24 HSG Toan 9 Phan 6

“Sách”vở là người “Thầy” tốt “Nhất”
24 Bộ đề HSG Toán 9 các Tỉnh, TP HCM – Hà Nội.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

Phần 6
KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2009 – 2010
Môn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Đề số 1
Bài 1: (3,0 điểm)
3

3

1. Giải phương trình: x  2 81  7 x 18
2. Chứng minh tồn tại một số chia hết cho 2009 và tổng các chữ số của nó bằng 2010
Bài 2: (3,0 điểm)
2

2

Cho phương trình x  2mx  2m  1 0 (1) (m tham số).
1. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
2. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn
hệ thức: x13 + x23 - x12 - x22 = -2
Bài 3: (4,0 điểm)
1. Tìm x,y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất

P 3 x 2  11 y 2  2 xy  2 x  6 y  1.

2. Cho đa thức P(x) bậc 5 có các hệ số nguyên. Biết rằng P(x) nhận giá trị 2003 với 4
giá trị nguyên khác nhau của x. Chứng minh rằng: Với mọi x Ỵ Z thì P(x) khơng thể có trị
số bằng 2010.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM, lần
lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P,R,Q. Kí hiệu SABC là diện tích tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng: MA.BC + MB.CA + MC.AB ³ 4SABC
b. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất.
Bài 5: (4,0 điểm)
1. Cho a,b,c các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh rằng:
bc
ca
ab
 3
 3
³
a (c  2b) b (a  2c) c (b  2a)
3

2. Cho ba số thực α, β, γ > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
y
z


.
M = y  z z  x x  y Với mọi x, y, z > 0

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2010 – 2011
Mơn thi: TỐN – Bảng A
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Đề số 2
Câu 1 (4,0 điểm).
3
3
a3
a. Cho số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = 1 + a 2 + ... + a n ;P = a1 + a2 + ... + an .
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b. Cho A = n6 – n4 + 2n3 + 2n2 ( với n Î N, n > 1). Chứng minh A không phải là số
chính phương
Câu 2 (4,5 điểm).
3
2
a. Giải phương trình: 10 x  1 3x  6


x 



y 


z 
b. Giải hệ phương trinh: 

1
3
y
1
3
z
1
3
x

Câu 3 (4,5 điểm).
1 1 1
  4.
a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và x y z
1
1
1


1
2x

y


z
x

2y

z
x

y

2z
Chứng minh rằng:
2011
2011
2011
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x  y  z 3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x2 + y2 + z2.
Câu 4 (4,5 điểm).
Cho tam giác ABC ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác .
Gọi M một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng B và C). Gọi N là P
lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh N, H, P thẳng hàng
1
1

BOC 1200
b) Khi
, xác định vị trí của điểm M để MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung
BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vng góc với IB tại I cắt
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


đường thẳng AC tại E, đường thẳng vng góc với IC cắt đường thẳng AB tại F.
Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC

--- Hết--KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2011 – 2012
Môn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Đề số 3
Câu 1(5,0 điểm ):
1  4x
1 4x
2
A

x
1  1  4 x 1  1  4 x ,biết
9 .
1. Tính giá trị của biểu thức sau :

2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (m+1)x 2 – (2m+1)x + m - 1 = 0 có
hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 - 2009x1x2 = 2012
Câu 2(4,0 điểm ):
2
1. Giải phương trình : (2 x  2  4 x  1)(2 x  3  4 x  9 x  2) 7 .

 x  y  2 4 z  2

 y  z  2 4 x  2

z  x  2 4 y  2
2. Giải hệ phương trình sau : 

Câu 3(4,0 điểm):
1. Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của x biết x và y là hai số thỏa mãn đẳng thức
2
y = 3(xy + y – x - x2).
2. Tìm các số nguyên k để biểu thức k4 - 8k3 + 23k2 - 26k + 10 là số chính phương.
Câu 4 (6,0 điểm ):
Cho đường trịn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H bất kì khơng
trùng với A và O,kẻ đường thẳng d vng góc với AB tại H,trên d lấy điểm C nằm ngồi
đường trịn, từ C kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm ,
(M thuộc nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A). Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của
CM,CN với đường thẳng AB.
1. Chứng minh HC là tia phân giác của góc MHN
2. Đường thẳng đi qua O vng góc với AB cắt MN tại K và đường thẳng CK cắt
đường thẳng AB tại I.Chứng ninh rằng : I là trung điểm của PQ.
3. Chứng minh rằng ba đường thẳng PN,QM và CH đồng quy.
Câu 5(1,0 điểm ):
Cho ba số dương x,y và z thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng :

x2 + y2 + z2 – xy – yz - xz + xyz ≥ 8.
------------ Hết -----------“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học: 2009 - 2010
Mơn : TỐN
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề.

