Tài liệu TỔNG HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ docx

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1.Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ: Giải phương trình :
Giải:
Đặt ta có:
với điều kiện
Tìm sau đó suy ra (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng)
2.Phương pháp đưa về hệ phương trình:
Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng:
Ví dụ: Giải phương trình :
Đặt:
với điều kiện
Khi đó ta có hệ:
Giải hệ tìm suy ra .
3.Phương pháp bất đẳng thức:
Ví dụ: Giải phương trình:
Giải:
Theo BĐT Côsi ta có:
Do đó:
4.Phương pháp lượng giác:
Ví dụ: Giải phương trình:
Giải:
Điều kiện: .
Đặt:
và biến đổi đơn giản ta có:
suy ra và từ đó tìm được
5.Phương pháp nhân liên hợp:
Ví dụ: Giải phương trình:
Giải:
Phương trình tương đương với:
1

I. Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu th“ ta có thể đặt
hoặc
Ví dụ 1 :
Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã
cho trở thành :
)( ) = 0

Kết hợp với điều kiện của t suy ra :
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
Ví dụ 2 :
Lời giải : ĐK :
Khi đó VP > 0 .
Nếu
Nếu .
Đặt , với ta có :
) ( ) = 0
Vậy nghiệm của phương tr“nh là
Ví dụ 3 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :

2
Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4 (TC THTT):
HD :
Nếu : phương tr“nh không xác định .
Chú ý với ta có :
vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với

Đặt
khi đó phương tr“nh đã cho trở thành :
2. Nếu th“ ta có thể đặt :
Ví dụ 5 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
Phương tr“nh đã cho trở thành :
kết hợp với điều kiện của t suy ra
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
TQ :
Ví dụ 6 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :
(thỏa mãn)
TQ :
với a,b là các hằng số cho trước
II. 3. Đặt để đưa về phương
tr“nh lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : (1)
Lời giải :
Do không là nghiệm của phương tr“nh
nên :
(1) (2)
Đặt .
3
Khi đó (2) trở thành :

Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 :

Lời giải : ĐK :
Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :

Kết hợp với điều kiện suy ra :
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

4. Mặc định điều kiện : . sau khi t“m được số nghiệm
chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận :
Ví dụ 9 :
Lời giải :
phương tr“nh đã cho tương đương với :
(1)
Đặt :
(1) trở thành :

:Leftrightarrow
Suy ra (1) có tập nghiệm :
Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ
hay là ẩn của phương tr“nh đã cho :
Đưa phương tr“nh về dạng sau :

khi đó :
4
Đặt . Phương trình viết thành :
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương
tr“nh sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :

Ví dụ 10 : (1)
lời giải : ĐK :
Đặt
Lúc đó :
(1)
Phương tr“nh trở thành :
Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được :
Do nên không thỏa điều kiện .
Với th“ :
( thỏa mãn điều kiên
Ví dụ 11 :
Lời giải : ĐK :
Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
* Với , ta có :
(vô nghiệm v“ : )
* Với , ta có :
Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)
TQ :
lúc đó chúng ta đặt
và đưa về hệ đối xứng loại haiVí dụ
12 :
Lời giải :
Đặt .
Phương tr“nh đã cho viết thành :
Từ đó ta tìm được hoặc
Giải ra được : .
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện
rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên

nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết
trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi
phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x
được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 13 :
Lời giải : ĐK :
Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
Giải ra : hoặc (loại)
* ta có :
Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho .
5
ví dụ 14 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
Phương tr“nh đã cho trở thành :
Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng
ẩn phụ đưa về dạng tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 : (1)
Lời giải : ĐK : .
Đặt .
phương tr“nh (1) trở thành :
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt để đưa về dạng :
TQ :
Với a là hắng số cho trước .
Ví dụ 16 : (1)
Lời giải : ĐK :
Viết lại (1) dưới dạng :

(2)
Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Do vậy hoặc
* . Ta có :

* . Ta có :

Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm :
Ví dụ 17 :
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt (2) .
phương tr“nh đã cho trở thành :
(3)
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
Ví dụ 18 :
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt
Khi đó : .
phương tr“nh đã cho trở thành :
V“ nên :
t^2 + t - 1003 < 0
6
Do đó phương tr“nh tương đương với :
Do vậy (thỏa (1)) 2. Dùng 2 ẩn phụ .
Ví dụ 9 :
Lời giải :
Đặt
*
*

