Tài liệu ôn thi vào 10 môn toán

ôn tập vào lớp 10
Phần 1: Các loại bài tập vỊ biĨu thøc
Bµi 1: Cho biĨu thøc : P 

1
a 2
5


a 3 a  a  6 2 a

a) Rót gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1


Bài 2: Cho biÓu thøc: P= 1 


x   x 3
x 2
x 2 
:



x  1   x  2 3  x x  5 x  6 

a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0

x1

8 x  

1

3 x  2

 : 1 



Bµi 3: Cho biĨu thøc: P= 
 

9
x

1
3
x

1
3
x

1
3
x


1

 

a) Rót gän P
b) T×m các giá trị của x để P=


a

6
5
1

2 a



:

Bài 4: Cho biÓu thøc P= 1 
  a  1  a a  a  a  1
a

1



a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1

c) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3
  1  a3
a (1  a ) 2  1  a 3
:
 a .


  1 a
1 a
1

a



Bµi 5: Cho biĨu thøc: P=


a 



a) Rót gän P
b)

1

XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P- 2 )


x 1


Bµi 6: Cho biĨu thøc: P = 
 2x 1
a) Rót gän P

 
2x  x
x 1
 1 : 1 

2x  1
2x 1


1
b) Tính giá trị của P khi x  . 3  2 2
2



2x  x 

2 x  1 


1



2 x


Bµi 7: Cho biĨu thøc: P= 
x
x

x

x

1

a) Rót gän P
b) Tìm x để P 0

1
x


x
: 1 

x  1 
1  

 2a  1
  1  a3

a

.

Bµi 8: Cho biĨu thøc: P= 
  1 a 
3
a

a

1
 a



a



a) Rót gän P
b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P. 1  a
 x2

x 1

x 1
.





Bµi 9: Cho biÓu thøc P= 1 : 
 x x  1 x  x 1 x  1
a) Rót gän P
b) So sánh P với 3

Bài 10: Cho biểu thức :

1 a a
 1 a a
 a .

 1 a
  1 a

P= 


a 


a) Rót gän P
b) T×m a ®Ó P< 7  4 3
 2 x

x

3x  3   2 x  2


x3

:


Bµi 11: Cho biĨu thøc: P=

x

9
x

3
x

3


a) Rút gọn P

b) Tìm x để P<


1


1
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biÓu thøc:

x 3 x
  9 x
x 3
 1 : 


x

9
x

x

6
2

x

 

P= 

x  2

x  3 

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biÓu thøc : P=

15 x  11 3 x  2 2 x  3


x  2 x  3 1 x
x 3

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
c) Chứng minh P

1
2

2
3

Bài 14: Cho biĨu thøc:

2 x
x
m2


P=
2
x m
x  m 4 x  4m

víi m>0

a) Rót gän P
b) TÝnh x theo m ®Ĩ P=0.
2


c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mÃn
điều kiện x>1
Bài 15: Cho biÓu thøc P=

a2  a
2a  a

1
a  a 1
a

a) Rót gän P
b) BiÕt a>1 H·y so s¸nh P với P
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña P


  a 1
ab  a
 1 : 

ab  1

  ab  1

a 1


Bµi 16: Cho biĨu thøc P= 
 ab  1
a) Rót gän P
b) Tính giá trị của P nếu a= 2

3 1
1 3
a b 4

3 và b=

c) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa P nÕu

Bµi 17: Cho biĨu thøc :

P=


ab  a
 1
ab  1


a a  1 a a 1 
1  a  1

a  1


 a 


a a
a a 
a  a  1
a  1 

a) Rót gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biĨu thøc:

 a
1 


P= 
2 a 
 2

a) Rót gän P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thøc



P=

a



2

 a1

 a 1 


a 1

a  1 

2

b  4 ab a b b a
.
a b
ab

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a= 2 3 và b= 3
Bài 20: Cho biĨu thøc :
a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng P>0

 x2
x
1 
:



x
x

1
x

x

1
1

x



P= 

x1
2

 x 1
2 x x


Bµi 21: Cho biĨu thøc : P= 
x x1
a) Rót gän P
b) TÝnh P khi x= 5  2 3

1
x

 
x 2 
 : 1 

1  
x  x  1 

3


3x


 1

2
1
2 

:

1
:

P=
2 x 4 x 4 2 x  4 2 x





Bµi 22: Cho biĨu thøc

a) Rót gän P
b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thøc :

 x y
x3  y 3


P= 
y x
 x y


:





x



2

y  xy
x y

a) Rót gän P
b) Chøng minh P 0
Bµi

24:

Cho

biĨu

thøc

P=


1
3 ab  
1
3 ab 
a b 


.
:


 a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b 

 



a) Rót gän P
b) TÝnh P khi a=16 vµ b=4
 2a  a  1 2a a  a  a  a  a
.

