3 x 1
dx
x 1
0
0
x 1
0
1
2
= ln 2 3 x 1 1 dx ln 2 3 x x ln x 1 3 2ln 2
x 1
2
0 2
0
1
4
ln sin x cos x
0 cos2 x dx
Ví dụ 13: Tính
u ln sin x cos x
Lời giải : Đặt
1
dx
dv
cos2 x
cos x sin x
dx
du
sin x cos x
v tan x 1
Bình thường ta hay lấy v=tanx nhưng với cách thêm vào số 1 ta thấy thuân lợi
gì?
4
4
ln sin x cos x
cos x sin x
dx
dx = tan x 1 ln sin x cos x tan x 1
2
sin x cos x
cos x
0
0
4
0
4
cos x sin x
dx
cos
x
0
4
0
tan x 1 ln sin x cos x
tan x 1 ln sin x cos x
4
0
4
4
d cos x
cos x
0
dx
0
3
tan x 1 ln sin x cos x x ln cosx 4 ln 2
0
4 2
Sau đây là một số bài tập về tích phân đã theo dạng và đề thi Đại học của
các năm để bạn đọc tự luyện.
luan van, khoa luan 18 of 66.
15
tai lieu, document19 of 66.
PHẦN IV:
CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐH 2002-2015
2 3
(03-A)
I
(03-B)
x x2 4
5
2
(03-D)
I
2
I x x dx
2
(04-A)
0
I
1
1 3 ln x ln x
dx
x
e
(04-B)
1 2 sin 2 x
dx
1 sin 2 x
0
4
dx
I
1
(05-A)
I
I ln( x 2 x)dx
2
1 3 cos x
2
dx .
(05-B)
sin 2 x cos x
dx .
1
cos
x
0
I=
2
I = (e sin x cos x) cos xdx
I
I
ln 5
e
dx .
dx
.
2e x 3
x
e
1
I ( x 2)e2 x dx.
(07-D)
I x3 ln 2 xdx .
1
0
sin x dx
4
.
I
sin2x+2(1+sinx+cosx)
0
4
6
(08-A)
cos 2 x 4 sin 2 x
0
ln 3
(06-D)
sin 2 x
2
(06-A)
0
(06-B)
dx
sin 2 x sin x
0
(05-D)
1 x 1
3
(04-D)
2
x
4
tg x
dx .
cos 2 x
0
I
(08-B)
2
(08-D)
2
ln x
dx .
3
x
1
(09-A)
3 ln x
dx
2
(
x
1)
1
(09-D)
I
0
e
3
(09-B)
I
1
(10-A)
I
x 2 e x 2x 2e x
1 2e
0
x
dx
(10-B)
(11-B)
I
0
3
(12-A)
I
cos2 x
1 ln x 1
1
luan van, khoa luan 19 of 66.
x2
I
1
/ 4
3
(10-D) I 2x ln xdx
x
1
1 x sin x
1
dx
e
1
1
I
(11-A) I
I
1
(12-B)
dx
x sin x cos x
0
dx
x 2 ln x
2
4
(11-D)
ln x
x sin x x 1 cos x
0
dx
x
e
e
/ 3
I (cos3 x 1) cos 2 xdx
I
4x 1
2x 1 2
dx
dx
x3
x 4 3x 2 2 dx
0
16
tai lieu, document20 of 66.
/ 4
(12-D)
I
x 1 sin 2x dx
(13-A)
0
(13-B)
1
1
(13-D)
I x 2 x 2 dx
(15- QG)
I
0
0
(14-B)
x2 1
I 2 ln xdx
x
1
2
x 1
2
dx
x2 1
x 2 3x 1
I
dx
x2 x
1
2
(14-D)
4
I x 1 sin 2 xdx
0
1
x 3 e dx
x
0
CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN (ĐỀ DỰ BỊ)
0
2
02-A1
I 6 1 cos3 x .sin x.cos5 xdx .
02-A2
I x(e2 x 3 x 1)dx
1
0
ln 3
02-B2
I
0
1
x
e dx
(e x 1)3
.
02-D2
I
0
x3dx
.
x2 1
1
03-A1
4
I x3 1 x 2 dx .
x
dx .
