(Luận văn thạc sĩ) phân tích ứng xử của tấm sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp hàm dạng hierarchical

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
HỨA THÀNH LUÂN

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP HÀM
DẠNG HIERARCHICAL

NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ - 1520414

S K C0 0 5 1 7 3

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 2/2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
HỨA THÀNH LUÂN

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN KẾT HỢP HÀM DẠNG HIERARCHICAL

NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ - 1520414
Hƣớng dẫn khoa học:
PGS.TS.NGUYỄN HỒI SƠN

HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

i


HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

ii


LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. LÝ LỊCH SƠ LƢỢC:
Họ & tên: Hứa Thành Luân

Giới tính: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 14/04/1991

Nơi sinh: Biên Hịa

Q qn: Sóc Trăng

Dân tộc: Kinh

Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc:
Điện thoại cá nhân:0988201778

Điện thoại nhà riêng: 0613846035

Fax:

E-mail:

II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO:
1. Đại học: Đại Học Lạc Hồng
Hệ đào tạo: Chính quy

Thời gian đào tạo: 2009 -2013

Nơi học (trƣờng, thành phố): Đồng Nai
Ngành học: Cơ Điện Tử

III. Q TRÌNH CƠNG TÁC CHUN MƠN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI
HỌC:

Thời gian
8/2013 - 4/2014

4/2014- đến nay

Nơi công tác

Công việc đảm nhiệm

Trƣờng Cao Đẳng nghề Đồng An

Nhân viên

Cơ Sở Cơ khí Liên Thành

Quản lý

HVTH: Hứa thành ln
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hồi Sơn

iii


LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công
bố trong bất kỳ cơng trình nào khác
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 04 năm 2017
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

iv


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu luận văn tại Trƣờng Đại Học Sƣ
Phạm Kỹ Thuật, em đã gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên đƣợc sự giúp đỡ hết sức
nhiệt tình từ q thầy cơ, gia đình và bạn bè đã giúp em hồn thành luận văn này.
Đặc biệt Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS. Nguyễn Hồi Sơn
đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ và theo sát quá trình làm luận án. Đây là một trong

những điều quan trọng giúp em hoàn thành luận án
Em cũng xin cảm ơn các anh hiện đang là Nghiên cứu sinh tại Trƣờng cũng đã
nhiệt tình chia sẻ kiến thức và giúp đỡ em trong quá trình học tập và làm luận văn
Quý thầy cơ khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy và tồn thể quý thầy cô của Trƣờng
Đại Học Sƣ Phạm Kỹ Thuật cũng đã giảng dạy hết sức tận tình để giúp em có đủ
kiến thức hồn thành tốt luận văn.Vì vậy em cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến
quý thầy cô
Rất cám ơn các bạn bè đã chia sẻ những kiến thức liên quan đến luận án của
tôi. Cảm ơn sự động viên hết sức nhiệt tình của các bạn, điều này giúp tơi vƣợt
qua đƣợc mọi khó khăn trong q trình hồn thành luận án
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn gia đình đã ủng hộ, giúp đỡ em suốt
thời gian họctập
Em xin đƣợc gởi lời chúc sức khỏe chân thành đến Thầy PGS.TS. Nguyễn
Hoài Sơn, quý thầy cô, bạn bè đang học tập và công tác tại Trƣờng Đại Học Sƣ
Phạm Kỹ Thuật
Em xin chân thành cảm ơn !

HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

v


TÓM TẮT
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn là phƣơng pháp số gần đúng để giải các bài tốn
đƣợc mơ tả bởi các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng trên miền phần tử xác định có
hình dạng và điều kiện biên bất kỳ, mà nghiệm chính xác khơng thể tính đƣợc bằng
phƣơng pháp giải tích. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn hierarchical là một trƣờng hợp
đặc biệt của phƣơng pháp Rayleigh-Ritz, sự khác biệt lớn nhất của FEM và HFEM là
hàm nội suy. Mặc dù HFEM có nhiều điểm chung với các phƣơng pháp Rayleigh-Ritz

cổ điển nhƣng việc sử dụng các hàm chuyển vị HFEM ở tính linh hoạt cao hơn và cải
thiện tỷ lệ hội tụ cũng nhƣ tính chính xác cao hơn. Việc nghiên cứu về các lĩnh vực
này không chỉ để giải quyết những yêu cầu kỹ thuật hiện đại mà còn chứng minh cho
việc sử dụng các lý thuyết nâng cao để khắc phục những giới hạn của lý thuyết cơ bản
về cơ học vật liệu.

ABSTRACT
Finite element method (FEM) is an approximate numerical method for solving
problems described by partial differential equations on the bounded domain of any
shape and boundary condition that method formulation of the problem results in a
system of algebraic equations. Hierarchical Finite element method is a special case of
the Rayleigh-Ritz method, the biggest difference between FEM and hybrid finite
element (HFEM )is the interpolation function. Although HFEM has much in common
with the classical Rayleigh-Ritz methods, the results of approximation functions in
HFEM method is greater flexibility and improved convergence rates as well as greater
accuracy. Research in these areas not only solves modern problems technical
requirements, but also demonstrates the use of advanced theories to overcome the
limitations of the fundamental mechanics of materials.

HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

vi


MỤC LỤC

LÝ LỊCH KHOA HỌC .............................................................................................................. ii
LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................................... iv
LỜI CẢM ƠN............................................................................................................................. v

MỤC LỤC ................................................................................................................................. vi
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN .................................................................................................. 13
1.1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI ............................................................................... 13
1.2 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA LUẬN VĂN ................................. 13
1.3 MỤC ĐÍCH CỦA LUẬN VĂN.................................................................................... 17
1.4 NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN .................................................................................... 17
1.5 GIỚI HẠN ĐỀ TÀI ...................................................................................................... 17
1.6 PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ............................................................................... 17
1.7 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TẤM ............................................................... 18
1.8 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ................................................................... 19
1.9 KẾT CẤU CỦA LUẬN VĂN ...................................................................................... 19
CHƢƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ...................................................................................... 20
2.1 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI [22]...................................................................................... 20
2.1.1

QUAN HỆ ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG – NHIỆT ĐỘ ................................. 21

2.1.2

QUAN HỆ BIẾN DẠNG – CHUYỂN VỊ ....................................................... 22

2.1.3

PHƢƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ...................................................................... 22

2.1.4

ĐIỀU KIỆN BIÊN ............................................................................................ 23

2.2 LÝ THUYẾT TẤM[14,25] .......................................................................................... 23

2.2.1

QUAN HỆ LỰC – ỨNG SUẤT ....................................................................... 25

2.2.2

LÝ THUYẾT TẤM MỎNG KIRCHOFF[21,25] ......................................... 25

2.2.3

LÝ THUYẾT TẤM CỦA REISSNER - MNDLIN: ...................................... 29

2.2.4

LÝ THUYẾT TẤM NHIỀU LỚP KINH ĐIỂN: ........................................... 31

2.2.5

LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT[20,23] .................................. 33

2.3 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN[34,35] ....................................................... 33
2.3.1

MA TRẬN ĐỘ CỨNG ..................................................................................... 34

2.3.2

VECTOR TẢI ................................................................................................... 36

2.4 MƠ HÌNH TỐN PHẦN TỬ HỮU HẠN .................................................................. 37

2.4.1

HÀM DẠNG...................................................................................................... 38

2.4.2

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ .................................................................. 40

2.4.3

QUY ĐỔI VỀ LỰC .......................................................................................... 42

HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

vii


2.4.4

TÍCH PHÂN SỐ ............................................................................................... 43

2.4.5

TÍNH ỨNG SUẤT ............................................................................................ 47

CHƢƠNG 3: HÀM DẠNG HIERARCHICAL ................................................................... 47
3.1 GIỚI THIỆU HÀM DẠNG HIERARCHICAL ........................................................ 47
3.2 HÀM DẠNG HIERARCHICAL[24] .......................................................................... 48
3.3 PHÁT TRIỂN PHƢƠNG PHÁP HFEM .................................................................... 52

3.4 HÀM DẠNG HIERARCHICAL DÀNH CHO PHẦN TỬ TỨ GIÁC. ................... 54
3.5 SAI SỐ ........................................................................................................................... 58
CHƢƠNG 4: MƠ HÌNH TỐN VÀ SAI SỐ....................................................................... 60
4.1 GIỚI THIỆU ................................................................................................................. 60
4.2 MƠ HÌNH HĨA BÀI TỐN ....................................................................................... 60
4.3BÀI TỐN PHÂN TÍCH TẤM BẰNG HFEM. ......................................................... 62
4.3.1

MỘ HÌNH 2D TẤM. ........................................................................................ 62

4.3.2

MƠ HÌNH TẤM 3D. ........................................................................................ 70

CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT ............................................................................ 75

HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

viii


DANH SÁCH CÁC HÌNH

Hình 3.4:
Hình 3.5:
Hình 3.6:

Các thành phần ứng suất và biến dạng …………………………… 20
Mơ hình bài tốn ứng suất phẳng ………………………………… 21

Biên S của vật thể …………………………………………………. 23
Các thành phần lực và momen trên tấm ………………………… 24
Sơ đồ phần tử tấm chịu uốn ………………………………………. 25
Quan hệ giữa các góc xoay võng…………………………………... 26
Đƣờng biên và vector pháp tuyến của biên ………………………… 29
Góc xoay của các pháp tuyến và biến dạng trƣợt ………………….. 30
Phần tử tứ giác 4 nút ……………………………………………….. 38
Cầu phƣơng 1 điểm Gauss …………………………………………. 44
Điểm Gauss theo qui tắc tích phân 2 điểm ………………………… 47
Vị trí các điểm và cạnh …………………………………………….. 50
Cấu trúc của hàm dạng hierarchical. ………………………………. 51
Hàm dạng hierarchical của các 2 miền), 3 (o), 4 (x), 5 (+), 6 (*) trên các
quy luật phần tử 1
1 . ……………………………………….. 52
Phần tử tứ giác bốn nút ……………………………………………... 55
Hàm dạng các đỉnh ………………………………………………. 56
Nội suy N 94,0,0 (left), N 95,1,0 (middle), N 96, 2,0 (right) …………………… 58

Hình 4.1:
Hình 4.2:
Hình 4.3:
Hình 4.4:
Hình 4.5:
Hình 4.6:
Hình 4.7:
Hình 4.8:
Hình 4.9:
Hình 4.10:
Hình 4.11:
Hình 4.12:

Hình 4.13:
Hình 4.14:
Hình 4.15:

Lƣu đồ giải thuật …………………………………………………... 62
Mơ hình tấm 2D chịu tác dụng của lực kéo ……………………….. 64
Thiết lập lƣới ………………………………………………………. 64
Tạo lƣới theo hệ quy chiếu …………………………………………. 65
Thứ tự các đỉnh mặt cạnh của một miền phân tử ………………….. 66
Biểu đồ năng lƣợng..……………………………………..……………67
Biểu đồ sai số……………. ………………………………………… 68
Biểu đồ thời gian tính tốn………………………………………… 69
Chuyển vị trên trục Y……….………………………………………. 70
Ứng suất của tấm trên trục X……………………………………… 70
Mơ hình lƣới của tấm…. ………………………………………….. 71
Biểu đồ năng lƣợng ………………………………………………. 73
Biểu đồ sai số…….. ………………………………………………. 74
Biểu đồ thời gian tính tốn …………………………………………. 74
Ứng suất dƣới dạng 3D………………………………………………. 75

Hình 2.1:
Hình 2.2:
Hình 2.3:
Hình 2.4:
Hình 2.5:
Hình 2.6:
Hình 2.7:
Hình 2.8:
Hình 2.9:
Hình 2.10:

Hình 2.11:
Hình 3.1:
Hình 3.2:
Hình 3.3:

Bảng số liệu
Bảng 2.1: Điểm Gauss và hàm trọng lƣợng ……………………………….. …….
Bảng 3.1 Bảng biểu đồ số bậc tự do cho các yếu tố tứ giác. …………………….
Bảng 4.1: Dữ liệu cạnh, mặt, định của lƣới ……………………………….……..
Bảng 4.2: Năng lƣợng biến dạng….. …………………………………………….
Bảng 4.3: Sai số của pFEM và FEM…………………………………….………..
Bảng 4.4: Thời gian tính tốn…… ………………………………….………….
Bảng 4.5: Kết quả năng lƣợng ………………………………….………….…………
HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

46
58
65
66
67
71
72
ix


Bảng 4.6 : Kết quả sai số…………………………………………………………………. 73

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Góc của vết nứt nghiêng

xy

Biến dạng cắt kỹ thuật
Sự biến thiên của hàm
Tenxơ biến dạng

ij

Thành phần biến dạng
Góc tọa độ cực
Góc lan truyền vết nứt đối với vết nứt ban đầu

c

Tham số vật liệu
Mô đum cắt
Hệ số Poisson
Hệ thống phối hợp phi tuyến địa phƣơng
( x)

Hàm khoảng cách
Tenxơ ứng suất

ij

Thành phần ứng suất
Ứng suất cắt

( x)

Hàm tập mức

( x)

Hàm làm giàu
Tần số góc của dao độngriêng
Đƣờng biên

c

Vết nứt biên

t

Lực kéo biên

u

Chuyển vị biên
Hàm biến thiên hữu hạn
Miền xác định

HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

x


a

Chiều dài tấm

ai

Bậc tự do đƣợc làm giàu

A*

Vùng liên kết với miền tích phân J

b

Chiều rộng của tấm

bi

Bậc tự do làm giàu đỉnh vết nứt

B

Ma trận đạo hàm của hàm dạng

Bk

Hàm làm giàu đỉnh vết nứt

C

Ma trận thành phần vật liệu

d

Khoảng cách

d/dt

Đạo hàm theo thời gian

D

Ma trận môđun vật liệu

E

Mô đun đàn hồi Young

Eij

Ma trận hệ chống cắt theo phƣơng ngang

f

Vectơ lực đặt tại nút

G

Mơđun cắt

H ( x)

Hàm Heaviside

I

Tích phân tƣơng tác

J

Tích phân J

J(1)

Tích phân J thực

J(2)

Tích phân J bổ sung

K

Ma trận độ cứng

K

Hệ số cƣờng độ ứng suất

Ki

Hệ số cƣờng độ ứng suất kiểu I ( i= I, II, III )

M

Ứng suất uốn

N

Vectơ thƣờng

Ni

Ma trận hàm dạng

Q

Lực cắt

q

Hàm làm mịn bất kỳ

r

Khoảng cách theo bán kính

R

Hàm dốc

t

Thời gian

HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

xi


u

Vectơ chuyển vị

u

Chuyển vị định mức

ui(1) , ui(2)

Trƣờng chuyển vị thực, Trƣờng chuyển vị phụ

u h ( x)

