Thực hành vi tích phân 1b

.c
om
ng

th

an

co

Thực hành Vi tích phân 1B

cu

u

du
o

ng

Ngày 12 tháng 9 năm 2017

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Mục lục

Dãy số và ánh xạ
1.1 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
3

2

Hàm số
2.1 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

3

Đạo hàm và ứng dụng
3.1 Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn .
3.2 Phương trình tiếp tuyến . . .
3.3 Xấp xỉ tuyến tính . . . . . . .
3.4 Các định lý giá trị trung bình
3.5 Ứng dụng tính giới hạn . . . .
3.6 Khai triển Taylor; Maclaurin .

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

u

du
o

ng

th

an

co

ng

1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

8
8
9
10

11
11
12

Tích phân và ứng dụng

13

5

Chuỗi hàm

14

Tài liệu tham khảo

14

cu

4

2

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Chương 1

Dãy số

an

Bài tập 1. Tìm giới hạn của dãy số sau:
lim (

1
1
+ ).
2n n

th

n→∞

co

1.1

ng

Dãy số và ánh xạ

du
o

ng

Bài tập 2. Tìm giới hạn của dãy số sau:

cos2 n − sin2 n
.
n→∞
n
lim

cu

u

Bài tập 3. Tìm giới hạn của dãy số sau:
n+1
c) lim (−1)n 2 .
n→∞
n
n!
d) lim n .
n→∞ n

1.2

Ánh xạ

Bài tập 4. f có là đơn ánh, tồn ánh khơng. Giải thích?
i. f : R → R được định nghĩa bởi f (x) = 2 − 3x, ∀x ∈ R.
ii. f : Z → Z được định nghĩa bởi f (n) = n2 + n, ∀x ∈ Z.

iii. f : R → R được định nghĩa bởi f (x) = 2x2 + 3, ∀x ∈ R.

3

CuuDuongThanCong.com

/>

1.2. ÁNH XẠ

CHƯƠNG 1. DÃY SỐ VÀ ÁNH XẠ

n+1



 2 , nếu n lẻ
iv. f : N → N được định nghĩa bởi f (x) = 
n


 , nếu n chẵn
2

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

.c
om

v. Cho A = R \ {3}, B = R \ {1}. f : A → B được định nghĩa bởi f (x) =

4

CuuDuongThanCong.com

/>
x−2
x−3 .


.c
om

Chương 2

Giới hạn hàm số

co

2.1

ng

Hàm số

Bài tập 5. Tính các giới hạn sau:

an

h→0

√

d) lim
t→0

du
o

+ 1x
c) lim
x→−2017 2017 + x
√
2− x
e) lim

x→4 8x − x3

100 + h − 10
h

b) lim

th

1
2017

√

ng

(10 + h)2 − 100
a) lim
h
h→0

f) lim

√
1−t

1
1
−
√

t 1+t t

u

t→0

1+t−
t

cu

(x + h)3 − x3
.
h
h→0

g) lim

Bài tập 6. Sử dụng định lý kẹp chỉ ra
lim (x2 cos 20πx) = 0.

x→0

Bài tập 7. Sử dụng định lý kẹp chỉ ra
lim

x→0

x3 + x2 sin

π
= 0.
x

Bài tập 8. Nếu 4x − 9 ≤ f (x) ≤ x2 − 4x + 7 với x ≥ 0. Tìm limx→4 f (x).
Bài tập 9. Nếu 2x ≤ g(x) ≤ x4 − x2 + 2 với mọi x. Tìm limx→1 g(x).
5

CuuDuongThanCong.com

/>

2.1. GIỚI HẠN HÀM SỐ

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ

Bài tập 10. Chứng minh rằng
√
lim

x→0+

x[1 + sin2 (2π/x)] = 0.

