Tài liệu Đề thi chuyên toán Quang Trung 2011 có đáp án lớp chuyên pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (349.75 KB, 5 trang )
Câu 1. (1 im)
Cho hàm s
+
= +
−
. Tìm các giá tr ca m hàm s ã cho là hàm s bc
nht ng bin trên .
Câu 2. (1 im)
Gii h phng trình
+ = +
= −
Câu 3. (1 im)
Cho phng trình
− + = . Tìm giá tr m, bit rng phng trình có hai nghim
tho mãn iu kin
− = .
Câu 4. (1 im)
Gii phng trình
− + − = − .
Câu 5. (1 im)
Cho ba s vi
> >
. Chng minh rng:
− + > − +
.
Câu 6. (3 im)
Cho t giác ABCD ni tip ng tròn ng kính AD. Hai ng chéo AC và BD ct nhau
ti E. K EF vuông góc vi AD. Gi M là trung im ca DE. Chng minh rng:
a) Các t giác ABEF, DCEF ni tip c.
b) Tia CA là tia phân giác ca góc
.
c) Bn im B, C, M, F cùng thuc mt ng tròn.
Câu 7. (1 im)
Xác nh các s nguyên a, b sao cho ng thng
= +
i qua im
, ct trc tung
ti im có tung là mt s nguyên dng, ct trc hoành ti mt im có hoành là mt
s nguyên dng.
Câu 8. (1 im)
Nm hc 2009 – 2010 trng trung hc ph thông chuyên Quang Trung, tnh Bình Phc có
s hc sinh gii Quc gia là mt s t nhiên có hai ch s. Da vào các thông tin sau, hãy tìm
s hc sinh gii trong nm hc trên ca nhà trng. Bit s t nhiên này có ch s hàng n
v ln hn ch s hàng chc. Nu vit s t nhiên ó theo th t ngc li ta c mt s t
nhiên mi có hai ch s; s này là s nguyên t và nu em s này cng vi s ban !u thì
c kt qu là mt s chính phng.
Ht
(Giám th coi thi không gii thích gì thêm)
H và tên thí sinh: ……………………………… S báo danh: ……………………
S GIÁO DC - ÀO TO
BÌNH PHC
K THI TUYN SINH VÀO LP 10 THPT
CHUYÊN QUANG TRUNG
N"M H#C 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN (DÀNH CHO L$P CHUYÊN)
Thi gian: 150 phút (không k thi gian giao )
CHÍNH THC
S GIÁO DC VÀ ÀO TO TNH BÌNH PHC
TR
NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
HNG DN GII THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
MÔN TOÁN CHUYÊN NM HC 2010-2011
Câu 1. (1 im)
Cho hàm s
+
= +
−
. Tìm các giá tr ca m hàm s ã cho là hàm s bc
nht ng bin trên .
Gii
+) Hàm s ã cho là hàm s bc nht và ng bin trên
+
⇔ >
−
≥ ≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >
>
− > >
.
+) KL: Vi
>
thì hàm s ã cho là hàm s bc nht ng bin trên
.
Câu 2. (1 im)
Gii h phng trình
+ = +
= −
Gii
+) Ta có h
− + − − = − + − =
− − − =
⇔ ⇔ ⇔
= − = −
= −
− =
− =
= −
+ − =
⇔ ⇔
+ − =
= −
= −
+) Gii h (*): Ta có h (*)
= = =
⇔ ⇔ ⇔
= − − − = + − − =
=
= = −
=
= −
−
+ =
⇔ ⇔ ⇔ = =
−
=
− − =
+
= =
+
=
+) Gii h (**): Ta có h (**)
= − = − = −
⇔ ⇔ ⇔
= − − = − + − =
= −
= − = −
=
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
+ − = − + + =
+ + =
+) KL: H phng trình có 4 nghim là:
− − + +
− −
Câu 3. (1 im)
Cho phng trình
− + =
. Tìm giá tr m, bit rng phng trình có hai nghim
tho mãn iu kin − =
.
Gii
Cách 1
+) Phng trình có hai nghim ⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤
.
+) Kt hp gi thit và nh lí Viét ta có h:
− = =
+ = ⇔ = =
= =
, (nhn).
+) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán.
Cách 2
+) Phng trình có hai nghim ⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤
.
+) Theo gi thit
− = > = + − = − −
Do ó
( )
− = ⇔ + − − − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
, (nhn).
+) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán.
Cách 3
+) Phng trình có hai nghim ⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤
.
+) Theo gi thit − =
>
.
Do ó
( )
− = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
, (nhn).
+) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán.
Câu 4. (1 im)
Gii phng trình
− + − = −
.
Gii
+) K:
x R
∈
+) Ta có
⇔ − + + − = − ⇔ − + + − =
=
⇔ − − − + = ⇔ − − − = ⇔ − + − = ⇔ = −
=
+) KL: Phng trình ã cho có tp nghim là:
{
}
= −
.
Câu 5. (1 im)
Cho ba s
vi
> >
. Chng minh rng:
− + > − +
.
Cách 1
BT
⇔ − + > − + − + ⇔ − + − − − − ⇔ − − >
,
(luôn úng).
