15 bài tập mặt nón – HÌNH nón – KHỐI nón file word có lời giải chi tiết

/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

 BÀI 03
MẶT NĨN – HÌNH NĨN – KHỐI NĨN
I. ĐỊNH NGHĨA MẶT NÓN
Cho đường thẳng D . Xét một đường thẳng d cắt D
p
tại O tạo thành một góc a với 0 < a < . Mặt tròn xoay
2
sinh bởi đường thẳng d như thế khi quay quanh D gọi
là mặt nón trịn xoay (hay đơn giản hơn là mặt nón).

● D gọi là trục của mặt nón.
● d gọi là đường sinh của mặt nón.
● O gọi là đỉnh của mặt nón.
● Góc 2a gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.

O

(P ')

mặt phẳng vng góc với D tại O .
● Phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt
phẳng (P ) và (P ') cùng với hình trịn xác định
bởi (C ) được gọi là hình nón.

O

I

(P )

M

● O gọi là đỉnh của hình nón.
● Đường trịn (C ) gọi là đường trịn đáy của hình nón.
● Với mỗi điểm M nằm trên đường trịn (C ) , đoạn thẳng OM gọi là đường sinh của
hình nón.
● Đoạn thẳng OI gọi là trục của hình nón, độ dài OI gọi là chiều cao của hình nón
(đó chính là khoảng cách từ đỉnh O đến mặt đáy.)
2. Khối nón
Một hình nón chia khơng gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngồi của
nó. Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón.
III. KHÁI NIỆM VỀ DIỆN TÍCH HÌNH NĨN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NĨN
Một hình chóp gọi là nội tiếp một hình nón nếu:
● Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón.
● Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón.
1. Định nghĩa

1 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

theo một đường trịn (C ) có tâm I . Lại gọi (P ') là

d

a

II. HÌNH NĨN VÀ KHỐI NĨN
1. Hình nón
Cho mặt nón N với trục D , đỉnh O , góc ở
đỉnh 2a . Gọi (P ) là mặt phẳng vng góc với D
tại điểm I khác O . Mặt phẳng (P ) cắt mặt nón

d

D

d


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

3. Định lí 2
Thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là
1
V = p R 2 h.
3

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 46. Hình nón có đường sinh l = 2a và hợp với đáy góc a = 600 . Diện tích tồn phần
của hình nón bằng:
A. 4p a 2 .

B. 3p a 2 .

D. p a 2 .

C. 2p a 2 .

Câu 47. Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a 2 , góc ở đỉnh bằng 600 . Diện tích
xung quanh của hình nón bằng:
B. 3p a 2 .

A. 4p a 2 .

D. p a 2 .

C. 2p a 2 .

Câu 48. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho tam giác ABC
vuông tại A , AB = a và AC = a 3 . Độ dài đường sinh l của hình nón nhận được
khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:
C. l = a 3.

B. l = a 2.

A. l = a.

D. l = 2a.

Câu 49. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng
a. Diện tích tồn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:
A.

(1 + 2 )p a

2

và

2

(1 + 2 )p a
C.

2p a 3
.
12

B.

2p a 2
và
2

2p a 3
.
4

2

2p a 3
2p a 3
2p a 2
D.
và

.
.
12
4
2
2
Câu 50. Cạnh bên của một hình nón bằng 2a . Thiết diện qua trục của nó là một tam giác
cân có góc ở đỉnh bằng 120° . Diện tích tồn phần của hình nón là:
A. p 2 3 + 3 .

(

)

và

B. 2p a 2 3 + 3 .

(

)

C. 6p a 2 .

D. p a 2 3 + 2 3 .

(

)

Câu 51. Cho mặt cầu tâm O , bán kính R = a . Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu
và đáy là đường trịn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vng góc với đường
3a
thẳng SO tại H sao cho SH =
. Độ dài đường sinh l của hình nón bằng:
2
A. l = a.

B. l = a 2.

C. l = a 3.

D. l = 2a.

2 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của một hình
chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vơ hạn.
Thể tích của khối nón là giới hạn của thể tích của khối chóp đều nội tiếp khối nón đó
khi số cạnh tăng lên vơ hạn.
2. Định lí 1
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l là
S xq = p Rl .


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Câu 52. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình trịn tâm O , bán kính R . Dựng hai đường
sinh SA và SB , biết AB chắn trên đường trịn đáy một cung có số đo bằng 600 ,
R
khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB ) bằng
.
2
Đường cao h của hình nón bằng:

R 6
R 3
B. h =
C. h = a 3.
D. h = a 2.
.
.
2
4
Câu 53. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình trịn tâm O . Dựng hai đường sinh SA và
SB , biết tam giác SAB vng và có diện tích bằng 4a 2 . Góc tạo bởi giữa trục SO và
mặt phẳng (SAB ) bằng 300 . Đường cao h của hình nón bằng:
a 6
a 3
B. h =
C. h = a 3.
D. h = a 2.
.
.
2
4

Câu 54. Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO . Gọi A, B là hai điểm thuộc đường trịn đáy của
·
·
hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO = 300 , SAB = 600 . Độ dài
đường sinh l của hình nón bằng:

A. h =

A. l = a.
B. l = a 2.
C. l = a 3.
D. l = 2a.
Câu 55. Một hình nón có bán kính đáy R , góc ở đỉnh là 60° . Một thiết diện qua đỉnh nón
chắn trên đáy một cung có số đo 90° . Diện tích của thiết diện là:

R2 7
R2 3
R2 6
3R 2
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
2
2

Câu 56. Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách từ tâm
a
O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là . Thể tích của khối
2
nón ngoại tiếp hình chóp S .ABC bằng:
A.