Trƣờng chuyển vị xấp xỉ

Us

Cơng biến dạng

W

Chiều rộng tấm

x

Vectơ vị trí
Hệ số trƣợt khơng đồng nhất theo phƣơng ngang

vi ,vj
/ t

Tốn tửNabla

DOF

Bậc tự do

FE

Phần tử hữu hạn

FEM

Phƣơng pháp Phần tử hữu hạn

HFEM

Phƣơng pháp phần tử hữu hierarchical

pFEM

Các bậc đa thức của phƣơng pháp phần tử hữu hạn hierarchical

HVTH: Hứa thành luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

xii


CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN
1.1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
Vật liệu compsite với nhiều ƣu điểm nổi trội nên chúng đã sử dụng rộng rãi trong
đời sống hơn hết chúng đƣợc sử dụng phổ biến nhất trong nhiều lĩnh vực nhƣ hàng
khơng, vũ trụ, đóng tàu, ơ tơ, cơ khí, xây dựng dân dụng . Trong thực tế các kết cấu
của các tấm composite mỏng làm mất sự ổn định về đàn hồi, biến dạng, và cơ tính
giảm...Do đó vấn đề ổn định của tấm composite đã và đang đƣợc nhiều nhà khoa học
quan tâm giải quyết và đạt đƣợc một số kết quả đáng kể. Vấn đề ổn định của tấm
composite đƣợc chú ý nhiều trong các ngành chế tạo máy, kĩ thuật hàng khơng và có
ý nghĩa quan trọng và là tiền đề để khai thác và sử dụng vật liệu composite. Tuy nhiên
cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về sự chính xác, tốc độ hội tụ cũng nhƣ sai số
của tấm composite vẫn còn nhiều hạn chế. Vì vậy đề tài : “Phân tích ứng xử của
tấm bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn kết hợp hàm dạng hierarchical.” là vấn
đề cấp thiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
1.2 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA LUẬN VĂN
Vật liệu composite là loại vật liệu đã đƣợc con ngƣời sáng tạo và sử dụng từ rất
lâu. Nhẹ - chắc - bền - không gỉ - chịu đƣợc các yếu tố tác động của mơi trƣờng, đó là
những ƣu điểm chủ yếu của vật liệu composite. Sự ra đời của vật liệu composite là
cuộc cách mạng về vật liệu nhằm thay thế cho vật liệu truyền thống và ngày càng
đƣợc ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp tiên tiến trên thế giới: hàng
khơng, vũ trụ, đóng tàu, ơ tơ, cơ khí, xây dựng dân dụng và đƣợc sử dụng rộng rãi
trong đời sống hàng ngày.

Mặc dù composite là loại vật liệu đã có từ lâu, nhƣng các ngành khoa học về vật
liệu này lại vô cùng non trẻ. Khoa học vật liệu composite mới đƣợc hình thành gắn
với sự xuất hiện đầu tiên của nó trong cơng nghệ tên lửa ở Mỹ vào những năm 1950
của thế kỷ XX. Cho đến nay, ngành khoa học này đã phát triển vƣợt bậc không chỉ ở
Mỹ, Nga mà cịn ở các nƣớc cơng nghiệp nhƣ Anh, Pháp, Đức, Nhật Bản,… Nhƣng
vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để giải quyết các bài tốn về phân tích tĩnh và động
có độ chính xác cao hơn các phƣơng pháp phân tích hiện nay, điều này vốn rất quan
trọng trong việc chế tạo. Vì sự sai số càng ít so với kết quả thực nghiệm thì sẽ tạo
điều kiện thuận lợi cho việc chế tạo sau này.
Trong luận văn, việc phân tĩnh và rung động của tấm composite đƣợc tiến
hànhđơn giản theo các công thức phần tử hữu hạn theo quy ƣớc và hàm dạng
HVTH: Hứa Thành Luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

13


hierarchical dựa trên thuyết biến dạng cắt (FSDT) dƣới dạng tấm đơn giản. Cơ sở của
phƣơng pháp phần tử hữu hạn là làm rời rạc hóa miền xác định của bài tốn, bằng
cách chia nó thành nhiều miền con (phần tử). Các phần tử này đƣợc liên kết với nhau
tại các điểm nút chung. Trong phạm vi của mỗi phần tử nghiệm đƣợc chọn là một
hàm số nào đó đƣợc xác định thông qua các giá trị chƣa biết tại các điểm nút của phần
tử gọi là hàm xấp xỉ thoả mãn điều kiện cân bằng của phần tử. Tập tất cả các phần tử
phải chú ý đến điều kiện liên tục của sự biến dạng và chuyển vị tại các điểm nút liên
kết giữa các phần tử. Kết quả dẫn đến một hệ phƣơng trình đại số tuyến tính, mà ẩn số
chính là các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút. Giải hệ phƣơng trình này sẽ tìm
đƣợc các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút của mỗi phần tử, nhờ đó hàm xấp xỉ
hoàn toàn đƣợc xác định trên mỗi phần tử. Để khắc phục những hạn chế này, việc xây
dựng phƣơng pháp phần tử hữu hạn hierarchical (HFEM) đƣợc phát triển trong luận
văn về phân tích tĩnh của tấm dựa trên thứ tự đầu tiên lý thuyết biến dạng cắt. Kết quả

này đƣợc so sánh về tính hiệu quả cũng nhƣ độ chính xác của HFEM dựa trên phƣơng
pháp FEM để giải thích. Hiệu quả và độ chính xác của việc xây dựng phát triển cũng
đƣợc thiết lập so với các giải pháp gần với phƣơng pháp Ritz mà còn đƣợc phát triển
cho cáctrƣờng hợp nghiên cứu. Các nghiên cứu ban đầu đã đƣợc thực hiện dựa trên
đặc tính động lực học tuyến tính của tấm hình chữ nhật đẳng hƣớng. Leissa [1] đã cho
kết quả chính xác và tồn diện cho rung động tự do của tấm hình chữ nhật.
Cải thiện hơn nữa tính chính xác của giải pháp và giảm những phần tính tốn đã
đƣợc thực hiện bởi các cơng trình nghiên cứu của Dickinson và Di Blasio [2], Bhat
[3] và Liew et al [4]. Tất cả các nhà nghiên cứu sử dụng phƣơng pháp rời rạc của
Rayleigh-Ritz với giả thuyết lựa chọn các hàm chuyển vị khác nhau cũng nhƣ chấp
nhận tính đúng của nó. Dựa trên các đặc tính động lực học của tấm composite, hầu
hết các cơng trình đã đƣợc cơng bố dựa trên các phân tích rung động tự do. Lin và
King [5] đƣợc sử dụng lý thuyết tấm composite cổ điển để tính tốn các tần số tự
nhiên của tấm hình chữ nhật đối xứng.
Các lý thuyết cổ điển tấm trong đó là một phần mở rộng của lý thuyết tấm cổ điển
dành cho các tấm composite đã bỏ qua thành phần ứng suất ngang và mơ hình tấm
nhƣ một hệ thống các lớp tƣơng đƣơng. Biến dạng cắt ngang và ứng suất ngang đƣợc
bỏ qua trong lý thuyết tấm cổ điển. Reissner [6] và Mindlin [7] cải thiện lý thuyết cổ
điển bằng cách bao gồm các biến dạng trƣợt ngang và các momen quán tính.
Trong các hệ thống tấm, các thành phần của ứng suất và biến dạng trƣợt theo
phƣơng ngang của tấm tác động mạnh đến động lực học. Do đó, độ dày của của tấm
hoặc vỏ, khơng tính đến hiệu quả của các thành phần ứng suất và biến dạng. Một số lý
HVTH: Hứa Thành Luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

