Bai Tap Cong Thuc Luong Giac Phan Loai

Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
¿
1(a ± b)=sin a cos b ±sin b cos a ¿ 2¿ cos (a ± b)=cos a cos b ∓sin a sin b ¿
3 ¿ tan(a ±b)=

tan a ± tan b
1 ∓tan a tan b

B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:

( π4 − a)= √2 sin ( π4 + a)
π
π
cos a − sin a= √2 cos ( +a )= √ 2 sin ( − a)
4
4

a) cos a+ sin a= √2 cos
b)

2. Rút gọn các biểu thức:

( π4 + a)
π
− √ 2sin a+ 2sin ( +a )
4
√ 2cos a −2 cos

a)

b) cos 10o + cos 11o . cos 21o +cos 69 o . cos 79o
c) ( tan a− tan b) .cot (a −b)− tan a . tan b
II. Công thức nhân đôi nhân ba.
A. Lý thuyết cần nhớ
sin 2a 2sin a cos a
2 tan a
cos 2a cos 2 a  sin 2 a 1  2sin 2 a 2 cos 2 a  1 ; tan 2 a 
1  tan 2 a
sin 3a 3sin a  4sin 3 a ; cos 3a 4 cos3 a  3cos a
B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

sin

( π4 − a). sin ( π4 + a)

sin 3 a cos a − cos 3 a sin a
c) cos 20 o . cos 40 o . cos 80 o

π
−1
8
b)
tan π /8
tan 2

d) 2 sin a cos a( cos2 a −sin2 a)

III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t=tan
A. Lý thuyết cần nhớ

a
.
2


1+cos 2 a=2 cos2 a
1− cos 2 a=2sin 2 a
tan a=

sin a=

1− t 2
cos a=
1+t 2

2t
2
1+t

2t
2
1− t

B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:
a)

2 sin a − sin2 a
2 a
=tan
2 sin a+sin 2 a
2
2

cos a+ cos b ¿ =4 cos
c)

2

b)

a+ b
2

1 −sin 2 a+ cos 2 a
π
=tan − a
1+sin 2 a+cos 2 a
4

(

)

a
a

d) tan =cot − 2 cot a
2
2

2

sin a+sin b ¿ + ¿
¿

2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

1 1 1 1
+
+ cos α
2 2 2 2

√ √

(0< α ≤ π )

b)

a
2
a
1+cot 2
2

√ √

(0< α ≤ π )

a
a
cot − tan
2
2
d)
a
a
cot + tan
4
4

2cot

c)

1 1 1 1
−
+ cos α
2 2 2 2

3. Tìm giá trị biểu thức
a)

sin a
3 − 2cos a

a
biết tan =2
2

b)

tan a+ sin a
tan a − sin a

a 2
Biết tan =
2 15

4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a)

2

y=2 cos 2 x+ sin x

b)

2

y=2 sin x − cos 2 x

sin x − cos x ¿2
c)
π
y=sin 2 − x +¿

4

(

)

IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
1
 sin(a  b)  sin(a  b) ;cos a cos b   cos(a  b)  cos(a  b)
2
2
1
sin a sin b   cos(a  b)  cos( a  b) 
2
sin a cos b 

2. Cơng thức biến đổi tổng thành tích


sin( a+b)
cos a cos b
sin( a− b)
tan a − tan b=
cos a cos b
sin (a+b)
cot a+cot b=
sin a sin b

sin(a − b)
cot a −cot b=−
sin a sin b

a+b
a−b
. cos
2
2
a+b
a−b
sin a −sin b=2 cos
.sin
2
2
a+b
a−b
cos a+ cos b=2 cos
. cos
2
2
a+b
a −b
cos a − cos b=−2 sin
. sin
2
2

tan a+ tan b=

sin a+sin b=2 sin

B. Bài tập
1. Rút gọn biếu thức
a) cos a+ cos( a+b)+cos (a+2 b)+. ..+cos (a+ nb)(n ∈ N )
b)

cos a − cos 3 a+cos 5 a− cos 7 a
sin a+sin 3 a+ sin5 a+sin 7 a

c)

cos a+ 2cos 2a+ cos 3 a
sin a+sin 2 a+sin 3 a

2. Chứng minh:
o
o
o
o
a) sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 =

3
16

Phần 3: Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Phương trình: sin x=sin α ⇔

x=α + k 2 π
x=π − α + k 2 π

2. Phương trình: cos x=cos α ⇔

x=± α + k 2 π

3. Phương trình: tan x=tan α ⇔ α +kπ

4. Phương trình: cot x=cot α ⇔α + kπ

B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:

