Tài liệu Bài tập hình học: Khối đa diện docx

TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š






BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

TẬP 1

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC









Năm 2009

Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 1




1. Hai đường thẳng song song
a) Đònh nghóa:
abP
ab
ab
,()
ì
Ì
Û
í
Ç=Ỉ
ỵ

P

b) Tính chất
·
()()()
()(),,
()()
()()
PQR
PQaabcđồngqui
PRbabc
QRc
ì
¹¹
ï
ï
é
Ç=
Þ
í
ê
Ç=
ë
ï
Ç=
ï
ỵ
PP

·

()()
(),()
()
PQd
dab
PaQb
dadb
ab
ì
Ç=
ï
é
ÉÉÞ
í
ê
ºº
ë
ï
ỵ
PP
P


·

,
ab
ab
acbc

ì
¹
Þ
í
ỵ
P
PP

2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: d // (P)
Û
d
Ç
(P) =
Ỉ

b) Tính chất

·

(),'()
()
'
dPdP
dP
dd
ì
ËÌ
Þ
í

ỵ
P
P

·

()
(),()()
dP
da
QdQPa
ì
Þ
í
ÉÇ=
ỵ
P
P


·

()()
(),()
PQd
da
PaQa
ì
Ç=
Þ

í
ỵ
P
PP

3. Hai mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: (P) // (Q)
Û
(P)
Ç
(Q) =
Ỉ

b) Tính chất

·

(),
()()
(),()
Pab
abMPQ
aQbQ
ì
É
ï
Ç=Þ
í
ï
ỵ

P
PP

·

()()
()()()()
()()
PQ
PRPQ
QR
ì
¹
ï
Þ
í
ï
ỵ
PP
P

·

()()
()()
()()
QR
PQaab
PRb
ì

ï
Ç=Þ
í
ï
Ç=
ỵ
P
P

4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

·
Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh
song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …)

·
Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

·
Áp dụng các đònh lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh
()
dP
P
, ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một
đường thẳng d
¢

nào đó nằm trong (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai
đường thẳng trong mặt phẳng kia.
CHƯƠNG 0
ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

I. QUAN HỆ SONG SONG
Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 2


1. Hai đường thẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: a
^
b
Û

¶
(
)
0
,90
ab =
b) Tính chất
· Giả sử
u
r
là VTCP của a,
v

r
là VTCP của b. Khi đó
.0
abuv
^Û=
rr
.

·

bc
ab
ac
ì
¤¤
Þ^
í
^
ỵ

2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: d
^
(P)
Û
d
^
a,
"
a

Ì
(P)
b) Tính chất
· Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng:
,(),
()
,
abPabO
dP
dadb
ì
ÌÇ=
Þ^
í
^^
ỵ

·
ab
Pb
Pa
()
()
ì
Þ^
í
^
ỵ
P
·

ab
ab
aPbP(),()
ì
¹
Þ
í
^^
ỵ
P

·
PQ
aQ
aP
()()
()
()
ì
Þ^
í
^
ỵ
P
·
PQ
PQ
PaQa
()()
())

(),()
ì
¹
Þ(
í
^^
ỵ
P

·
aP
ba
bP
()
()
ì
Þ^
í
^
ỵ
P
·
aP
aP
abPb
()
)
,()
ì
Ë

Þ(
í
^^
ỵ
P

· Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng
tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng đó.
· Đònh lí ba đường vuông góc
Cho
(),()
aPbP
^Ì, a¢ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ^ a Û b ^ a¢
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: (P)
^
(Q)
Û

·
(
)
0
90
PQ(),()=
b) Tính chất
· Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
()

()()
()
Pa
PQ
aQ
ì
É
Þ^
í
^
ỵ

·
()(),()()
()
(),
PQPQc
aQ
aPac
ì
^Ç=
Þ^
í
Ì^
ỵ
·
()()
()()
,()
PQ

APaP
aAaQ
ì
^
ï
ỴÞÌ
í
ï
'^
ỵ

·
()()
()()()
()()
PQa
PRaR
QR
ì
Ç=
ï
^Þ^
í
ï
^
ỵ

4. Chứng minh quan hệ vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh

da
^
, ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

·
Chứng minh góc giữa a và d bằng 90
0
.

