Tài liệu Tài liệu ôn tập thể tích khối đa diện docx

Ơn Tập chương I
Gi¸o Viªn Phạm Văn Q - 1 -


THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1 , chiều dài bằng 3 và đường chéo
của hình hộp hợp với mặt đáy một góc 30 .

ĐS: V = 2 (đvtt)

2 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60 . Tính thể tích của hình hộp.

ĐS:

3
a2
V
2
(đvtt)


3 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6cm và góc nhọn bằng 45 , cạnh bên của hình
hộp dài 10cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 .Tính thể tích của khối hộp .

ĐS: V =180 (đvtt)



   


2
3
ABCD
4 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 , AB' hợp với đáy
(ABCD) một góc . Tính thể tích của hình hộp .
a 3 3
đs: V = S .BB' .atan a tan
22

5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC) . Mặt bên (SBC) tạo với
mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .
Giải
Gọi M là trung điểm BC , vì





đl3đ
(ABC)
ABC đều nên AM BC (1)
Do AM = hc SM,AM BC SM BC (2)
Mặt khác : (SBC) (ABC) = BC (3)
Từ (1),(2),(3) ((SBC);(ABC)) = SMA


  

  

a3
SAM vuông tại A nên SA = AH.tan = .tan
2
  


23
ABC
1 1 a 3 a 3 a
Vậy thể tích hình chóp là V= .S .SA . . .tan tan
3 3 4 2 8
   

6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc .
Tính thể tích của khối chóp .
Giải
Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S.




(ABC) (ABCD)
ABC nên SA = SB = SC .
Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi M là trung điểm BC .
Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH
SHA vuông tại H có SAH nên AH = S

    
  

2 2 2
ABC
A.cos a.cos .
SH = AH.tan acos .tan asin .
2 3 3
Mặt khác : AH = AM AM .AH acos
3 2 2
2.AM 2 3
Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . acos 3acos
2
33
( 3acos ) . 3 3 3a cos
S
44
Vậy thể tích
  
     
   
    

  
22
32
ABC
1 1 3 3a cos 3
của khối chóp là V = .S .SH . .asin a cos sin
3 3 4 4

    

Ơn tập chương I
- 2 -

a3
7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = và
2
mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) .
b

) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) .
c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Giải
a) Dựng SH (ABC)
a3
Ta có : SA = SB = SC = HA = HB = HC
2
H là tâm của đường tròn ngoại





 
2
2 2 2 2 2
(ABC) (ABC)
tiếp ABC
Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC .
a 3 a 3a a 2

Do SH SB HB ( ) ( ) SH
2 2 4 2
b) Do SH (ABC) H hc S AH hc AS (SA;(ABC)) SAH 60
SH
SAH vuông tại H nên tanSAH 2 SAH
AH


      
       
   

acrtan 2

c) Gọi M là trung điểm AB



(ABC) (ABC)
đlí 3 đ
2
Do SH (ABC) H hc S MH hc MS mà HM AB (1) vì HM // AC
MS AB (2)
Từ (1),(2) (SA;(ABC)) SAH 60
a 2 1 a 6 a 6
SHM vuông tại H , ta có : MH = SH.tan60 . AC 2MH ,
2 6 3
3
MB HB MH


     
 
  
     



2 2 2
a a 6 a 3 a 3
( ) ( ) AB 2MB
2 6 6 3
     


2 2 3
ABC ABC
1 1 a 3 a 6 a 2 1 1 a 2 a 2 a
S .AB.AC . . V .S .SH . .
2 2 3 3 6 3 2 6 2 12
       


8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là
trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC .
a) Tính thể tích khối chóp
  


   





23
S.ABC ABC
S.ABC .
b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C') .
c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' .
HD
1 1 a a
a) Ta có : V .S .SA .a.
3 3 2 6
b) Ta có :
BC AB
BC (SAB) BC AB' (1)
BC SA
SAB c 
    


S.AB'C' AB'C'
ân tại A nên SB AB' (2)
Từ (1),(2) suy ra AB' (SBC) AB' SC . Mặt khác : AC' SC nên SC (AB'C')
c) Ta có
11
V .SC'.S .SC'.AB'.B'C'
36
SAB vuông cân tại A, ta có : SB = a 2,AB' 
1 a 2
SB' SB