Đề số 4 :
Bài 1 (4,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy
a3
a2
a
A=
+
+
24
8
12 với a là số tự nhiên chẵn.
b) Cho biểu thức

Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên.
Bài 2 : (4,0 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 9x2 + 13x – 6
b) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x =

3

20 + 14 2 + 3 20 - 14 2

Bài 3 : (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:

x - 2 + 6 - x = x 2 - 8x + 24

1
1
9

x + y + x + y = 2


 xy + 1 = 5

xy
2
b) Giải hệ phương trình: 

Bài 4 ( 5,0 điểm)
Cho tam giác cân ABC (AB = AC; Â < 900), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB,
M B;C

 . Gọi I;
AC tại B và C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M 
H; K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là
giao điểm của MC với IH.
a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.
b) Chứng minh PQ // BC.
c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp  MPK và  MQH. Chứng minh
rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 ).
d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O 1),(O2 ). Chứng minh
rằng M,N,D thẳng hàng.
Bài 5 ( 2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO,
CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P.
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


AM BN CP
+
+
Chứng minh rằng: OM ON OP ³ 9

----------------- HẾT-----------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học: 2010 - 2011
Mơn : TỐN
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề.

Đề số 5
Bài 1. (2,0 điểm)

a 1 a a  1 a 2  a a  a  1


a
a

a
a a a
Cho biểu thức:
với a > 0, a  1.
a) Chứng minh rằng M  4.
6
N
M nhận giá trị nguyên?
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức
M

Bài 2. (2,0 điểm)
a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x  3 , y 6  x và y mx có đồ thị lần lượt là
các đường thẳng (d1), (d2) và (m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng
(m) cắt hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hồnh
độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt

trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2)
. Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất

Q

của biểu thức
Bài 3. (2,0 điểm)

1
1 .

2
OM
ON 2

17x  2y 2011 xy

x  2y 3xy.
a) Giải hệ phương trình: 
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:
Bài 4. (3,0 điểm)

1
x  y  z  z  x  (y  3).
2

Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động
trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A.
Đường thẳng vng góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt

đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


b) Chứng minh rằng tích AM×AN khơng đổi.
c) Chứng minh A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Bài 5. (1,0 điểm)
Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
---HẾT---

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2015 - 2016
Mơn : TỐN
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề.

Đề số 6
Câu 1 (2.0 điểm)

x2  x
2 x  x 2( x  1)
P


x  x 1

x
x  1 với 0  x 1 .
Cho biểu thức:
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (3.0 điểm)
2
2
a. Cho phương trình: 2 x  2mx  m  2 0 (tham số m). Tìm m để phương trình

có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn | 2 x1 x2  x1  x2  4 |6 .
b. Giải hệ phương trình:



x3  2 x 2 y  x  y 3  2 xy 2  y
x  2  4  x  y 2  6 x  11

Câu 3 (2.5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), AI cắt (O)
tại M (khác A), J là điểm đối xứng với I qua M . Gọi N là điểm chính giữa của cung

ABM
, NI và NJ lần lượt cắt (O) tại E và F .
a. Chứng minh MI MB . Từ đó suy ra

x

1
1

0  x 
2
4 và CIJ là các tam

giác vuông.
b. Chứng minh I, J, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 4 (1.5 điểm) Cho a, b  0 thỏa mãn a  b ³2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


M

1
1

2
a b
b  a2

Câu 5 (1.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn điều kiện:
n 2  n  1  m 2  m  3  m 2  m  5 

------------------- Hết -------------------

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
Năm học: 2015 - 2016
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Đề số 7
Câu 1 (5,0 điểm)

8 x 4
2 x
x 2


.
x

2
x

3
1

x
x

3
1. Cho biểu thức:
a. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa. Rút gọn biểu thức P.
b. Tính giá trị của biểu thức P khi x 3  2 2 .
2. Cho x  0, y  0 và x  y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Q

