Tai lieu on thi vao 10 mon Toan

ôn tập vào lớp 10 năm học 2009-2010
Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức
5
Bài 1: Cho biểu thức : P= √ a+2 −
+¿
√ a+3 a+ √ a −6
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1

1
2 − √a

Bµi 2: Cho biĨu thøc: P= 1 − √ x : √ x +3 + √ x +2 + √ x+2
√ x +1 √ x − 2 3− √ x x 5 x+ 6
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức: P= √ x −1 − 1 + 8 √ x : 1− 3 √ x −2
3 √ x − 1 3 √ x+1 9 x −1
3 √ x +1
a) Rót gän P
b) Tìm các giá trị của x để P= 6

(

)(

)

(

)(

)

5

Bài 4: Cho biÓu thøc P= 1+ √ a :

1
2√ a
−
)
(
a+1 √ a −1 a √ a+ √ a −a −1 )

(

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu a=19 8 3
2

Bµi 5: Cho biĨu thøc: P=

1− a ¿
¿
√a ¿
¿

a) Rót gän P
b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(PBµi 6: Cho biÓu thøc: P =

1
2

)

( √√2xx+1+1 + √√22xx+−√1x −1): (1+ √√2x+x+11 − √√22x+x −1√ x )

a) Rót gän P
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi x ¿ 1 . ( 3+ 2 √ 2 )
2

Bµi 7: Cho biĨu thøc: P=
a) Rót gọn P
b) Tìm x để P

0

Bài 8: Cho biểu thức: P=
a) Rót gän P

( x √ x+2√√xx− x − 1 − √ x1−1 ) :( 1+ x√+1x )

(

2 a+1
√ a . 1+ √ a3 − √ a
−
√ a3 a+ √a+ 1 1+ √ a

)(

)
1


b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P. √ 1− a
Bµi 9: Cho biÓu thøc P= 1:

x +2
x +1
x+1
+ √
−√
.
x √ x −1 x + √ x +1 x −1

(

)

a) Rót gọn P
b) So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thøc :

√a − √a
( 1−1−a√√aa + √ a) .( 1+a
)
1+ a

P=

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P< 7 − 4 √ 3
Bµi 11: Cho biĨu thøc: P=

(

2√x
x
3 x +3 2 √ x −2
+ √ −
:
−1
√ x +3 √ x −3 x − 9
√ x −3

)(

)

a) Rót gän P
b) Tìm x để P< 1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất cđa P
Bµi 12: Cho biĨu thøc:

P=

√ x −1 : 9− x − √ x − 3 − √ x − 2

( x −3
) ( x+ √ x − 6 2− √ x √ x +3 )
x−9

a) Rót gän P
b) T×m giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức : P= 15 √ x −11 + 3 √ x −2 − 2 √ x +3
x +2 √ x −3 1 x
x+3
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P= 1
2

c) Chứng minh P 2
3
2

Bài 14: Cho biÓu thøc:

P=

2 √x
√x − m
+
√ x +m √ x − m 4 x − 4 m2

víi m>0

a) Rót gọn P
b) Tính x theo m để P=0.

c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mÃn điều kiện x>1
2
Bài 15: Cho biểu thøc P= a + √a − 2 a+ √a +1
a− √ a+1
√a
a) Rót gän P
b) BiÕt a>1 H·y so s¸nh P với P
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa P
Bµi 16: Cho biĨu thøc P= √ a+1 + √ ab+ √ a −1 : √ a+1 − √ ab+ √ a +1
√ ab+1 √ ab− 1
√ab+ 1 ab 1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị cđa P nÕu a= 2− √ 3 vµ b= √ 3 1
1+ 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nÕu √ a+ √ b=4
Bµi 17: Cho biĨu thøc :
P= a √ a− 1 − a √ a+1 + √a − 1 √ a+1 + √ a −1
a − √a
a+ √ a
√ a √ a− 1 √a+ 1
a) Rót gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7

(

)(

)

(

)(

)