2 a1
1

a
1

a
a



P= 1  

Bµi 25: Cho biĨu thøc:

a) Rót gän P
b) Cho P=

6
1 6

tìm giá trị của a

c) Chứng minh rằng P>
Bài 26: Cho biÓu thøc:

2
3
x 5 x
 
25  x
 1 : 

 x  25
  x  2 x  15

P= 

x 3
x  5


x 5
x  3 

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P<1
Bµi

27:

Cho

biĨu

thøc



P=




  a  1. a  b
3 a
3a
1


 a  ab  b  a a  b b  a  b  : 2a  2 ab 2b



a) Rút gọn P

b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biÓu thøc

1
1   a 1


:
a   a  2
 a1


P= 

a 2

a  1 

a) Rót gän P
b) Tìm giá trị của a để P>

Bài 29: Cho biểu thøc:

1
6
4


 1
1 

2
1 1

.
  :
P= 
y  x  y x y 
 x

x3  y x  x y  y 3
x 3 y  xy 3

a) Rót gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức :

x3
2x
1 x

.
xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x

P=

a) Rót gän P
b) T×m tÊt cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2
Bài tập rút gọn

Bài 31 :

1) Đơn giản biểu thức :
2) Cho biÓu thøc :

P=

Q=

14  6 5  14  6 5 .
� x2
x  2� x  1

.
�
�x  2 x  1 x  1 �
�
�
� x

a) Rót gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để Q > - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Hớng dẫn :

1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

� 1.

BiĨu thøc rót gän : Q =

2
.
x 1

b) Q > - Q  x > 1.
c) x = 2;3 thì Q Z
Bài 32 : Cho biĨu thøc P =
a) Rót gän biĨu thøc sau P.

1
x 1



x
xx

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =

1
2

.

Híng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x
b) Víi x =

1
2

� 1.

BiĨu thøc rót gän : P =

thì P = - 3 2

x 1
.
1 x

2.

Bài 33 : Cho biÓu thøc : A =

x x 1 x  1

x 1
x 1

a) Rót gän biĨu thøc sau A.
5


b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

1
4

c) Tìm x để A < 0.

d) Tìm x để A = A.
Híng dÉn :
a) §KX§ : x

� 0,

b) Víi x =

1
4

x

� 1.

BiĨu thøc rót gän : A =

x
.
x1

th× A = - 1.

c) Víi 0  x < 1 th× A < 0.
d) Víi x > 1 th× A = A.
Bµi 34 : Cho biĨu thøc : A =

1 �
� 1
� 3 �


1
�
�
�
�
a  3�
� a3
� a�

a) Rót gän biĨu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >

1
.
2

Hớng dẫn :
2

a) ĐKXĐ : a > 0 và a �9. BiĨu thøc rót gän : A =
b) Víi 0 < a < 1 thì biểu thức A >
Bài 35 :

a 3

.

1
.

2

Cho biÓu thøc:

A =

�x  1 x  1 x  4x  1�x  2003


.
.
�
�
x2  1 � x
x 1 x 1
2

1) Tìm điều kiện đối víi x ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa.
2) Rót gän A.
3) Víi x � Z ? ®Ĩ A � Z ?
Híng dÉn :
a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠  1.
b) BiĨu thøc rót gän : A =

x  2003
x
Z .

c) x = - 2003 ; 2003 thì A
Bài 36 :

Cho biĨu thøc:



.

víi x ≠ 0 ; x ≠



1.
A =

�x x  1 x x  1� 2 x  2 x  1

:
�
�x  x x  x

x1



a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
6


c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Hớng dÉn :

x 1

a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =

x1

.

b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0.
c) x = 4;9 thì A Z.
Bài 37 : Cho biÓu thøc:

A=

� x 2
x
1 � x 1


:
�
�x x  1 x  x  1 1 x �
� 2
�
�

a) Rót gän biÓu thøc A.
b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.
Híng dÉn :
2

a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =

x  x 1

b) Ta xÐt hai trêng hỵp :
+) A > 0



+) A < 2



2
x  x 1
2
x  x 1

> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
<2



2( x

x 1 )

>2

x x

> 0 đúng

vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).