1 cos 2 x
0
03-A2
I
03-D1
I x3e x dx
0
ln 5
03-B1
I
ln 2
ex 1
1
dx .
x2 1
ln xdx
x
e
03-D2
e2 x
I
0
2
.
0
2
.
04-A2
I
0
x4 x 1
dx .
x2 4
3
04-B1
I
1
04-D1
I
dx
.
x x3
2
04-B2
I ecos x sin 2 xdx .
0
2
ln8
x sin xdx .
04-D2
I
0
x2
I 3
dx .
x 1
0
e3
05-A2
I
1
3
2
I (2 x 1) cos 2 xdx .
ln 2 x
dx .
x ln 1
05-B1
e x 1dx .
2x
ln 3
7
05-A1
e
05-B2
I sin 2 x tan xdx .
0
0
e
05-D1
I x 2 ln xdx .
4
05-D2
I (tan x esin x cos x)dx
0
0
6
06-A1
dx
.
I
2 2x 1 4x 1
luan van, khoa luan 20 of 66.
10
06-B1
I
dx
.
x 1
x2
5
17
tai lieu, document21 of 66.
VẤN ĐỀ II: MỘT SỐ SAI LẦM
CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN
2
dx
(x 1)
Bài 1: Tính tích phân: I =
2
* Sai lầm thường gặp: I =
2
2
dx
2 (x 1) 2 =
2
d ( x 1)
( x 1)
2
2
=-
1
x 1
2
2
=
1
4
1 =
3
3
* Nguyên nhân sai lầm:
Hàm số y =
1
không xác định tại x= 1 2;2 suy ra hàm số không liên
( x 1) 2
tục trên 2;2 nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách
giải trên.
* Lời giải đúng
Hàm số y =
1
không xác định tại x= 1 2;2 suy ra hàm số không liên
( x 1) 2
tục trên 2;2 do đó tích phân trên khơng tồn tại.
* Chú ý đối với học sinh:
b
Khi tính
f ( x)dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên a; b khơng? nếu
a
có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu khơng thì
kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
5
1/
3
dx
0 (x 4) 4 .
1
2/ x( x 2 1) 2 dx .
2
2
3/
0
x 3 .e x x 2
dx
x3
1
1
1
dx
cos 4 x
4/
Bài 2: Tính tích phân: I =
dx
1 sin x
0
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan
2dt
1 t2
x
1
thì dx =
;
=
2
1 t 2 1 sin x (1 t ) 2
dx
2dt
=
= 2(t 1) 2 d(t+1) =
2
1 sin x
(1 t )
luan van, khoa luan 21 of 66.
2
+c
t 1
18
tai lieu, document22 of 66.
I=
dx
1 sin x
=
0
2
x
tan 1
2
0
2
=
tan
2
1
2
tan 0 1
2
do tan không xác định nên tích phân trên khơng tồn tại
*Ngun nhân sai lầm:
Đặt t = tan
x
x
x 0; tại x = thì tan khơng có nghĩa.
2
2
* Lời giải đúng:
dx
1 sin x
I=
x
d
dx
2 4 tan x
0
2x
2 4
0 1 cos x
cos
2
2 4
=
0
0
= tan
tan
4
4
2.
* Chú ý đối với học sinh:
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm
số liên tục và có đạo hàm liên tục trên a; b.
*Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
dx
1/
sin x
0
dx
1 cos x
0
2/
4
Bài 3: Tính I =
x 2 6x 9 dx
0
* Sai lầm thường gặp:
4
I=
4
x 2 6x 9 dx =
x 32 dx x 3d x 3 x 3
4
0
0
2
0
2
4
0
1 9
4
2 2
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi x 3 x 3 với x 0;4 là không tương đương.
2
* Lời giải đúng:
4
I=
x 2 6x 9 dx
0
4
4
3
4
0
0
0
3
= x 32 dx x 3 d x 3 x 3d x 3 x 3d x 3
=-
x 32
2
3
0
x 32
2
4
3
9 1
5
2 2
* Chú ý đối với học sinh:
2n
f x 2n
f x
n 1, n N
luan van, khoa luan 22 of 66.
