Chuyên đề cấp số cộng, cấp số nhân

Tailieumontoan.com

Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020


Website: tailieumontoan.com

DẠNG TOÁN 2: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

PHẦN I:
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Cấp số cộng
 Định nghĩa:

un + d với n ∈ * .
• Nếu ( un ) là cấp số cộng với công sai d , ta có: un +=
1
 Số hạng tổng qt:
• Nếu cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 và cơng sai d thì số hạng tổng qt un được xác định bởi công
thức: un = u1 + ( n − 1) d với n ≥ 2.
 Tính chất:
• Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng
kề với nó, nghĩa là uk =

uk −1 + uk +1
với k ≥ 2.

2

 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng:
Cho cấp số cộng ( un ) . Đặt S n = u1 + u2 + ... + un . Khi đó: S n =

n ( u1 + un )
2

n  2u1 + ( n − 1) d 
= 
.
2

2. Cấp số nhân
 Định nghĩa:
• Nếu ( un ) là cấp số nhân với cơng bội q , ta có: un +1 = un .q với n ∈ * .
 Số hạng tổng qt:
• Nếu cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 và cơng bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi
công thức: un = u1.q n −1 với n ≥ 2.
 Tính chất:
• Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số
hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk 2 = uk −1.uk +1 với k ≥ 2.
 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 1


Website: tailieumontoan.com

• Cho cấp số nhân ( un ) với công bội q ≠ 1 . Đặt S n = u1 + u2 + ... + un . Khi đó: S n =

u1 (1 − q n )
1− q

.

 Cấp số nhân lùi vơ hạn:
• Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q sao cho q < 1 .
• Cơng thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Cho ( un ) là cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q . Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn được tính theo
cơng thức S = u1 + u2 + ... + un + ... =

u1
.
1− q

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Nhận dạng, khai triển CSC.
 Xác định U1 , d , n,U n , Sn của CSC (cụ thể).
 Xác định U n , Sn của CSC (tổng quát).
 Bài toán khác liên quan tổng của CSC.
 Điều kiện để dãy số thành CSC.
 Điều kiện để nghiệm của phương trình lập thành CSC.
 Tốn đố, tốn thực tế, liên mơn về CSC.
 Nhận dạng, khai triển CSN.
 Xác định U1 , q, n,U n , Sn của CSN (cụ thể).
 Xác định U n , Sn của CSN (tổng quát).
 Bài toán khác liên quan tổng của CSN.
 Điều kiện để dãy số thành CSN.

 Điều kiện để nghiệm pt lập thành CSN.
 Tốn đố, tốn thực tế, liên mơn về CSN.
 Bài tốn liên quan đến CSN lùi vơ hạn.
 Tốn tập hợp cả CSC và CSN.
…..

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 2


Website: tailieumontoan.com

BÀI TẬP MẪU

u1 3,=
u2 9 . Công sai của cấp
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho cấp số cộng ( un ) biết=
số cộng đó bằng
A. 6.

B. 3.

D. −6 .

C. 12.
Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm cơng sai của cấp số cộng.
2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định công thức un +1 theo un .
B2: Kết quả là hiệu un +1 − un .
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A

u1 3,=
u2 9 nên d = u2 − u1 = 9 − 3 = 6.
Ta có:=
Bài tập tương tự và phát triển:
 Mức độ 1
Câu 1.

Dãy số nào sau đây là cấp số cộng:
A. −1,3, 7,11,13 .

B. 0, 2, 6,8,10 .

C. 11,14,17, 20, 24 .

D. 7,3, −1, −5, −9 .

Lời giải
Chọn D
Dãy số 7,3, −1, −5, −9 là cấp số cộng với u1 = 7; d = −4 .
Câu 2.

Cho một cấp số cộng ( un ) có u1 =
−5; u8 =
44 . Công sai của cấp số cộng bằng

A. 3.

B. 5.

C. 7.

D. 9.

Lời giải
Chọn C
Ta có u 8 = 44 ⇔ u1 + 7 d = 44 ⇔ −5 + 7 d= 44 ⇔ d= 7 .
Câu 3.

Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 28 và công sai d = −5 . Số hạng thứ 10 của cấp số cộng bằng :
A. u10 = −22 .

