Tài liệu Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu pptx

Chương 2
Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
2.1. Hàm đơn điệu
Ký hiệu là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp

hoặc với
Khi hàm số xác định trên tập và thoả mãn điều kiện
với mọi ta đều có
thì là một hàm đơn điệu tăng trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG

Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp ta đều có
thì là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên
Ngược lại, khi
thì là một hàm đơn điệu giảm trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Nếu xảy ra

thì là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên
Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên được gọi là hàm đồng
biến trên và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên được gọi
là hàm nghịch biến trên tập đó.


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.1. Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng
(i) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên
khoảng đó.
(ii) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên
khoảng đó.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.2. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu tăng khi
và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta
đều có

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.3. Để bất đẳng thức
được thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm

đơn điệu tăng trên
Chứng minh: Nhận xét rằng, ta có hàm số và (2.2) sẽ có
dạng (2.1) với
hiển nhiên được thỏa mãn ứng với là một hàm số đơn điệu tăng trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.1. Giả sử là hàm đơn điệu tăng trong
Khi đó với mọi dãy số dương và giảm ta đều có

Nhận xét rằng, (2.2’) không là điều kiện cần để là một hàm đồng biến.
Thật vậy, chỉ cần chọn hàm có tính chất
ta dễ dàng kiểm chứng rằng (2.2’) được thoả mãn. Chẳng hạn, hàm số
thoả mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thoả mãn điều kiện (2.2’). Tuy
nhiên, hàm không là hàm đơn điệu tăng trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Nếu bổ sung thêm điều kiện: là hàm đồng biến trên

và là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng
thức thực sự:
Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu

2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.4. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu giảm khi
và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta
đều có

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.5. Để bất đẳng thức
được thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm

đơn điệu giảm trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Trong số các hàm số sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính
đóng vai trò quan trọng, vì nó dễ nhận biết về tính đồng biến (khi )

và nghịch biến (khi ) trong mỗi khoảng tuỳ ý cho trước.
Định lý 2.6. Giả thiết rằng, với mọi cặp bộ số dương
ta đều có
Thì trong đó là hằng số.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.7. (Maclaurin, Cauchy) Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu
giảm trên Khi đó, ta luôn có
Khi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.8. Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu giảm trên
và là một dãy tăng trong Khi đó, ta luôn có
Khi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.9. Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên và
Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn có

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.2. Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên và
Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn có

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.10. Cho hàm số liên tục, không âm và đơn điệu tăng
trên với Khi đó ta
có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.11.
Cho hàm số liên tục và nghịch biến trên Khi
đó, ta luôn có
Tương tự, với liên tục và đồng biến trên thì

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.3.
-
Nếu và liên tục và nghịch biến trên thì ta
đều có
-
Nếu liên tục và đồng biến trên thì ta
đều có

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.12 [Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev].
Giả sử và là hai hàm đơn điệu tăng và là một dãy đơn
điệu tăng:
Khi đó với mọi bộ trọng :
ta đều có

Bạn đã hoàn thành
Mục 2.1 Chương 2
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
2.2. Hàm tựa đơn điệu
Giả sử hàm số xác định và đơn điệu tăng trên Khi đó,
với mọi ta đều có
và ngược lại, ta có
khi là một hàm đơn điệu giảm trên


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG

Tuy nhiên, trong ứng dụng, có nhiều hàm số chỉ đòi hỏi có tính chất yếu hơn,
chẳng hạn như:
thì không nhất thiết phải là một hàm đơn điệu tăng trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Ví dụ, với hàm số ta luôn có khẳng định sau đây.
Bài toán 2.1. Nếu là các góc của thì
Như vậy, mặc dù hàm không đồng biến trong ta
vẫn có bất đẳng thức (suy từ (2.7)), tương tự như đối với hàm số đồng biến
trong


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định nghĩa 2.1. Hàm số xác định trong được gọi
là hàm số tựa đồng biến trong khoảng đó, nếu
Tương tự, ta cũng có định nghĩa hàm tựa nghịch biến trong một khoảng
cho trước.