22

Ơn tập chương I
- 3 -





       
    
    


2 2 2 2 2 2 2
22
2
3
SAC vuông cân tại A, ta có : SC = SA AC SA AB BC 3a SC a 3
SA a a 3
SA SC'.SC SC'
SC 3
a3
a2
B'C' SB' 6 a 6
2
B'C'
BC SC 6 6
a3
1 a 3 a 2 a 6 a

Vậy V = . . .
6 3 2 6 36



9 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều , mặt đáy có cạnh bằng 2 , cạnh bên bằng 11 .
Giải
Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và H là tâm của mặt đáy ABCD .
Ta có : SH (AB
22
2
ABCD
1
CD) tại H và AH = AC 2
2
Vì SHD vuông tại H nên SH = SD HD 11 2 3
11
Vậy V = .S .SH .2 .3 4
33

    


10 Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích
của một mặt bên bằng 2 . Tính thể tích của hình chóp đó .

SCD
22
Giải
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt

đáy ABCD và M là trung điểm của CD.
Cạnh đáy : a = 4 2
1
Mặt bên : S 2 .CD.SM 2 SM 2
2
Chiều cao : SH = SM HM 2 1 1

    
   





ABCD
1 1 4
Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .4.1
3 3 3


11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và đường chéo AC = 2 . Biết SA (ABCD) và
cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD .
G




(ABCD) (ABCD)
22

ABCD
ABCD
iải
Vì SA (ABCD) A = hc S AC = hc SC
(SC;(ABCD)) SCA 30
3 2 3
SAC vuông tại A nên SA = AC.tan30 2.
23
AC
S AB ( ) 2
2
1 1 2 3 4 3
V = .S .SA .2.
3 3 3 9
  
  
  
   





12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,
cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = a .
a) Tính diện tích SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD SC .
c) Tính góc tạo



bởi SC và mặt phẳng (SBD) .
d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD .

Ơn tập chương I
- 4 -



BCD
2
2 2 2 2
BCD
Giải
a) Ta có : SA (ABCD) . Gọi H là tâm của hình vuông ABCD .
1
Nối S và H thì SH BD (Đlí 3 đ ) nên S .BD.SH
2
a 2 a 6 1 a 6 a 3
ASH vuông tại A : SH SA AH a ( ) = S .a 2.
2 2 2 2 2

  
       





(SBD)
BD AC ( hai đường chéo hình vuông)

b) Ta có : BD (SAC) mà SC (SAC) nên BD SC
BD SA ( vì SA (ABCD))
c) Kẻ CK SH thì CK BD ( do BD (SAC)) CK (SBD) K= hc C (SC;(SBD)) = CSH
Áp dụng đlí


   



      
  
2 2 2
3
2
ABCD
hàm số cosin trong SCH ta được :
2 2 2 2
HC SH SC 2SH.SC.cosHSC cosHSC HSC acrcos .
33
1 1 a
d) V = .S .SA .a .a
3 3 3

      


12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a .
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a .

b) Tính cosin của góc nhò diện (SBA,SAD) .

2
22
tp ABCD SAB
3
2 2 2 2 2
ABCD
HD
a3
a) S S 4.S a 4. (1 3)a .
4
1 a 2 a 2 1 a 2 a 2
V = .S .SH , ta có : SH = SA HA a ( ) V= .a . =
3 2 2 3 2 6
     
    




b) Gọi M là trung điểm của SA , ta có : BM SA và DM SA = BMD là góc phẳng của nhò diện
(SAB,SAD) .
   

  
2 2 2
2 2 2 2
Áp dụng đlí hàm số cosin trong BMD ta được :
3a 3a 3a 1

BD MB MD 2MB.MD.cosBMD 2a 2. .cosBMD cosBMD
4 4 4 3

         

13 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .
HD
Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và


  
3
2
ABCD
mặt đáy là hình
vuông ABCD có tâm H .
Kẻ đường cao SH , ta có SAH SBH SBH SBH
a2
Xét SAH vuông tại H nên SH = AH .tan tan
2
1 1 a 2 a 2
Vậy V = .S .SH .a . tan tan
3 3 2 6
    
   
   

14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .



Ơn tập chương I
- 5 -




23
ABCD
HD
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD thì SMH
a
SH HM.tan tan
2
1 1 a 1
V .S .SH .a . tan a tan
3 3 2 6

   
    

15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh
đáy AB = a và SAB . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và .
HD
Gọi H là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm AB
  
đlí 3 đ
(ABCD) (ABCD)

2
2 2 2 2
2
2
.
Khi đó : SH (ABCD) và HM AB .
Vì H = hc S HM= hc SM SM AB
aa
SMA vuông tại M nên SH SM HM ( tan )
24
aa
(tan 1) SH ta
42


  
      
    
2
3
2 2 2
ABCD
2
n1
1 1 a a
Vậy V= .S .SH .a . tan 1 tan 1
3 3 2 6
Với điều kiện tan 1 0
42


     

      

16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở
đỉnh bằng .


2 2 2 2 2
2
2 2 2
HD
Gọi BSH = . Áp dụng đl cosin vào SBD và SBC :
BD 2SB (1 cos2 ) BC 2SB .sin
sin 1 cos
BC 2SB (1 cos ) cos cos
  

     
    

      




2
2 2 2 2 2 2
ABCD
2

1 cos 1 cos
S BC 2HB 2a tan 2a . 2a .
cos
cos
   
     




22
2 2 2
3
ABCD
4a sin
2
S =
cos
4a sin sin
1 1 4a
22
V = .S .SH . .a .
3 3 cos 3 cos








17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a .
Giải
Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình
vuông BCDE có cạnh bằng a .
Vì mặt BCDE chia khối tám mặ
3
2
ABCDEF ABCDE BCDE
t đều thành hai phần bằng nhau nên :
1 1 a 2 a 2
V = 2.V 2. .S .AO 2. .a .
3 3 2 3
  

Ơn tập chương I
- 6 -


18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của
các mặt hình lập phương .
Giải . Khối lập phương có cạnh bằng a . Khi đó khối tám mặt đều được tạo thành có mặt chéo ABFD
a2
có AF = a , BD = a . Dó đó : các cạnh bằng nhau và bằng
2
Thật vậy : AOB vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh :


2 2 2 2
3

2
ABCDEF A.BCDE BCDE
a a a 2
AB = OA OB ( ) ( )
2 2 2
Vì mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :
1 1 a 2 a a
V = 2.V 2. .S .AO 2. .( ) .
3 3 2 2 6
( xem hình bài 17 )
   
  

19 Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung
điểm của các cạnh của khối tứ diện đều .
Giải . Khối tám mặt đều được tạ
a
o thành có các cạnh bằng nhau và bằng
2
Thật vậy : Gọi P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC .
Khi đó : PQ vuông góc với AB, CD . Tam giác APQ vuông tại P .
Ta có : PQ =
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2
ABCDEF
a 3 a a 2
AQ AP ( ) ( )

2 2 2
a
PRQ vuông tại R và PQ = RP RQ 2RP PQ
2
a a a 2
RP cạnh RP = đường cao AO = .
4 2 4
Mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :
V = 2
   
    
   
3
2
A.BCDE BCDE
1 1 a a 2 a 2
.V 2. .S .AO 2. .( ) .
3 3 2 4 24
  

a5
20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD.
2
a) Tính thể tích của khối chóp .


tp

b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .
c) Tính S của hình chóp .

