12 bài tập trắc nghiệm vận dụng cao về hình học không gian DẠNG 1 bài TOÁN c

/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

VẬN DỤNG CAO VỀ HÌNH KHƠNG GIAN (P1 và P2)
DẠNG 1. BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH KHƠNG GIAN
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SB = b và tam
giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy một điểm M với AM = x (0  x  a ) . Mặt phẳng ( )

nhất.
A. a.

B.

a
.
4

C.

a
.
2

D.

a
.
3


2

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2 x,  0  x 
 và AC = AD = BC = BD = 1 .
2 

Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Tìm x để thể tích tứ diện ABCD lớn
nhất.
A.

1
3

.

B.

3
.
3

C.

5
.
2

D.

3
.
4

Câu 3: Trong các hình nón trịn xoay cùng có diện tích tồn phần bằng  . Tính thể tích hình
nón lớn nhất?
A.

 2
.
9

B.

 2
.
12

C.

 2
.
2

D.

 2
.
3

Câu 4: Trên cạnh AD của hình vng ABCD cạnh a, người ta lấy điển M với

AM = x ( 0  x  a ) , và trên nữa đường thẳng Ax vng góc tại A với mặt phẳng của hình

vng, người ta lấy điểm S với SA = y

( y  0 ) . Với giả thiết

x2 + y 2 = a 2 , tìm giá trị lớn

nhất của thể tích hình chóp S.ABCM.
A.

3a 2
.
42

3a 2
.
B.
12

C.

2a 2
.
2

D.

3a 2
.
8

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2 x và 4 cạnh cịn lại đều có độ dài bằng 1. Xác
định x để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn nhất.
A.

1
.
2

B.

2
.
2

C. 2.

D.

2
.
5

1 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

qua M song song với AC và SB cắt BC,SB,SA lần lượt tại N,P,Q. Xác định x để SMNPQ lớn

/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Câu 6: Cho tứ diện ABCD sao cho AB = 2 x, CD = 2 y và 4 cạnh còn lại đều có độ dài bằng
1. Xác định x và y để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn nhất.
A. x = y =

1
.
2

B. x = y =

2
.
2

C. x = y = 1.

1
D. x = y = .
3

Câu 7: Cho tam diện Oxyz có các góc xOy = yOz = zOx =  . Trên Ox,Oy,Oz lần lượt lấy

A.


.
2

B.


.
4

C.


.
3

D.

(


.
4

)

Câu 8: Hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh SA=x, x  0, 3 , tất cả các cạnh còn lại có độ
dài bằng 1. Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất.
A.

3
.
3

B.

3
.
4

C.

6
.
2

D.

3
.
5

Câu 9: Trong các hình trụ có diện tích tồn phần khơng đổi 2a 2 . Tìm thể tích hình trụ lớn
nhất.
A.

 3a 3
.
3

B.

 3a 3

.
5

C.

 3a 3
.
2

D.

2a 3
3 3

.

Câu 10: Trong các hình trụ có diện tích xung quanh cộng diện tích một đáy khơng đổi là

2a 2 . Tìm thể tích hình trụ lớn nhất.
A.

a3 6
3

B.

a3 6
9

C.

2a 3 6
9

D.

2a 3 6
3

Câu 11: Trong tất cả các hình trụ có cùng thể tích V, tính diện tích tồn phần hình trụ nhỏ
nhất.
A. 3 3 2V 2 .

B. 3 3

V 2
.
2

C. 3 3

V 2
.
4

D. 3 3 V 2 .

Câu 12: Trong tất cả hình nón có độ dài đường sinh là a, tìm hình nón có thể tích lớn nhất.

2a3 3

.
A. MaxV =
27
C. MaxV =

 3 3
a .
27

B. MaxV =

 3 3
a .
9

D. MaxV =

2 3 3
a .
9

2 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

A,B,C sao cho OA = OB = OC = x . Tính  để diện tích xung quanh lớn nhất.


/>

FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Đáp án
1-C

2-B

11-A

12-A

3-B

4-D

5-B

6-B

7-A

8-C

9-D

10-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi O = AC  BD do tam giác SAC cân tại S nên SO ⊥ AC .
Lại có AC ⊥ BD  AC ⊥ ( SBD ) suy ra AC ⊥ SB

 MN AC

Từ đó suy ra MNPQ là hình chữ nhật vì  MQ SB
 AC ⊥ SB

Lại có

BM MN
a−x
AM MQ
x
=
 MN =
.a 2 ;
=
 MQ = .SB
BA
AC
a
AB
SB
a

Do đó SMNPQ = ( a − x ) .x.
Mặt khác ( a − x ) x 

b 2
lớn nhất  ( a − x ) x lớn nhất
a

(a − x + x)

2

4

a2
a
=
dấu bằng xảy ra  a − x = x  x = .
4
2

Câu 2: Đáp án B

 BI ⊥ CD
Ta có: 
 CD ⊥ ( AIB )
 AI ⊥ CD
Ta có: VABC D = VA.IBC + VA.IB D =

1
1
1
IC.S IBA + ID.S IBA = CD.S AIB
3
3
3

Lại có AI = BI  IJ ⊥ AB  S AIB =

1
1
IJ .AB = .2 x. AI 2 − AJ 2
2
2

1
= x 1 − x 2 − x 2 = x 1 − 2 x 2  VABCD = .2 x.x 1 − 2 x 2
3

(

)

Mặt khác x2 + x 2 + 1 − 2 x2  3 3 x4 1 − 2 x2 
Do đó  VABC D 

2
9 3

1
3 3

 x 2 (1 − 2 x2 )

. Dấu bằng xảy ra  x 2 = 1 − 2 x2  x =

1

3

.