B. u10 = −7 .

C. u10 = −17 .

D. u10 = −12 .

Lời giải
Chọn C

u1 + 9d =
28 + 9. ( −5 ) =
−17 .
Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ u10 =
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 3


Website: tailieumontoan.com

Câu 4.

Cho cấp số cộng ( un ) có công sai d = −2 và số hạng thứ 5 bằng 9. Số hạng thứ nhất của cấp số
cộng bằng:
A. 15.

B. 17.

C. 19.

D. 21.

Lời giải
Chọn B
Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ u5 = u1 + 4d ⇔ u1 + 4. ( −2 ) = 9 ⇔ u1 =
17 .
Câu 5.

Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 28 và cơng sai d = −6 . Hỏi −32 là số hạng thứ mấy của cấp số
cộng?
A. 9.

B. 10.

C. 11.

D. 12.

Lời giải
Chọn C
Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ −32 = 28 + ( n − 1) . ( −6 ) ⇔ n = 11 .
Câu 6.

Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −32 và cơng sai d = 8 . Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng này là:
A. S10 = 20 .

C. S10 = 60 .

B. S10 = 80 .

D. S10 = 40 .

Lời giải
Chọn D

=
Ta có S10
Câu 7.

10 ( 2u1 + 9d )
= 40 .
2

Cho cấp số cộng có u1 = 2 và un +=
un + 3 . Số hạng thứ 15 của cấp số cộng bằng:
1
A. u15 = 42 .

B. u15 = 44 .

C. u15 = 24 .

D. u15 = 31 .
Lời giải

Chọn B
Gọi d là công sai của cấp số cộng .
Ta có: un +1 = un + 3 ⇔ un +1 − un = 3 ⇔ d = 3.
Suy ra: u15 =
u1 + 14d =+
2 14.3 =
44.
Câu 8.

Cho cấp số cộng ( un ) có cơng sai d và S n là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng . Công thức
nào sau đây là đúng:
A. S n =

u1 + un
.
2

B. un= u1 + nd .

C. u4 =

u3 + u5
.
2

D. un =

u1 + un +1
2

Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 4


Website: tailieumontoan.com

Chọn C
Ta có: uk =
Câu 9.

uk −1 + uk +1
u3 + u5
⇒ u4 =
.
2
2

Dãy số nào sau đây là cấp số nhân:
A. 2; 4;6;8;10 .

B. 5;10;15; 20; 25 .

C. 3;9; 27;81; 243 .

D. 2; −4;8; −16; −32 .

Lời giải
Chọn C

u1 3;=
q 3.
Dãy số 3;9; 27;81; 243 là cấp số nhân với =
Câu 10. Cho cấp số nhân ( un ) biết un= 2n , ∀n ∈ N * . Tìm số hạng đầu u1 và cơng bội q của cấp số
nhân trên.
A. u1 = 2 ; q = −2 .

B. u1 = −2 ; q = 2 .

C. u1 = 1 ; q = 2 .

D. u1 = 2 ; q = 2 .
Lời giải

Chọn D
Ta có : un = 2n = 2.2n −1 = u1.q n −1 , ∀n ∈ N * . Nên u1 = 2 ; q = 2 .
Câu 11.

Cho cấp số nhân ( un ) , biết u1 =
−2; u2 =
10 . Lựa chọn đáp án đúng.
A. q = 10 .

B. q = −5 .

C. q = 5 .

D. q = 12 .

Lời giải
Chọn B

u
10
u1.q ⇒ q = 2 = ⇒ q =
−5 .
Ta có: u2 =
u1 −2
Câu 12. Cho cấp số nhân ( un ) , biết u1 = 3; q = −2 . Tìm u3 .
A. u3 = 11 .

B. u3 = 12 .

C. u3 = 16 .

D. u3 = 14 .

Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức: un = u1.q n −1 ⇒ u3 = 3. ( −2 ) = 12 .
2

Câu 13. Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = −2 .Tính S6 . .
A. S6 = −

155
.
3

B. S6 = −105 .

C. S6 = −315 .

D. S6 = 315 .

Lời giải
Chọn B
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 5


Website: tailieumontoan.com

( −2 ) − 1 = −105 .
q6 −1
= 5.

