ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

MÔN HỌC: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
GIỮA KỲ
Mail:

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

1




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

NỘI DUNG KIỂM TRA GIỮA KỲ MƠN XÁC SUẤT
THỐNG KÊ
 Cơng thức cộng xác suất, nhân xác suất
 Cơng thức xác suất có điều kiện, xác suất đầy
đủ, Bayes
 Hàm mật độ, hàm phân phối xác suất
 Các luật phân phối xác suất cơ bản
12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

2



ƠN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

1. Cơng thức cộng, nhân xác suất (Dễ - Trung
bình)
 Một hành động chia ra từng trường hợp ta có xác suất của
từng của chung bằng tổng của từng trường hợp.
Ví dụ: P(Lấy được xí ngầu chẵn) = P(mặt 2) + P(mặt 4) + P(mặt
6)
 Một hành động diễn ra liên tục nhưng hai mẫu độc lập nhau
ta có xác suất nhân bằng tích các xác suất
Ví dụ: P(Chọn A và chọn B) = P(A).P(B)

P ( A  B )  P ( A)  P ( B )

 Công thức cộng, nhân xác suất với A và B độc lập nhau

P ( A.B )  P( A).P ( B )

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

3




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

Bài tập 1
Cho 4 thiết bị A, B, C, D làm việc độc lập nhau và độ tin cậy
của mỗi thiết bị là: 90%, 85%, 80%, 85%. Một hệ thống các
thiết bị mắc nối tiếp hoạt động tốt nếu tất cả đều hoạt động
tốt. Một hệ thống các thiết bị mắc song song hoạt động tốt
nếu có ít nhất một thiết bị hoạt động tốt. Xác định độ tin cậy
của hệ thống sau đây:
GỢI Ý LÀM BÀI:
Gọi A, B, C, D là biến cố thiết bị A, B, C, D
hoạt động tốt
P(Hệ thống tốt) = 1 – P(tất cả các nhánh
đều không tốt)

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

4




ƠN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

Bài tập 2
Có 4 lơ hàng, mỗi lơ có 20 sản phẩm, Lơ thứ i có i + 4 sản
phẩm loại A, 2i sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 1 lô sản
phẩm rồi sau đó lấy 4 sản phẩm từ lơ đó. Tính xác suất 4 sản
phẩm lấy ra khơng có sản phẩm loại A và sản phẩm loại B.

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

5




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

Bài tập 3
Giả sử xác suất ổ cứng của một máy tính bị hỏng đột ngột là
2%. Để đảm bảo dữ liệu lưu trữ trên máy tính đó, người ta
sao lưu dữ liệu trên hai thiết bị dự phòng với xác suất là bị
hỏng là 3% và 4%. Ổ cứng hoạt động độc lập với hai thiết bị
dự phịng. Thơng tin lưu trữ không không may bị mất khi cả 3
thiết bị bị hỏng. Tính xác suất.

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

6




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

2. Xác suất có điều kiện, xác suất đầy đủ,
bayes (Dễ - Khó)
 Xét hai biến cố A và B không độc lập. Tức là A và B phụ thuộc
nhau
Ví dụ hai biến khơng độc lập: Có 5 phần thưởng ,bạn A nhận
một phần thưởng, bạn B chỉ có thể nhận 4 phần thưởng còn lại.
P(A.B)

P(A+B)

Bạn A nhận thưởng  ảnh hưởng đến xác suất bạn B nhận
thưởng.
 Nói P(A))
cách khác P(B)
hai biến đọc lập là hai biến giao nhau

P ( A �B)  P( A)  P( B )  P( A �B)
12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

7




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

2. Xác suất có điều kiện, xác suất đầy đủ,

bayes (Dễ - Khó)
 A giao B (A.B) hay nói cách khác A là B là biến cố mà A và B
đồng thời xảy ra
 Ví dụ mẫu 1: Một nhà hàng có 4 loại thức ăn {Phở, Hủ Tiếu,
Cơm, Bánh canh}. Có hai vợ chồng cùng đi ăn cùng nhau nếu
người chồng ăn phở thì người vợ sẽ khơng ăn bánh canh.
a. Tính xác suất người chồng ăn phở và người vợ ăn bánh canh
b. Tính xác suất người chồng ăn phở và người vợ ăn cơm.
c. Tính xác suất người chồng ăn cơm và người vợ ăn bánh canh

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

8




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

2. Xác suất có điều kiện, xác suất đầy đủ,
bayes (Dễ - Khó)
Gọi A là trường xác suất người chồng ăn phở
Ω = {Phở, Hủ tiếu, cơm, bánh canh}
A = {Phở} => P(A) = ¼
Gọi B là người vợ ăn bánh canh với điều kiện người chồng ăn phở
(Vì người chồng phở  không ăn bánh canh nên biến cố bánh

P( A.B )  P ( A).P ( B | A)

canh bị loại tại KGM}
Ω = {Phở, Hủ tiếu, cơm}
B ={Bánh canh} => P(B) = 0
12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