3 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Câu 1: Đáp án C


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Câu 3: Đáp án B
Ta có diện tích tồn phần của hình nón là Stp = rl + r 2 =   rl + r 2 = 1

1
1
1
Lại có V( N ) = r 2 h = r 2 . l 2 − r 2 = r
3
3
3

2

1
− r 4 = r

3

(1 − r )

2 2

1
− r 4 = r 1 − 2r 2
3

1
1
 2
2r 2 + 1 − 2 r 2 1
=
.
do đó VN  
=
3 2 2
12
2
2

Câu 4: Đáp án D

1
1 AM + BC
.AB
Ta có: VS .ABCM = SA.S AMCB = y.
3

3
2

=

a
.( x + a ) y  VMax  ( x + a ) y  max .
6

Xét hàm số f ( x ) = ( x + a ) y = ( x + a ) a 2 − x 2 với x   −a;a 
Suy ra f ' ( x ) = a 2 − x 2 + ( x + a ) .

−x
a − x2
2

=0

 x = −a
3 3
a3 3
 a − x − x − ax = 0  

f
=

V
=
max
max

x = a
4
8

2
2

2

2

Câu 5: Đáp án B
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Khi đó SAC D =

1
1
C D. A E = 2 x 1 − x 2 = x 1 − x 2
2
2

Tương tự SACB = x 1 − x 2 = S ABD = S BCD .
Do đó Stp = 4 x 1 − x 2  2.( x 2 + 1 − x 2 ) = 2
Do đó Stp  2 dấu bằng xảy ra  x =

2
.
2

Câu 6: Đáp án B

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Khi đó SAC D =

1
.2 y. 1 − y 2 = y 1 − y 2 ; S BC D = y 1 − y 2
2

4 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

2r 1 − 2 r 2 

Mặt khác

( rl )


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Tương tự SACB = x 1 − x 2 = S ABD .

(

Do đó Stp = 2 x 1 − x 2 + y 1 − y 2

x2 + 1 − x2 1
y2 + 1 − y2 1

2
;
y 1− y 
=
=
2
2
2
2

Do đó Stp  2 dấu bằng xảy ra  x = y =

2
.
2

Câu 7: Đáp án A
Ta có các tam giác O AB = OBC = OCA  S xq = 3SOAB =
Dấu bằng khi sin  = 1   =


2

3OA.OB.sin  3x2

2
2

.

Câu 8: Đáp án C
Tất cả cạnh đáy bằng 1 nên đáy ABCD là hình thoi.
Vì SB = SC = S D  Hình chiếu H của S lên mặt phẳng đáy
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD (H có thể nằm
ngồi tam giác BCD). Gọi O = AC  B D và M là trung
điểm BC.
Đặt CO = a  CM .CB = CH .CO  CH =

 SH = SC 2 − HC 2 = 1 −

1
2a

1
. Ta có:
4a2
2

1
1
1 

 SA = SH 2 + AH 2 = 1 − 2 +  2a −  = 4a2 − 1  3  a 2  1.
2a
2a 
4a 
B D. AC
= 2a 1 − a 2
Lại có: BO = 1 − a 2  S ABC D =
2

AH = AC − CH = 2a −

1
1
1
1
 1
 VS . ABC D =  2 a 2 −
1 − a2   a2 − + 1 − a2  =
3
4
3
4
 4
Dấu bằng khi a 2 −

1
5
6
= 1 − a 2  a 2 = (thỏa)  SA =
4
8
2

Câu 9: Đáp án D
5 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Mặt khác x 1 − x 2 

)


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h.

 R2 h 
Rh Rh
Theo đề: Stp = 2 R + 2 Rh = 2 a  a = R + Rh = R +
+
 33 

2
2
 2 
2

2

2

2

2

2

2a 3 3
2 a3 3
2
R h
V =R h 
.
9
9
2

Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h.

(

Theo đề: Stp =  R 2 + 2 Rh = 2 a 2  2a 2 = R 2 + 2Rh = R 2 + Rh + Rh  3 3 R 2 h

)

2

3

 2a2 
2a3 6
2 a3 3
2
R h 
=


V
=

R
h

.

9
9
 3 
2

Câu 11: Đáp án A
Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h. Theo đề: V =  R 2 h   h =
Ta có diện tích tồn phần là: Stp = 2 R 2 + 2 Rh = 2 R 2 +

V
R2

2V
V V
= 2 R 2 + +  3 3 2 V 2 .
R
R R

Câu 12: Đáp án A
Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h. Theo đề:
2

 R2 h 
R2 R2
2a3 3
 R 2 h 2 a 3 3
2
a = R +h =
+
+ h2  3 3 

R
h


V
=


2
2
2
9
3
27


2

2

2

6 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Câu 10: Đáp án C