1
2
  4 xy  2016
2
x y
xy
.
2

Câu 2 (5,0 điểm)
1. Giải phương trình:

3

2  x  x  1 1.

 xy  x  y x 2  2 y 2
 2
2
2. Giải hệ phương trình:  x  y  3x  2 y  10 0 .
 d  : y  2(m  1) x  2m  5
m
3. Tìm

để đường thẳng

 P  : y x

cắt parabol
2
1

2

tại

2
2

hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 sao cho biểu thức: T 12  10 x1 x2  x  x đạt giá trị
lớn nhất.
Câu 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi D, E, F lần lượt

là chân các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC . Gọi H là trực tâm của
tam giác ABC, I là điểm đối xứng của O qua cạnh BC.
1. Chứng minh rằng H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
2. Chứng minh tứ giác AHIO là hình bình hành.

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


3. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại B, C cắt nhau tại Q, gọi P là giao điểm

của AQ và EF. Chứng minh rằng P là trung điểm của EF .

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Gọi

L, H, K lần lượt là chân đường vng góc của M trên các cạnh AB, BC , CA. Tìm vị trí
2
2
2
của điểm M để AL  BH  CK đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (3,0 điểm)
2
2
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 3 x  5 xy  2 y  4 x  8 y  3 0 .

3
3
3
2. Chứng minh rằng nếu a, b, c Ỵ  và a  b  c chia hết cho 6 thì a  b  c chia
hết cho 6.

- - - HẾT - - SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH

KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
Năm học: 2011 - 2012
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 8
Bài 1: ( 4,0 điểm )
8  15
8  15

2
2

a) Rút gọn biểu thức sau: A =
x3

b) Giải phương trình :

16  x

2

 x 2  16  0

Bài 2: ( 4, 0 điểm)
a) Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ.
b) Cho a, b, c là các số thực dương thõa điều kiện :
a2 + b2 + c2 = (a –b)2 + (b- c)2 + ( c – a)2
Chứng minh rằng nếu c ³ a và c ³ b thì c ³ a + b
Bài 3: ( 3, 0 điểm )
Cho phương trình x2 +(m – 1)x – 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân
biệt x1 và x2 sao cho biểu thức A = (x12 – 9)(x22 – 4) đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4: (6, 0 điểm)
0


1) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC 20 ; AB = AC = b và BC = a .

Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 .
2) Cho hai điểm A, B thuộc đường trịn (O) (AB khơng đi qua O) và có hai điểm C,

D di động trên cung lớn AB
sao cho AD song song BC ( C, D khác A, B và AD > BC ).

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


Gọi M là giao điểm của BD và AC . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau
tại điểm I.
a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng.
b) Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi.
Bài 5: ( 3,0 điểm )
Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 .Chứng minh rằng :
4
(x + y + 1)(x2 + y2) + x  y ³ 8

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
Năm học: 2008 - 2009
Môn thi: Tốn – Bảng A
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Đề số 9
Câu 1 (4,5 điểm).
4

3

2

a) Cho A= k  2k  16k  2k  15 với k Ỵ Z . Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16.
b) Cho 2 số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì ln ln tìm
2
2
2
được số ngun c sao cho a  b  c là số chính phương.
Câu 2 (5,5 điểm).
2
a) Giải phương trình: x  x  2 1 16 x 2

3
2

 x  2 y  4 y  3 0
 2
2 2
x
,
y
b) Cho
thoả mãn:  x  x y  2 y 0

2
2
Tính Q = x  y
Câu 3 (3,0 điểm).

1 1 
1 1
1 1

3   3  3  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =  a b   b c   c a 

Trong đó các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện
Câu 4 (5,5 điểm).

a b c 

3
2

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


Cho đường trịn (O;R), hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. E là một
điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD
tại N.
a. Chứng minh rằng: AM.ED =

2 OM.EA.

OM ON

b. Xác định vị trí điểm E để tổng AM DN đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (1,5 điểm).
Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh
CA. Biết rằng độ dài đoạn thẳng AA1 , BB1 , CC1 không lớn hơn 1.
Chứng minh rằng:

S ABC 

1
3 ( S ABC là diện tích tam giác ABC).