(

a) sin 3 x −

π √3
=
6
2

)

b) sin(3x - 2) = -1

d) cos(3x - 15o) = cos150o

e) tan(2x + 3) = tan

g) sin3x - cos2x = 0

h) sin x +

x
o
j) cos =− cos(2 x −30 )
2

k) cos2x = cosx

(

m) sin x −

π
=1
12

)

p) cos (π −5 x )=−1
s) tan

( π4 − 2 x )= √13

(

π

3

2π
=cos 3 x
3

(

n) sin 12 x+

)

c)

(

f) cot(45o - x) =

5

)

√3
3

( 56π )+ cos(3 x + π4 )=0
π
π
sin ( + x )=sin ( 2 x − )
4

4
π √3
o) cos ( 6 x+ )=
2
2

i) sin 3 x −
l)

π 1
=
6 2

)

q) tan (3 π −6 x )=1
t) cot

π
√ 2cos 2 x − =1

( 56π +12 x)=√3

r) tan ( x − 6 π )=√ 3
u) cot

(127π −5 x)= √33


√2

v) sin ( 12 π −3 x )=
2
y) tan

w) cos ( 2 x − a )=sin 3 x

( π4 − x)=cot ( 56π + x)

cot ( 3 π − x ) =tan

x) sin(3 x − b)=cos 5 x
z)

( 127 π + 7 x )

Câu 71: Cho  là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
cos   0.
B. tan   0.
C. cot   0.
A.
Câu 72: Cho
2
A. sin 

0  


2 . Tính

1  sin 

1  sin 

1  sin 
1  sin 

2
B. cos 

C.



2
sin 

2

Câu 73:

Rút gọn biểu thức sau

A. A 2
Câu 74: Cho
A.  10 .
Câu 75: Cho
A.

A  tan x  cot x    tan x  cot x 

B. A 1

cos  

3 10
10

D.



2
cos  .

2

D. A 3

C. A 4


4
 
5 với 2
. Tính giá trị của biểu thức : M 10 sin   5 cos 
1
B. 2 .
C. 1 .
D. 4

tan  3,    

sin  

D. sin   0.

3
2 .Ta có:

B. Hai câu A. và C.

C.

cos  

10
10

D.

cos  

10
10

1
7
   4
3 và 2
Câu 76: Cho
, khẳng định nào sau đây là đúng ?
2

2
2 2
2 2
sin   .
sin  
.
sin  
.
sin   .
3
3
3
3
A.
B.
C.
D.
cos  

Câu 77:

2
2
2
Đơn giản biểu thức G (1  sin x) cot x  1  cot x

2

A. sin x
Câu 78:

1
B. cos x

C. cosx

0
Tính các giá trị lượng giác của góc   30

1
D. sin x


1
3
1
cos   ; sin  
; tan   3 ; cot  
2
2
3
A.
1
3
1
cos   ; sin  
; tan   3 ; cot  
2
2
3

B.
C.

cos  

cos 
D.

2
2
; sin  
; tan   1; cot   1
2
2

3
1
; sin  ;
2
2

tan 

1
3

; cot  

3

2
2
Câu 79: Nếu tan   cot  2 thì tan a + cot a bằng bao nhiêu ?
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
1
sin    00    900 
3
Câu 80: Cho
. Khi đó cos bằng:
2
2
2 2
cos 
cos 
cos 
3.
3.
3 .
A.
B.
C.

D. 3 .

D.

cos 

2 2
3 .