Ví dụ 20 : (1)
Lời giải : ĐK : hoặc (*)
Đặt ta có :
(1) trở thành :

(Do )
T“m x ta giải :
(Thỏa (*))
Vậy (1) có 2 nghiệm :
Ví dụ 21 :
Lời giải : ĐK :
Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :
(2)
Đặt và
Th“ :
(2)
* ta có :
* ta có :
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :
Ví dụ 22 :
lời giải : ĐK :
Đặt :
Từ phương tr“nh ta được :
( Do )
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
3. Dùng 3 ẩn phụ .
Ví dụ 23 :
Lời giải :
Đặt ta có :
(1)

Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có :
Nên :
7
:Leftrightarrow
từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương
tr“nh :
Ví dụ 24 : (1)
Lời giải :
Đặt
Suy ra :
khi đó từ (1) ta có :
:Leftrightarrow
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của
phương tr“nh :
III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút
gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25 :
Lời giải :ĐK :
Đặt . Ta có :
TQ :
b. Dùng 2 ẩn phụ .
* ND :
* Cách giải :
Đặt :
Như vậy ta có hệ :
Ví dụ 26 : (1)
Lời giải : ĐK :

Đặt
Khi đó :
(1)
:Leftrightarrow
8
(Do hệ : : vô nghiệm )
hoặc
Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban
đầu .
Ví dụ 27 :
Lời giải : ĐK :
Đặt :
Với :
(*)
Như vậy ta được hệ :
Giải (1) :
(1)
( )
Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho .
Ví dụ 28 :
Lời giải :
Đặt :

(2)
(1)
2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1 :
CG : Đặt ta có hệ :
Ví dụ 29 :
Lời giải :

Đặt : ta có :
(1) :Leftrightarrow
(2) : Vô nghiệm .
Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là :
Dạng 2 :
9
CG : ĐẶt
PT :Leftrightarrow
Ví dụ 30 :
Lời giải : ĐK :
Đặt : (1)
PT
Lấy (3) trừ (2) ta được :
(1)
(Do )
Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :
Ví dụ 31 :
Lời giải : ĐK :
Đặt .
Chọn a, b để hệ :
( ) (*)
là hệ đối xứng .
Lấy ta được hệ :
Giải hệ trên ta được :
Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của
phương tr“nh là :
Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương tr“nh :
Với các hệ số thỏa mãn :

Cách giải :
Đặt
Ví dụ 32 :
Lời giải : ĐK :
PT
- Kiểm tra :
Đặt :
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .
Ví dụ 33 :
Lời giải :
PT
- Kiểm tra :
Đặt :
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
10
Ví dụ 34 :
Lời giải :
PT
- Kiểm tra :
Đặt :

(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!! Sử dụng phương pháp biến

đổi tương đương
Dạng 1: Phương trình
Dạng 2: phương trình:
( g(x,m) phải có nghĩa)
Dạng 3: Phương trình:
(f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa)
Ví dụ minh hoạ :
VD1: tìm m để pt sau có nghiệm:
LG:
Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng:
Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:
(ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 1
VD1: GPT:
Đặt , ta có:
do đó điều kiện cho ẩn phụlà
Khi đó phương trình có dạng :
Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2
VD2:GPT: + + =0 (1)
Nx: không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được
11
(2)
Đặt } , khi đó
(2) hoặc t=-
1/2
Bây giờ xét 2 trường hợp:
TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên
bị loại. Vậy pt vô nghiệm.
TH2: Nếu n lẻ
Với ( vô nghiệm)
Với

Vậy
Bài tập tương tự: Giải các pt sau:
b>Giải và biện luận pt :
(ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 2:
Giải: Đk:
đặt :
Khi đó pt được chuyển thành hệ:
giải ra được hay
Bài tập tương tự:
Giải các pt sau:
b> Giải và biện luận :
ví dụ:
- Sử dụng BĐT,ví dụ:
Vậy Đk cho ẩn phụ là :
-Sử dụng đạo hàm [/b]
Ví dụ
VD1: GPT:
Đặt , ta có:
do đó điều kiện cho ẩn phụlà
Khi đó phương trình có dạng :
Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2
Bài tập tương tự: Giải các pt sau:
b>Giải và biện luận pt :
12
(ST)
13