- - - -Hết- - - - -

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TP. ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP
Năm học: 2009 - 2010
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề số 10
Bài 1: (2,5 điểm)
 1 x x  
1 

P 
 1  1 

x 1
x



a) Rút gọn biểu thức
.
Tính giá trị của biểu thức P khi x 4  2 3 .

y  8 3x  2 y  4

×
4
x

y

8,
x
y

8
b) Cho
hãy tính giá trị của biểu thức A =

Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình

 2 x  1

x x 2  2

.

x y z
 4  3  12 1

 x  y  z 1
x; y ; z 
b) Giả sử hệ phương trình  3 10 5 có nghiệm 
.
Chứng tỏ x  y  z không đổi.
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


y x

Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số
đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hồnh độ lần lượt là  1 và 3 .

có đồ thị là (G). Trên

a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
Bài 4: (3,0 điểm)
a) Cho một điểm P ngồi đường trịn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn. Từ

trung điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và
PD lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F. Chứng minh DCE = DPE + CAF và
tam giác PBC đồng dạng tam giác DBP.
b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB. Trong tam giác ABC lấy điểm
O tùy ý. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm O trên các đường thẳng BC,
CA, AB. Chứng minh rằng: OI + OJ + OK < BC
----- HẾT -----

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TP. ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP
Năm học: 2008 - 2009
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề số 11

Bài 1 : a) Rút gọn biểu thức

1− √ x ¿2
¿
1 − x √x
1
P=(
+ √ x ): ¿
1− √ x

Tính giá trị biểu thức P khi

x=

1
√ 2 −1
2

b) Đặt a=√3 2− √ 3+ √3 2+ √ 3

3

a −3 ¿
¿
¿
. Chứng minh rằng
64
¿

là số nguyên.

Bài 2: a) Giải phương trình: 2+ √ 5− x=|x − 5|

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


b) Giải hệ phương trình:

¿
xy +6=3 x+ 2 y

x 2+ y 2 =2 x +4 y − 3
¿{
¿

Bài 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, Parabol (P): y = - x2; đường thẳng (d) : y = -x – 2
a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d)
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng () : y = mx – m +1 cắt đường
thẳng (d) tại các điểm nằm trên Parabol (P)
Bài 4 a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz
2x  m x  1

3
b) Cho Phương trình: x  2 x  2
. Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
1 1 1
  ³9
c) Cho a,b,c có tổng bằng 1 (a,b,c > 0). Chứng minh rằng : a b c

Bài 5:
Cho nửa đường tròn (C) tâm O đường kính AB . Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn
( C ) và D là điểm chính giữa cung AC . Gọi E là hình chiếu vng góc của điểm D trên
đường thẳng BC và F là giao điểm của AE với nửa đường tròn ( C ). Tia BF cắt DE tại M.
Chứng minh rằng :
a. Hai tam giác MDF và MBD đồng dạng .
b. M là trung điểm của đoạn DE .

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TP. HCM
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP
Năm học: 2002 - 2003
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề số 12
Bài 1 : (4 điểm)
Cho phương trình : (2m - 1) x2 - 2mx + 1 = 0.
a) Định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0)
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x12 - x22| = 1.
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


Bài 2 : (5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây :

Bài 3 : (3 điểm)
a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh :
b) Cho x ≥ 1 , y ≥ 1. Chứng minh :
Bài 4 : (3 điểm)
Từ điểm A ở ngồi đường trịn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C
là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC.
Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K.
Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC vng tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng lưu
động và vng góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định các
vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6 : (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở hai điểm A và B. Qua A vẽ hai đường

thẳng (d) và (d’), đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D, đường thẳng (d’) cắt (O)
tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD. Chứng minh rằng CD = MN.