Bài tập 11. Tìm giới hạn sau nếu tồn tại:
x−1
|x3 − x2 |

c) lim

1 1
−
x |x|

x→1

x→0+

7 − |x|
x→−7 3x + 2

b) lim

.c
om

a) lim−

ng

Bài tập 12. Cho

an

co




x2 − 1 nếu x < 1






0 nếu x = 1
g(x) = 


2x − x2 nếu 1 < x ≤ 2




x3 − 5x + 4 nếu x > 2.

th

Tìm các giới hạn sau nếu tồn tại

ng

i. lim− g(x)
x→1

du
o

iv. lim− g(x)
x→2

ii. lim g(x)

iii. g(1)

v. lim g(x)

vi. lim g(x)

x→1+

x→2+

x→2

cu

u

Bài tập 13. Chứng minh các khằng định sau bằng định nghĩa δ, ε.
a) lim (20 − 3x) = −1
x→7

x2 − x − 6
=4
x−3
x→2

b) lim

c) lim (x2 − 2x − 3) = −4
x→1

Bài tập 14. Từ đồ thị của hàm số g cho bên dưới, tìm các khoảng mà hàm số
g liên tục.
Bài tập 15. Hãy xác định f (2) sao cho mỗi hàm số có gián đoạn khử được
trở thành liên tục tại 2. a) f (x) =

x2 − x − 2
x−2

b) f (x) =

x3 − 8
x2 − 4

6

CuuDuongThanCong.com

/>

2.1. GIỚI HẠN HÀM SỐ

ng

Hình 2.1: hình ảnh của bài 14

.c
om

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ

th

an

co

Bài tập 16. Chứng minh rằng f liên tục trên (−∞, ∞) với f định bởi



x2 nếu x < 1
√
f (x) = 

 x nếu x ≥ 1.

du
o

ng

Bài tập 17. Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R



x√3 + 1 nếu x < 1
a)

f (x) = 

 x + 3 nếu x ≥ 1.

cu

u

b)




sin(x/2 + cos x) nếu x < π/2
f (x) = 

cos(x/2 + sin x − 1) nếu x ≥ π/2.

Bài tập 18. Tìm giá trị của c sao cho hàm số sau liên tục trên (−∞, ∞):



c2 x2 + 2cx nếu x < 1
f (x) = 

4x3 − cx nếu x ≥ 1.
Bài tập 19. Tìm giá trị của a, b sao cho hàm số sau liên tục trên (−∞, ∞):
 4
x −1


nếu x < 1


 x−1

2
f (x) = 
ax − bx + 4 nếu 1 ≤ x < 2



3x + a − b nếu x ≥ 2.

7

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Chương 3

Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn

co

3.1

ng

Đạo hàm và ứng dụng

an

Bài tập 20. Giả sử g có đạo hàm cấp hai trên R và xét f (x) = sin (xg(ex )) .
Tính f (2) theo g, g và g .

ng

th

Bài tập 21. Tính y khi biết 9x2 + y2 = 9.
√
√
Bài tập 22. Tính y khi biết x + y = 1.

du
o

Bài tập 23. Tìm cơng thức chính xác của
(a) x3 + y3 = 1.,
√
√
(b) 2 x + y = 3.

dy
dx

(dùng công thức hàm ẩn) biết:

(e) x4 (x + y) = y2 (3x − y),

u

(f) y5 + x2 y3 = 1 + x4 y,
(g) y cos x = x2 + y2 ,

cu

(c) x2 + xy − y2 = 4,

(d) 2x3 + x2 y − xy3 = 2,
(h) cos (xy) = 1 + sin y.
√
Bài tập 24. Giả sử y = 2x + 1, trong đó x và y là những hàm theo t.
1. Giả sử

dx
dt

= 3, tìm

dy
dt

khi x = 4.

2. Giả sử

dy
dt

= 5, tìm

dx
dt

khi x = 12.

Bài tập 25. Giả sử 4x2 + y2 = 9, trong đó x và y là những hàm theo t.
1. Giả sử

dy
dt

= 13 , tìm

dx
dt

2. Giả sử

dx
dt

= 3, tìm

dy

dt

khi x = 2 và y =

2
3

√

5.
√
khi x = −2 và y = 23 5.
8

CuuDuongThanCong.com

/>

CHƯƠNG 3. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
3.2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Hình 3.1: Hình bài tập 28
Bài tập 26. Biết x2 + y2 + z2 = 9,

dx
dt

= 5,

dy

dt

= 4, tìm

dz
dt

khi (x, y, z) = (2, 2, 1).

