Tài liệu Phương pháp lượng giác hóa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (281.67 KB, 12 trang )
Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số
học, sau đây là một trong những ví dụ như vậy.
I-Một số cách chuyển bài toán qua lượng giác:
( )
x k k≤ >
[ ]
x kc
α α π
= ∈
x k
π π
α α
= ∈ −
x∈ ¡
x
π π
α α
= ∈ −
÷
!"#
( )
a x b y c a b c+ = >
#
[ ]
c c
x y c
a b
α α α π
= = ∈
$%&"
x y z xyz+ + =
xy yz zx+ + =
'(
x y z
α β γ
= = =
)*
π π
α β γ
∈ −
÷
+,"-(./01#
Biểu thức Cách đặt x Miền giá trị của biến
x a+
x a
α
=
π π
α
∈ −
÷
a x−
x ac
x a
α
α
=
=
[ ]
a
π
∈
π π
α
∈ −
x a−
a
x
c
α
=
!
π π
α π
∈ ∪
÷ ÷
x y
xy
+
−
x y
xy
−
+
x
y
α
β
=
=
π π
α β
∈ −
÷
II-Ứng dụng của phương pháp:
1. Chứng minh các hệ thức đại số:
Bài toán 1:(Đại học Dược Hà Nội 1995)
2%&3)45
xy yz zx+ + =
678(.#
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y z z x x y
M x y z
x y z
+ + + + + +
= + +
+ + +
Giải:9
x y z
π
α β γ α β γ
= = = ∈
÷
:;4
π
α β β γ γ α α β γ
+ + = ⇒ + + =
:
( ) ( ) ( ) ( )
y z
c
x
x c c c
β γ
α α
α α
α β γ β γ
+ + + +
= = =
+ +
( )
c
c c
yz
c c c c
β γ
β γ β γ
β γ
β γ β γ
+
−
= = = − = −
:/<=(.>?@/A#
B C B C B C ! B C M yz zx xy xy yz zx= − + − + − = − + + =
Bài toán 2:2a, b, c > 045ab+bc+ca=1.2.D#
( ) ( ) ( )
bc a ca b ab c
abc a b c
+ + =
+ + +
+ + +
Giải:9
a b c
π
α β γ α β γ
= = = ∈
÷
:E4#
π
α β β γ γ α α β γ
+ + = ⇒ + + =
:#
( ) ( )
c
bc a
β γ α
β γ α
= =
+ +
:/<=(.>?@/A)
( )
( )
c c c
α β γ α α β β γ γ α β γ α β γ
= + + = + +
$
c
α β γ α β γ
=
BF'
α β γ π
+ + =
C
c
abc a b c
α β γ α β γ
= =
+ + +
B1C
Một số bài tập tự luyện:
Bài 1:2%G%&G&H 2.D#
C
$x y y z z x
x y y z z x
− − + − − + − − =
÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
C
( ) ( ) ( )
!x y z xyz x y z y z x z x y+ + − = + + + + +
Bài 2:2
x y z x y z xyz> + + + =
2.D#
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xyz x y x y x z z x y+ = − − + − − + − −
Bài 3:2
x y z xy yz zx xyz xyz+ + + + + = + ≠
2.D#
( ) ( ) ( )
$
x y z
x y z
x y z xyz
− − −
− − −
+ + =
Bài 4:2
B C
x y z x y z
x y z
x y z x y z
+ + + + + +
+ + = ≠
− − − − − −
2.#
( ) ( )
( ) ( )
BC
x y xy
z
z
x y
+ −
−
=
+
+ +
( ) ( )
( ) ( )
BC
xy x y
z
z
x y
− − +
=
+
+ +
Bài 5:2%&3)45
x y z xy yz zx xyz+ + + + + = +
2.D
( ) ( )
%
G%
s
z y z
yz
+ − + − +
=
∑
2. Bất đằng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Bài toán 1:(Đại học kiến trúc TP.HCM 1993).2.
x <
)?"-=I?*<'
#
( ) ( )
BC
n n
n
x x+ + − <
Giải:F'
x <
I
( )
x c
π
= ∈
( ) ( )
BC
n n
n
c c⇔ + + − <
:#
( ) ( )
n n
n n
t t
c c c
+ + − = +
÷
F'
t t
c
π
< < ⇒ < <
I
n
t t t t
c c< <
n n n n
t t t t
c c
⇒ + < + <
÷ ÷
⇒
1
Bài toán 2:2
$ $ x y x y+ − − + =
2.D#
( ) ( )
! ! $ ! ! $ ! x y xy x y
− + − + + − − + ≤
Giải::#
( ) ( )
$ $ x y x y x y
+ − − + = ⇒ − + − =
9
( )
x y c x y c
α α α π α α
− = − = ∈ ⇒ = + = +
( ) ( )
! ! $ ! ! $ !