14


thuyết biến dạng cắt đã đƣợc đề xuất cho đến ngày nay. Đối với tấm đẳng hƣớng
composite một lý thuyết đƣợc phát triển đầu tiên bởi Stavsky [8] và sau đó khái quát

hóa cho các tấm đẳng hƣớng composite bởi Yang, Norris và Stavsky [9]The YangNorris-Stavsky (YNS) lý thuyết là đủ để dự đoán ứng xử của tấm composite đẳng
hƣớng.
Ambantsumyan [10] đã phát triển một cách tiếp cận khó hơn để xác định ứng suất
cắt ngang đáp ứng các điều kiện liên tục tại các giao diện lớp. Lý thuyết uốn này đƣợc
giới hạn để cán mỏng bao gồm các lớp xếp chồng lên nhau trực hƣớng đối xứng liên
quan đến giữa mặt phẳng của tấm và có trục đối xứng phân tử trùng với tấm phù hợp
với trục. Yang et al [9] mở rộng lý thuyết Mindlin của [7] cho tấm đẳng hƣớng đồng
nhất để cán mỏng dày bao gồm một số tùy ý các lớp đẳng hƣớng. Cách tiếp cận của
Yang et al [9] đã đƣợc sử dụng bởi Whitney và Pagano [11] Whitney [12] sau đó kết
luận rằng sự ra đời của biến dạng cắt không thể xác định đƣợc sự phân bố ứng suất
trong mặt phẳng từ lý thuyết tấm cổ điển. Trong cuộc tìm kiếm để có đƣợc tính tốn
chính xác hơn về các tác động của tấm composite, Lo [13] [14] và Kant [15] đã đề
xuất lý thuyết tấm bậc cao. Whitney và Sun [16] và Nelson và Lorch [17] giới thiệu
biến thể bậc hai và Lo [18] giới thiệu biến thể khối dịch chuyển trong mặt phẳng
thông qua độ dày tấm. Reddy [19] thu đƣợc bằng cách áp đặt các điều kiện biên của
ứng suất cắt ngang trên và dƣới bề mặt của tấm. Cao hơn lý thuyết tấm thứ bậc xuất
phát của Whitney và Sun đã đƣợc áp dụng bởi Pagano [20] trong trƣờng hợp các cạnh
tự do vấn đề giá trị điều kiện biên với một mặt phẳng đối xứng. Các lớp khác của lý
thuyết laminate gần đúng đƣợc đƣa ra bởi Srinivas [21], trong đó số lƣợng các
phƣơng trình và điều kiện biên không phụ thuộc vào số lƣợng của các lớp. Giải pháp
Thcoretical của lý thuyết đàn hồi không gian đƣợc phát triển cho các dự đoán về các
áp lực thành lớp liên kết bởi Pagano [22] và Srinivas và Rao [23]. Những giải pháp
này đã đƣợc giới hạn trong các trƣờng hợp đặc biệt của cán mỏng cross-ply chịu tải
phân bố đều và đƣợc hỗ trợ điều kiện biên đơn giản. Tƣơng tự các hàm dạng
hierarchical là một dạng đặc biệt của phƣơng pháp Rayleigh-Ritz cổ điển. Sự khác
biệt duy nhất là việc lựa chọn các phƣơng pháp nội suy.
Ở Việt Nam, các nghiên cứu ứng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn vào việc giải
quyết các vấn đề cơ học trong tấm vật liệu composite khá nhiều nhƣng cách tiếp cận
vẫn cịn mới mẻ. Nhƣ:
PGS.TS Ngơ Nhƣ Khoa “Mơ hình hóa tính tốn vật liệu - kết cấu composite”. [4]