19
tai lieu, document23 of 66.
b
I=
b
2n
f x
2n
f x dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trên a; b rồi dùng tính chất
a
a
tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự:
1/ I =
3
1 sin 2 x dx
2/ I =
0
x 3 2 x 2 x dx
0
2
3/ I =
1
2
3
1
2
x 2 2 dx
x
4/ I =
tan 2 x cot 2 x 2 dx
6
0
x
Bài 4: Tính I =
1
2
dx
2x 2
* Sai lầm thường gặp:
d x 1
0
I=
1
x 1
2
arctan x 1
1
0
1
arctan1 arctan 0
4
* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời
* Lời giải đúng:
Đặt x+1 = tant
dx 1 tan2 t dt
với x= 1 thì t = 0
với x = 0 thì t =
Khi đó I =
4
0
4
1 tan t dt
2
2
tan t 1
4
0
dt t
4
0
4
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx, arctanx khơng trình bày trong sách giáo khoa hiện
thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một
sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000).
Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này khơng có trong sách giáo khoa nên
học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân
b
dạng
1
1 x
2
dx ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx ;
a
b
a
1
1 x2
dx thì đặt x = sint hoặc x = cost
luan van, khoa luan 23 of 66.
20
tai lieu, document24 of 66.
*Một số bài tập tương tự:
1
x 16
dx
x
8
1/ I =
4
2/ I =
1
4
Bài 5: Tính: I =
0
2x 2x 3
0 x 2 1 dx
1
2
x3
1 x2
3
3
3/ I =
0
x 3 dx
1 x8
dx
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt
x3
sin 3 t
dx
dt
cos t
1 x2
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x=
1
thì t = ?
4
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x 2 thì thường đặt x = sint nhưng đối
với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =
1
khơng tìm được
4
chính xác t = ?
* Lời giải đúng:
Đặt t = 1 x 2 dt =
x
1 x2
dx tdt xdx
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
1
4
I =
0
15
4
x3
1 x2
15
4
1 t tdt 1 t dt t t
t
3
15
4
3
2
1
15
4
=
dx
2
1
thì t =
4
1
1
15 15 15 2 33 15 2
3
4
192
192
3
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x 2 thì
thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant
nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc
đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu khơng thì phải nghĩ
đến phương pháp khác.
*Một số bài tập tương tự:
7
1/ Tính I =
0
x3
1 x2
2
dx
luan van, khoa luan 24 of 66.
2/ Tính I =
x
1
dx
x2 1
21
tai lieu, document25 of 66.
x2 1
4 dx
1 1 x
1
Bài 6: Tính I =
1
1
1 2
1
2
x
x
dx
* Sai lầm thường mắc: I =
2
1
2
1
1
1
x
x 2
x2
x
1
Đặt t = x + dt 1
1
x
1
1
dx
x2
Đổi cận với x = 1 thì t = 2 ; với x = 1 thì t = 2;
2
2
dt
1
1
= (
)dt =(ln t 2 -ln t 2 )
2
2 t 2
2 t
2 t 2
I=
= ln
2 2
2 2
ln
2 2
2 2
2 ln
2
2
ln
t 2
t 2
2
2
2 2
2 2
1
1 2
x2 1
x
* Nguyên nhân sai lầm:
là sai vì trong 1;1 chứa x = 0 nên
4
1
1 x
2
x
x2
khơng thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
* Lời giải đúng:
xét hàm số F(x) =
F’(x) =
Do đó I =
1
ln
2 2
1
2 2
x2 x 2 1
x2 x 2 1
(ln
x2 x 2 1
x2 1
4
)
x 1
x2 x 2 1
1
x2 x 2 1
x2 1
=
ln
dx
4
2 2 x2 x 2 1
1 1 x
1
1
1
1
2
ln
2 2
2 2
*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số
cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN TÍCH PHÂN
Câu 1. Kết quả của tích phân I cos 4 x sin 4 x dx là:
4
0
A. I
1
4
B. I
1
3
2
5
C. I D. I
1
2
e
Câu 2. Kết quả của tích phân I x ln xdx là:
1
luan van, khoa luan 25 of 66.
22
