So hoc 6

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 7
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:
a)

1
16

200

( )

1
2

1000

()

và

b) (-32)27 và (-18)39

Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết:
a) (2x-1)4 = 16
b) (2x+1)4 = (2x+1)6

c)

||x +3|−8|=20

Bài 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết :
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
x

y

z

b) 2 = 3 = 4 và x2 + y2 + z2 = 116
Bài 4: (1,5 điểm):
Cho đa thức :
A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2)
a) Xác định bậc của A.
b) Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z.
x
y
z
t
Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M = x+ y + z + x + y +t + y + z+ t + x + z +t
phải là số tự nhiên.( x, y, z, t N ❑ ).

có giá trị khơng

Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất
kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường
thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a) BH = AI.
b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi.
c) Đường thẳng DN vng góc với AC.

d) IM là phân giác của góc HIC.

Đáp án Tốn 7


Bài 1: (1,5 điểm):
a) Cách 1:
Cách 2:

1
16
1
16

200

( )
( )

200

=
>

1
2

4 . 200

1

2

800

1
2

1000

() () > ()
(321 ) = ( 12 ) =( 12 )
=

200

5 .200

1000

(0,75điểm)
5 27
b) 3227 = 2 ¿¿ = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839
⇒ -3227 > -1839
⇒ (-32)27 > (-18)39
(0,25điểm)
Bài 2: (1,5 điểm):
a) (2x-1)4 = 16 . Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5
b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15
c) ||x +3|−8|=20 ⇒ |x +3|−8=20 ; |x +3|−8=−20
⇒ x = 25; x = - 31

|x +3|−8=20 ⇒ |x +3|=28
(0,25điểm)
|x +3|−8=−20 ⇒ |x +3|=−12 : vô nghiệm
(0,25điểm)
Bài 3: (1,5 điểm):
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0
(0,25điểm)
⇒

(0,5điểm)

x

3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0
y

⇒

(0, 5điểm)

(0,5điểm)
(0,5điểm)

5

x = z = 3 ;y = -1;y = 1

z

b) 2 = 3 = 4 và x2 + y2 + z2 = 116
Từ giả thiết ⇒

x 2 y 2 z 2 x 2+ y 2+ z 2 116
= = =
=
=4
4 9 16 4+ 9+16 29

Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 )
Bài 4: (1,5 điểm):
⇒ A có bậc 4
a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2
⇒ A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z
b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z )
(0,725điểm)
Bài 5: (1 điểm):
x

x

x

Ta có: x + y + z +t < x+ y+ z < x + y
y
y
y
<
<
x + y + z +t x+ y+ t x + y

z
z
z
<
<
x + y + z +t y + z+ t z +t

(0,25điểm)
(0,5điểm)
(0,5điểm)

(0,25điểm)

(0,25điểm)


⇒

t
t
t
<
<
x + y + z +t x+ z +t z +t
x + y + z +t
x
y
z
t
< M <¿ (

+
)+(
+
)
x + y + z +t
x+ y x+ y
z +t z +t

(0,25điểm)
hay: 1 < M < 2 . Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
Bài 6: (3 điểm):
a. AIC = BHA  BH = AI
b. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2
c. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N  N là trực tâm  DN AC
d. BHM = AIM  HM = MI và BMH = IMA
mà :  IMA + BMI = 900  BMH + BMI = 900
 HMI vuông cân  HIM = 450
mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450  IM là phân giác HIC
B

H
D

M
I

N
A

C

(0,25điểm)
(0,5điểm)
(0,75điểm)
(0,75điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)


TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học : 2005 - 2006
Mơn : TỐN - Khối lớp: 7
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (2điểm)

Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và

d) = 2bd . Chứng minh (
Bài 2 (2điểm)

a+ c
b+d

) 8=

c( b +

a 8+ c 8
b8 +d 8

a/ Tìm x biết:

|3 2 |

5. 4 − 3 x

- 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 . 0,25 + (-0,25)2}

b/ Tìm x , y biết: |3+ y| + |2 x+ y| = 0
Bài 3 (2điểm)

a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42
b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và
a

0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7.

Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7.
Bài 4 (2điểm)

a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41
b/ Biết x

Bài 5 (2điểm)

Q và 0 < x < 1. Chứng minh xn < x với n

N, n ❑ 2

Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và
AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.
Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE.
a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau.
b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD.
--------------------------------


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài 1 (2đ)

Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d =

2 bd
c

(0,5đ)

a+ c
2 bc
c
=
=
b+d
2 bd
d
a
c

a+ c
Suy ra
=
=
b
d
b+d

Viết

(0,5đ)
(0,5đ)

Biến đổi để có điều phải chứng minh
Bài 2 (2đ)

a/ Tính được
Tìm được x =

|34 − 23 x|
3
4

,x=

=

1
4

3
2

(0,5đ)

3
2

❑ 0 và |2 x+ y|
b/ Nêu |3+ y|
❑ 0
Để có |3+ y| + |2 x+ y|
Suy ra |3+ y| = 0 và |2 x+ y| = 0

Tìm được x =

(0,5đ)

(0,5đ)
❑ 0

và y = -3

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

Bài 3 (2đ)

a/ Viết được 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2)
Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời
b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7
f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7
Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7.
Suy ra b chia hết cho 7

(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

Bài 4 (2đ)

a/ Viết được (x+1)2 = 42 + 8y2
Suy ra (x+1)2 là số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4
Nêu 42 + 8y2 khơng chia hết cho 4.
Kết luận: khơng có số nguyên x, y nào thõa mãn đề bài
b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - 1 )
+ 0 < x < 1 nên xn-1 < 0 và x > 0
Suy ra: xn - x < 0

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

(0,25đ)


+ Suy ra điều phải chứng minh
Bài 5 (2đ)

MI

a/ Nêu được AK
MC
Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau
b/ Chứng minh CE = MN
Viết được AB - AC > BD - CE. Suy ra: BM > BD – MN
BD và chứng minh BM > BI
Kết luận AB + CE > AC + BD

(0,25đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

Hạ


Sở GD & ĐT Đà Nẵng
Trường THCS Nguyễn Khuyến
-------------

KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII
Năm học 2007 – 2008
Môn: Toán 7
Thời gian: 90 phút
-------------------------

x 3  x 2  03y
1
A
x 
2
x  y
2 ; y là số nguyên âm lớn nhất
Bài 1: (1,5 điểm) Cho
biết
9  x 11  x
x  16 y  25 z  9



2
9
16
25
7
9
Bài 2: (2 điểm) Cho
và
.Tìm x+y+z

Bài 3: (1,5 điểm)
Tìm x, y  Z biết 2xy+3x = 4
16

- 72

+ 90.

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1
a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức.
b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vng tại A(ABAE = AB. Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F.
a/ Chứng minh tam giác BFC
b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều.


GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII ĐÁP ÁN TOÁN 7
Bài1: (1,5 điểm)
+ Tìm được: x =

; y = -1

(0,5đ)

+ Với x = - ; y = -1  A = -

(0,5đ)

+ Với x = ; y = -1  A= -

(0,5đ)

Bài 2: (2 điểm)
+ Từ

+

= 2 Û (2 – x)( + ) = 0 Û x = 2

+ Thay x = 2 

=

=

=

=

(0,75đ)

= 2. (1đ)

+  x + y + z = 100

(0,25đ)

Bài 3: (2 điểm)
+ Biến đổi được: x(2y + 3) = 4

(0,5đ)

+ Chỉ ra được x, y Z  x Ư(4) và 2y + 3 lẻ

(0,5đ)

+ Lập bảng.