2


c) Với giá trị nào của a thì P>6
2
a
1

a −1 − √ a+1
Bµi 18: Cho biĨu thøc: P=
−
2 2 √ a √ a+ 1 √ a −1
a) Rót gän P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
2
(
a b ) +4 √ ab a √ b − b √ a
√
Bµi 19: Cho biểu thức
P=
.
a+ b
ab

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a= 2 3 và b= √ 3
x +2
x
1
x −1
Bµi 20: Cho biĨu thøc :
P=
+ √
+
:√
2
x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x
a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng P>0
∀ x 1
Bµi 21: Cho biÓu thøc : P= 2 √ x + x − 1 : 1 − √ x +2
x √ x −1 √ x −1
x+ √ x +1
a) Rót gän P
b) TÝnh √ P khi x= 5+2 √3

(

)(

)

(

(

)

)(

)

3x
P= 1: 1 + 2 − 2
1
:
2+ √ x 4 − x 4 −2 √ x 4 − 2 √ x

(

Bµi 22: Cho biểu thức

)

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x ®Ĩ P=20
Bµi 23: Cho biĨu thøc :

(

P=

a) Rót gän P

b) Chøng minh P 0
Bµi 24: Cho biĨu thøc P=

2

x−y
x3 − √ y 3 ( √ x − √ y ) + √ xy
+√
:
y− x
√x −√ y
√ x +√ y

)

b
( √ a+1 √ b + a √3a+√abb √ b ) .[( √ a −1 √ b − a √3a−√ abb √ b ) : a+a−√ ab+b
]

a) Rót gän P
b) TÝnh P khi a=16 vµ b=4
Bµi 25: Cho biĨu thøc:

P= 1+ 2 a+ √ a −1 − 2 a √ a − √ a+a . a − √ a
1−a
1 −a √ a
2 a 1

(

)

a) Rút gọn P

6 tìm giá trị cña a
1+ √ 6
c) Chøng minh r»ng P> 2
b) Cho P=

3

Bµi 26: Cho biĨu thøc:

P=

( xx−5−25√ x −1): (25x+2− x√ x −15 − √√ xx +3+5 + √√ xx −5
−3 )

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x th× P<1

3


Bµi 27: Cho biĨu thøc

P=

( a −1 ) . ( √ a− √ b )
a

3a
1
−
+
:
( a+3√√ab+b
)
a √ a −b √ b √ a − √ b 2 a+2 √ ab+2 b

a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
1
1
a+1 a+2
Bài 28: Cho biÓu thøc
P=
−
: √
−
√ a− 1 √ a √ a 2 a 1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P> 1
6
Bài 29: Cho biểu thức:
1
1
2
1 1 √ x 3 + y √ x + x √ y +√ y 3
P=
+

.
+ + :
√ x √ y √ x+ √ y x y
√ x 3 y + xy3
a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất

)(

(

[(

Bài 30: Cho biểu thøc :

)

]

)

√ x3

P=

−

2x
1− x
.

x + √ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x

√ xy −2 y
a) Rót gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2

Bài tập rút gọn

Bài 31 :
1) Đơn gi¶n biĨu thøc :

P=

14  6 5  14  6 5

.


x 2
x  2  x 1


 .
x

1
x

2
x


1
x



2) Cho biĨu thøc :
Q=
a) Rót gän biĨu thøc Q.
b) T×m x để | Q | > - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.

Hớng dẫn :
1. P = 6
2. a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiĨu thøc rót gän : Q =
b) | Q | > - Q ⇔ x > 1.
c) x = { 2; 3 } thì Q
Z
Bài 32 : Cho biĨu thøc P =
a) Rót gän biĨu thøc sau P.

2
x 1

.

1
x

x 1

x x
1
2

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
.
Híng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiĨu thøc rót gän : P =

x+ 1
1−x

.
4


b) Với x =

1
2

thì P = - 3 2

2

.

Bài 33 : Cho biÓu thøc : A = x √ x +1 − x −1
x−1
√ x +1

a) Rót gän biĨu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 14
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để | A | = A.
Hớng dẫn :
a) §KX§ : x  0, x  1. BiÓu thøc rót gän : A =

√x
√x− 1

b) Víi x = 14 th× A = - 1.
c) Víi 0
x < 1 th× A < 0.
d) Víi x > 1 th× | A | = A.

