De thi chon HSG

Đề thi học sinh ginh giỏi
Mơn : Tốn 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên:Bùi Gia Khánh

Lớp :8a5
Trường THCS Tân Thành
Bằng số

Điểm
Bằng chữ

10

Chữký giám thị
Chữ ký giám khảo

Mười
Điểm

Bài 1(1điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a/
x4 +1-2x2
Bài 2(2điểm)
Giải phương trình
 2  3 x 4  2 0

a/
Bài 3(1điểm)

TỐT
b/

b/

- x2 - 28x - 27

1
2 x2  5
4
 3
 2
x  1 x  1 x  x 1

x 1
0
Với giá trị nào của x thì x  1
.

Bài 4(2điểm)
Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày
2
của người thứ hai chỉ bằng 3 ngưới thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ

xong cơng việc.
Bài 5(3,5 điểm)
Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Giọi E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
M là giao điểm của CE và DF.
a/ Chứng minh CE vng góc với DF
CM .CE


b/Chứng min CF
a

MDC
c/Tính diện tích
theo a
Bµi 6 (0,5 điểm)Cho

Bài 6(1điểm)

x

1
3
x
.


Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng tổng của hai chữ số đó là 10 và nếu đổi chỗ hai chữ số

ấy thì được số mới lớn hn s c l 36ính giá trị biểu thức A =

x3 

1
x3

Hết
Bài 1:

A, x4 +1-2x2
= x2 (x2-1)

b. - x2 - 28x - 27
=-x 2-1x-27x-27
=x(x+1)-27(x-1)
=(x-27)(x-1)

Bài 2
a/

 2  3 x 4  2 0

 3x2 -3x = 0
 3x(x – 1) = 0
 x= 0(nhận) hoặc

Vì

x=1 (loại)

 3 x  4 0x
1
2x2  5
4
 3
 2
b x  1 x  1 x  x 1
  3 x  4  1

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm

ĐKXĐ:x-1

2

2

x  x  1 2 x  5 4( x  1)
x 2  x  1 2 x 2  5 4( x  1)

 3
 3

 3
 3
x3  1
x 1
x 1
x3  1
x 1
x 1
 3x2 -3x = 0
 3x(x – 1) = 0


x= 0(T/M) hoặc x=1 (K/T/M)
0
vậy S =  

Bài 3
x 1
0
Với giá trị nào của x thì x  1
x 1
0
+ x 1
x- 1>0 và x+1>0  x>1 và x>-1  x>1
x 1
0
+ x 1
x- 1<0 và x+1<0  x<1 và x<-1  x<-1
Vậy x>1 hoặc x<-1



.


Sơ lược đáp án
Bài 1
a/ x4 -1 + x2=(x2+1)2
b/- x2 - 28x – 27=-(x+1)(x+27)
Bài 2
a/

 2  3 x 4  2 0

  3 x  4  1

(khẳng định sai)

 3 x  4 0x

Vì
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
1
2 x2  5
4
 3
 2
x  1 x  1 x  x 1
b/
ĐKXĐ: x 1
x 2  x  1 2 x 2  5 4( x  1)
x 2  x  1 2 x 2  5 4( x  1)




 3
 3
x3  1
x3  1
x3  1
x3  1
x 1
x 1
 3x2 -3x = 0
 3x(x – 1) = 0



(0,25đ)

x= 0(nhận) hoặc x=1 (loại)

0
vậy S =  

Bài 3
x 1
0
+ x 1
x- 1>0 và x+1>0  x>1 và x>-1  x>1
x 1
0
K
+ x 1
x- 1<0 và x+1<0  x<1 và x<-1  x<-1
Vậy x>1 hoặc x<-1
Bài 4
Vẽ hình đúng,GT,KL


a. BEC CFD (c.g .c )  C1 D1
0
0
 
 
CDF vuông tại C  F1  D1 90  F1  C1 90  CMF vuông tại M

Hay CE  DF.
0


b.Xét CMF vàCBE có CMF CBE 90

và MCF chung

A

E

B

=> CMF đồng dạng CBE (gg)
CM CF
CM .CE


BC
CF
=> CB CE

F
M

Mà BC =a

D

C


CM .CE
a
Do đó : CF
CD CM
CMD FCD ( g .g ) 

FD FC
c.
2

2

SCMD  CD 
 CD 

  SCMD 
 .SFCD
S
FD
FD





FCD
Do đó :

1
1
SFCD  CF .CD  CD 2
2
4
Mà :
.
Vậy :

SCMD

CD 2 1
 2 . CD 2
FD 4
.