·
Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.

·
Chứng minh
db
^
mà
ba
P
.
II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 3

·
Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

·
Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.

·
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

·
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).

·
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

·
Chứng minh d // a và a
^
(P).

·
Chứng minh d
Ì
(Q) với (Q)
^
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

·
Chứng minh d = (Q)
Ç
(R) với (Q)
^
(P) và (R)
^

(P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

·
Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a
^
(Q).

·
Chứng minh
·
(
)
0
(),()90
PQ=





1. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b' Þ
¶
(
)
·
(
)

,','
abab
=
Chú ý: 0
0
£
¶
(
)
ab
,
£ 90
0

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
· Nếu d ^ (P) thì
·
(
)
,()
dP
= 90
0
.
· Nếu
()
dP
^ thì
·
(

)
,()
dP
=
·
(
)
,'
dd
với d¢ là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: 0
0
£
·
(
)
,()
dP
£ 90
0

c) Góc giữa hai mặt phẳng
·
(
)
¶
(
)
()
(),(),

()
aP
PQab
bQ
ì
^
Þ=
í
^
ỵ

· Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Ỵ c, dựng
(),
(),
aPac
bQbc
ì
Ì^
í
Ì^
ỵ
Þ
·
(
)
¶
(
)
(),(),
PQab

=
Chú ý:
·
(
)
00
0(),()90
PQ££
d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S¢ là diện tích của hình chiếu (H¢) của (H)
trên (Q), j =
·
(
)
(),()
PQ
. Khi đó: S
¢
= S.cos
j

2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn
vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ
một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
Khối đa diện Trần Só Tùng

Trang 4
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

·
Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

·
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.

·
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia.





1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH.
·
222
ABACBC
+= ·
22
ABBCBHACBCCH
.,.
== ·
222
111

AHABAC
=+
b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m
a
, m
b
, m
c
; bán
kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
· Đònh lí hàm số cosin:

222222
22
222
a=bc2bccosA;bcacaBcababC
– cos;.cos
+=+-=+-
· Đònh lí hàm số sin: R
C
c
B
b
A
a
2
sin
sin
sin
===

· Công thức độ dài trung tuyến:

222222222
222
242424
abc
bcacababc
mmm;;
+++
=-=-=-

2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
·
cba
hchbhaS .
2
1
.
2
1
.
2
1
=== · CabBcaAbcS sin
2
1
sin.
2
1

sin
2
1
===
·
R
abc
S
4
= · prS
=
·
(
)
(
)
(
)
Sppapbpc
=

· DABC vuông tại A: 2
SABACBCAH

==

· DABC đều, cạnh a:
2
3
4

a
S =
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy
´
cao =
·
ABADsinBAD

e) Hình thoi:
·
1
2
SABADsinBADACBD

==
f) Hình thang:
( )
hbaS .
2
1
+= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
SACBD
.

=

IV. Nhắc lại một số công thức
trong Hình học phẳng
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 5



1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:

Vabc
=
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối chóp:

1
3
đáy
VSh
.
=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
3. Thể tích của khối lăng trụ:

đáy
VSh
.

=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích bằng công thức

·
Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …

·
Sử dụng công thức để tính thể tích.
b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể
tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện
thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B'
trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:

OABC
OABC
V
OAOBOC
VOAOBOC
'''

'''
=
* Bổ sung
· Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
· Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh
với diện tích các đáy.


Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa
mặt bên và mặt đáy bằng a (45
0
< a < 90
0
). Tính thể tích hình chóp.
HD: Tính h =
1
2
a
tan
a

Þ
Va
3
1
tan
6
=a

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh

bên SA = a
5
. Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt
SC và SD tại C¢ và D¢. Tính thể tích của khối đa diện ADD¢.BCC¢.
HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD

Þ

a
V
3
53
6
=
CHƯƠNG I
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 6
Bài 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
Tính thể tích hình chóp theo x và y.
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)

Þ

xy
Vxy
22
4
12

=

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính
thể tích tứ diện theo a, b, c.
HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của
PQ, QR, RP. Chú ý: V
APQR
= 4V
ABCD
=
1
6
APAQAR



Þ

Vabcbcacab
222222222
2
()()()
12
=+-+-+-
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ^
(ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính
thể tích khối chóp A.BCNM.
HD:
2
2

2
16
25
SAMN
SABC
V
SASMSNSA
VSASBSC
SB

ỉư
===
ç÷
ç÷
èø

Þ

a
V
3
33
50
=
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB
= 7
3
cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC =
4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm.

Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 8. Cho hình tứ diện ABCD có AD ^ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC =
5cm.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có mp(ABC¢) tạo với đáy một góc 45
0
và
diện tích DABC¢ bằng 49
6
cm
2
. Tính thể tích lăng trụ.
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với
mp(ABCD) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy
các điểm M, N và gọi BM = x, DN = y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a
2
, SA
^ (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và
AC.
a) Chứng minh mp(SAC) ^ BM.
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ^
(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể
tích khối chóp A.BCNM.
Bài 13. (A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a
3
và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là

trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2
đường thẳng AA’ và B’C’.
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 7
HD:
3
1
24
a
V ;cos
j
==

Bài 14. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB
= a
3
và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và
DN.
HD:
3
35
35
a
V ;cos
j
==
Bài 15. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC
= a, cạnh bên AA’ = a
2

. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng
trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B¢C.
HD:
3
27
27
aa
Vd;==
Bài 16. (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ^ BP và tính thể tích khối CMNP.
HD:
3
3
96
a
V =
Bài 17. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Chứng minh MN ^ BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
HD:
2
4
a
d =
Bài 18. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
·
·
0

90
ABCBAD==, BC = BA = a, AD = 2a. SA^(ABCD), 2aSA = . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách
từ H đến (SCD).
HD:
3
a
d
=

Bài 19. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm
O¢ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
HD:
3
3
12
a
V =
Bài 20. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
2aAD = , SA = a và SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ^ (SMB). Tính thể tích của khối tứ
diện ANIB.
HD:
3
2
36
a
V =
Bài 21. (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =

Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 8
2a và SA ^ (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính
thể tích của hình chóp A.BCMN.
HD:
3
33
50
a
V =
Bài 22. (Dự bò 1 A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
=
52a và
·
0
120
BAC = . Gọi M là trung điểm CC
1
. Chứng minh MB ^ MA
1
và tính
khoảng cách d từ A đến (A
1

BM).
HD:
5
3
a
d =
Bài 23. (Dự bò 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc
·
(
)
0
60
SBCABC(),()=, ABC và SBC
là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
HD:
3
13
a
d =
Bài 24. (Dự bò 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ^
(ABCD). AB = a, 2aSA = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,
SD. Chứng minh SC^(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK.
HD:
3
2
27
a
V =
Bài 25. (Dự bò 2 B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và
điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P)

tại A lấy điểm S sao cho
·
(
)
0
60
(SAB)SBC,()=. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A
trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC.
HD:
3
6
12
R
V =
Bài 26. (Dự bò 1 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = AC = a, AA
1
= 2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng
minh MN là đường vuông góc chung của AA
1

và BC
1
. Tính thể tích của tứ diện
MA
1
BC
1
.
HD:
3
2
12
a
V =
Bài 27. (Dự bò 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M
là trung điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh BM ^ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BM và B
1
C.
HD:

30
10
a
d =
Bài 28. (Dự bò 1 A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a,
AA' =
3
2
a
và
·
0
60
BAD = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'.
Chứng minh AC' ^ (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 9
HD:
3
3
16
a
V =
Bài 29. (Dự bò 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
.
Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3

a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.BCMN.
HD:
3
103
27
Va
=
Bài 30. (Dự bò 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0
60
BAD = , SA ^ (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua
AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối
chóp S.AB'C'D'.
HD:
3
3
18
a
V =
Bài 31. (Dự bò 2 B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác
đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A'BC). Tính tana và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.
HD:
222
3
6
aba

V
-
=
Bài 32. (Dự bò 1 D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH
là đường cao của hình chóp. Khoảng cachs từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng
(SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
HD:
3
22
2
3
16
ab
V
ab
.=
-

Bài 33. (Dự bò 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh bằng a và điểm K
thuộc cạnh CC¢ sao cho CK =
2
3
a
. Mặt phẳng (a) đi qua A, K và song song với BD,
chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
HD:
33
12
2
33

aa
VV;==
Bài 34. (Dự bò 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB ^ (ABC). Tam giác ABC có
BA = BC = a, góc ABC bằng 120
0
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 35. (Dự bò 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng
minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.




Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 10


Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và
·
ASB
a
=
.
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.
b) Chứng minh đường cao của hình chóp bằng
2
1
22
a
cot

a
-

c) Tính thể tích khối chóp.
HD: a) S
xq
=
2
2
a
cot
a
c) V =
32
1
1
62
acot
a
-

Bài 2. Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC
là tam giác cân đỉnh A. Trung tuyến AD = a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc a và tạo
với mp(SAD) góc b.
a) Xác đònh các góc a, b.
b) Chứng minh: SB
2
= SA
2
+ AD

2
+ BD
2
.
c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp.
HD: a)
·
·
SBABSD;
ab
==

c) S
tp
=
22
22
22
1
22
2
aasin
(sinsin)
cossin
cossin
b
ab
ab
ab
++

-
-

V =
3
22
3
asin.sin
(cossin)
ab
ab
-

Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam
giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là một điểm di động
trên đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng SH ^ (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD.
b) Tìm tập hợp các hình chiếu của S lên DM.
c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.
HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK =
22
22
744
2
aaaxx
ax
-+
+

Bài 4. Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta

lấy điểm S với SA = 2a. Gọi B¢, D¢ là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng
(AB¢D¢) cắt SC tại C¢. Tính thể tích khối chóp SAB¢C¢D¢.
HD:
8
15
SABC
SABC
V
V
¢¢
=

Þ
V
SAB
¢
C
¢
D
¢

=
3
16
45
a

Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt
SA, SB, SC, SD lần lượt tại A¢, B¢, C¢, D¢. Chứng minh:

SASCSBSD
SASCSBSD
+=+
¢¢¢¢

HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp
Bài 6. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH.
a) Chứng minh SA ^ BC.
ÔN TẬP KHỐI ĐA DIỆN

Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 11
b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC.
c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau.
HD: b) V =
3
2
12
a
; S
tp
= a
2
3
.
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
và cạnh
đáy bằng a.

a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P)
và hình chóp.
HD: a) V =
3
6
6
a
b) S =
2
3
3
a

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên
là a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
HD: a) S
xq
=
2
2
4
1
h
tan
tan
a
a

-
; V =
3
2
4
31
h
(tan)
a
-

Bài 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0
£ x £ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông,
người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0).
a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc.
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).
c) Tính thể tích khối chóp SABCM.
d) Với giả thiết x
2
+ y
2
= a
2
. Tìm giá trò lớn nhất của thể tích với SABCM.
e) I là trung điểm của SC. Tìm q tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên
đoạn AD.
HD: b) d =
2
2
x

c) V =
1
6
ayxa
()
+
d) V
max
=
3
1
3
24
a
Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một
góc b.
a) Chứng minh: SC
2
=
2
22
a
cossin
ab
-
.
b) Tính thể tích khối chóp.
HD: b) V =
3

22
3
asin.sin
(cossin)
ab
ab
-

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD. Chứng minh SC ^ (AEF).
Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.
Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 12
Bài 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB
= AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD) và SD= a .
a) Chứng minh DSBC vuông. Tính diện tích DSBC.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB
= AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD
3
a
= . Từ trung điểm E của DC
dựng EK ^ SC (K
SC
)
Ỵ
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ^

(EBK).
Bài 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D.
Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA =3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện tứ diện SBCD theo a.
Bài 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA
vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD
^
SB và AE
^
SC. Biết AB = a, BC =
b, SA = c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Bài 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a.
a) Xác đònh góc a.
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
33
8
a sin
sin
a
a
.
HD: a)
·
CBI