Bài 38 : Cho biÓu thøc:

P=

a 3
a 2



a1 4 a 4

4 a
a 2

(a

� 0;

a

�

4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
Híng dÉn :
a) §KX§ : a

� 0,

a

b) Ta thÊy a = 9

�4.



BiĨu thøc rót gän : P =

4
a 2

§KX§ . Suy ra P = 4

Bµi 39 : Cho biĨu thøc:

N=

� a a �
� a a �

1
1
�
�
�
�
�
�
a  1�
a  1





1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a ®Ĩ N = -2004.
7


Híng dÉn :
a) §KX§ : a � 0, a �1. BiĨu thøc rót gän : N = 1 – a .
b) Ta thÊy a = - 2004  §KX§ . Suy ra N = 2005.
Bµi 40 : Cho biĨu thøc

P

x x  26 x  19 2 x
x 3



x 2 x  3
x 1
x 3

a. Rót gän P.
b. TÝnh gi¸ trị của P khi x 7 4 3
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính
giá trị nhỏ nhất đó.
Hớng dẫn :
a ) §KX§ : x
b) Ta thÊy

� 0,

x

�1.

x 7 4 3 

BiÓu thức rút gọn :

ĐKXĐ . Suy ra

P

c) Pmin=4 khi x=4.
Bài 41 : Cho biĨu thøc
a. Rót gän P.

P

x 16
x 3

103
3 3
22

 2 x
x
3x  3   2 x  2 
:

P 


  x  3  1
x

9
x

3
x

3

 


1
b. Tìm x để P 2
c. Tìm

giá trị nhỏ nhÊt cđa P.
Híng dÉn :
a. ) §KX§ : x
b. Víi

0 x  9

� 0,

th×

x

�9.

BiĨu thøc rót gän :

P

 3
x 3

1
2

P 

c. Pmin= -1 khi x = 0
Bµi 42: Cho A=
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi a =

� a 1
��
a 1
1 �


4
a
.� a 
�
�
�víi
� a 1
�
a 1
a�
�
��

 4



15 .



10  6 .

4  15

x>0 ,x �1



( KQ : A= 4a )

8


�x  3 x �� 9  x
x 3
x 2�

1
:


�
��
�víi
� x9
��x  x  6

x 2
x 3�
�
��
�

Bµi 43: Cho A=

x �0 , x �9,

x �4 .
a. Rót gän A.
b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm x Z để A �Z
(KQ : A=
15 x  11 3 x  2 2 x  3


x  2 x  3 1 x
x 3

Bµi 44: Cho A =

3
)
x 2

víi x �0 , x �1.

a. Rót gän A.

b. T×m GTLN cđa A.
c. T×m x để A =
d. CMR : A
Bài 45:

2

3

1
2

.

(KQ:

A=

x2
x 1
1


x x 1 x  x 1 1 x

Cho A =

25 x
x 3

)

víi x �0 , x �1.

a . Rót gän A.
b. T×m GTLN cđa A .

( KQ : A =

1
3
2


x 1 x x 1 x  x 1

Bµi 46: Cho A =

x
x  x 1

)

víi x �0 , x �1.

a . Rót gän A.
b. CMR :

0 �A �1

�x  5 x

Bµi 47: Cho A = �
�x  25
�

( KQ :

A=

x
)
x  x 1

�� 25  x
x 3
x 5 �
 1��
:


�
��
x 5
x 3�
��x  2 x  15
�

a. Rót gän A.
b. T×m x Z để A Z

( KQ :

A=

5
)
x 3

Bài 48: Cho A =

2 a 9
a  3 2 a 1


a5 a 6
a  2 3 a

víi a �0 , a �9 , a �4.
9


a. Rút gọn A.
b. Tìm a để A < 1
c. Tìm
Bài 49: Cho A=

để

a Z

( KQ : A =

A Z

x  x  7
1 �� x  2
x 2 2 x �

:


�
��
�
� x4
�� x  2
x4�
x

2
x

2
�
��
�

víi x >

0 , x 4.

a. Rút gọn A.
b. So sánh A với
Bài50: Cho A
0,

1
A

( KQ :



3
3
� x y
x  y �
�:

=�
�x y
yx �
�
�

x y



2

 xy

a 1
)
a 3

A=

x9
6 x

)

víi x �0 , y �

x y

x �y

a.Rót gän A.
b.