.

1 
3 
 1


 1

a 3 
a
 a 3

Bµi 34 : Cho biĨu thøc : A =
a) Rót gọn biểu thức sau A.

b) Xác định a để biểu thøc A >

1
2

.
Híng dÉn :
a) §KX§ : a > 0 vµ a 9. BiĨu thøc rót gän : A =

2
√a+ 3

.

1
.
2
 x  1 x  1 x 2  4x  1  x  2003



.
x  1 x 1
x2  1 
x

A=
.

b) Víi 0 < a < 1 thì biểu thức A >

Bài 35 : Cho biểu thức:
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghÜa.
2) Rót gän A.
3) Víi x  Z ? ®Ĩ A  Z ?
Híng dÉn :
a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠ ± 1.
b) BiĨu thøc rót gän : A = x +2003
víi x ≠ 0 ; x ≠
x
c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z .

±



1.

 x x  1 x x 1  2 x  2 x 1


 :
x 1
x

x
x

x




Bµi 36 : Cho biểu thức:
A=
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyªn.


.

5


Híng dÉn :
√ x+1
.
√x− 1

a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =
b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0.
c) x = { 4 ; 9 } th× A Z.

 x 2
x
1  x1



 :

2
x
x

1
x

x

1
1

x



Bµi 37 : Cho biĨu thøc: A =
a) Rót gän biĨu thøc A.
b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.

Híng dÉn :
2
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A = x + √ x+1
b) Ta xÐt hai trờng hợp :
2
+) A > 0
> 0 luôn ®óng víi x > 0 ; x ≠ 1 (1)
x + √ x+ 1
2
x + √ x+ 1

+) A < 2 ⇔
theo gt th× x > 0. (2)

<2

⇔

2(

x+ √ x +1

)>2



x+ x

> 0 đúng vì

Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).

Bài 38 : Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P víi a = 9.

a 3

a 2

a1 4 a 4

4 a
a 2

Híng dÉn :
a) §KX§ : a  0, a 4. BiĨu thøc rót gän : P =
b) Ta thÊy a = 9
ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Bài 39 : Cho biĨu thøc:
N=
1) Rót gän biĨu thøc N.
2) T×m giá trị của a để N = -2004.
0,

1.

a) ĐKXĐ : a
a
b) Ta thÊy a = - 2004

(a

 0;

a



4)

4
√a − 2


a  a 
a a 
 1 
  1 

a 1  
a  1 


Híng dÉn :
BiĨu thøc rót gän : N = 1 – a .
§KX§ . Suy ra N = 2005.

Bµi 40 : Cho biĨu thøc P= x √ x+ 26 √ x −19 − 2 √ x + √ x −3
x +2 √ x − 3
√ x − 1 √ x +3
a. Rót gän P.
b. Tính giá trị của P khi x=7 4 3
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất
6


®ã.
Híng dÉn :
a ) §KX§ : x  0, x 1. BiĨu thøc rót gän :

b) Ta thÊy x=7 − 4 3
c) Pmin=4 khi x=4.

ĐKXĐ . Suy ra

Bài 41 : Cho biĨu thøc

P=

a. Rót gän P.
nhÊt cđa P.

x+16
√ x+3
103+3 √ 3
P=
22
P=

( √2x√+3x + √√x +3x − 3xx+−93 ) :( 2xx32 1)
b. Tìm x để

1
2

P<

Hớng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x  0, x 9. BiĨu thøc rót gän :
b. Víi 0 ≤ x <9 th×

c. Pmin= -1 khi x = 0

P<−

b. TÝnh A víi a =

4

P=

1
2

 a 1


 a1

Bài 42: Cho A=
a. Rút gọn A

c. Tìm giá trị nhá

 
a1
1 
 4 a  .  a 

a 1
a

 



15 .

10 



6 .