Ta có S6 = u1.
q −1
−2 − 1
6

1
Câu 14. Cho cấp số nhân ( un ) với u1 =
− ; u7 =
−32 . Tìm q ?
2
1
B. q = ± .
2

A. q = ±1 .

C. q = ±2 .

D. q = ±4 .

Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có:
q = 2
un = u1q n −1 ⇒ u7 = u1.q 6 ⇒ q 6 = 64 ⇒ 
.
 q = −2
Câu 15. Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 , công bội q . Với mọi giá trị của n ≥ 2 , n ∈  . Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. un = u1 + ( n − 1) q .

B. un = u1.q

n −1

.

C. un − un −1 =
q.

D. S n =

u1 (1 − q n )
q −1

.

Lời giải
Chọn B
Câu 16. Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số nhân lùi vô hạn?
n

A.

2 4 8
2
, , ,....,   ,... .
3 9 27
3

B.

n

3 9 27
3
C. , , ,....,   ,... .
2 4 8
2

1 1 1
1
, , ,..., n ,... .
3 9 27
3

1 1 1 1
 1
D. 1, − , , − , ,...,  − 
2 4 8 16
 2

n−1

,... .

Lời giải
Chọn C
n

Chọn đáp án

3
3 9 27
3
>1.
, , ,....,   ,... vì cấp số nhân này có công bội q=
2
2 4 8
2

Câu 17. Cho cấp số nhân ( un ) , biết =
u1 3;=
q 2 và un = 192 . Tìm n .
A. n = 4 .

B. n = 5 .

C. n = 7 .

D. n = 6 .

Lời giải
Chọn C

un u1.q n −1 ⇒ 192
= 3.2n −1 ⇒=
n 7.
Áp dụng công thức: =

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 6


Website: tailieumontoan.com

 Mức độ 2
Câu 1.

Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 và cơng sai d = 3 . Số hạng tổng quát un là
B. u=
3n − 2 .
n

A. u=
3n − 5 .
n

C. un =
−2n + 3 .

D. un =
−3n + 2 .

Lời giải
Chọn A
Ta có un =
u1 + ( n − 1) d =
−2 + ( n − 1) .3 =

3n − 5 .
Câu 2.

Cho cấp số cộng ( un ) biết u27 = −76 và u83 = −244 . Khi đó số hạng đầu u1 của cấp số cộng đã
cho bằng
A. −3 .

C. 4 .

B. 5 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn D
Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho.
−76
u = −76
u + 26d =
u = 2
.
Áp dụng công thức un = u1 + ( n − 1) d , ta có:  27
⇔ 1
⇔ 1
−244
−244
 d = −3
u1 + 82d =
u83 =

Câu 3.

Cho cấp số cộng (un ) có 4 số hạng, biết u1 = −

1
3
A. u2 = ; u3 = .
2
2
C. u2 = 1; u3 =

3
.
2

1
5
và u4 = . Tìm các số hạng còn lại?
2
2
B. u2 = 1; u3 = 2 .

1
D. u2 = ; u3 = 2 .
2
Lời giải

Chọn A
Ta có: u4 =

5
5
1
5
⇔ u1 + 3d =⇔ − + 3d = ⇔ d =
1.
2
2
2
2

1
1
1
3
Vậy u2 =u1 + d =− + 1 = , u3 = u2 + d = + 1 = .
2
2
2
2
Câu 4.

Cho cấp số cộng có u1 = −1 và S 23 = 483 . Công sai của cấp số cộng là:
A. d = 3 .

B. d = 4 .

C. d = −2 .

D. d = 2 .

Lời giải

Chọn D
Gọi d là công sai của cấp số cộng .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 7


Website: tailieumontoan.com

n ( u1 + un ) n u1 + u1 + ( n − 1) d  n  2u1 + ( n − 1) d 
.
=
=
2
2
2

Ta
có: S n
=
Vậy: S 23
=
Câu 5.

23 ( 2u1 + 22d )
23 ( −2 + 22d )
=

⇔ 483
=
⇔ d 2.
2
2

Cho cấp số cộng ( un ) có u27 + u2 =
83 . Khi đó tổng 28 số hạng đầu tiên của cấp số cộng ( un )
là
A. S 28 = 1162 .