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUÃNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2015 - 2016
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Đề số 13
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm ba số ngun tố đơi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần
tổng của chúng.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


x 2  2 y 2  3xy  2 x  4 y  3 0

2b 2
2c 2
2a 2
a
b

c


1  b2 ;
1  c2 ;
1  a2
c) Tìm các số a, b, c biết
Bài 2: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình:

3

x  2  x  1 3

1
1


1

x2 y 2

 x 2  1  y 2  1  xy  2

b. Giải hệ phương trình:
Bài 3: (4,0 điểm)
a. Cho x, y, zx, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx = 6.
x 2  y 2  z 2 ³3
Chứng minh rằng:
a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng nếu b là số trung bình cộng
b. Cho
1

1
2


b c
c a
của a và c thì a  b
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho đường trịn tâm O, bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD vng góc với
nhau. Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M;
nối E với B cắt OD tại N.
2
a) Tính CM .CE  BD theo RR.
OM OD
.
b) Chứng minh rằng tích AM DN là một hằng số
OM OD

c) Tìm vị trí của điểm E để tổng AM DN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó.
Bài 5: (3,0 điểm)
a) Cho tam giác ABCABC có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị
0


đo). Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó, biết 3A  2B 180

BAC
600 BC 2 3

b) Cho tam giác nhọn ABCABC có

,
. Bên trong tam giác
này cho 2017 điểm bất kì. Chứng minh rằng trong 2017điểm ấy ln tìm
được 169 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm .
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUÃNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2014 - 2015
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề số 14
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: 6 x + 5 y +18 = 2 xy
a 5 a 4 7a 3 5a 2 a
+ +
+
+
b) Chứng minh với mọi a Ỵ N thì biểu thức A = 120 12 24 12 5 có giá trị là
số tự nhiên.
Bài 2: (4,0 điểm)
2
a) Giải phương trình: 4 x 1 x  5 x 14
 y = x2




 z = xy

1 = 1 + 6
x y z
b) Giải hệ phương trình: 

với x, y, z 0

Bài 3: (4,0 điểm)
1- 2
8
a) Cho a = 2 . Tính giá trị của biểu thức: 16a - 51a
b) Cho a và b là các số thực dương.
2 a b
³2a b  2b a
 a  b 
2
Chứng minh rằng:

Bài 4: (5,0 điểm)
Trên đường trịn (O) đường kính AB lấy điểm M (M khác A và B). Từ điểm C trên

đoạn OB (C khác B) kẻ CN vng góc với AM tại N. Đường phân giác của MAB
cắt CN
tại I và cắt đường tròn (O) tại P; đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q.
a) Chứng minh ba điểm P; C; Q thẳng hàng.

b) Khi BC = AM, hãy chứng minh tia MI đi qua trung điểm của đoạn AC.

Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Trên các đoạn AH, AB, AC lần lượt lấy
0


các điểm D, E, F sao cho EDC = FDB = 90 (E khác B).
Chứng minh rằng EF // BC.
HẾT

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THANH HĨA
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2016 - 2017
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Đề số 15
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


Bài 1. (4,0 điểm)
P

x
( x  y )(1 



y
xy

( x  y )( x  1) ( x  1)(1 

y)
y)
Cho biểu thức:
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2.
Bài 2. (4,0 điểm)
2
1. Tìm m để phương trình ( x  1)( x  3)( x  5) m có 4 nghiệm phân biệt
1 1 1 1
    1
x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 x3 x4

 x 2 2  xy 2
 2
2
 y 2  x y

2. Giải hệ phương trình :
Bài 3. (4 điểm)
1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60.
3
3

3
2. Cho x, y, z là các số dương khác nhau đôi một và x  y  z chia hết cho
x 2 y 2 z 2 . Tìm thương của phép chia x 3  y 3  z 3 : x 2 y 2 z 2
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các
tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với
AB, cắt BC và AC lần lượt tại M, N.
1. Chứng minh tứ giác BONC nội tiếp và tam giác ANB cân.
2. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại I, BI cắt DM tại K. Chứng minh K
là trung điểm của DM.
3. Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P sao cho IP // DN, AP cắt BC tại Q. Gọi G là
trung điểm của DK. Chứng minh ba điểm Q, I, G thẳng hàng.
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : 0 x, y, z 2 và x + y + z = 5. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: A  x  y  z .
------HẾT------

PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
CẨM XUN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2012 - 2013
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.

Đề số16

Bài 1 (5 điểm).
Cho biểu thức: A =

(1 − 2a+1√ a ): ( 1+1√a − a √ a+2√√a+a a+1 )

, với a ≥ 0

1. Rút gon biểu thức A.
2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 √ 2009 .
Bài 2 (4 điểm).
1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2
2. Giải hệ phương trình:

¿
x 3 − y3 =3(x − y )
x+ y=−1
¿{
¿

Bài 3 (4 điểm).
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32)
2. Cho tam giác ABC vng tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là hình
chiếu của B, C lên đường thẳng AD.
Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN
Bài 4 (5 điểm).
Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là
điểm trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN.
1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL.