4  15

−3
√ x+3

víi x>0 ,x 1



( KQ : A= 4a )
 x 3 x   9 x
x3
 1 : 



x 2
 x 9

  x x  6

Bµi 43: Cho A=
a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. T×m x  Z ®Ó A  Z

(KQ : A=
15 x  11 3 x  2 2 x  3


x  2 x  3 1 x
x 3

Bµi 44: Cho A =
a. Rót gän A.
b. T×m GTLN cđa A.

d. CMR : A

2
3

víi x 0 , x 9, x 4 .

3
x 2)

víi x 0 , x 1.

1
2

c. Tìm x để A =


x 2

x  3 

.

(KQ:

A=

2 5 x
x 3

)
7


x2
x 1
1


x x  1 x  x 1 1  x

Bµi 45: Cho A =
a . Rót gän A.

b. T×m GTLN cđa A .

víi x 0 , x 1.

( KQ : A =

1
3
2


x 1 x x 1 x  x 1

Bµi 46: Cho A =
a . Rót gän A.
b. CMR : 0  A 1

A=

x
x 1 )

 x 5 x  
25  x
 1 : 



x  25
x  2 x  15



Cho A =

Bµi 47:
a. Rót gän A.
b. Tìm x Z để

)

với x 0 , x 1.

( KQ :
x

x
x  x 1

x 3
x  5


x 5
x  3 

A Z

( KQ :

A=

5
x 3 )
2 a 9

a  5 a 6

Bµi 48: Cho A =
a. Rót gän A.
b. Tìm a để A < 1
aZ

c. Tìm

để

a 3 2 a 1

a  2 3 a

A Z

( KQ : A =

 x  x 7
1   x 2




 : 
x

4
x

2
x

2

 

Bµi 49: Cho A=
a. Rót gän A.

b. So s¸nh A víi

x 2 2 x


x  2 x  4 

1
A

3
3

 x y
x  y 

:

 x y
y x 

A =

Bµi50: Cho
a. Rót gän A.

víi a 0 , a 9 , a 4.
a 1
a 3)

víi x > 0 , x 4.

( KQ : A =



x

y



2

x 9
6 x

)

 xy

x y

víi x 0 , y 0,

x y

8


xy

b. CMR : A 0

x

( KQ : A =

xy  y

)

x x  1 x x 1 

1   x 1
x  1

 x 


 . 
x x
x x 
x  x1
x  1 

Bµi 51 : Cho A =
1.
a. Rót gän A.



Víi x > 0 , x 



2 x x 1

b. Tìm x để A = 6



x 4
3   x 2



:

 x x 2
x  2  
x





Bµi 52 : Cho A =
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =

x

( KQ : A =
x 

x  2 



6 2 5

(KQ:

víi x > 0 , x 4.

A = 1

1   1
1 
1
 1



 :

 1 x 1 x   1 x 1 x  2 x

Bµi 53 : Cho A=
a. Rót gän A

)

x)

víi x > 0 , x 1.
3

b. TÝnh A víi x =
 2x 1


3
 x 1

Bµi 54 : Cho A=
a. Rót gän A.
b. T×m

xZ

6 2 5

(KQ:

1  
x4 
 :  1 

x  1   x  x 1 

A Z

®Ĩ

(KQ:

A=

A=

(KQ:

 2 x

x
3x  3   2 x  2 


 1 

 :
x  3 x  9 x 3
x 3


b. Tìm x để A <

x
x 3)

víi x 0 , x 1.

A Z

c. T×m x để A đạt GTNN .
Bài 56 : Cho A =
.
a. Rót gän A.

)

víi x 0 , x 1.

 1

  1
2 x 2
2 



 : 

 x 1 x x  x  x  1   x  1 x  1 

Bµi 55: Cho A=
a. Rót gọn A.
b. Tìm x Z để

2 x

A=

x1
x 1 )

với x 0 , x 9

1
-2
9


3
a 3 )

( KQ : A =
 x 1


x

1


x  1 8 x   x  x 3


 :
x  1 x  1   x  1

Bµi 57 : Cho A =
a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x =
c . CMR : A 1

Bµi 58 :

Cho A =

6 2 5

(KQ:

1 
x 1
 1


:
x  1  x  2 x 1
 x x

a. Rót gän A
b.So sánh A với 1

Bài 59 :

1

x 1

với x 0 , x 1.
A=

4 x
x4 )

víi x > 0 , x 1.