9




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

2. Xác suất có điều kiện, xác suất đầy đủ,
bayes (Dễ - Khó)

P( A.B)  P( A).P ( B | A)
P( A.B)
P ( B | A) 
P( A)
P ( B | A) 

12/2/21

P ( B).P( A | B )
P ( A)

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

10




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

2. Xác suất có điều kiện, xác suất đầy đủ,
bayes (Dễ - Khó)
Ví dụ mẫu 2. Một trang trại có 60% con bị mỹ, 40% con bị
châu phi. Trong mỗi loại bị có 2% con bị bệnh đau bao tử. Tính
xác suất lấy một con bị thu
một con
đau bao
tử.bình
Số bị
bị khơng
bình thường
= bị
2%được
con đau
60% bị mỹ

thường của mĩ + bị bình

98% con bình
thường

thường của châu phi

P(bị bình thường mĩ) = P(mĩ
và

40% bị châu
phi

2% con đau

bình

thường)

=

P(mĩ).P(bình thường|mĩ)
P(bị bình thường châu phi) =

98% con bình
P( châu phi và bình thường) =
thường

P( BT )  P( M ).P ( BT | M )  P (CP).….
P( BT | CP)
12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

11



ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

Bài tập 4
Một đề kiểm tra trắc nghiệm gồm 4 đáp án A, B, C, D. Biết A
chọn đáp án A, B và C chọn C, D chọn B biết rằng khả năng
đoán đúng của từng bạn là 90%, 85%, 95%, 90%. Tính xác
suất sao cho đáp án A đúng
• Đáp án A đúng tức là đáp án B, C, D sai. Là người B, C, D
chọn sai
• Vì ta biết trước được người nào chọn đáp án gì rồi nên ta
có xác suất đáp án A đúng là:
P(SV chọn chọn đáp án A) = P(Chọn đáp án A).P( người A
đúng).P(người còn lại sai) = ¼*0.9*0.15*0.05*0.1  P(chọn
B), P(chọn C) , P(chọn D)
P(A12/2/21
đúng| SV phải chọn) = P(A) / {P(A) + P(B) + P( C) +
12
COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

Bài tập 5
Một hầm rượu có hai loại rượu A và B bằng nhau. Người ta
chọn ngẫu nhiên 1 chai rượu cho 5 người sành rượu để họ
nếm thử xem rượu loại này là rượu loại A hay B. Xác suất

một người sành rượu chọn đúng là 0.8. Biết rằng có 4 người
nói rằng đó là rượu loại A, và 1 người nói rằng nó là rượu loại
B. Tính xác suất rượu được chọn là rượu loại A.
• Vì bài này ta khơng biết cụ thể là người nào trong 5 người.
(BT thì nói cụ thể người nào)
Ta có TH1: 4 người ngẫu nhiên kết luận rượu loại A là đúng
P(TH1) =1 C54 .(0,8) 4 .(0, 2)
2

1 1=
Ta có TH2: 4 người chọn rượu A là sai P(TH2)
C5 .(0, 2) 4 .(0,8)
P(TH 1)
Xác suất nó là rượu loại A: P(A) =
P (TH 1)  P (TH 2)
12/2/21

2

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

13




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

Bài tập 6
Một chương trình có hai module. Xác suất module 1 có lỗi là

20%, xác suất module 2 có lỗi 40% vì nó phức tạp hơn. Hai
module hoạt động độc lập nhau. Chương trình dừng đột
ngột nếu là 50% nếu module 1 lỗi, là 80% nếu module 2 bị
lỗi, 90% nếu cả 2 module cùng bị lỗi. Giả sử chương trình
dừng đột ngột tính xác suất do• cảGọi
haiAmodule
lỗi
là
biến
cố module
20% bị lỗi
50% module
1

1 lỗi
•
40% bị lỗi

50% module
2
12/2/21

Gọi B là biến cố module
2 lỗi

•

Gọi C là biến cố chương
trình dừng

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

14




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

Bài tập 6
+ Chương trình dừng do module 1 lỗi: P(A).P(C|A)
+ Chương trình dừng do module 2 lỗi: P(B).P(C|B)
+ Chương trình dừng do có cả 2 module bị lỗi: P(A.B).P(C|A.B) (Vì
A và B độc lập) => P(A.B) = P(A).P(B)
Nên ta có P(TH3) = P(A).P(B).P(C|A.B)
+ Chương trình bị lỗi do cả hai

12/2/21

(cantim
module Plỗi
là ) 

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

P (TH 3)
P (TH 1) P (TH 2)  P (TH 3)

15



ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

Bài tập 7
Trường đại học có 4 khoa: A (44% SV trường), B(22% SV
trường), C (17% SV trường), D (17% SV trường). Cho biết tỉ lệ
sinh viên giỏi của mỗi khoa là 15%, 25%, 20% và 10%. Chọn
ngẫu nhiên một sinh viên biết rằng sinh viên đó loại giỏi.
Tính xác suất sinh viên đó là loại giỏi của khoa B.