HVTH: Hứa Thành Luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

15


PGS.TS Nhữ Phƣơng Mai “Nghiên cứu và tính tốn ứng suất, biến dạng của vật
liệu composite cốt sợi và tấm nhiều lớp”.[5]
GS.TS Trần Ích Thịnh “Nghiên cứu ứng xử cơ học của vật liệu composite cốt vải
chịu tải trọng và mơi trƣờng”.
GS.TS Trần Ích Thịnh “Mơ hình hóa và tính toán số kết cấu composite lớp theo lý
thuyết chuyển vị bậc cao”.
PGS. Trần Ích Thịnh, PGS. Lê Ngọc Thạch “Ảnh hƣởng của nhiệt độ và độ ẩm
đến độ bền và ổn định của kết cấu composite lớp”.
Các đề tài về vật liệu composite đã đƣợc nghiên cứu khá rộng rãi trong và ngoài
nƣớc. Tuy nhiên cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về sự ổn định cũng nhƣ sai số
của tấm composite cịn ít ngƣời quan tâm.
Tóm lại:
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn là phƣơng pháp số gần đúng để giải các bài tốn
đƣợc mơ tả bởi các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình
dạng và điều kiện biên bất kỳ mà nghiệm chính xác khơng thể tìm đƣợc bằng phƣơng
pháp giải tích.Phƣơng pháp phần tử hữu hạn là một trƣờng hợp đặc biệt của phƣơng
pháp Rayleigh-Ritz, sự khác biệt lớn nhất của FEM và HFEM là hàm nội suy. Có
những phƣơngthức khác nhau trong việc phát triển phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Các
phƣơng thức phổ biến nhất liên quan đến việc tinh chỉnh các lƣới trong khi vẫn giữ
mức độ xấp xỉ đa thức cố định. Điều này đƣợc gọi là phƣơng pháp hữu hạn ổn định
hoặc phƣơng pháp phần tử hữu hạn đơn giản. Phƣơng thức thứ hai liên quan đến việc
giữ kích thƣớc mắt lƣới liên tục và cho phép các bậc của đa thức xấp xỉ có xu hƣớng
đến vô cùng [24],[ 25]. Cách tiếp cận này đƣợc gọi là phƣơng pháp phần tử hữu hạn

hoặc các phƣơng pháp phần tử hữu hạn kết hợp hàm dạng hierarchical (HFEM). Mặc
dù HFEM có nhiều điểm chung với các phƣơng pháp Rayleigh-Ritz cổ điển nhƣng
việc sử dụng các hàm chuyển vị xấp xỉ kết quả HFEM ở tính linh hoạt cao hơn và cải
thiện tỷ lệ hội tụ. Việc nghiên cứu về các lĩnh vực này vẫn còn đang tiếp tục không chỉ
để giải quyết những yêu cầu kỹ thuật hiện đại mà còn chứng minh cho việc sử dụng
các lý thuyết nâng cao để khắc phục những giới hạn của lý thuyết cơ bản về cơ học vật
liệu.[5].

HVTH: Hứa Thành Luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

16


1.3 MỤC ĐÍCH CỦA LUẬN VĂN
Mục tiêu chính của luận văn:
Xây dựng phƣơng pháp phần tử hữu hạn dựa trên hàm dạng hierarchical cho
phần tử tứ giác bốn nút.
Đánh giá tốc độ hội tụ và ổn định của phƣơng pháp mới so với phƣơng pháp
phần tử hữu hạn truyền thống,.
Các phƣơng pháp phát triển không chỉ cung cấp cho hội tụ chính xác hơn và tốt
hơn, sử dụng ít hơn số lƣợng các phân tử so với FEM thông thƣờng. Sử dụng số liệu
kết quả không đủ phần tử dẫn đến sự đứt khúc trong ứng suất và phân phối dòng trên
giao diện phần tử. Cấu trúc đơn giản nhƣ tấm hình chữ nhật có thể đƣợc phân tích
bằng sử dụng các bậc của hàm đa thức, do đó hồn tồn loại bỏ thời gian và chi phí
liên quan thiết lập lại lƣới, cũng nhƣ quản lý các miền phần tử.
1.4 NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN
Sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn kết hợp với ngôn ngữ Matlab viết chƣơng
trình tính tốn:
Xây dựng mơ hình tốn cho bài tốn tấm.

Xây dựng thuật tốn phân tích tấm bằng FEM với các phần tử đƣợc nội suy
bằng hàm dạng Hierarchical.
Viết code Matlab.
1.5 GIỚI HẠN ĐỀ TÀI
- Đề tài chỉ thực hiện trên mơ phỏng và tính tốn số .
- Việc tính toán đƣợc thực hiện dựa trên các quan hệ cơ bản của tấm composite.
- Tác giả chỉ xét phân tích ứng xử trên tấm chịu uốn.
1.6 PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết tấm và phần tử hữu hạn.
- Thu thập tài liệu trong và ngoài nƣớc có liên quan từ đó định hƣớng giải quyết
vấn đề.
- Tính tốn, sử dụng phần mềm mơ phỏng.

HVTH: Hứa Thành Luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

17


1.7 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TẤM
Vào những năm đầu thế kỷ XIX, các bài toán tấm chịu uốn đƣợc giải bằng các mơ
hình giải tích, tiêu biểu là cơng trình của S.Germaine (1776-1831), Lagrange (17361813) và Poisson (1781-1840). Từ những thành tựu này dẫn đến sự ra đời Lý thuyết
tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff, trong đó các biến dạng trƣợt đƣợc bỏ qua. Năm
1828, Poisson hoài nghi về các điều kiện biên và cho rằng cần ba điều kiện biên trên
mỗi biên tự do. Tiếp đến, ông đã xác định chính xác độ cứng chống uốn vào năm
1829. Tuy nhiên, các điều kiện biên tƣơng thích thì không đƣợc triển khai, cho đến
năm 1850 Kirchhoff (1824-1887) mới đề ra. Lời giải chính xác đối với tấm trịn cũng
đƣợc ơng cơng bố sau đó. Kirchhoff đƣa ra lý do là hai điều kiện biên thì thích hợp
hơn ba và định nghĩa lực cắt tƣơng đƣơng, đặc biệt để giảm số lực trên biên tự do từ
ba xuống còn hai. Sau đó vào năm 1883, T. William (1824-1907) và G.T.Peter (18311901) bổ sung biểu thức liên hệ năng lƣợng của lực cắt tƣơng đƣơng với sự giải thích