(KQ:

A=

 x1
1
8 x   3 x  2



 :  1 

 3 x  1 3 x 1 9 x  1   3 x 1 

Cho A =
a. Rót gän A.

Víi

x1
x )

x 0, x

1
9

6
A=5

b. Tìm x để
c. Tìm x để A < 1.
x x
3 x1)

( KQ : A =
2

 x 2
x  2  x  2 x 1


 .
x

1
2
x

2
x

1



Bµi 60 : Cho A =
víi x 0 , x 1.
a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2 2
d. T×m GTLN cđa A
(KQ: A = x (1  x ) )
Bµi 61 : Cho A =

 x2
x
1  x1



 :
2
x
x

1
x

x

1
1

x



víi x 0 , x 1.

a. Rót gän A.
b. CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > 0 , (KQ:

A=

2
x  x 1 )

1


Bµi 62 :

Cho A =

4
1  x 2 x

: x 1
x 1 x  1 


1


víi x > 0 , x 1, x 4.

a. Rút gọn
b. Tìm x để A =

1
2

 x 1 x  2 x  3   x  3

2 



 : 

x 1
x 1 
 x1
  x 1

Bµi 63 : Cho A =
a. Rót gän A.
b. TÝnh A khi x= 0,36
c. T×m x  Z ®Ĩ A  Z

víi x 0 , x 1.


x   x 3
x 2
x 2 


 1 
 : 

 1 x   x  2 3  x x  5 x  6 

Bµi 64 : Cho A=

x 4.
a. Rót gän A.
b. T×m x  Z ®Ĩ A  Z
c. T×m x ®Ĩ A < 0

(KQ:

A=

víi x 0 , x 9 ,

x 2
x 1 )

PhÇn 2: Các bài tập về hệ phơng trình bậc 2:
Bài 1: Cho phơng trình : m 2 x ( 2 1 )2= 2 x +m 2
a) Giải phơng trình khi m= 2+1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 2: Cho phơng trình :
(x lµ Èn )
( m− 4 ) x 2 − 2 mx +m 2=0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x= 2 .Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính x 21+ x 22 theo m
Bài 3: Cho phơng trình :
2
(x là ẩn )
x −2 ( m+1 ) x +m −4=0
a) T×m m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mäi m
c) Chøng minh biÓu thøc M= x 1 ( 1 − x 2 ) + x 2 ( 1 x 1 ) không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Tìm m để phơng trình :
a) x 2 x +2 ( m 1 )=0 có hai nghiệm dơng phân biÖt
b) 4 x 2 +2 x+ m−1=0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt
c) ( m2+1 ) x 2 −2 ( m+1 ) x +2 m1=0 có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Cho phơng trình : x 2 ( a 1 ) x −a 2+ a −2=0
a) Chøng minh r»ng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
1


b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x 21+ x 22 đạt giá
trị nhỏ nhất
Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mÃn hệ thức: 1 + 1 = 1
b c

2

2

CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm

x + bx +c=0
2
x +cx +b=0

Bài 7:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung:
2
2 x − ( 3 m+2 ) x+12=0(1)
4 x 2 − ( 9 m 2 ) x +36=0(2)

Bài 8: Cho phơng trình :
2 x 2 2 mx+m2 2=0

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình
Bài 9: Cho phơng tr×nh bËc hai tham sè m :
2

x + 4 x +m+ 1=0

a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mÃn điều kiện
x 21+ x 22=10

Bài 10: Cho phơng trình
2

x 2 ( m 1 ) x +2 m 5=0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình cã hai nghiƯm cung dÊu . Khi ®ã hai nghiƯm mang dấu
gì ?
Bài 11: Cho phơng trình
x 2 2 ( m+1 ) x +2 m+ 10=0 (víi m lµ tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2 ; hÃy tìm một hệ
thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị cđa m ®Ĩ 10 x1 x 2+ x 21 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho phơng tr×nh