¢¢
với I
¢
là trung điểm của A
¢
B
¢

Bài 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h. Mặt phẳng (A¢BD) hợp với
mặt bên ABB¢A¢ một góc a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD: V =
32
1
h tan
a
-
, S
xq
=
22
41
h tan
a
-
.
Bài 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA¢ đến
mặt bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc a.
a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢. Chứng minh: AH = a,
·
CAC

¢
= a, CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Cho a = b không đổi, còn a thay đổi. Đònh a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
HD: b) V =
3
222
2
ab
basinsin
aa
-
c)
a
= arctan
2
2

Bài 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC¢ và
đáy là 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a
2
6

Bài 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2
mặt bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là a. Tính diện tích xung quanh hình lăng
trụ.
HD: S
xq
= 4h
2
1
cos
cos
a
a
-
.
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 13
Bài 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC¢) hợp
với mp(BCC¢B¢) một góc a. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢.
a) Chứng minh
·
AJI
= a.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: b) V =
3
2
3
43
a

tan
a
-
; S
xq
= 3a
2
2
3
3
tan
a
-
.
Bài 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b.
a) Xác đònh đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢. Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ
nhật.
b) Đònh b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 60
0
.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trò b tìm được.
HD: b) b = a
7
12
c) S
tp
=
2
7321
6

a
()
+
Bài 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt
bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
ACC¢A¢ hợp với đáy góc nhò diện có số đo a (0 < a < 90
0
).
a) Chứng minh:
·
AAB
¢
= a.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác đònh thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi b là góc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy.
Chứng minh: tanb =
2
tana.
HD: b) V =
1
2
a
3
sin
a
c) S
xq
= a
2

(1 + sin
a
+
2
1 sin
a
+ )
Bài 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A¢ lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho
·
BAA
¢
= 45
0
.
a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
HD: a) V =
2
2
8
a
b) S
xq
= a
2
(1 +
2
2
).
Bài 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn

tâm O. Hình chiếu của C¢ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC¢ là d và số
đo nhò diện cạnh CC¢ là 2j.
a) Tính thể tích lăng trụ.
b) Gọi a là góc giữa 2 mp(ABB¢A¢) và (ABC) (0 < a < 90
0
).
Tính j biết a + j = 90
0
.
HD: a) V =
33
2
2
31
d tan
tan
j
j
-
b) tan
a
=
2
1
31
tan
j
-
;
j

= arctan
2
2

Bài 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a.
Mặt bên ABBA¢ là hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC¢B¢). Xác đònh góc a.
b) Tính thể tích lăng trụ.
Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 14
HD: a)
3
2
a
. Gọi AK là đường cao của
D
ABC; vẽ KH
^
BB
¢
.
·
AHK
=
a
.
b) V =
3
3

2
a
cot
a
.
Bài 28. Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo
ACC¢A¢, BDD¢B¢ là S
1
, S
2
.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết
·
BAD
¢
= 1v. Tính thể tích hình hộp.
HD: a) S
xq
= 2
22
12
SS
+ b) V =
12
22
4
21
2
2

SS
SS
.
-

Bài 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD
một góc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một góc b.
a) Chứng minh:
·
·
CACvàACB
ab
¢¢
==
.
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d
3
sina.sinb
cos().cos()
abab
+-

c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuông. Cho d không đổi, a và b thay đổi
mà A¢D¢CB luôn là hình vuông, đònh a, b để V lớn nhất.
HD: c) 2(cos
2
a
– sin
2
b

) = 1 ; V
max
=
3
2
32
d
khi
a
=
b
= 30
0
(dùng Côsi).
Bài 30. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,
µ
A
= 60
0
. Chân
đường vuông góc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của
đáy. Cho BB¢ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
HD: a) 60
0
b) V =
3
3
4

a
; S
xq
= a
2
15
.
Bài 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD
= 60
0
;
A¢A = A¢B = A¢D và cạnh bên hợp với đáy góc a.
a) Xác đònh chân đường cao của hình hộp vẽ từ A¢ và góc a. Tính thể tích hình hộp.
b) Tính diện tích các tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢.
c) Đặt b =
·
(
)
ABBAABCD
,
¢¢
. Tính a biết a + b =
4
p
.
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.
b) S
BDD

¢
B
¢
=
2
3
3
a
sin
a
; S
ACC
¢
A
¢
= a
2
tan
a
c)
a
= arctan
173
4
-

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.



TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š






BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

TẬP 2

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC









Năm 2009

Trần Só Tùng Khối tròn xoay
Trang 15



I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Đònh nghóa
· Mặt cầu:
{
}
SORMOMR
(;)== · Khối cầu:
{
}

VORMOMR
(;)=£
2. Vò trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
· Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán kính
22
rRd
=
· Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S))
· Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán
kính bằng R đgl đường tròn lớn.
3. Vò trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).
· Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
· Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S). (
D
đgl tiếp tuyến của (S)).
· Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện
Tất cả các đỉnh của hình đa diện
đều nằm trên mặt cầu
Tất cả các mặt của hình đa diện
đều tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ
Hai đường tròn đáy của hình trụ
nằm trên mặt cầu

Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy
và mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn
đáy của hình nón
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và
mọi đường sinh của hình nón
5. Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì
tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
· Cách 2: Để xác đònh tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác đònh trục D của đáy (
D
là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác đònh mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và D là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
Cầu Trụ Nón
Diện tích
2
4
SR
p
=
2
xq
SRh
p
=

2
tpxqđáy
SSS
=+
xq
SRl
p
=
tpxqđáy
SSS
=+
Thể tích
3
4
3
VR
p
=
2
VRh
p
=
2
1
3
VRh
p
=

CHƯƠNG II

KHỐI TRÒN XOAY

Khối tròn xoay Trần Só Tùng
Trang 16
VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và )(ABCSA
^
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A,
B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính
2
SC
R = .
b) Cho SA = BC = a và 2aAB = . Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngoài d. Một góc xAy di
động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S.
Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3,
·
0
0
BAC6
= .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, )(ABCDSA
^
và
3aSA = . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm

điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp
xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết 3aCD = .
a) Tính AB.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên
và đáy bằng 60
0
. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường
trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K.
a) Tính SO, SA.
b) Chứng minh
SMKSOA
DD
:
( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.
c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.
d) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh
của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng 3RIS =
Bài 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Bài 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một
góc 60
0
.

a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác đònh tâm
và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
Trần Só Tùng Khối tròn xoay
Trang 17
Bài 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R
= 5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó.
Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác.
Bài 11. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 12. Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên
và đáy bằng 60
0
. Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 13. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h. Gọi O là tâm của
ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I.
Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kính mặt cầu này.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK
lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA =
7
a
và SA ^
(ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại
H, M, K.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ

Bài 1. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện
OO¢AB bằng 8 cm
3
. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO¢ hợp với mặt phẳng đáy một góc
0
60
.
Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 3. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao
và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy
điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
Bài 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ
hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc
30
0
. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’
của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Bài 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một
thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng
thiết diện.
Bài 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên
hai đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi
(
)

22
4
hahR
><+ .
a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
Khối tròn xoay Trần Só Tùng
Trang 18
Bài 7. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình
trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên.
b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó.
Bài 8. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Bài 9. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng 3R ; A và B là hai điểm trên
hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30
0
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Bài 10. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm
trên hai đường tròn đáy (O, R) và (O¢, R) sao cho OA và O¢B hợp với nhau một góc
bằng x và và hai đường thẳng AB, O¢O hợp với nhau một góc bằng y.
a) Tính bán kính R theo h, x, y.
b) Tính S
xq
, S
tp

và thể tích V của hình trụ theo h, x, y.
Bài 11. Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính
của hai đường tròn đáy (O), (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 30
0
.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’.
b) Tính tang của góc giữa AB’ và OO’.
c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’.
Bài 12. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao
2Rh = . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn
tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ
số thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ.
b) Gọi
(
)
a
là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục
OO’ và mặt phẳng
(
)
a
.
c) Chứng minh rằng
(
)
a
là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng
2
2

R
.