(1đ)

x

-4

-2

-1

1

2

4

2y + 3

-1

-2

-4

4

2

1

y

-2

loại

loại

loại

loại

-1

Bài 4: (2 điểm).
a) Chỉ được; a + b + c + d = 0  đpcm.
(hoặc tính được P(1) = 0  đpcm).
b)

+ Rút được:

(0,5đ)

+ x = 3 (1) (0,25đ)

+ Biến đổi được P = (3
= 3x(

+3 )+(
+ x) + (

+ x) – 9x + 1
+ x) – 9x + 1

(1đ)


+ Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ)
(Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm)
Bài 5: (2,5 điểm)
+ Hình vẽ (phục vụ được câu 1):
a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của  BEC

(0,25đ)
(0,5đ)

 F trung trực BC  BFC cân

(0,5đ)

(học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE

đpcm).
K

F

b) + Tính được EBC = 15 .
+ Hạ FK

AB  FKB = FHC (ch + cgv)

(0,5đ)
B

(0,75đ)

BFC vuông cân  FBC = 45 .
+ Kết luận BFE đều.

(0,25đ)
(0,25đ)
A

F

H

C

Sở GD & ĐT Đà Nẵng
Trường THCS Nguyễn Khuyến
-------------

Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz
Bài 2: (1 điểm) Biết a2 +ab+
và a

biết:

KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VII
Năm học 2006 – 2007
Mơn: Tốn 7
Thời gian: 90 phút
------------------------x2 y 2 z2
= =
4 9 25

b2
b2
=25 ; c 2+ =9
3
3

0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng:

, và x – y + z = 4
; a2 +ac +c 2=16

2 c b+c

=
a a+c

.

Bài 3: (2,5 điểm0
a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:
f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7 x2 - 9
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90.
Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và
góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I
trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.
a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài 1: (1điểm)
x
y z
x2 y2 z2
= =
và x, y, z
N, x ≠ 0  2 = 3 = 5
4 9 25
x
y z x − y +z 4
 2 = 3 = 5 = 2 −3+5 = 4 =1
x = 2; y = 3; z = 5. Vậy xyz = 235

0,5đ
0,25đ
0,25đ

Bài 2: (1,5 điểm)
Ta có:

2

b
c + +a 2+ ac+c 2=¿
3
2

2

b
a +ab+
3
2

(vì 9 + 16 = 25)

Suy ra: 2c2= a(b – c)
 2 c = b −c (vì a ≠ 0; c ≠ 0)


a
c

2 c b −c 2 c+ b− c b+c
=
=
=
(vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)
a
c
a+c
a+c

0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ

Bài 3: (2,5điểm)
a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - 9 là đa thức bậc 3
biến x khi: m2 - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0
 m = ± 5 và m ≠ -5
Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x.

0,5đ
0,25đ
0,25đ

b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9
g(x) = (4x2 – 9)2 + 9
Với mọi giá trị của x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ 0  g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 ≥ 9.
Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9
Khi và chỉ khi (4x2 – 9)2 = 0

0,25đ
0,25đ

 4x2 - 9 = 0  4x2 = 9 x2 = 4

0,25đ

9

3
 x = ±2 .

0,25đ

0,5đ
Bài 4: (2 điểm)
Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r)
Ta có: * 112 = 5a + r
 5a < 112  a 22 (1)
*a > r  5a + r < 5a + a

0,5đ


112 < 6a
a > 112 : 6
a ≥ 19 (2)
Từ (1) và (2)  a = 19; 20; 21; 22
lập bảng số:

0,5đ

a

19

20

21

22

r = 112 – 5a

17

12

7

2

Bài 5: (3 điểm)
a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO =  CFO (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra: CH = CF. Kết luận  FCH cân tại C.
-Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh  FIG cân tại I.

0,5đ

0,25đ
0,25đ

- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK.
- Chứng minh  AHK =  IGK (g-c-g).
- Suy ra AK = KI..

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

b/ (1,5 điểm)
Vẽ OE ^ AB tại E. Tương tự câu a ta có:  AEH,  BEF thứ tự cân tại A, B.
Suy ra: BE = BF và AE = AH.
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra:  ABI cân tại B.
Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của  ABI nên: B,
O, K là ba điểm thẳng hàng.

0,5đ
0,5đ

A
E

H
K
O

B

G
F

I

C

0,5đ