( m− 1 ) x 2 − 2 mx +m+1=0 với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hÃy tính
tổng hai nghiêm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình cã nghiƯm x 1 ; x 2 tho¶ m·n hƯ thøc:
x1 x2 5
+ + =0
x2 x1 2

Bµi 13: A) Cho phơng trình :
x 2 mx+m 1=0

(m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x 1 ; x 2 víi mäi m ; tÝnh nghiƯm kÐp ( nếu
có) của phơng trình và giá trị của m tơng ứng
b) Đặt A=x 21 + x 22 6 x1 x 2
Chứng minh A=m2 8 m+8
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
B) Cho phơng trình
1


2

x 2 mx+2 m 1=0

a) Chứng tỏ rằng phơnh trình cã nghiƯm x 1 ; x 2 víi mäi m.

b) §Ỉt A= 2(x 21+ x22 )− 5 x 1 x2
 CMR A= 8 m2 −18 m+9
 T×m m sao cho A=27
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 14: Giả sử phơng trình a . x 2 + bx+ c=0 cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
n
n
S n=x 1 + x 2 (n nguyên dơng)
a) CMR a . S n+2 + bSn+1 +cSn=0
5
5
b) ¸p dơng TÝnh gi¸ trÞ cđa : A= 1+ √5 + 1− √5

(

2

)(

x 1 ; x 2 .Đặt

)

2

Bài 15: Cho
f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1
a) CMR phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0
có 2 nghiệm lớn hơn 2

Bài 16: Cho phơng trình :
x 2 2 ( m+1 ) x +m2 4 m+5=0

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng
nhau và trái dấu nhau
d) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính x 21+ x 22 theo m
Bài 17: Cho phơng trình x 2 − 4 x √3+8=0 cã hai nghiƯm lµ x 1 ; x 2 . Không giải ph2

ơng trình , hÃy tính giá trị của biểu thức : M =
Bài 18: Cho phơng trình

2

6 x1 +10 x 1 x 2+ 6 x2
3

3

5 x 1 x 2 +5 x1 x 2

x x 2 ( m+2 ) x+ m+1=0
a) Giải phơng trình khi m= 1
2

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :
x 1(1 2 x 2)+ x 2 (1− 2 x 1 )=m2

Bµi 19: Cho phơng trình
2

(1)
(n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình (1) thoả mÃn hệ :
x + mx +n −3=0

x1 − x 2=1
x 21 − x 22=7

{

Bài 20: Cho phơng trình:
x 2 2 ( k 2 ) x − 2 k − 5=0

( k lµ tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho
x 21+ x 22=18

Bài 21: Cho phơng trình
( 2 m1 ) x 2 4 mx+ 4=0

(1)
1


a) Giải phơng trình (1) khi m=1

b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 22:Cho phơng trình :
x 2 ( 2 m 3 ) x+ m2 3 m=0

a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả m·n 1< x 1< x 2 <6 Bµi tËp vỊ
hµm số bậc nhất
Bài 23:
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
Hớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hƯ pt :
VËy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1
bằng 1 .

¿
2=a+ b
− 4=−a+ b
¿{
¿

⇔
a=3
b=−1
¿{

3

Bµi 24 Cho hµm sè y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x
1 đồng quy.
Hớng dẫn :
1) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3 ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y
=0
3

Thay x= 3 ; y = 0 vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = 4 .
3) Giao điểm của hai ®å thÞ y = -x + 2 ; y = 2x – 1 lµ nghiƯm cđa hƯ pt :
¿
y=− x+2
y=2 x 1
{

(x;y) = (1;1).

Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3.
Víi (x;y) = (1;1) m = 1 2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ;
2
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
B µi 25: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hớng dÉn :

1


1) Để hai đồ thị của hàm số song song víi nhau cÇn : m – 1 = - 2 m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
y0 = (m – 1)x0 + m + 3 ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).


x 0 =1
y 0=2
{


Bà26 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song
với đờng thẳng AB đồng thời ®i qua ®iĨm C(0 ; 2).
Ta cã : víi m
Z thì 2m 3 0 , vây phơng trình có nghiÖm : x = - (m + 2) 4
.
2m - 3
để pt có nghiệm nguyên thì 4 2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23 ⇔ y = 23 - 7x = 6 – 2x + x − 1

4
4
V× y
Z x 1 4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4
bài tập phần hệ pt
Bài 1 : Giải hệ phơng trình:
2x 3y 5

a)  3x  4y 2

2x  4 0

e) 4x  2y  3

x  4y 6

b) 4x  3y 5
5
2
 x  x  y 2


 3  1 1, 7
f)  x x  y

2x  y 3

c) 5  y 4x

x  y 1

d) x  y 5

Bài 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y 2

x my 1

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
1


Bài 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y 3  m

2x  y 3(m  2)

1) Gi¶i hƯ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a

x (a  1)y 2 cã nghiƯm duy nhÊt lµ (x; y).

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mÃn 6x2 17y = 5.
2x 5y

3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức x y nhận giá trị nguyên.

B ài5 : Cho hệ phơng trình:
x ay 1
(1)

ax y 2

1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào cđa a th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
mx  y n

Bài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình nx my 1

.
có nghiệm là
4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a
0)
 NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = c
 1; 3

a

 NÕu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - c
a
 NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và 0 thì phơng trình có nghiệm
x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó

Cách làm : - LËp tæng S = x1 + x2
- LËp tÝch p = x1x2
- Phơng trình cần tìm là : x2 S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mÃn điều
kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
3
3
3
*) x1 + x2 = (x1 + x2) – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*)
*)

1 1 x1 + x2
= S
+ =
p
x1 x2 x1 x2
2
x1 x2 x1 + x2
= S −2 p
+ =
x2 x1
x1 x2
p
2

2

1


*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
*)

x + x −2 a
1
1
S − 2a
+
= 1 2
=
x 1 −a x2 −a (x 1 − a)( x2 −a) p aS+a2

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mÃn ®iỊu kiƯn
Δ≥ 0 )
d)T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho
trớc .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đà cho có 2 nghiệm:
0 (hoặc 0 ) (*)
- Thay x = x1 vào phơng trình đà cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc 0 ) mà ta thay luôn
x = x1 vào phơng trình đà cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đà cho mà phơng trình
bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình
có nghiệm x1 cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình
(nh cách 2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm
đợc nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó
tìm đợc nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0
Gi¶i.
Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9
+ NÕu Δ❑ > 0 ⇔ m2 – 9 > 0 ⇔ m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đà cho cã
2 nghiƯm ph©n biƯt:
x1 = m + 1 - √ m2 −9
x2 = m + 1 + √ m2 −9
+ NÕu Δ❑ = 0 ⇔ m = ± 3
- Víi m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm lµ x1.2 = -2
+ NÕu Δ❑ < 0 ⇔ -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình cã nghiƯm x = -2
 Víi m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm ph©n biƯt
x1 = m + 1 - √ m2 −9
x2 = m + 1 +

 Víi -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

m2 9

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m – 6 = 0
1


Híng dÉn
 NÕu m – 3 = 0 ⇔ m = 3 thì phơng trình đà cho có dạng
1
- 6x – 3 = 0
⇔ x=2
* NÕu m – 3 0 m
3 .Phơng trình đà cho là phơng trình bậc hai cã biÖt
sè Δ❑ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- NÕu Δ❑ = 0 ⇔ 9m – 18 = 0 ⇔ m = 2 .phơng trình có nghiệm kép

x1 = x2 = - b = 2
=-2
a 2 −3
- NÕu Δ❑ > 0 ⇔ m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1,2 = m 3 √m −2

m −3

- NÕu Δ❑ < 0 ⇔ m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = - 1
2

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > 2 và m
3 phơng trình có nghiệm x1,2 = m± 3 √m −2
m −3

Víi m < 2 ph¬ng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( √ 3− √ 5 )x - √ 15 = 0
d) x2 –(3 - 2 √ 7 )x - 6 √ 7 = 0
Gi¶i
2
a) 2x + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biÖt: x1 = 1 , x2 = c = − 2009
a

2

b) 17x + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,
x2 = - c =− 204 = - 12
2

a

17

c) x2 + ( √ 3− √ 5 )x - √ 15 = 0 cã: ac = - √ 15 < 0 .