rõ ràng về vật lý.
Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất đƣợc sử
dụng rộng rãi để phân tích tấm. Tính đơn giản thể hiện bằng việc giả thiết rằng trƣớc
và sau biến dạng pháp tuyến vẫn thẳng và vng góc với mặt phẳng trung bình của
tấm. Giả thiết này có nghĩa là bỏ qua biến dạng trƣợt trong tấm, nó chỉ đúng với tấm
mỏng cịn tấm dày sẽ có lời giải với sai số lớn.
Năm 1945, E.Reissner cơng bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến ảnh
hƣởng của biến dạng trƣợt trong tấm đàn hồi chịu uốn. Lý thuyết Reissner không u
cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì nó đƣợc thành lập bằng cách giả định sự phân bố ứng
suất tiếp theo quy luật Parabol qua chiều dày của tấm. Sau đó vào năm 1951, Mindlin
đƣa ra lý thuyết đàn hồi tấm có kể đến ảnh hƣởng của qn tính quay và biến dạng
trƣợt trong dao động uốn của tấm đàn hồi đẳng hƣớng hồn tồn tƣơng thích với lý
thuyết của Reissner. Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay
bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình biến dạng. Tuy
nhiên, sự nới lỏng về giả thuyết pháp tuyến này vi phạm yêu cầu về tĩnh học, đó là
ứng suất tiếp phải bằng không tại biên tự do của tấm. Để khắc phục sai sót đó, ngƣời
ta đƣa ra hệ số hiệu chỉnh lực cắt. Lý thuyết tấm có kể đến ảnh hƣởng của biến dạng
trƣợt ngang đƣợc gọi là lý thuyết tấm Reissner - Mindlin. Lý thuyết này đã mở rộng
lĩnh vực ứng dụng lý thuyết vào trƣờng hợp tấm dày và tấm trung bình.[25]

HVTH: Hứa Thành Ln
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hồi Sơn

18


1.8 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn là một phƣơng pháp số đặc biệt có hiệu quả trong
việc giải các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, bằng cách rời rạc hóa các phƣơng
trình này theo các không gian nghiên cứu. Thuật ngữ phần tử hữu hạn đƣợc biết đến

với cơng trình nghiên cứu của R.W.Clough, 1960. Ông đã đề nghị sử dụng phƣơng
pháp này nhƣ một sự lựa chọn cho phƣơng pháp sai phân hữu hạn đối với lời giải số
của bài toán tập trung ứng suất trong môi trƣờng cơ học liên tục. Sau đó, phƣơng
pháp phần tử hữu hạn tiếp tục phát triển và hồn thiện với các cơng trình cống hiến
của nhiều nhà khoa học, có thể kể đến nhƣ: O.C Zienkiewicz, R.L.Taylor
(1967,1971,1977,1989), G.Strang, G.Fix (1973), J.N.Reddy (1984,1993), S.S.Rao
(1982,1989), T.J.T.Hughes (1979), R.H Gallagher (1975), E.L Wilson (1971)…
Trong cùng thời kỳ, sự phát triển rất nhanh của ngành cơng nghệ máy tính, nhiều
cơng trình nghiên cứu lớn đã đƣợc triển khai bằng phân tích phần tử hữu hạn. Từ đó,
phƣơng pháp này ngày càng đƣợc sử dụng rộng rãi trong thực tiễn.[34, 35, 36]
1.9 KẾT CẤU CỦA LUẬN VĂN
Để thực hiện công trình nghiên cứu, tác giả đã nghiên cứu và giải quyết các vấn đề
có liên quan và trình bày trong 5 chƣơng của luận văn nhƣ sau:
Chƣơng 1: Tổng quan
Chƣơng 2: Cơ sở lý thuyết
Chƣơng 3: Hàm dạng Hierarchical
Chƣơng 4: Mơ hình tốn
Chƣơng 5: Kết luận và đề xuất

HVTH: Hứa Thành Luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

19


CHƢƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Lý thuyết đàn hồi bắt nguồn từ cơ học vật liệu. Về mặt lịch sử, nguồn gốc của cơ học vật
liệu khởi đầu vào thế kỷ XVII, lý thuyết đàn hồi đƣợc trình bày chi tiết trong sách “Theory of

Elasticity” của S.Timoshenko và J.N.Goodier.[22]
Trong giới hạn phạm vi của luận văn, tác giả chỉ tóm tắt về lý thuyết biến dạng đàn hồi
trong trƣờng hợp kết cấu ở trạng thái ứng suất phẳng và lý thuyết tấm làm cơ sở để giải quyết
các vấn đề đƣợc đƣa ra ở chƣơng 1.
* Lý thuyết đàn hồi cho bài toán ứng suất phẳng
Một cách tổng quát, ứng suất và biến dạng trên các vật thể bao gồm 6 thành phần, hình 2.1.
Đối với ứng suất:

x

,

y

,

z

,

xy

,

xy

,

yz

,

xz

tƣơng ứng với ứng suất pháp theo phƣơng x, y, z và

ứng suất tiếp theo phƣơng z, x, y.
Đối với biến dạng:

x

,

y

, z,

yz

,

xz

tƣơng ứng với biến dạng pháp căng theo phƣơng x,

y, z và trƣợt căng theo phƣơng z, x, y.