Giải
a) Gọi O = AC BD



Ơn tập chương I
- 7 -


(ABCD)
SA SC
SO AC,AC (ABCD)
Ta có : SB SD SO (ABCD)
SO BD,BD (ABCD)
O là trung điểm AC và BD
O hc S SO là đường cao của S.ABCD
a3
OA = ( đường cao ABD đều cạnh a )
2
SOA vuông tại O



  
   






  




22
22
2
ABCD ABD
23
ABCD
5a 3a a 2
, ta có : SO = SA AC
4 4 2
1 1 a 2 a 3
S 2S 2. .OA.BD 2. . .a
2 2 2 2
1 1 a 2 a 3 a 6
V = .SO.S . .
3 3 2 2 12
b) Chứng minh : (SAC) (SBD)
AC BD (đ/c hình thoi)
Ta có : AC SO ( vì SO (ABCD))
SO
   
   
  





tp SCD ABCD
SCD
SCD
AC (SBD)
(SAC) (SBD)
AC (SAC)
(SBD)
c) S 4S S ( Vì SCD = SBC = SAB = SAD )
SD SC DC a( 3 5 2)
Tính S : Vì nửa chu vi p =
22
Áp dụng công thức He-rông ta được : S p(p S



  






     
   



2
22

22
SCD
2 2 2
tp
D)(p SC)(p DC)
a
p SD ( 5 2 3) (1)
4
a
p SC ( 3 5 2) (2)
4
a
p DC ( 3 5 2) (3)
4
a 11
aa
Vậy : S [( 3 5) 2][4 ( 3 5) 60 16
16 16 8
a 11 a 3 a
S ( 11 3)
2 2 2

   
   
   
       
    

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
23

ABC
1 Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Tính thể tích của lăng
trụ .
Giải
Gọi lăng trụ tam giác đều là ABC.A'B'C'
a 3 a
Ta có : V = AA'.S 2a.
4

3
2

2
2 Một lăng trụ đứng có chiều cao 20cm . Mặt đáy của lăng trụ là một tam
giác vuông có cạnh huyền 13cm , diện tích là 30cm . Tính diện tích xung
quanh và diện tích toàn phần c
2
ABC
ủa hình lăng trụ .
Giải
Gọi hình lăng trụ là ABC.A'B'C'
ABC vuông tại B , AC = 13cm
S 30cm ,AA' 20cm
Gọi x,y là hai cạnh góc vuông của ABC . Điều kiện : 0 < x,y < 13 .





Ơn tập chương I
- 8 -



2 2 2
2
2
2
xq
3
tp xq đáy
x y 13 169
(x y) 2xy 169
Theo đề :
1
xy 60
xy 30
2
(x y) 169 2xy 289 x y 17
Vậy : S CVi đáy cạnh bên = (17+13) 20 = 600cm
S S 2.S 600 2.30 660cm

  


  









       
  
    

3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diện
tích xung quanh bằng 480 . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
Chu vi đáy của khối lăng trụ : 2p = 37+13+30 = 80 p = 40 .
480
Chiếu cao của khối lăng trụ : h = 6
80
Áp dụng công thức Hê-rông , diện tích đáy của khối lăng trụ là :
S = 40(40 37)(40 13)(40 30) 180
Vậy thể tích khối l


   
ăng trụ : V = S.h = 1080 .

4 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy một góc 30 và
có chiều cao bằng 8 . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
Gọi khối lăng t




(ABC) (ABC)
rụ là ABC.A'B'C' . Kẻ A'H (ABC) tại H .
Ta có : H = hc A' AH = hc AA' (AA';(ABC)) A'AH 30
Đáy ABC có nửa chu vi : p = 21 .
Diện tích : S = 21(21 13)(21 14)(21 15) 84
A'HA vuông tại

   
   


1
H : A'H = AA'.sin30 8. 4
2
Thể tích : V = S.h = 336



5 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung
bình cộng của các cạnh đáy . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
Nửa 
19 20 37
chu vi đáy : p = 38
2
Diện tích đáy : S = 38(38 19)(38 20)(38 37) 114
19 20 37 76
Chiều cao : h =
33

76
Vậy thể tích của khối lăng trụ là V = Sh = 114. 2888
3


   







6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC vuông tại A , AC = a , ACB = 60 .Đường thẳng
BC , tạo với mp(AA C C) một góc 30 .
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC .
  

  




b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho .



(AA'C'C)
(AA'C'C)
Giải

a) Tính AC'
ABC vuông tại A nên AB = AC.tan60 a 3
Ta có : AB AC,AB AA' AB (AA'C'C) A= hc B
AC'= hc BC' (BC';(AA'C'C)) BC'A 30

    
   





Ơn tập chương I
- 9 -



2 2 2 2
2
ABC
2
3
ABC.A B C ABC
AB a 3
AC'B vuông tại A AC' = 3a
1/ 3
tan30
b) AA'= AC' A'C' (3a) a 2 2a
a3
S

2
a3
Vậy : V AA'.S 2 2a. a 6
2
  
   
   

  




2 2 3
ABCC'B' ABC.A'B'C' AA'B'C'
7 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a ,
AA' (ABC) . Tính thể tích của khối ABCC'B' .
Giải
a 3 1 a 3 a 3
V V V a. .a.
4 3 4 6

    

8 Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a .Hình chiếu vuông góc của A lên mp
(ABC) trùng với trung điểm I của BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Tính thể
  

ABC
tích của khối lăng

trụ này .
Giải
Theo đề : A'I (ABC)
A'I là đường cao của khối lăng trụ nên V = A'I.S
a3
ABC đều có đường cao AI =
2






(ABC) (ABC)
23
ABC
Vì I = hc A' AI = hc AA'
(AA';(ABC)) A'AI 60
a 3 3a
A'IA vuông tại I nên A'I = AI.tanA'IA .3
22
3a a 3 3 3a
Vậy : V = A'I.S .
2 4 8

  
  



9 (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A'
cách đều ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 .
a) Tính the

å tích của khối lăng trụ đó .
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC'B' là một hình chữ nhật .
c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ .
Giải
a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC .

23
ABC
Vì A'A = A'B = A'C
nên A'O mp(ABC) .
Vậy : A'AO 60
a3
Từ đó ta có : A'O = AO.tan60 AO. 3 . 3 a
3
a 3 a 3
Vậy thể tích cần tìm là V = S .A'O .a
44


  




2
xq AA'B'B BB'C'C

b) Vì BC AO nên BC AA' hay BC BB' . Vậy : BB'C'C là hình chữ nhật
c) Gọi H là trung điểm của AB . Ta có :
a3
S 2.S S 2.A'H.AB BB'.BC (2 13 )
3
  
     

10 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a , BC = 2a , AA' = 3a.
Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA' lần lượt cắt các đoạn thẳng CC' và BB' tại M và N .

Ơn tập chương I
- 10 -



3
C.A'AB A'.ABC ABC
a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB .
b) Chứng minh rằng : AN A'B .
c) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN .
d) Tính diện tích AMN .
Giải
11
a) V V .S .AA' .a.2a.3a a
36
b) Ta có :


   

A'.AMN M.AA'N M.AA'B
CB AB,CB AA' (do AA' (ABC)) , suy ra : CB (A'AB)
Mặt khác : AN CA' ( do CA' (AMN)) .
Suy ra : AN A'B (đlí 3 đường )
c) Ta có : V V V ( Vì NB//AA')

   



C.AA'B
3
32
A'.AMN
AMN
2
2 2 2
= V ( do MC//(AA'B))
= a .
3.V
3a a 14
d) S
A'I 3
(3a)
a (2a) (3a)
  


11 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy a , góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng
(BB'C'C) bằng .

a3
a) Chứng minh rằng : AB' = .
2sin
b) Tính diện tích xung quanh của lăng



trụ .
c) Tính thể tích của lăng trụ .
Giải
a) Gọi I là trung điểm của BC .
AI BC
Ta có : AI (BB'C'C) AB'I và AI B'I
AI BB'
AI a 3
AB'I vuông tại I , ta có : AB' = .
sin 2sin
b) AB'


     






22
2 2 2 2 2
22

2
2 2 2
xq
23
22
ABC
3a 3a
B vuông tại B nên BB' AB' AB a = (3 4sin )
4sin 4sin
a a 3a
BB' = 3 4sin S = 3a. 3 4sin = 3 4sin .
2sin 2sin 2sin
a 3 a a 3
c) V= S .BB' . 3 4sin 3 4sin
4 2sin 8sin
     

       
  
     




12 (QGHN-D2000) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC cân tại A , ABC ;
BC hợp với mặt đáy (ABC) một góc . Gọi I là trung điểm cạnh AA .
Biết BIC = 90 .
  