VẤN ĐỀ 1: Mặt nón – Hình nón – Khối nón

Bài 1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢D¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể
tích khối nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích
khối nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Trần Só Tùng Khối tròn xoay
Trang 19
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy
một góc
0
60
. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có
đỉnh S và đáy (C).
Bài 4. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 30
0
và cạnh IM =
a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo
thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành.
b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành.
Bài 5. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc
vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.

c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện
này.
Bài 6. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và
·
0
0
SAO3
= ,
·
0
0
SAB=6
. Tính độ dài
đường sinh của hình nón theo a.
Bài 7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Bài 8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình
nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
A’B’C’D’.
Bài 9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một
tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể
tích của khối nón.
Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên
và mặt đáy là
a
. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC,
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và

a
.
Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và
·
SAB
a
=
(
a
> 45
0
).
Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình
vuông ABCD.
Bài 12. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là
a
.
a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nón.
b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho
( )
10 <<= kk
SO
SI
. Tính diện
tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục.

Khối tròn xoay Trần Só Tùng
Trang 20


Bài 1. Cho một tứ diện đều có cạnh là a.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 2. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một
góc
0
60
.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là a.
a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
b) Tính giá trò của
tan
a
để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD)
và (BCD) vuông góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS¢. Một mặt phẳng vuông góc với
SS¢ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong
đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x < 2R).
a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x.
b) Xác đònh x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh

rằng các đường thẳng S¢A, S¢B, S¢C đôi một vuông góc với nhau.
Bài 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a.
Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng
qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố đònh. tính
diện tích của mặt cầu đó.
b) Co SA =
3
a
. Tính diện tích của tứ giác APQR.
Bài 7. Cho một đoạn thẳng IJ có chiều dài c. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại I ta
lấy hai điểm A, A¢ đối xứng qua I và IA = IA¢ = a. Trên đường thẳng vuông góc với IJ
tại J và không song song với AA¢ ta lấy hai điểm B, B¢ đối xứng qua J và JB = JB¢ = b.
a) Chứng minh rằng tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B nằm trên đường
thẳng IJ.
b) Xác đònh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B theo a, b, c.
Bài 8. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC)
vuông góc với nhau và
·
0
90
BDC = . Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD.
Bài 9. Cho hình cầu bán kính R. Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu, dựng ba cát tuyến
bằng nhau, cắt mặt cầu tại A, B, C sao cho:
·
·
·
ASBASC =BSC
a

==
. Tính thể tích V
của tứ diện SABC theo R và
a
.
Bài 10. Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác đònh tâm và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
ÔN TẬP KHỐI TRÒN XOAY

Trần Só Tùng Khối tròn xoay
Trang 21
a)
·
0
90
BAC = b)
·
0
60
BAC = , b = c c)
·
0
120
BAC = , b = c.
Bài 11. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác
đònh tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
Bài 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính S
xq
và S

tp
của hình trụ.
b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Bài 13. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
3
R
. A và B là 2 điểm trên 2 đường
tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30
.
a) Tính S
xq
và S
tp
của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ tương ứng.
Bài 14. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh
liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên
đường tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy hình trụ
một góc
0
45
. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó.
Bài 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc
vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích khối nón tương ứng.
Bài 16. Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn
OS, đặt OM = x (0 < x < h).

a) Tính diện tích thiết diện (C) vuông góc với trục tại M.
b) Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy (C) theo R, h và x. Xác đònh x sao cho V
đạt giá trò lớn nhất.
Bài 17. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh bằng đường kính đáy.
Một hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy hình nón.
a) Xác đònh giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.
b) Tính diện tích của phần mặt nón nằm trong mặt cầu.
c) Tính S mặt cầu và so sánh với diện tích toàn phần của mặt nón.
Bài 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD
nội tiếp, cạnh bằng a. Biết rằng
·
00
2045
ASB
,()
aa
=<< . Tính thể tích khối nón và
diện tích xung quanh của hình nón.
Bài 19. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2
a
. Trong hình nón có một
hình trụ nội tiếp. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua
trục của hình trụ là một hình vuông.
Bài 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là
a
.
Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h,
cắt hình nón theo đường tròn (C). Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h và
a
.