2p a 3
4p a 3
4p a 3
4p a 3
B.
C.
D.
.
.
.
.
27
3
9
3
Câu 57. Cho hình nón có đỉnh S , đường cao SO = h , đường sinh SA . Nội tiếp hình nón
là một hình chóp đỉnh S , đáy là hình vng ABCD cạnh a . Nửa góc ở đỉnh của hình
nón có tan bằng:
A.

A.

h 2

.
2a

B.

a 2
.
2h

C.

a 2
.
h

D.

h 2
.
a

Câu 58. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình trịn (O ) và (O ') , chiều cao R 3 và bán kính
đáy R . Một hình nón có đỉnh là O ' và đáy là hình trịn (O ; R ) . Tỷ số diện tích xung
quanh của hình trụ và hình nón bằng:
A. 2 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 3 .
Câu 59. Một hình nón có đường cao bằng 9cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5cm .
Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

3 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

A. h =


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

27
27
81
81
.
B.
.
C.
.
D.
.
125
125
500
500
Câu 60. Cho hình nón có bán kính đáy là 5a , độ dài đường sinh là 13a . Thể tích khối cầu
nội tiếp hình nón bằng:
A.

A.

4000p a 3
.
81

B.

4000p a 3
.
27

C.

40p a 3
.
9

D.

400p a 3
.
27

S

Câu 46. Theo giả thiết, ta có
· = 600 .
SA = l = 2a và SAO

Suy ra
R = OA = SA.cos 600 = a .

Vậy diện tích tồn phần của hình nón bằng:

A

O

S = p Rl + p R2 = 3p a 2 (đvdt). Chọn B.

Câu 47. Theo giả thiết, ta có
· = 300 .
OA = a 2 và OSA

S

Suy ra độ dài đường sinh:

l = SA =

300

OA
= 2a 2.
sin 300

A

O

Vậy diện tích xung quanh bằng:
S xq = p R l = 4 p a 2 (đvdt). Chọn A.

Câu 48. Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường trịn đáy là A , bán kính
đáy là AC = a 3 và chiều cao hình nón là AB = a .
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

l = BC =

2

B

2

AB + AC = 2a.

Chọn D.

C đỉnh là
Câu 49. Gọi S , O là đỉnh và tâm đường tròn đáy Acủa hình nón, thiết diện qua
tam giác SAB .
S

Theo bài ra ta có tam giác SAB vng cân tại S nên

AB = SB 2 = a 2 , SO =

SB 2 a 2

=
.
2
2
B

A

O thi – tài liệu miễn phí
4 – FanPage chuyên đề

FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

a 2
, l = SA = a và
2

SB 2 = 2 R Þ R =

SB 2
=
2

2a
.
2

Diện tích tồn phần của hình nón: Stp = p Rl + p R 2 =
Thể tích khối nón là: V =

1
p R2h =
3

(1 + 2 )p a

2

2

(đvdt).

2p a 3
(đvtt). Chọn A.
12

S

Câu 50. Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB .
· = 60° .
Theo giả thiết, ta có SA = 2a và ASO

600

Trong tam giác SAO vng tại O , ta có

OA = SA.sin 60° = a 3.

B
2

A

O

Vậy diện tích tồn phần:

Stp = p Rl + p R 2 = p .OA.SA + p (OA) = p a 2 3 + 2 3 (đvdt). Chọn B.

(

)

Câu 51.
Gọi S ' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là
một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS ' vng tại A và có đường cao AH
nên SA2 = SH .SS ' Þ SA = a 3.
Chọn C.
Câu 52. Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R .
R 3
.

2
Gọi H là hình chiếu của O trên SE , suy ra OH ^ SE .
ìï AB ^ OE
Þ AB ^ (SOE ) Þ AB ^ OH .
Ta có ïí
ïïỵ AB ^ SO

Gọi E là trung điểm AB , suy ra OE ^ AB và OE =

R
Từ đó suy ra OH ^ (SAB ) nên d éëO , (SAB )ùû= OH = .
2
Trong tam giác vng SOE , ta có

1
1
1
8
R 6
=
=
Þ SO =
.
4
SO 2 OH 2 OE 2 3R 2

Chọn A.
Câu 53. Theo giả thiết ta có tam giác SAB vng cân tại S .