B. S 28 = 1612 .

C. S 28 = 2611 .

D. S 28 = 1261 .

Lời giải
Chọn A
Gọi d và u1 lần lượt là công sai và số hạng đầu của cấp số cộng ( un ) .

S 28
Ta có:=

Câu 6.

28 ( u1 + u28 ) 28 ( u2 − d + u27 + d ) 28 ( u2 + u27 ) 28.83
=
=
= = 1162 .

2
2
2
2

u = −2020
Cho dãy cấp số cộng ( un ) thoả mãn  1
( ∀n ∈ , n ≥ 1) . Tìm cơng thức số hạng
un + 5
1
un +=
tổng quát của dãy số?

Lời giải
Chọn D
Công sai: d = 5 . Số hạng đầu tiên u1 = −2020

u1 + 5 ( n − 1) =
−2025 + 5n
Số hạng tổng quát un =
Câu 7.

Cho cấp số cộng có u1 = 2 và u2 = 8 . Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân là:
A. n ( 2n − 1) .

B. n ( 3n + 1) .

C. 2n ( 3n − 1) .

D. n ( 3n − 1) .

Lời giải

Chọn D
Cấp số cộng có u1 = 2 và u2 = 8 nên d = 6 .
Ta có: S n
=
Câu 8 .

n  2u1 + ( n − 1) d  n  2.2 + ( n − 1) 6 
= n ( 3n − 1) .
=
2
2

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng
A. un = n 2 .

B. un =

( −1)n n .

C. un =

n
.
3n

D. un = 2n .

Lời giải

Chọn D
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 8


Website: tailieumontoan.com

Ta có: un +1 − un = 2 ( n + 1) − 2n = 2; ∀n ∈  ⇒ un = 2n là cấp số cộng.
Câu 9.

−17
2u3 − u6 =
Cho cấp số cộng (un ) biết 
. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d ?
 S10 = 105
A. u1 = −5; d = −12 .

B. u1 = −12; d = 5 .

C. u1 = 5; d = −12 .

D. u1 = −12; d = −5 .
Lời giải

Chọn B
Ta có:

−17
−17

−17
2u3 − u6 =
u −d =
2 ( u + 2d ) − ( u1 + 5d ) =
⇔ 1
⇔ 1

5 ( 2u1 + 9d ) =
105
21
 S10 = 105
2u1 + 9d =

u1= d − 17
u = −12

⇔ 1
.
⇔
21
 d =5
2 ( d − 17 ) + 9d =

u20 = 8u17
Câu 10. Cấp số nhân ( un ) có 
. Tìm số hạng u1 biết u1 ≤ 100 .
272
u1 + u5 =
A. u1 = 16 .

B. u1 = 2 .

C. u1 = −16 .

D. u1 = −2 .

Lời giải
Chọn A
Ta có
 16 3
0 (1)
u1q19 = 8u1q16
u20 = 8u17
u1q ( q − 8 ) =
⇔
⇔



4
4
272
272
272 ( 2 )
u1 + u1q =
u1 + u5 =
u1 (1 + q ) =

q = 0
Từ (2) suy ra u1 ≠ 0 , do đó (1) ⇔ 

.
q = 2
272 không thỏa điều kiện u1 ≤ 100 .
Nếu q = 0 thì ( 2 ) ⇔ u1 =
16 thỏa điều kiện u1 ≤ 100 .
Nếu q = 2 thì ( 2 ) ⇔ u1 =
13
u1 + u2 + u3 =
Câu 11. Cho cấp số nhân ( un ) thỏa 
. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân ( un ) là:
26
u4 − u1 =
A. S8 = 3280 .

B. S8 = 9841 .

C. S8 = 3820 .

D. S8 = 1093 .

Lời giải
Chọn A
Ta có
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 9


Website: tailieumontoan.com
2

13
13 u1 (1 + q + q ) =
u1 + u2 + u3 =
26
q3 − 1
⇔
⇒
=
⇒ q − 1 = 2 ⇒ q = 3 ⇒ u1 = 1

2
3
26
1+ q + q
13
26
u4 − u1 =
u1 ( q − 1) =

1(1 − 38 )
=
Vậy S8 = 3280 .
1− 3
Câu 12. Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 4; q = −4 . Viết số hạng tổng quát un ?
A. −4 ( −4 ) .