.c
om

Bài tập 27. Hai chiếc xe bắt đầu di chuyển từ cùng một điểm. Một chiếc đi
về phía nam với tốc độ 60 mi/h và chiếc cịn lại di chuyến về phía tây với tốc
độ 25 mi/h. Khoảng cách giữa hai chiếc xe tăng lên ở mức nào hai giờ sau
đó?

co

ng

Bài tập 28. Một chiếc thuyền được kéo vào một bến tàu bằng một sợi dây
gắn vào mũi thuyền và đi qua một ròng rọc trên bến tàu, mà nó cao hơn 1 m
so với mũi thuyền. Nếu sợi dây được kéo vào với tốc độ 1 m/s, thuyền tiến
gần đến bến tàu nhanh như thế nào khi nó cách bến tàu 8 m?

Phương trình tiếp tuyến

du
o

3.2

ng

th

an

Bài tập 29. Vào buổi trưa, tàu A cách 100 km về phía tây của tàu B. Tàu A di
chuyển về phía nam với tốc độ 35 km/h và tàu B di chuyển về phía bắc với
tốc độ 25 km/h. Khoảng cách giữa hai tàu thay đổi nhanh như thế nào vào
lúc 4:00 PM?

cu

u

Bài tập 30. Hãy tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị mỗi hàm số tại giá
trị x0 cho trước.
(a) f (x) = x2 , x0 = 3.
(b) f (x) =

x
,x
x2 + 2 0

= 1.

Bài tập 31. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của đồ thị hàm số y được

cho bởi biểu thức
x3 + y3 = 6xy
tại điểm (3, 3).
Bài tập 32. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của đồ thị hàm số y được
cho bởi biểu thức
x2 + y2 = 25
tại điểm (3, −4).
9

CuuDuongThanCong.com

/>

3.3. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 3. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

Bài tập 33. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của đồ thị hàm số y được
cho bởi biểu thức
y sin (2x) = x cos (2y)
tại điểm

π π
2, 4

.

.c
om

Bài tập 34. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của đồ thị hàm số y được
cho bởi biểu thức
sin (x + y) = 2x − 2y
tại điểm (π, π).

Bài tập 35. Tìm phương trình của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm
có tọa độ cho trước.

ng

√

1. y = 4x − 3x2 , (2, −4).

2x+1
x+2 ,

(1, 1).

(a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tới đường cong y =

điểm x = a

√1
x

tại

th

Bài tập 36.

4. y =

x, (1, 1).

an

2. y = x3 − 3x + 1, (2, 3).

co

3. y =

ng

(b) Tìm phương trình của tiếp tuyến tại các điểm (1, 1) và (4, 1/2).

u

du
o

(c) Vẽ đồ thị của đường cong và cả hai tiếp tuyến trên một màn hình
chung.
Tìm độ dốc hệ số

Xấp xỉ tuyến tính

cu

3.3

Bài tập 37. Hãy tính gần đúng các giá trị sau bằng xấp xỉ tuyến tính.
1
4.002 .

(a) (1.999)4 .

(d)

(b) (sin 1◦ .
√
3
(c) 1001.

(e) tan(44◦ ).
√
(f) 99, 8.

Bài tập 38.

(i) Xấp xỉ f bằng đa thức Taylor bậc n tại a.

(ii) Sử dụng Bất đẳng thức Taylor để ước lượng độ chính xác của xấp xỉ
f (x) ≈ Tn (x) khi x nằm trong đoạn cho trước.
10

CuuDuongThanCong.com

/>

CHƯƠNG 3. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG
3.4. DỤNG
CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
(iii) Kiểm tra kết quả phần (b) bằng đồ thị của |Rn (x)|.
Thực hiện các công việc trên cho mỗi hàm số sau ứng với a, n và đoạn
cho trước.
√
(a) f (x) =

x, a = 4, n = 2, 4 ≤ x ≤ 4.2.