Khối tròn xoay Trần Só Tùng
Trang 22


Bài 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC)
và SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt
·
ACM
= a, hạ SH vuông góc
với đường thẳng CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trò lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI.
HD: a) Q tích điểm H là một cung tròn. MaxV
SAHC
=
3
12
a


b) AK =
2
1

asin
sin
a
a
+
,

SK =
2
1
a
sin
a
+
, V =
3
2
2
241
a sin
(sin)
a
a
+

Bài 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc
·
BAC
= 2a. Trên đường thẳng d qua
A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung

điểm của BC. Hạ AH ^ SI.
a) Chứng minh AH ^ (SBC). Tính độ dài AH theo a, a.
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt
AK
AI
= x. Mặt phẳng (R) qua K và vuông
góc với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình
gì? Tính diện tích tứ giác này.
HD: a) AH =
2
2
4
a.cos
cos
a
a
+
b) S
MNPQ
=
(
)
2
41
axxa
–sin

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x
ỉư
ç÷

ç÷
èø
2
0 < x <
2
và AC = AD = BC = BD = 1.
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và
CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trò lớn
nhất đó.
HD: b) V =
22
212
3
xx
-
; MaxV =
2
93
khi x =
3
3

Bài 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa
đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt
hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để DOMN vuông tại O
là:
2

2
xya
=
.
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho DOMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác
đònh x, y để thể tích tứ diện này bằng
3
a
4
.
HD: a) MN =
22
2
axy
()
+- b) V =
3
6
a
xy
()
+
, (x, y) =
2
a
a
;
ỉư
ç÷
èø

hoặc
2
a
a
;
ỉư
ç÷
èø
.
ÔN TẬP TỔNG HP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Trần Só Tùng Khối tròn xoay
Trang 23
Bài 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S.
Gọi a là góc nhọn tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp SABCD.
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABCD theo a và a.
b) Xác đònh đường vuông góc chung của SA và CD. Tính độ dài đường vuông góc
chung đó theo a và a.
HD: a) V =
3
6
a
tan
a
, S
tp
=
2
1

1a
cos
a
ỉư
+
ç÷
èø
b) d =
a
tan
cos
a
a

Bài 6. Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R lấy một điểm C tùy ý. Dựng CH vuông
góc với AB (H thuộc đoạn AB) và gọi I là trung điểm của CH. Trên nửa đường thẳng It
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I lấy điểm S sao cho góc
·
ASB
= 90
o
.
a) Chứng minh tam giác SHC là tam giác đều.
b) Đặt AH = h. Tính thể tích V của tứ diện SABC theo h và R.
HD: b) V =
( )
3
2
Rh2Rh
–

Bài 7. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua trung điểm I của cạnh
AB và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E sao cho IE = a. M là điểm thay
đổi trên cạnh AB, hạ EH ^ CM. Đặt BM = x.
a) Chứng minh điểm H di động trên một đường tròn. Tính độ dài IH.
b) Gọi J là trung điểm của đoạn CE. Tính độ dài JM và tìm giá trò nhỏ nhất của JM.
HD: a) IH =
22
2
4
axa
ax
-
+
b) JM =
2
2
5
24
aa
x
ỉư
-+
ç÷
èø
,
MinJM =
5
2
a

khi x =
2
a

Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' và điểm M trên cạnh AD. Mặt phẳng
(A'BM) cắt đường chéo AC' của hình hộp tại điểm H.
a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh AD thì đường thẳng MH cắt đường thẳng
A'B tại một điểm cố đònh.
b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo bởi mặt phẳng A'BM cắt hình hộp trong
trường hợp M là trung điểm của cạnh AD.
c) Giả sử AA' = AB và MB vuông góc với AC. Chứng minh rằng mặt phẳng A'BM
vuông góc với AC' và điểm H là trực tâm của tam giác A'BM.
HD: a) MH cắt A
¢
B tại trung điểm I của A
¢
B. b)
1
2
1
11
V
V
=

Bài 9. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. I là trung điểm AB. Qua I dựng đường vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho 2IS = a
3
.
a) Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuông.

b) Tính thể tích khối chóp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).
HD: b) V =
3
3
12
a
, d =
3
2
a

Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỷ số
3
AM
MD
=
. Hãy tính khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (AB’C).