B. ( −4 ) .

C. 4. ( −4 )

D. 4n .

n

n

n−1

.
Lời giải

Chọn C
−1
Ta có số hạng tổng quát u=
u1.q n=
4. ( −4 )
n

n −1

.

Câu 13. Cho cấp số nhân hữu hạn ( un ) có u1 = 3 ; u2 = 6 . Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân là:
A.=
S n 3 ( 2n − 1) .

B.=
S n 6 ( 2n − 1) .

2n − 1 .

C. S=
n

D.=
S n 3 ( 2n − 3) .

Lời giải
Chọn A
Ta có: u1 = 3 ; u2 = 6 ⇒ q =

u2 6
= = 2.
u1 3

u1 (1 − q n ) 3 (1 − 2n )
Sn
=
= 3 ( 2n − 1) .
Khi đó:=
1− q
1− 2
Câu 14. Cho cấp số nhân ( un ) biết=
u1 5;=
u4 135 và tổng S n = u1 + u2 + .... + un = 910. Tìm n ?
A. 362.

B. 363.

C. 364.

D. 365.

Lời giải
Chọn C
Ta có: u4 = u1.q 3 ⇒ 5.q 3 = 135 ⇒ q =
3.
Khi đó S n =

u1 (1 − q n )
1− q

⇔

5 (1 − 3n )
1− 3

364 .
= 910 ⇒ n =

Câu 15. Cho cấp số cộng ( un ) có=
u1 1;=
un 2019 − 2018n . Tìm cơng sai d?
A. d = 2018 .

B. d = 2019 .

C. d = −2019 .

D. d = −2018 .

Lời giải
Chọn D
Ta có:
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 10


Website: tailieumontoan.com

= 2019 − 2018n
=
un 2019 − 2018n ⇔ u1 + ( n − 1) d= 2019 − 2018n ⇔ 1 − d + nd

2019
1 − d =
⇒
⇒d =
−2018 .
nd = −2018n
Câu 16. Cho ba số thực a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khẳng định nào dưới đây
là đúng ?
A. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc .

B. a 2 + c 2 = 2ab − 2bc .

C. a 2 − c 2 = 2ab − 2bc .

D. a 2 − c 2 = ab − bc .
Lời giải

Chọn C

2b ⇔ b − a = c − b
Vì a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có: a + c =
⇔ ( b − a ) = ( c − b ) ⇔ b 2 − 2ab + a 2 = c 2 − 2bc + b 2 ⇔ a 2 − c 2 = 2ab − 2bc.
2

2

Câu 17. Xác định a để 3 số: 1 + 3a; a 2 + 5;1 − a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Khơng có giá trị nào của a .

B. a = 0 .

C. a = ±1 .

D. a = ± 2 .
Lời giải

Chọn A
Ba số: 1 + 3a; a 2 + 5;1 − a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a 2 + 5 − (1 + 3a ) =1 − a − ( a 2 + 5 )
0 . PT vô nghiệm.
⇔ a 2 − 3a + 4 =−a 2 − a − 4 ⇔ a 2 − a + 4 =

Suy ra chọn đáp án A.
Câu 18. Xác định x để 3 số x − 2; x + 1; 3 − x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân:
A. Khơng có giá trị nào của x.

B. x = ±1.

C. x = 2.

D. x = −3.
Lời giải

Chọn A
Ba số x − 2; x + 1; 3 − x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân ⇔ ( x − 2 )( 3 − x ) = ( x + 1)

2

⇔ 2 x 2 − 3x + 7 =
0 ( Phương trình vơ nghiệm)

Câu 19. Cho bốn số 2; x;8; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính x + y .
A. 20 .