Trong DCF theo Pitago ta có :
1
5
1

DF 2 CD 2  CF 2 CD 2   BC 2  CD 2  CD 2  .CD 2
4
4
2

.
SMCD 
Do đó :

CD 2 1
1
1
. CD 2  CD 2  a 2
5
5
5
CD 2 4
4

Bài 5
Giải
Gọi x (ngày) thời gian để người thứ nhất hồn thành cơng việc (x>0).
1
x (cơng việc)
Một ngày người thứ nhất làm được
2
Một ngày người thứ hai làm được 3x (công việc)
1
2
Một ngày hai người làm chung được x + 3x (cơng việc)
1
2
1
Theo bài tốn ta có phương trình x + 3x = 12  x = 20

Vậy người thứ nhất làm xong trong 20 ngày
Vậy người thứ nhất làm xong trong 30 ngày
Bài 6
3

1 
1
1

A  x  3  x    3.  x  
x 
x
x

33  3.3
18
3

(học sinh giải được bằng cách khác vẫn có điểm tối đa)


Trờng thcs TN THNH

đề thi học sinh giỏi cấp trờng
Năm học 2011-2012

Môn: Toán 8

Thời gian: 150 phút
Bài 1 (2 điểm): Giải các phơng trình sau:
1) 2x2 x = 3 – 6x
2) (x + 2). (x2 – 3x + 5) = (x + 2). x2
Bài 2 (3 điểm): Cho biểu thøc:
2 x −9

x +3 2 x + 4
−
−
x
− 2 3− x
x 5 x+ 6
1) Rút gọn A
A=

2

2) Tính giá trị cđa A biÕt 2x – x2 = 1
3) Cã gi¸ trị nào của x để A = 1 không ?
4) Tìm x nguyên để A nhận giá trị là số nguyên.
Bài 3 (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần l ợt lúc 5 giờ, 6
giờ, 7 giờ và vận tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 45 km/h vµ 60 km/h.
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Bài 4 (2,5 điểm):
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gäi N vµ M theo thứ tự là trung điểm của
các đờng chéo AC, BD. Chøng minh r»ng:
1) MN // AB

CD  AB
MN 
2
2)
Bµi 5 (0,5 điểm):

x

Cho

1
1
3
x3 3
x
x
. Tính giá trị biểu thức A =
--------------------------------------


đáp án
Bài
1

2

Hớng dẫn
1) 2x x = 3 6x  (2x – 1).(x + 3) = 0
 2x – 1 = 0 hc x + 3 = 0
………….
1
VËy x = 2 hoặc x = -3
Giải ra mỗi trờng hợp ®óng cho tiÕp 0,25 ®
2) (x + 2). (x2 – 3x + 5) = (x + 2). x2  (x + 2).(5 – 3x) = 0
 x + 2 = 0 hc 5 – 3x = 0
………….
5
VËy x = - 2 hoặc x = 3

Giải ra mỗi trờng hợp đúng cho tiếp 0,25 đ
x4
1) Rút gọn đợc A = x  3

x 2 và x 3

=> x

0,5 ®

0,5 ®
0,5 ®

1®

0,25 đ

5
Thay x = 1 vào, tính đợc A = 2
x4
3) A = 1  x  3 = 1 => x + 4 = x - 3
 0.x = - 7 (vô nghiệm)
Vậy không có giá trị của x để A = 1
x4
7
1 
x 3
4) A = x  3
§Ĩ A Z thì x 3

0,5 đ

0,25 đ

2) ĐKXĐ:
2x – x2 = 1  ……..  x = 1

0,5 ®
0,25 ®

 ¦(7) =   7;  1; 1; 7

0,25 ®
0,5 ®

   4; 2; 4; 10

  4;

3

Điểm

2

4; 10

Thử lại và kết hợp với ĐKXĐ ta đợc x
- Gọi thời gian để ô tô cách đều xe đạp và xe máy kể từ lúc xe đạp chạy là x
(giờ). Điều kiện x > 2.

- Khi đó: Xe đạp đi đợc: 15x (km)
Xe máy đi đợc: 45.(x 1) (km)
Ô tô đi đợc: 60.(x 2) (km)
(Giải thích đợc khi ô tô bắt đầu chạy thì xe đạp đà bị xe máy vợt qua) => Sơ
đồ:

. . . ..

Hiệu q.đờng đi đợc
A của xeĐ máy và ôOtô là: 45.(xM 1) B60.(x 2)
Hiệu q.đờng đi đợc của ô tô và xe đạp là 60.(x 2) 15x
- Theo đề bài ta có p.trình: 45.(x 1) – 60.(x – 2) = 60.(x – 2) – 15x
Gi¶i phơng trình, tìm đợc x = 3,25 giờ = 3 giờ 15 phút
Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

0,25 đ

0,25 đ
0,25 ®

0,25 ®
0,5 ®
0,5 ®


4

Vẽ hình, viết GT KL đúng
1) Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm
của AD và BC.

AP AN

Cm đợc AD AC
=> PN // AB (Talét đảo)
Mà PM // AB (đờng trung bình)
=> P, M, N thẳng hàng (Tiên ®Ị ¥clit).
VËy MN // AB

0,5 ®
A

0,5 ®
P
N

D

MN PQ  ( PM  NQ) 
Tõ (1), (2), (3) suy ra

Q
M

2) T¬ng tự => P, M, N, Q thẳng hàng.
AB CD
AB
PQ
(1); PM
2
2

Rút ra đợc

5

B

C

(2);
CD AB
2

NQ

AB
2

(3)

0,5 đ

0,5 đ
0,5 ®

3

1 
1
1


A  x  3  x    3.  x  
x 
x
x

33  3.3
18
3

0,5 ®