CMR : A �0

( KQ :

Bµi 51 : Cho A =
0 , x �1.





2 x  x 1
x

xy
x  xy  y

)

x x 1 x x 1 �
1 �� x  1
x 1 �

� x 
.

�
�
�
x x
x x �
x ��
x 1 �
� x 1
�

a. Rót gän A.
b. T×m x để A = 6

( KQ :

Với x >

A=

)

Bài 52 : Cho A =

�
��
x �
� x  4  3 �: � x  2 
�
� x x 2
x  2 ��
x
x 2�
�
�
�
�



x �4.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =

Bµi 53 : Cho A=
1.

A=

a.



62 5

(KQ:

A=

1 �� 1
1 � 1
� 1

:

�
��
�
1  x 1  x ��
1 x 1 x � 2 x
�

víi x > 0 ,

1 x )

víi x > 0 , x �

Rót gän A
10


b. TÝnh A víi x =
Bµi 54 : Cho A=

62 5

(KQ:

�2 x  1
1 ��
x4 �

:�
1
�
�
�
3
�
�
x  1 �� x  x  1 �
� x 1

3

A=

2 x

)

víi x �0 , x 1.

a. Rút gọn A.
b. Tìm
Bài 55: Cho A=

x �Z

®Ĩ

A �Z

(KQ:

A=

� 1
�� 1
2 x 2
2 �

:


�
�
�
� x  1 x x  x  x  1 �� x  1 x  1 �
�
�
�

x
)
x 3

víi x �0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x Z để A Z
c. Tìm x để A đạt GTNN .

(KQ:

A=

x 1
)
x 1

Bài 56 : Cho A =
.

�2 x
x
3 x  3 ��2 x  2 �
:
 1�
�
� x  3  x  3  x  9 ��
��
�
�
�� x  3
�

víi x �0 , x �9

a. Rót gän A.
1

b. T×m x ®Ĩ A < - 2

3
)
a 3

( KQ : A =
Bµi 57 : Cho A =
�1.

� x 1

x  1 8 x �� x  x  3
1 �


:

�
��
�
� x 1
x  1 x  1 ��
x 1 �
�
�� x  1
�

a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =

4 x
)
x4

Bµi 58 :

c . CMR : A
Cho A =

62 5

víi x �0 , x

(KQ:

A=

�1
1 �
x 1
� 1

:
�
�
x 1 �x  2 x 1
�x  x

víi x > 0 , x �

1.
a.

Rót gän A

(KQ:

A=

x 1
)

x
11


b.So sánh A với 1
Bài 59 :

Cho A =

x 1
1
8 x �� 3 x  2 �


: 1
�
�
�3 x  1 3 x  1 9 x  1 ��
��
�
�
�� 3 x  1 �

Víi

1
x �0, x �
9

a. Rót gọn A.

6

b. Tìm x để A = 5

c. Tìm x ®Ĩ A < 1.
( KQ : A =
Bµi 60 : Cho A =

� x 2
x  2 �x 2  2 x  1

.
�
� x 1 x  2 x  1 �
�
2
�
�

x x
)
3 x 1

víi x �0 , x �1.

a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2 2
d. Tìm GTLN của A
(KQ:

A=

x (1 x )

)
Bài 61 : Cho

A=

�x2
x
1 � x 1
�
�x x  1  x  x  1  1  x �
�: 2
�
�

víi x �0 , x �1.

a. Rót gän A.
b. CMR nÕu x �0 , x �1 th× A > 0 , (KQ:

A=

2
)
x  x 1

Bµi 62 :

Cho A =

4
1 �x  2 x
�
1

:
�
�
� x 1 x 1 � x 1

víi x > 0 , x �1,

x �4.
a. Rót gän
b. T×m x ®Ĩ A =
Bµi 63 : Cho A =

1
2

� x  1 x  2 x  3 ��x  3
2 �
:�

�
�

�
� x 1 
�
x  1 ��x  1
x 1�
�

víi x �0 , x �1.

a. Rót gän A.
12


b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm x Z để A �Z
Bµi 64 :

Cho A=

x �9 , x �4.
a. Rót gọn A.
b. Tìm x Z để
c. Tìm x để A < 0

�
x �� x  3
x 2
x 2 �
1


:


�
��
� 1  x �� x  2 3  x x  5 x  6 �
�
�
��
�

víi x �0 ,

A �Z

(KQ:

A=

x 2
)
x 1

Phần 2: Các bài tập về hệ phơng trình bậc 2:
2
Bài 1: Cho phơng trình : m 2 x   2  1  2  x  m 2
a) Giải phơng trình khi m 2 1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 3 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 2: Cho phơng trình :

m 4 x 2  2mx  m  2 0
(x lµ ẩn )
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 2 .Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính x12 x22 theo m
Bài 3: Cho phơng trình :
x 2 2 m  1 x  m  4 0
(x lµ ẩn )
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiƯm ph©n biƯt víi
mäi m
c) Chøng minh biĨu thøc M= x1 1  x2   x2 1  x1 không phụ thuộc vào
m.
Bài 4: Tìm m để phơng tr×nh :
a) x 2  x  2 m  1 0 có hai nghiệm dơng phân biệt
b) 4 x 2  2 x  m  1 0 cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt
c)  m 2  1 x 2  2 m  1 x  2m 1 0 có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Cho phơng trình : x 2 a 1 x  a 2  a  2 0
a) Chøng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với
mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a
để x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất
13


1
b

1
c

Bài 6: Cho b và c là hai số thoả m·n hÖ thøc:  

1
2

CMR Ýt nhÊt mét trong hai phơng trình sau phải có nghiệm
x 2 bx c 0
x 2 cx b 0

Bài 7:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có Ýt nhÊt mét
nghiÖm sè chung:
2 x 2   3m  2  x  12 0(1)
4 x 2   9m  2  x  36 0(2)

Bµi 8: Cho phơng trình :
2 x 2 2mx m 2 2 0

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng
phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình
Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham sè m :
x 2  4 x  m 1 0

a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mÃn
điều kiện
x12 x22 10

Bài 10: Cho phơng trình

x 2 2 m 1 x  2m  5 0

a) Chøng minh r»ng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai
nghiệm mang dấu gì ?
Bài 11: Cho phơng tr×nh
x 2  2 m  1 x  2m 10 0 (với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ;
hÃy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào
m
c) Tìm giá trị cđa m ®Ĩ 10 x1 x2  x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho phơng trình
m  1 x 2  2mx  m  1 0 với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm
bằng 5, từ đó hÃy tính tổng hai nghiêm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào
m
d) Tìm m để phơng trình có nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n hƯ thøc:
14


x1 x2 5
  0
x2 x1 2

Bµi 13: A) Cho phơng trình :
(m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơnh tr×nh cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m ; tÝnh

nghiƯm kép ( nếu có) của phơng trình và giá trị của m tơng
ứng
b) Đặt A x12 x22 6 x1 x2
 Chøng minh A  m 2  8m 8
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần
nghiệm kia
B) Cho phơng trình
x 2 mx  m  1 0

x 2  2mx  2m 1 0

a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m.
b) Đặt A= 2( x12  x22 )  5 x1 x2
 CMR A= 8m 2  18m  9
 T×m m sao cho A=27
c)T×m m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm
kia.
Bài 14: Giả sử phơng trình a.x 2 bx c 0 có 2 nghiệm phân biệt
x1; x2 .Đặt S n x1n x2n (n nguyên dơng)
a) CMR a.S n  2  bS n 1  cSn 0
5

1 5  1 5 
 

b) ¸p dơng TÝnh giá trị của : A=
2
2

5

Bài 15: Cho

f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1
a) CMR phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để
phơng trình f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2
Bài 16: Cho phơng trình :
x 2  2 m  1 x  m 2 4m 5 0

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá
trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính x12 x22
theo m
15


Bài 17: Cho phơng trình x 2 4 x 3  8 0 cã hai nghiƯm lµ x1; x2 . Không
giải phơng trình , hÃy tính giá trị của biÓu thøc : M 

6 x12  10 x1 x2  6 x22
5 x1 x23  5 x13 x2

Bµi 18: Cho phơng trình
x x 2 m 2 x m 1 0
1
a) Giải phơng trình khi m=
2

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m
®Ĩ :
x1 (1  2 x2 )  x2 (1 2 x1 ) m 2