Cách 2
BT
⇔ − + > + + − − + ⇔ + − − >
⇔ + − − > ⇔ − − − > ⇔ − − − > ⇔ − − >
,
(luôn úng).
Câu 6. (3 im)
Cho t giác ABCD ni tip ng tròn ng kính AD. Hai ng chéo AC và BD c!t nhau t"i
E. K# EF vuông góc vi AD. G$i M là trung im ca DE. Chng minh rng:
a) Các t giác ABEF, DCEF ni tip %c.
b) Tia CA là tia phân giác ca góc
.
c) Bn im B, C, M, F cùng thuc mt ng tròn.
Gii
a) Các t giác ABEF, DCEF ni tip %c.
+) Ta có
0
90ABE
=
(góc ni tip chn na
ng tròn), mt khác
0
90EFA
=
, (gt). Do ó
ABEF là t giác ni tip.
+) Ta có
0
90DCE
=
(góc ni tip chn na
ng tròn), mt khác
0
90EFD
=
, (gt). Do ó
DCEF là t giác ni tip.
b) Tia CA là tia phân giác ca góc
.
+) Theo câu (a) t giác DCEF ni tip
=
ECF EDF
, (cùng chn cung EF), (1).
+) Mt khác trong ng tròn ng kính AD
ta có
BCA EDF
=
, (cùng chn cung AB), (2).
T (1) và (2)
ECF BCE CA
=
là tia phân giác
ca góc
.
c) Bn im B, C, M, F cùng thuc mt
ng tròn.
Chú ý:
Khi M là trung im ca ED ta có M chính là tâm ca ng tròn ngoi tip ca t giác DCEF,
do ó ta có ME = MD = MF = MC. Vn dng kt qu này ta có mt s li gii (vn tt) sau:
Cách 1
+) Ta có
BFA BEA CEM MCE
= = =
và
= =
M
FD MDF BCA
.
+) Xét t giác BCMF có:
( )
0
180+ = + + = + + = BFM BCM BFM BCE ECM BFM MFD BFA
pcm.
Cách 2
+) Ta có
2BFC BFE CFE BAC BDC BDC
= + = + =
, (1).
+) Mt khác ta có
2BMC MCD MDC MDC
= + =
, (2).
T (1) và (2)
BFC BMC
=
BCMF ni tip, (pcm).
Cách 3
+) Ta có
2FMB MFD MDF MDF= + =
, (1).
+) Mt khác ta có
2 2
= + = =
BCF BCA ACF BCA BDF
, (2).
T (1) và (2)
BMF BCF
=
BCMF ni tip, (pcm).
Câu 7. (1 im)
Xác nh các s nguyên a, b sao cho ng th&ng
= +
i qua im
, c!t tr'c tung
t"i im có tung là mt s nguyên dng, c!t tr'c hoành t"i mt im có hoành là mt
s nguyên dng.
Gii
+) ng thng
= +
ct trc hoành ti im có hoành bng
b
a
−
, ct trc tung ti im có
tung bng b. Theo gi thit ta có
*
*
*
*
b N
k N
a
b
k N
b ka N
a
∈
∈
⇔
− = ∈
= − ∈
là s nguyên âm.
+) ng thng qua
+ = ⇔ − = ⇔ − =
. Vì a là s nguyên âm, k là s
nguyên dng nên ta có:
= − = − = −
− = − = =
− = ⇔ ⇔
= − = − = −
− = − = =
+) KL: Có hai ng thng tho mãn bài toán là 3 15y x
= − +
và 7y x
= − +
.
Câu 8. (1 im)
N(m h$c 2009 – 2010 tr ng trung h$c ph) thông chuyên Quang Trung, t*nh Bình Phc có
s h$c sinh gi+i Quc gia là mt s t, nhiên có hai ch- s. D,a vào các thông tin sau, hãy tìm
s h$c sinh gi+i trong n(m h$c trên ca nhà tr ng. Bit s t, nhiên này có ch- s hàng n v
ln hn ch- s hàng ch'c. Nu vit s t, nhiên ó theo th t, ng%c l"i ta %c mt s t,
nhiên mi có hai ch- s; s này là s nguyên t và nu em s này cng vi s ban .u thì
%c kt qu là mt s chính phng.
Gii
+) Gi s cn tìm là
ab
vi b a
>
, {1;2;3;4;5;6;7;8}, {2;3;4;5;6;7;8;9}a b
∈ ∈
.
+) Theo gi thit ta có:
+ =
, vi
∈
+) Ta có + = ⇔ + + + = ⇔ + =
. Vi iu kin ca a, b
a + b = 11.
Vì b > a nên ch có các cp (a; b) sau tho mãn (2; 9), (3; 8); (4; 7), (5; 6). Vì nên
ch còn cp s (3; 8) tho mãn bài toán.
+) Kt lun: N m hc 2009 – 2010 trng trung hc ph! thông chuyên Quang Trung, tnh Bình
Phccó 38 hc sinh gi"i quc gia.
Ht
GV: Ph"m V(n Quý, Tr ng THPT chuyên Quang Trung