B. 36 .

C. 16 .

D. 40 .

Lời giải:
Chọn A
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 11

Website: tailieumontoan.com

 x =
4
x

=
4



2
 x = 16

  y = 16 ⇒ x + y =
⇔
⇔
20 .
Theo giả thiết ta có 
x
=
−
4


2
  x = −4
 xy = 8
 xy = 64



  y = −16
 Mức độ 3
Câu 1.

Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Góc
có số đo lớn nhất của tứ giác là
A. 165° .

B. 156° .

C. 150° .

D. 135° .
Lời giải

Chọn C
Theo đề ta có: u1 + u2 + u3 + u4 = 360 ⇔ 30 + 30 + d + 30 + 2d + 30 + 3d = 360 ⇔ d = 40
Khi đó u4 =u1 + 3d =150 .
Vậy góc có số đo lớn nhất của tứ giác là 150° .
Câu 2.

Một cấp số cộng gồm bốn số hạng, biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của
chúng bằng 120. Tìm các số hạng của cấp số cộng đó.
A. −8, − 6, − 4, − 2.

B. 1,3,5, 7.

C. 2, 4, 6,8.

D. −7, − 5, − 3, − 1.

Lời giải
Chọn C
Khơng mất tính tổng qt, giả sử bốn số hạng của cấp số cộng đó là a − 3 x; a − x; a + x; a + 3 x

=
d 2x ( x ≥ 0).
với cơng sai là
Khi đó, ta có:

 ( a − 3 x ) + ( a − x ) + ( a + x ) + ( a + 3 x ) =
20 =
4a 20
=

a 5
⇔ 2
⇔
( do x ≥ 0 )

2
2
2
2
2
x 120 =
120
4a + 20=

x 1
( a − 3 x ) + ( a − x ) + ( a + x ) + ( a + 3 x ) =
Vậy bốn số hạng của cấp số cộng cần tìm là 2, 4, 6,8 .
Câu 3.

Xen giữa số 3 và số 768 thêm bảy số hạng để được một cấp số nhân có u1 = 3 . Khi đó u5 là
A. 72 .

B. −48 .

C. ±48 .

D. 48 .

Lời giải
Chọn D
Từ đề bài ta suy ra u1 = 3 và u9 = 768 nên 768 =
3.q8 ⇒ q8 =
256 ⇒ q =
±2 , ta loại trường hợp
q = −2 vì nếu nhận trường hợp này thì sẽ có những số hạng khơng nằm giữa 3 và 768 .
4
4
u5 u=
3.2
=
48 .
Do đó,=
1q

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 12


Website: tailieumontoan.com

Câu 4.

Các số x + 6 y , 5 x + 2 y , 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số

x − 1 , y + 2 , x − 3 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x 2 + y 2
A. x 2 + y 2 =
100 .

B. x 2 + y 2 =.
25

C. x 2 + y 2 =.
10

D. x 2 + y 2 =.
40

Lời giải
Chọn D

0
y 2 (5x + 2 y )
 x + 6 y + 8 x + =

 x − 3 y =
x = 3y
 x = −6
⇔
⇔
⇔
Theo đề ta có 
.



2
2
−2  y =
−2
0 y =
( x − 1)( x − 3 y ) =( y + 2 )
( y + 2 ) =
Suy ra x 2 + y 2 = 40 .
Câu 5.

Cho dãy số tăng a, b, c ( c ∈  ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b + 8, c theo
thứ tự lập thành cấp số cộng và a, b + 8, c + 64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị
biểu thức P = a − b + 2c.
A. P =

184
.
9

B. P = 64.

C. P =

92
.
9

D. P = 32.

Lời giải
Chọn B
ac = b 2
ac = b 2


Theo đề ta có: a + c = 2 ( b + 8 )
⇔ a − 2b = 16 − c


2
2
ac + 64a =( b + 8 )
a ( c + 64 ) =( b + 8 )

(1)
( 2) .
( 3)

Thay (1) vào (3) ta được: b 2 + 64a = b 2 + 16b + 64 ⇔ 4a − b = 4 ( 4 ) .

c −8

a=

a − 2b =16 − c

7
Kết hợp (2) với (4) ta được: 
⇔
=
 4a − b 4
b = 4c − 60

7

( 5)

Thay (5) vào (1) ta được:
7 ( c − 8 ) c=

( 4c − 60 )

2

c = 36
⇔ 9c − 424c + 3600= 0 ⇔  100 ⇔ c= 36 ( c ∈  ) .
c =
9

2

Với c = 36 ⇒ a = 4, b =12 ⇒ P = 4 − 12 + 72 = 64.
Câu 6.

u
u u
1
n +1
un . Tổng S = u1 + 2 + 3 + ... + 10 bằng
và un +1 =
3
3n
2 3
10
1
3280
25942
B.
.
C.
.
D.
.
6561
243
59049
Lời giải

Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 =
A.