J
A x y xy x y
π
α
= − + − + + − − + = −
÷
K%
A ≤
B1C
Bài toán 3:2
( )
L
i
a i n n≤ ≤ = ∈¥
2.D#
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n n
a a a a a a+ + + + − − − ≤
Giải:9
i
i i
a
α
π
α
= ≤ ≤
÷
)'
( )
c i n
α
≥ =
I(I#
( ) ( ) ( )
BCc c c c c c
α α α α α α
+ + + ≥ +
:%
i
i
c
α
α
α
−
=
+
%)BC
n n
i i
i i
i i
a a
a a
= =
− −
+ ≥ +
÷
+ +
∏ ∏
M%
( ) ( )
n n
n
i i
i i
a a
= =
+ + − ≤
∏ ∏
B1C
9N.4%
n
a a a⇔ = = = =
Bài toán 4::O
P
Q
R
?<
Q
S
Q
)
P
Q
R
T
S
Q
T
I
T
/
Q
#
xyy
xxy
P
CJB
++
+
=
)<
Q
%?
P
U
Q
/
R
%U
T
)
P
T
V
I
R
/
Q
=+
yx
(Đề thi tuyển sinh Đa
̣
i ho
̣
c, Cao đẳng 2008 – Khối B)
Giải: MI
R
/
Q
=+
yx
Q
1
Q
?I/<
T
I
Q
U/
Q
?/<
R
Q
#
=+
uu
FO
P
)S
R
%W
R
#H%H
X/<
Q
O
P
/
Q
?/<
R
Q
Q
#
uuu
uuu
P
CJB
++
+
=
J
++
+−
=
uu
uu
P
BLC
9I
T
O
P
I
P
Q
R
T
YI
Q
U
T
BLC
P
#
BYZJCGBYGCHZY BLLC
9I
P
I
R
Q
I
R
T
1/<O
P
BLLC?
P
#
( ) ( ) ( )
J PPP
−≥++−
!JJ
≤−+⇔
PP
!J
≤≤−⇔
P
FS
R
%
Q
R
?<
Q
S
Q
T
YW
P
!
Q
R
T
S
Q
T
YW
P
ZJ
Bài toán 5: :O
P
Q
R
?<
Q
S
Q
)
P
Q
R
T
S
Q
T
I
T
/
Q
#
+
+−=
xyP
)<
Q
%?
P
U
Q
/
R
%U
T
)
P
T
V
I
R
/
Q
#
[J!J
=+
yx
Giải:
\I
Q
U
T
[J!J
=+
yx
)I
P
]
R
#
!
$
!
J
=
+
yx
!
:O
V
I
Q
)I
R
W
R
#
=
=
⇒
=
=
uy
ux
u
y
u
x
$
!
!
$
!
J
^
Q
]/<
Q
]
R
?/<
R
Q
O
P
#YH
+
$
!
+−
uu
K/
T
]
R
S
Q
W
T
/
Q
#
baubuaba
+≤+≤+−
:%# YH
$
+
J
[
+
=++
YH
$
++
J
[
+
=+−
Bài toán 6: :O
P
Q
R
?<
Q
S
Q
)
P
Q
R
T
S
Q
T
P
U
Q
#
$!
yx
xyy
P
+
−
=
Giải: \I
Q
U
T
P
Y)I
P
]
R
#
+
+
−
+
=
$!
yx
y
yx
x
yx
y
P
)
P
Q
%
Q
W
P
#
!
!
+−=
uu
IW
R
#
yx
x
u
yx
y
u
+
=
+
=
_
Q
Q
P
U
Q
Y]/<
Q
O
P
/
Q
?/<
R
Q
?
P
#
Y H!
Z$
!
!
+−=
uu
`
Q
1]
R
S
Q
W
T
/
Q
#
baubuaba
+≤+≤+−
:/<
R
# YH$
YHa
Bài toán 6: 2%?
P
U
Q
]/<%U
T
T
V
#G%H
:O
P
Q
R
T
S
Q
T
I
T
/
Q
#
y
y
x
x
P
−
+
−
=
$
Giải: F<
Q
%3)
P
G%HIW
R
#
=
=
uy
ux
<<
π
u
_
Q
Q
YH
uu
uu
u
u
u
u
!!
+
=+
9W
R
H H
$
≤≤
+
tu
π
O
Q
!
CB
!
−
−−
==
t
tt
tfP
( )
!
CBb
$
<
−
+
−=
t
t
tf
IcBC
R
I
Q
I
de
FS
R
%#
CB
==
fP
Bài toán 7: :')-#
+
+
=
x
bax
y
@7?*fD$7gfDa
Giải: X-%7)*h)=8@?/AG
I(?/A6D
#H
α
^-%i#
ααα
α
α
ba
ba
y
+=
+
+
=
bba
y
++=
αα
j1]kU.#
baubuaba
+≤+≤+−
:/A#
ba
b
y
++=
ba
b
y
+−=
9S%)')g%Ilm%))41/<'#
+