(b) f (x) = x−2 , a = 1, n = 2, 0.9 ≤ x ≤ 1.1.

(d) f (x) = sin x, a = π6 , n = 4, 0 ≤ x ≤ π3 .

Các định lý giá trị trung bình

ng

3.4

.c
om

(c) f (x) = x2/3 , a = 1, n = 3, 0.8 ≤ x ≤ 1.2.

th

an

co

Bài tập 39. Hãy kiểm tra hàm số thỏa mãn ba giả thiết của Định lý Rolle
trên đoạn cho trước. Sau đó, tìm tất cả các số c thỏa mãn kết luận của định
lý Rolle.
√
(c) f (x) = x − 13 x, [0, 9].
(a) f (x) = 5 − 12x + 3x2 , [1, 3].
(d) f (x) = cos (2x),

π 7π
8, 8

.

ng

(b) f (x) = x3 − x2 − 6x + 2, [0, 3].

du
o

Bài tập 40. Cho f (x) = (x − 3)−2 . Chứng tỏ rằng không tồn tại c ∈ (1, 4) sao
cho f (4) − f (1) = f (x)(4 − 1). Tại sao điều này không mâu thuẫn với Định
lý Rolle?

cu

u

Bài tập 41. Hãy kiểm tra rằng hàm số thoả mãn ba giả thiết của Định lý giá
trị trung bình trên khoảng cho trước. Sau đó tìm tất cả các số c thoả mãn kết
luận của Định lý giá trị trung bình.
(a) f (x) =

√
3

x, [0, 1].

(b) f (x) = 1x , [1, 3].
Bài tập 42. Chứng tỏ rằng phương trình x3 − 15x + c = 0 = 0 có nhiều nhất
một nghiệm trong đoạn [−2, 2] với mọi số thực c.

3.5

Ứng dụng đạo hàm tính giới hạn (quy tắc l’Hospital)

Bài tập 43. Tính

11

CuuDuongThanCong.com

/>

3.6. KHAI TRIỂN TAYLOR; MACLAURIN
CHƯƠNG 3. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

e2x − 1
,
x
x→0

(d) lim 1 +

ln x
,
x→∞ x

(e) lim

(a) lim

x→∞

(b) lim

x→1+

x2
(c) lim −x ,
x→−∞ e

x

,

1

1
−
,
ln n x − 1

tan x − ex − 1
1 − ex

x→0

2

.

.c
om

3.6

(f) lim

1
x

Khai triển Taylor; Maclaurin

Bài tập 44. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau.
(a) f (x) = (1 − x)−2 ,

ng

(d) f (x) = e−2x ,

co

(b) f (x) = ln(1 + x),
(c) f (x) = sin (πx),

an

(e) f (x) = x cos x.

th

Bài tập 45. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau quanh điểm a tương
ứng.
(e) f (x) = e2x , a = 3 .

(b) f (x) = x − x3 , a = −2.

(f) f (x) = sin x, a =

du
o

ng

(a) f (x) = x4 − 3x2 + 1, a = 1.

(c) f (x) = ln x, a = 2.

(g) f (x) = cos x, a = π.
√
(h) f (x) = x, a = 16.

cu

u

1
(d) f (x) = , a = −3.
x

π
.
2

Bài tập 46. (a) Tìm các đa thức Taylor đến bậc 6 của f (x) = cos x quanh
a = 0. Vẽ đồ thị f và các đa thức này trên cùng đồ thị.
(b) Đánh giá f và những đa thức này tại x = π4 , π2 , π.
(c) Bình luận sự hội tụ của các đa thức này về f .
Bài tập 47. Tìm đa thức Taylor T3 (x) cho hàm f (x) =
T3 (x) trên cùng đồ thị.

1
x

quanh a = 2. Vẽ f và

12

CuuDuongThanCong.com

/>

ng

Tích phân và ứng dụng

.c
om

Chương 4

cu

u

du
o

ng

th

an

co

Bài tập 48.

13

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Chương 5
Chuỗi hàm

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

Bài tập 49.

14

CuuDuongThanCong.com

/>