29524
.
59049

Chọn A
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 13


Website: tailieumontoan.com

un +1=

u
n +1
1 u
un ⇔ n +1 = . n (1).
n +1 3 n
3n

Đặt vn =

un
1
. Từ (1) suy ra vn +1 = vn .
3
n

u=
Khi đó dãy số (vn ) là một cấp số nhân với số hạng đầu v=
1
1
S = u1 +

1
1
, cơng bội q = , có:
3
3

u
u2 u3
+ + ... + 10 = v1 + v2 + v3 + ... + v10
2 3
10
10

1
1−  
10
1− q
1
29524
3
=
. =
.
Khi

đó: S v=
1.
1
1− q 3 1−
59049
3
Câu 7.

u1 = 2
Cho dãy số ( un ) với 
un +1 =2un + 1
A. 191 .

( n ≥ 1)

. Tính u6 .

B. 95 .

C. 33 .

D. 47 .

Lời giải
Chọn B
Ta có: un +1= 2un + 1 ⇔ un +1 + 1= 2un + 2 ⇔ un +1 + 1= 2 ( un + 1) .
Đặt v=
un + 1 thì ( vn ) là cấp số nhân với công bội q = 2 ; số hạng đầu là v1 = 3 .
n

=
un 3.2n −1 − 1 , n ∈ * .
Suy ra vn = 3.2n −1 . Từ đó

u6 3.26−1 =
− 1 95 .
Do đó, =
Câu 8.

hai giá trị của tham số m để phương trình
x − 7 x + 2 ( m + 6m ) x − 8 =
0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Tính tổng

Biết
3

rằng

tồn

2

tại

đúng

2

lập phương của hai giá trị đó.
B. −216

A. −342

C. 344
lời giải

D. 216

Chọn A
Gọi x1 ; x2 ; x3 là nghiệm của phương trình và x1 < x2 < x3
Ta có x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số nhân nên x22 = x1.x3 (1)
Theo Viet ta có x1 + x2 + x3 =

−b
c
= 7 ( 2 ) và x1.x2 + x2 .x3 + x1.x3 ==
2 m 2 + 6m ( 3 )
a
a

(

)

2 2
( m + 6m )
7
Vì x2 là nghiệm của phương trình nên ta có

Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) ⇒ x=
2

3
 m1 = 1
2 2

2
3
3
6
m
m
+
 7
 =8 ⇔ m + 6m − 7 =0 ⇔  m = −7 ⇒ m1 + m2 =−342 .
 2

(

Câu 9.

)

Chu vi của một đa giác n cạnh là 158, số đo các cạnh đa giác lập thành một cấp số cộng với
cơng sai d = 3. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là 44. Tính số cạnh của đa giác.
A. 6
B. 4
C. 9
D. 5

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 14


Website: tailieumontoan.com

Lời giải
Chọn B.
Ta sắp xếp các cạnh giá trị u1 ;…un tăng dần theo cấp số cộng là 3. Khi đó ta có:


n

47 − 3n
u=
158 
 S n = 158 ( u1 + 44 ) . =
1
⇔
⇔
2

316 
( 47 − 3n + 44 ) .n =
 un = 44
 u1 + 3 ( n − 1) =
44


 n=4

2
⇔ 3n − 91n + 316 =
0⇔
 n = 79
3

Vậy đa giác có 4 cạnh.
0 có bốn
Câu 10. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a để phương trình x 4 + 2 ( 2a + 1) x 2 − 3a =
nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. 0
B. 3

C. 2
Lời giải

D. 1

Chọn D
x 4 + 2 ( 2a + 1) x 2 − 3a =
0 (1)