Hình 2.1: Các thành phần ứng suất và biến dạng

HVTH: Hứa Thành Luân

GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

20


Dƣới những điều kiện cho trƣớc, trạng thái ứng suất và biến dạng có thể đƣợc đơn giản
hóa. Vì vậy, phân tích vật thể 3D có thể đƣợc đƣa về thành phân tích 2D.
Với các vật thể mỏng, kích thƣớc theo phƣơng z rất nhỏ so với hai phƣơng còn lại, chịu tác
dụng của các lực trong mặt phẳng Oxy, hình 2.2,
y
ơ

y
ơ
x
ơ

p
ơ

z
ơ

ri

Hình 2.2: Mơ hình bài tốn ứng suất phẳng
Ngƣời ta có thể chấp nhận giả thiết rằng:
z

xz

yz

0

(2.1)

và biến dạng theo phƣơng z là tự do nên (

0 ). Khi đó, ngƣời ta nói kết cấu làm việc

z

trong trạng thái ứng suất phẳng.
2.1.1 QUAN HỆ ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG – NHIỆT ĐỘ
Đối với vật liệu đẳng hƣớng và đàn hồi, chúng ta có:
x

1/ E
/E

y

/E
1/ E

0

xy

0

0

x

x0

0 .

y

y0

xy

xy 0

1/ G

(2.2)

Viết dƣới dạng ma trận:
[ ]1

Trong đó,

0

G

(2.3)

là vector biến dạng ban đầu; [ ] là ma trận hệ số đàn hồi (hay ma trận ứng

xử); E là mô đun đàn hồi;
Với:

0

là hệ số Poisson; G là mô đun trƣợt.

E
2(1
)

HVTH: Hứa Thành Luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

(2.4)

21


Chúng ta cũng có thể biểu diễn các thành phần ứng suất theo các số hạng biến dạng bằng
cách giải phƣơng trình (2.2), ta đƣợc:
x
y

1

E

1

2

1

0 0 (1

xy

Hay

[ ]

Trong đó:

x

x0

0

y

y0

xy

xy 0

)/2

(2.5)

(2.6)

0

[ ]

0

Biến dạng ban đầu

0

x0

T

y0

T

0

là ứng suất ban đầu.

là do nhiệt độ, đƣợc xác định:
(2.7)

0

xy 0

Trong đó,

0

là hệ số giãn nhiệt,

T độ thay đổi nhiệt độ.

2.1.2 QUAN HỆ BIẾN DẠNG – CHUYỂN VỊ
Với giả thuyết biến dạng bé, chúng ta có:
u
;
x

x

y

v
;
y

v
x

xy

u
y

(2.8)

Viết dƣới dạng ma trận:
x

/ x

0

y

0

/ y

/ y

/ x

xy

Hay

u

(2.9)

v

[ D] u

(2.10)

Nhƣ vậy, biến dạng là đạo hàm bậc một của chuyển vị.
2.1.3 PHƢƠNG TRÌNH CÂN BẰNG
Trong lý thuyết đàn hồi, các thành phần ứng suất trong kết cấu phải thỏa mãn hệ phƣơng
trình

HVTH: Hứa Thành Ln
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hồi Sơn

22


xy

x

x

y

xy

0

(2.11)
y

x

qx

y

qy

0

Trong đó q x , q y là các lực khối (nhƣ lực trọng trƣờng) trên một đơn vị khối lƣợng.
2.1.4 ĐIỀU KIỆN BIÊN
p
tv
tx

y

Su

x
Hình 2.3: Biên S của vật thể
Biên S của vật thể có thể đƣợc chia thành hai thành phần, hình 2.3. Thành phần biên chính

Su và thành phần biên tự nhiên St. Khi đó, trên Su ta có u u0 , v v0 và trên St ta có
tx

tx0 , t y

t y 0 , với t x , t y là các lực trên biên theo phƣơng x, y tƣơng ứng. Trong đó u0 , v0 , t x 0 , t y 0

là các thành phần biết trƣớc.
2.2 LÝ THUYẾT TẤM
Tấm là một kết cấu đƣợc giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và cách nhau một khoảng
h gọi là bề dày của tấm.[14,25]
Mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm, cách đều hai mặt phẳng tấm gọi là mặt trung hòa (mặt
trung gian hay mặt trung bình)
Nếu

Dạng màng

Nếu

Dạng tấm mỏng

HVTH: Hứa Thành Ln
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hồi Sơn

23


Nếu

Dạng tấm dày

Với là chiều dài cạnh nhỏ nhất của tấm.
Xét một tấm mỏng chịu uốn dƣới tác dụng của các lực vng góc với mặt phẳng tấm, hệ
tọa độ Oxyz đƣợc chọn sao cho mặt phẳng Oxy trùng với mặt giữa của tấm, trục z vng góc
với mặt phẳng tấm. (Hình 2.4a)
Mơmen uốn, lực cắt và sự phân bố ứng suất đƣợc mơ tả trên hình 2.4 a,b.

Hình 2.4: a) Các thành phần lực và momen trên tấm;
b) Sự phân bố ứng suất

HVTH: Hứa Thành Luân
GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn

24