Bài 19: Cho phơng trình
(1)
(n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1)
tho¶ m·n hƯ :
x 2  mx  n  3 0

 x1  x2 1
 2
2
 x1  x2 7

Bài 20: Cho phơng trình:
x 2 2 k 2 x  2k  5 0

( k lµ tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao
cho
x12 x22 18

Bài 21: Cho phơng trình

2m 1 x 2

4mx 4 0

(1)

a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 22:Cho phơng trình :
x 2   2m  3 x  m 2  3m 0

a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Xác định m để phơng trình có hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n
1  x1  x2  6 Bµi tËp vỊ hµm sè bËc nhÊt
Bµi 23:
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ;
-4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và
16


trục hoành.
Hớng dẫn :

1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hÖ pt :
 2 a  b
 a 3


  4  a  b
 b  1

Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 1
b»ng

1
.
3

Bµi 24 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm
số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 ®ång quy.
Híng dÉn :
1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3  m – 2 < 0 m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vµo hµm sè y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m =

3
.

4

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 lµ nghiƯm cña
 y  x  2
 y 2 x  1

hệ pt :

(x;y) = (1;1).

Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 vµ y = 2x – 1 đồng
quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3.
Víi (x;y) = (1;1) m =

1
2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung
2

độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
B ài 25: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị
hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi
m.
Hớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 
m = -1.
17

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y =
-2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta đợc : m =
-3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua lµ M(x 0 ;y0). Ta cã
 x0 1
 y 0 2

y0 = (m – 1)x0 + m + 3  (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).

Bà26 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 –
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua ®iĨm C(0
; 2).
Ta cã : víi m  Z thì 2m 3 0 , vây phơng trình có nghiƯm : x =
- (m + 2) -

4
.
2m - 3

®Ĩ pt có nghiệm nguyên thì 4 2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :

= 23.
Gi¶i :
a) Ta cã : 7x + 4y = 23  y =

7x + 4y

23 - 7x
x 1
= 6 – 2x +
4
4

V× y  Z  x – 1 4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4
bài tập phần hệ pt
Bài 1 : Giải hệ phơng trình:
2x 3y 5

3x 4y 2

x y  1
�
�
x y  5
�

a) �

�x  4y  6
�4x  3y  5

b) �

2x  y  3
�
5 y  4x
�

c) �

d)

18


2x  4  0
�
4x  2y  3
�

e) �

5
�2
�x  x  y  2
�
f) �
�3  1  1,7

x x y

Bài 2 : Cho hệ phơng trình :
mx  y  2
�
�
x  my  1
�

1) Gi¶i hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của
m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Bài 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y 3 m

2x y 3(m 2)


1) Giải hệ phơng tr×nh khi thay m = -1.
2) Gäi nghiƯm cđa hƯ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a

có nghiệm duy nhất là (x; y).

x (a 1)y 2

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mÃn 6x2 17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức

2x 5y
nhận giá trị
x y

nguyên.
B ài5 : Cho hệ phơng trình:
x ay 1

(1)

ax  y  2
�

1) Gi¶i hƯ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình
mx y  n
�
�nx  my  1

cã nghiƯm lµ  1; 3 .
4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiÖm.
19

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0)
 NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2
=

c
a

 NÕu a – b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2
=-

c
a

 NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và 0 thì phơng trình cã
nghiƯm
x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó
Cách làm : - LËp tæng S = x1 + x2
- LËp tÝch p = x1x2
- Phơng trình cần tìm là : x2 S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có
nghệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện
cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*)

x  x2

1
1
S

 1
=
x1 x 2
x1 x 2
p

*)

x1 x 2 x1  x 2
S2  2p


=
x 2 x1
x1 x 2
p

2

2

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
*)

x  x 2  2a
1

1
S  2a

 1

x1  a x 2  a ( x1  a )( x 2  a ) p  aS a 2

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải
thoả mÃn ®iỊu kiƯn  0 )
d)T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè để phơng trình bậc hai có
một nghiệm x = x1 cho trớc .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có
hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đà cho có 2
nghiệm:
0 (hoặc / 0 )
(*)
- Thay x = x1 vào phơng trình đà cho ,tìm đợc giá
trị của
20


tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều
kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc / 0 ) mà ta
thay luôn
x = x1 vào phơng trình đà cho, tìm đợc giá trị

của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đÃ
cho mà phơng trình bậc hai này có < 0 thì kết luận không có
giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình
rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức
tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích
hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 =
0
Gi¶i.
2
/
Ta cã  = (m + 1) – 2m + 10 = m2 – 9
+ NÕu / > 0  m2 – 9 > 0  m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình
đà cho có 2 nghiệm ph©n biƯt:
x1 = m + 1 - m 2  9
x2 = m + 1 + m 2  9
+ NÕu / = 0  m = 3
- Víi m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2
+ NÕu / < 0  -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4