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biƯt x1 , x2 .¸p dơng hƯ thøc Viet ta cã :
x1 + x2 = -( √ 3− √ 5 ) = - √ 3 + √ 5
x1x2 = - √ 15 = (- √ 3 ) √ 5
VËy ph¬ng trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= √ 5
(hc x1 = √ 5 , x2 = - √ 3 )
d ) x2 –(3 - 2 √ 7 )x - 6 √ 7 = 0 cã : ac = - 6 √ 7 < 0
Do ®ã phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .¸p dơng hƯ thøc ViÐt ,ta cã
¿
x1 + x2= 3 - 2 √ 7
x 1 x 2 = - 6 √ 7= 3( -2 √ 7)
¿{
¿
1


Vậy phơng trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham sè)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
Híng dÉn :
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0
Suy ra :
x1 = 2
Hc x2 = m+1
3
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0 ⇔ m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0 ⇔ x = - 1

*m–3

0 ⇔ m

3 (*)

⇔
x 1=−1
¿
2 m− 2
x 2=
m −3
¿
¿
¿
¿
¿

Bµi 5: Gäi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 – 3x – 7 = 0
a) TÝnh:
A = x12 + x22
B = |x 1 − x 2|
C=

1
1
+
x 1 −1 x 2 − 1

D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là

1
x 1 1

và

1
x 2 1

Giải ;
Phơng trình bâc hai x2 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có
hai nghiệm phân biÖt x1 , x2 .
Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7
a)Ta cã
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x 1 − x 2| = √ S 2 − 4 p=√37
+C=

1
1
+
x 1 −1 x 2 − 1

=

(x1 + x 2) −2
S −2
1
=
=−

( x 1 −1)( x 2 − 1) p − S +1
9

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta cã :
1
1
1
+
=−
(theo c©u a)
x 1 −1 x 2 − 1
9
1
1
1
=
=−
p=
9
( x 1 −1)( x 2 − 1) p S +1
1
1
Vậy
và
là nghiệm của hơng trình :
x 1 −1
x 2 −1

S=

1


X2 – SX + p = 0 ⇔ X2 + 1 X - 1 = 0 ⇔ 9X2 + X - 1 = 0
9

9

Bài 6 : Cho phơng trình :
x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè)
1. Chøng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai cã:
6
k+ 9 )
Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 5

= 5(k2 – 2. 3 k +
5

9
25

36
) = 5(k 25

3
)+
5

36
5

2

4

5

+
> 0 với mọi giá trị
của k. Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
1
k+ 1 + 7 )<0
⇔ - k2 + k – 2 < 0 ⇔ - ( k2 – 2.
4

-(k - 1 )2 - 7 < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm
2
4
phân biệt trái dấu víi mäi k
3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm víi mäi k .Theo hƯ thøc viÐt ta cã
x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
= (k – 1)[(2k - 5 )2 + 87 ]
⇔

Do ®ã x13 + x23 > 0 ⇔
⇔

4
16
5 2
(k – 1)[(2k ) + 87 ] > 0
4
16
5 2
k – 1 > 0 ( v× (2k ) + 87
4
16

> 0 víi mọi k)

k>1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi
m
3. Tìm m để |x 1 x 2| đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình

(1) nói trong phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x 9 = 0 vµ cã 2 nghiƯm lµ x1 =
1 , x2 = - 9
2. Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5

= m2 + 2.m. 1 + 1 + 19 = (m + 1 )2 + 19
2
4
4
2
4
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2

> 0 víi mäi m
2