S

5 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

H
O

E
B

A

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Suy ra h = SO =


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

ìï SE ^ AB
1
Gọi E là trung điểm AB , suy ra ïí
và SE = AB .
ïïỵ OE ^ AB
2
1
1
1
Ta có SD SAB = AB.SE = 4 a 2 Û AB. AB = 4 a 2

2
2
2
Þ AB = 4a Þ SE = 2a .

Từ đó suy ra OH ^ (SAB ) nên
·,(SAB ) = SO
· , SH = OSH
· = OSE
· .
300 = SO

· = a 3. Chọn C.
Trong tam giác vng SOE , ta có SO = SE .cos OSE

Câu 54. Gọi I là trung điểm AB , suy ra OI ^ AB, SI ^ AB và OI = a . S
· = SA 3 .
Trong tam giác vuông SOA , ta có OA = SA.cos SAO
2
· = SA .
Trong tam giác vng SIA , ta có IA = SA.cos SAB
2
Trong tam giác vng OIA , ta có
OA 2 = OI 2 + IA 2 Û

O

3 2
1
SA = a 2 + SA 2 Þ SA = a 2.

4
4

B
I

A

Chọn B.
Câu 55. Vì góc ở đỉnh là 60° nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R .
Suy ra đường cao của hình nón là SI = R 3 .
Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90° nên
IAB là tam giác vuông cân tại I , suy ra AB = R 2 .
S
Gọi M là trung điểm của AB thì
ìïï IM ^ AB
R 2
và IM =
.
í
ïïỵ SM ^ AB
2

Trong tam giác vng SIM , ta có

SM =

SI 2 + IM 2 =

Vậy SD SAB =

R 14
.
2

1
R2 7
(đvdt).
AB.SM =
2
2

A

C

Chọn A.
Câu 56. Gọi E là trung điểm của BC , dựng OH ^ SE tại H .

I

M
B

6 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Gọi H là hình chiếu của O trên SE , suy ra OH ^ SE .

ìï AB ^ OE
Þ AB ^ (SOE ) ị AB ^ OH .
Ta cú ùớ
ùùợ AB ^ SO


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

a
Chứng minh được OH ^ (SBC ) nên suy ra OH = d éëO , (SBC )ùû= .
2
Trong tam giác đều ABC , ta có

OE =

S

1
2
1 2a 3 a 3
2a 3
và OA = AE =
AE = .
=
.
3
3
3 2
3

3

Trong tam giác vng SOE , ta có

Vậy thể tích khối nón
1
1 ỉ2a
V = pOA2 .SO = p ỗỗỗ
3
3 ỗố 3

C

A

2

3ử
4p a 3
ữ
ữ
.a =
(đvtt).
÷
÷
9
ø

H
O

Chọn B.

E
B

· .
Câu 57. Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc ASO

S

Hình vng ABCD cạnh a nên suy ra

a 2
.
2
Trong tam giác vng SOA , ta có
OA =

· =
tan ASO

B

OA a 2
=
. Chọn C.
SO
2h

A

O

C

D

Câu 58. Diện tích xung quanh của hình trụ:

O'

2

Sxq(T) = 2p R.h = 2p R.R 3 = 2 3p R (đvdt).

Kẻ đường sinh O ' M của hình nón, suy ra

l = O ' M = OO '2 + OM 2 =

3R 2 + R 2 = 2 R .

Diện tích xung quanh của hình nón:

Sxq(N) = p Rl = p R.2 R = 2p R2 (đvdt).
Vậy

Sxq(T)
Sxq(N)

=

O

3. Chọn C.

M

Câu 59. Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm , OS = OA = 5cm .
Suy ra OH = 4cm và AH =
Thể tích khối nón Vn =

OA 2 - OH 2 = 3cm.

1
p AH 2 .SH = 27p (đvtt).
3

7 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

1
1
1
1
1
1
1

=
+
Þ
=
=
Þ SO = a .
OH 2 OE 2 SO 2
SO 2 OH 2 OE 2 a 2


/>
FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số 1 Việt Nam

Thể tích khối cầu Vc =
Suy ra

4
500p
(đvtt).
p .SO 3 =
3
3

Vn
81
=
. Chọn B.
Vc
500

Câu 60. Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB .

Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính r = IO = IE ( E
là hình chiếu vng góc của I trên SB ).
Theo tính chất phân giác, ta có
Lại có IS + IO = SO =
Từ đó suy ra IS =

IS
BS 13
.
=
=
IO BO
5

SB 2 - OB 2 = 12 .

26
10
.
, IO =
3
3

Ta có D SEI ÿ D SOB nên

IE BO
5
5

10
=
=
Þ IE =
IS =
.
IS
BS 13
13
3
Thể tích khối cầu:
3

V=

ư
4 3 4 ỉ
10a ÷
4000p a 3
p r = p ỗỗ
=
(vtt). Chn A.
ữ
ữ
3
3 ỗố 3 ø
81

8 – FanPage chuyên đề thi – tài liệu miễn phí
FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

Đăng kí tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường trịn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội
tiếp trong tam giác cân SAB .
Trong tam giác vuông SOB , gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với
đường thẳng SO .