2. Chứng minh ∆LMN vng cân
3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP.
Bài 5 (2 điểm).
a2 +b2
Cho a b và ab = 6. Chứng minh: |a − b| ≥ 4 √ 3

..................................Hết....................................

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
BÙ ĐĂNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2015 - 2016
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


Đề số 17
Bài 1(5,0 điểm):
x 1

A



2 x



x2
x 2
1. Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A;

25 x
4 x .

b) Tính giá trị của A, biết x 16  8 3 .
2
2
2. Tìm nghiệm ngun khơng âm của phương trình: x y  y  1

Bài 2(5,0 điểm):

 y 2  y  x 2 2 xy  x
 2
2
1. Giải hệ phương trình: 2 x  x  y  y  3 0
2

2

2. Cho phương trình x  2mx  m  1 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm khơng âm.
Bài 3(5,0 điểm):

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O. Ba đường cao
AK; BE; CD cắt nhau ở H ( K Ỵ BC , E Ỵ AC , D Ỵ AB) .
1. Chứng minh tứ giác BDEC ; BDHK nội tiếp.
2. Chứng minh AD. AB  AE .AC


3. Chứng minh KA là phân giác của góc DKE
4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//MN.
Bài 4(2,0 điểm):
Cho tứ giác lồi ABCD có AB và CD không song song với nhau. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh BC và AD . Chứng minh rằng: AB  CD  2 MN
Bài 5(3,0 điểm):
3
3
3
1. Cho a, b, c các số nguyên dương. Chứng minh (a  b  c )  (a  b  c) chia hết cho 6.

2. Cho x , y  0 và x  y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

1
2

x y

2



2
 4 xy
xy

.

- - - Hết - - -

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
VĨNH TƯỜNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2013 - 2014
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Đề số 18
Câu 1.
a) Tính:

5 2 2 94 2

b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc 4 . Tính
giá trị của biểu thức: A  a(4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a)  c(4  a)(4  b)  abc
Câu 2. Giải các phương trình sau:

a)

x

x 1 

x  4  x  9 0

3
b) 2(x2 + 2) = 5 x  1

x  y 2013
x; y ; z 
Câu 3: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương 
thỏa mãn y  z 2013 là số hữu tỉ, đồng
2
2
2
thời x  y  z là số nguyên tố.
Câu 4.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF
cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.
a. Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c. Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của
tam giác ABC.
Câu 5.
a) Cho a, b, c là các số thực; x, y, z là các số thực dương.
a 2 b 2 c 2 (a  b  c) 2
  ³

x
y z
x yz
Chứng minh rằng:

b) Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1.
1  x2
1  y2
1 z2


³2
2
2
2
Chứng minh : 1  y  z 1  z  x 1  x  y

Câu 6.
Cho bảng vuông 13x13. Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng sao cho khơng có
4 ơ đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị lớn nhất của S có thể là bao
nhiêu?

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.


PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 - 2015

Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

THCS CAO VIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 19
Bài 1: (6 điểm)
P

x





x  y 1

y

y



 

x y





 

x 1

xy



x 1 1 

y



1) Cho
a. Tìm điều kiện của x,y để biểu thức P xác định và rút gọn P
b. Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: P = 2
2) Chứng minh rằng: Với mọi nỴ N thì n + n +1 khơng chia hết cho 9
Bài 2: (4 điểm)



17  x 2  3 

x



2

a. Giải phương trình :
b. Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: a + b = a + b = a + b .
Tính giá trị biểu thức: P = a + b
Bài 3: (3 điểm)
2
2
a/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x  3 y  4 x 19
3

ab  bc  ca  a  b  c 

³28
2
2
2
abc
b/ Cho a,b,c > 0. Chứng minh : a  b  c

Bài 4: (6 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường
tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP
vng góc với AB(PỴ AB), vẽ MQ vng góc với AE ( QỴ AE)
1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác
APMQ là hình chữ nhật.
2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng
3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với  MPB suy
ra K là trung điểm của MP
4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường trịn (O) để

hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên, dương của phương trình: xy + yz + zx = xyz + 2.

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà
Tĩnh.