Với m = - 3 thì phơng trình có nghiƯm x = -2
 Víi m < - 3 hc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân
biệt
21


x1 = m + 1 - m 2  9
x2 = m + 1 +
 Víi -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

m2 9

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m – 6 = 0
Híng dÉn
 NÕu m – 3 = 0 m = 3 thì phơng trình đà cho cã d¹ng
- 6x – 3 = 0

 x=-

1
2

* NÕu m 3 0 m 3 .Phơng trình đà cho là phơng trình
bậc hai có biệt số / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- NÕu / = 0  9m – 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm
kép
x1 = x2 = -

b/
2


=-2
a 2 3

- NÕu / > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1,2 =

m 3 m  2
m 3

- NÕu / < 0 m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -

1
2

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
m 3 m  2
Víi m > 2 vµ m 3 phơng trình có nghiệm x1,2 =
m 3

Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( 3  5 )x - 15 = 0
d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0
Gi¶i
2

a) 2x + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) =
0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 =
c  2009

a
2

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = -1 ,
22


x2 = -

c
204

= - 12
a
17

c) x2 + ( 3  5 )x - 15 = 0 cã: ac = - 15 < 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ
thức Viet ta cã :
x1 + x2 = -( 3  5 ) = - 3 + 5
x1x2 = - 15 = (- 3 ) 5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5
(hc x1 = 5 , x2 = - 3 )
2

d ) x –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 cã : ac = - 6 7 < 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ
thức ViÐt ,ta cã
 x 1  x 2 3 - 2 7

 x 1 x 2 - 6 7 3(-2 7 )

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất
(m là tham sè)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
Híng dÉn :
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m
+4=0
Suy ra :
x1 = 2
Hc x2 =

m 1
3

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
(*)

* m- 3 = 0
m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0  x = - 1
 x1  1
* m – 3  0  m  3 (*)  
2m  2

x2 

m 3

Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 3x 7 = 0
a) TÝnh:
A = x12 + x22
B = x1  x2
1

1

C= x  1  x  1
1
2

D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
23


1

1

b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là x 1 và x 1
1
2
Giải ;
2
Phơng trình bâc hai x – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra

phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 .
Theo hƯ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7
a)Ta cã
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p =>
B = x1  x2 = S 2  4 p  37
1
1
( x1  x 2 )  2
S 2
1



=
x1  1 x 2  1
( x1  1)( x 2  1) p  S  1
9

+C=

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta cã :
1

1

1

S = x  1  x  1  9 (theo c©u a)
1
2
1

1

1

p = ( x  1)( x  1)  p  S  1  9
1
2
1

1

VËy x  1 vµ x  1 lµ nghiƯm cđa hơng trình :
1
2
X2 SX + p = 0 X2 +

1
1
X - = 0  9X2 + X - 1 = 0
9
9

Bài 6 : Cho phơng trình :
x2 ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)

1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt
với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm
phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 +
x2 3 > 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:
= (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 3
5

= 5(k2 – 2. k +

6
9
k+ )
5
5

9
36
3
36
+
) = 5(k - ) +
> 0 víi mọi giá trị
25
25
5
5

của k. Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiƯm ph©n biƯt
24


2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dÊu  p <
0
 - k2 + k – 2 < 0  - ( k2 – 2.
 -(k -

1
1
7
k+ + )<0
2
4
4

1 2
7
) - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có
2
4

hai nghiệm phân biệt trái dấu víi mäi k
3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm víi mäi k .Theo hƯ thøc viÐt ta cã
x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2
 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]

= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
5 2
87
) +
]
4
16
5
87
> 0  (k – 1)[(2k - )2 +
] >0
4
16
5
87
 k – 1 > 0 ( v× (2k - )2 +
> 0 víi mäi k)
4
16
k>1

= (k – 1)[(2k -

Do đó x13 + x23

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2

phân biệt với mọi m
3. Tìm m để x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm
của phơng trình (1) nói trong phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x 9 = 0 vµ cã 2
nghiƯm lµ x1 = 1 , x2 = - 9
2. Cã / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m +
5
= m2 + 2.m.

1
1
19
1
19
+ +
= (m + )2 +
> 0 víi mọi
2
4
4
2
4

m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã:
x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4
Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)

25