De thi chon HSG

TRƯỜNG THCS BẠCH SAM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - ĐỢT II
Mơn: Tốn 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)

2
5  x  1 2x
 1


: 2

2 
Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức: C =  1  x x 1 1  x  x  1

a) Rút gọn biểu thức C
b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên.
Bài 2 (2 điểm):
4
3
a) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x  3x  ax  b chia hết cho đa thức

B( x)  x 2  3x  4

b) Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

x
y
z

+
+
y+z z+x x+ y

Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm x, y ,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
a b c
x y z
x2 y 2 z 2
  0
  1
 2  2 1
2
b) Cho a b c
và x y z
. Chứng minh rằng : a b c
.

Câu 4(3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt
phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vng AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE.
a) Chứng minh ABP vuông cân?
b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ.
Chứng minh H, I, E thẳng hàng?
c) Tứ giác HEKQ là hình gì?
Câu 5 (1 điểm): Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm,  A = 450;
 B = 600, chiều cao của hình thang bằng 18m?
…………………………… @ @ @ …………………………

ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM

Bài
1
(2 điểm)

ĐÁP ÁN

BIỂU ĐIỂM

a) Đkxđ: x   1; x 
2
5  x  1 2x
 1


: 2

2 
 1  x x 1 1  x  x  1
 1  x  2(1  x)  5  x  ( x  1)( x  1)

 . 1 2x
(1  x)(1  x)



C=



0,25 đ
0,5 đ

2
2x  1

0,25 đ

b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số
nguyên?
2
B có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì 2 x  1 có giá trị nguyên

0,25 đ

 x 1(loai )
 x 0(TM )
 2 x  1 1

 2 x  1  1

  x  3 (TM )
 2 x  1 2
2


 x   1 (TM )
 2 x  1  2


2
 2x – 1 là Ư(2) 

Đối chiếu Đkxđ thì có x = 0 hoặc x = hoặc x = thoaû mãn.

0,5 đ
0,25 đ

2
tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x  3x  ax  b chia
a)
( 2điểm)
4

3

2
hết cho đa thức B( x ) x  3x  4

Ta coù:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
A( x )B ( x ) thì



Để
b) Cho x, y, z > 0

a  30
b  4 0





0,5 đ
0,5 đ

a 3
b  4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

x
y
z
+
+
y+z z+x x+ y

Đặt y + z = a ; z + x = b ; x + y = c

⇒ x+y+z=

− a+b +c
;y=
2

a+b − c

2

⇒

x=

a− b+ c
;z=
2

a+b+ c
2

0,5 đ


− a+b +c a − b+c a+ b −c
+
+
2a
2b
2c

P=
1

b a

c a

b c

= 2 (− 3+( a + b )+( a + c )+( c + b ))

1

b c

a c

a b

= 2 (− 1+ a + a − 1+ b + b −1+ c + c )
3
2

0,25 đ
0,25 đ

3

3
( 2điểm)

Min P = 2 Khi và chỉ khi a = b = c ⇔ x = y = z
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
BL.a/ 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)

2
2
2
Do : ( x  1) 0;( y  3) 0;( z  1) 0
Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ

a b c
x y z
  0
  1
x
y z
a
b
c
b)Cho
và
. Chứng minh rằng :
x2 y 2 z 2
  1
a2 b2 c2
.

Từ :

0,25 đ

a b c
ayz+bxz+cxy
  0 
0
x y z
xyz
 ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
  1  (   ) 2 1
a b c
a b c
Ta có :
x2 y2 z 2
xy xz yz
 2  2  2(   ) 1
2
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy  bxz  ayz

 2  2  2 2
1
a
b
c
abc




0,5 đ
0,25 đ

x2 y2 z2
  1(dfcm)
a2 b2 c2

4
a/ CM được BHA PEA (g.c.g)
( 3điểm)  AB = AP mà = 900 (gt)
A
E

BPA
Vậy
vng cân
b/Ta có : HA = HK
P
 H nằm trên đường trung trực của AK
I

B
C
H
Ta có : AE = KE
K
 E nằm trên đường trung trực của KA
Q
PBK vng có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP)
 IK IP IB (*)
Ta có ABQP là hbh(gt), có BA= AP ( BPA vng cân tại A)
 APQB là hình thoi, mà = 900 (gt)
 APQB là hình vng nên PI = IA(**).
Từ (*) và(**) suy ra IK = IA nên I nằm trên đường trung trực của

0.5
0.25
0.25
0.25
0.25

0.5
0.25


AK
Vậy H, I, E thẳng hàng.
c/ Ta có APQB là hình vng (cmt) nên AP = BQ

0.25
0.25

PB
AQ
 IK 
2
mà IK = 2
AKQ có AI = IQ(t/c đ/c hv)

0.5

AQ
2 (cmt)  AKQ vuông ở K
Mà
 AK  KQ mà AK  HE (EAHK là hv)  QK // HE
IK 

Vậy HEKQ là hình thang
5
Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vng góc với CD.
( 1điểm) Tứ giác ABB’A’là hcn và A’A = BB’ = 18m;  A’AB = 900
 DAB = 450 =>  A’AD = 450
C
D
B'
Do đó A’AD vng cân
A'
 A’D = A’A = 18m
A

B

0.25

 B’BA = 900;  CBA = 600 =>  B’BC = 300

vì thế trong tam giác vng B’BC

0.25

BC
ta có B’C = 2 . Theo định lí Pi ta go, ta có:

B’C2 = BC2 – B’B2
 B’C2 = 4B’C2 – B’B2
 3B’C2 = B’B2
B ' B 18

3 (cm)
 B’C = 3

Suy ra :
18
18
24 
3 (cm)
CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 - 3
1
1
18 
 AB  CD  .A ' A   42  24   18 498, 6

2
3
Vậy SABCD = 2
(cm2)

0.25