22
a) Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân .
b) Chứng minh : tan + tan 1  

(ABC) (ABC)
Giải
a) Gọi H là trung điểm của BC .
ABC cân tại A nên AH BC (1)
Mặt khác : AI (ABC) A = hc I AH = hc IH (2)
Từ (1) , (2) suy ra : IH BC ( Đlí 3 đường )

  


BIC vuông tại I , có đường cao IH vừa là trung tuyến nên cân tại I .

Ơn tập chương I
- 11 -

(ABC) (ABC)
22
2 2 2 2
AH 2AH
b) AHB vuông tại H cho tan =
BH BC
Mặt khác : C = hc C' BC = hc BC' C'BC
CC' AA'
BCC' cho tan =

BC BC
AA' BC
Mặt khác : IAH vuông tại H cho IA AH IH AH
44
B
Chia hai vế cho
  
   
  
     
2 2 2
22
22
C AA' 4AH
ta được : 1 tan tan 1
4
BC BC
     


BÀI TẬP TỰ GIẢI
1 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
nhau . Biết BC = a , tính thể tích của khối chóp S.ABC .
3
a
ĐS : V =
8
2 Cho hình chóp S.ABC có SA AB, SA BC , BC AB . Biết AB = BC a 3, SA = a .Tính thể
tích của khối chóp S.ABC .
   

3
a
ĐS : V =
2
3 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6,8,10 . Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với
đáy góc 60 . Tính th

ể tích khối chóp đó . ĐS : V = 16 3


a3
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A 60 , SA = SB = SD = .
2
a) Tính thể tích của khối chóp .


3
S.ABCD
2
tp tp
a5
V =
12
b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .
a
c) Tính S của hình chóp . S ( 2
2

2 3)
5 Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SB = b . Tính thể tích hình

chóp ấy .
HD : Kẻ SH (ABC) thì H là tâm của tam giác đều ABC và M là trung điể m BC , ta được :


2
2 2 2 2
a 3 1 a 3
AM = ,SH 9b 3a V 9b 3a
3 3 36
    

6 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông ở C có cạnh huyền AB = 2a . Gọi
H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB .
a) Tính thể tích của khối chóp
3
H.ABC
a3
H.ABC . V
7
b) Chứng minh rằng : AH SB và SB (AHK) .
c) Tính thể tích khối chóp S.AHK .


3
H.ABC
2a 3
V
21
7 Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B C D . Biết khối chóp C.C B D là một tứ diện đều cạnh a .


      
3
a2
V =
2

Ơn tập chương I
- 12 -
8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAC)
vuông góc với đáy và SA = 2a .
a) Tính thể tích của khối chóp . b)

tp
32
tp
Tính S của khối chóp .
a 3 a
Đáp số : a) V= b) S (8 3 19)
64
  
9 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại A , ta lấy
điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 ,mặt bên (SDC) tạo với

mặt đáy một góc 60 .
a) Tính thể tích của khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp .
c) Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy .




xq
30
22
Đáp số : a) V = b) S 2(1 3) c) SCA arctan
3 10
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, SA=
  

2
SBD
AB= a.
a) Tính diện tích SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD SC .
c) Tính (SC,(SBD)).
d) Tính thể tích hình chóp .
a3
Đáp số : a) S c) HS
2




3
S.ABCD
2 2 a
C = arccos d) V
33


3

11 Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có chiều cao h và hai đường thẳng B C,BC vuông góc với nhau .
h3
Tính thể tích lăng trụ đó. V=
4
    

12 (A2-QGTP.HCM-2000) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường thẳng d vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm M . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , K là trực tâm của tam giác BMC
a) Chứng minh rằng : MC (BHK) , HK (BMC) .
b) Khi M thay đổi trên d , Tìm GTLN của thể tích tứ diện KABC .

3
a
V =
48

1
13 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích của hai tứ
3
diện ABMD và ABMC .
ABDM
ABCM
V
Đáp số : 2
V


14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB C C và khối
lăng trụ ABC.A B C

    
  
A.BB'C'C
ABC.A'B C
V
2
Đáp số :
V3







trungtrancbspkt