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

16




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

3. Hàm mật độ, hàm phân phối xác suất (Rất
dễ - Dễ)
 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: X chỉ nhận hữu hạn các giá trị
hoặc nếu là vơ hạn thì đếm được là một biến ngẫu nhiên rời
X

rạc

P
 Thường là dạng bảng

1000

2000

0.06

0.94

 
x � 0;1

�A.exp(
2 xtục:
) xlấp
� 0;1
 Đại lượng ngẫu nhiên
liên
kín các khoảng giá trị trên
trục số

f ( x)  �
�

0

 Thường dạng hàm số

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

17




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

3. Hàm mật độ, hàm phân phối xác suất (Rất
dễ - Dễ)
 Bảng phân phối xác
suất 1000
X
P

0.06

2000
0.94

 Hàm phân phối xác suất
 Tính chất
F(X) =
 Kì vọng (Giá trị trung bình) E(X) =
 Phương sai Var(X) =
 Độ lệch chuẩn

  Var ( X )
12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

18




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

Bài tập 8
Cho 4 lơ sản phẩm, mỗi lơ có 20 sản phẩm. Lơ thứ i có i+1
sản phẩm loại A. Với i = 1, 2, 3, 4
Từ mỗi lô lấy 1 sản phẩm. Hãy lập luật phân phối xác suất
cho sản phẩm loại A từ 4 lơ đã lấy ra. Tính kỳ vọng và
phương sai của nó.

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

19




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

Bài tập 9
 Tuổi mặc bệnh corona của thành phố X và Y được biểu diễn
như sau:
X

10

20

30

40

50

P

0.03

0.14

0.32

0.18

0.33

Y

10

20

30

40

50

P

0.13

0.10

0.25

0.19

0.33

a. Tìm luật phân phối Z = X.Y
b. Tìm luật phân phối Z =
c. Tính E(X), E(Y), Var(X) và Var(Y) từ đó đưa ra kết luận

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

20




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

3. Hàm mật độ, hàm phân phối xác suất (Rất
dễ - Dễ)
 Hàm mật độ xác suất

 
x � 0;3

Ví dụ mẫu: Cho X là một biến
ngẫu
�Ax (3
 x)nhiên
x �liên
0;3 tục có hàm mật độ

f ( x)  �
�

0

 Tìm A
 Tìm hàm phân phối xác suất
 Tính xác suất P(-1
 Tìm phương sai

 Tìm kỳ vọng

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

21




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

3. Hàm mật độ, hàm phân phối xác suất (Rất
dễ - Dễ)
 Hàm mật độ xác suất

 
x � 0;3

Ví dụ mẫu: Cho X là một biến
ngẫu
�Ax (3
 x)nhiên
x �liên
0;3 tục có hàm mật độ

f ( x)  �
�

�

 Tìm A

0
0

3

�

f ( x)dx  �
f ( x)dx
�f ( x)dx  �
�f ( x)dx  1 � �
0
3

�

Ta có tính chất số 4

0
3
Mà ta có x thuộc
[0;3]

�

2

0 �
A.x(3  x)dx  �
0dx  1 � A 
�
9
�
0
3

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

22




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

3. Hàm mật độ, hàm phân phối xác suất (Rất
dễ - Dễ)
 Hàm mật độ xác suất

 
x � 0;3

Ví dụ mẫu: Cho X là một biến
ngẫu
�Ax (3

 x)nhiên
x �liên
0;3 tục có hàm mật độ

f ( x)  �
�

0

 Tìm hàm phân phối xác suất
TH1:
F ( X x) ( X �x) 

x

�f (t )dt  0

0

�

x

TH2:
F ( X0)  P(0 �X �x) 

0

x

3
x

2
f (t )dt  �
f (t )dt  �
f (t )dt  �t (3  t )dt
�
9
�
�
0
0

TH3: F ( X )  1
12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

23




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

3. Hàm mật độ, hàm phân phối xác suất (Rất
dễ - Dễ)
 Hàm mật độ xác suất

 
x � 0;3

Ví dụ mẫu: Cho X là một biến
ngẫu
�Ax (3
 x)nhiên
x �liên
0;3 tục có hàm mật độ

f ( x)  �
�

0

 Tìm hàm phân phối xác suất
F(X) =

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

24




ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ GIỮA KỲ

3. Hàm mật độ, hàm phân phối xác suất (Rất
dễ - Dễ)
 Hàm mật độ xác suất

 
x � 0;3

Ví dụ mẫu: Cho X là một biến
ngẫu
�Ax (3
 x)nhiên
x �liên
0;3 tục có hàm mật độ

f ( x)  �
�

 Tính xác suất P(-1

0

2

2
P(1 �X  2) �P(1 �X �2)  �x(3  x)dx �74, 07%
9
1

12/2/21

COPYRIGHT@2019 NGUYỄN MINH NHỰT

25