0 (2)
t x 2 ( t ≥ 0 ) , phương trình (1) trở thành t 2 + 2 ( 2a + 1) t − 3a =
=
Đặt
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 thỏa mãn t2 = 9t1



∆=′ 4a 2 + 7 a + 1 > 0



1
2
a < −
∆=′ 4a + 7 a + 1 > 0

2

1

t
t
+
−4a − 2
⇔a=
−3
⇔ 1 2 =
⇔ a < −
2
t = 9t

1
2

1
t2t1 =
−3a

  a = − 12



  a = −3
Câu 11. Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ
hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có
tất cả bao nhiêu hàng cây?
A. 81 .

B. 82 .

C. 80 .

D. 79 .

Lời giải
Chọn C
Giả sử trồng được n hàng cây ( n ≥ 1, n ∈  ) .
Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u1 = 1 và cơng sai d = 1 .
Theo giả thiết:
S n = 3240 ⇔

 n = 80
n
3240 ⇔ n ( n + 1) =
 2u1 + ( n − 1) d  =
6480 ⇔ n 2 + n − 6480 =
0 ⇔
2

 n = −81

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 15


Website: tailieumontoan.com

So với điều kiện, suy ra: n = 80 .
Vậy có tất cả 80 hàng cây.
Câu 12.

Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp ba biết rằng sau 4 phút người ta đếm được
có 121500 con. Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 3280500 con.
A. 10.

B. 9.

C. 8.

D. 7.

Lời giải
Chọn D
Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân ( un ) có cơng bội q = 3 .
4
.q 4 121500 ⇒ 3=
u1 121500 ⇒=
u1 1500 .

Theo đề u5 = 121500 . Suy ra u1=

Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un +1 .
n
u1.3n 3280500 ⇒ 1500.3
=
3280500=
⇒ n 7.
Theo đề un +1 = 3280500 hay =

 Mức độ 4
Câu 1.

Cho dãy số ( an ) thỏa mãn a1 = 1 và
=
an 10an −1 − 1 , ∀n ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để
log an > 100 .
A. 100 .

B. 101 .

C. 102 .

D. 103 .

Lời giải
Chọn D
1
1


Ta có:=
= 10  an −1 −  (1) .
an 10an −1 − 1 ⇔ an −
9
9


1
1 8
Đặt bn = an − ⇒ b1 = a1 − = . Từ (1) ⇒=
bn 10bn −1 , ∀n ≥ 2
9
9 9
n −1
=
bn b=
Dãy ( bn ) là cấp số nhân với công bội là q = 10 . Nên
1 .q

Do đó an = bn +

8 n −1
.10 .
9

1 8 n −1 1
= 10 + , ∀n = 1, 2,... .
9 9
9

8
1
Ta có log an > 100 ⇔ an > 10100 ⇔ 10n −1 + > 10100 .
9
9
Vậy giá trị nhỏ nhất của n để log an > 100 là n = 102 .

Câu 2.

Cho hình vng C1 có cạnh bằng 4 . Người ta chia các cạnh của hình vng thành bốn phần
bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vng C2 . Từ hình vng C2 lại
làm tiếp như trên để được hình vng C3 ,... Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy các hình

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 16


Website: tailieumontoan.com

vuông C1 , C2 , C3 ,..., Cn ,... Gọi an là độ dài cạnh của hình vng Cn . Dãy số ( an ) có là một cấp
số nhân khơng? Nếu có hãy tìm cơng bội q .

A. Có và cơng bội q =

10
.
2

B. Có và cơng bội q =

C. Có và cơng bội q = 10 .

10
.
4

D. Dãy số khơng phải là CSN.
Lời giải

Chọn B
Cạnh của hình vng C1 là a 1 = 4 .
2

2

Cạnh của hình vuông C2 là a2 =

 a1   3a1 
  +
 =
4  4 

Cạnh của hình vng C3 là a3 =

 a2   3a2 
  +
 =
 4  4 

2

2

Tương tự, ta có an =

2

 an −1   3an −1 

 +
 =
 4   4 

2

10
a1.
4
10
a2 .
4

10
an −1 .
4

Vậy, dãy số ( an ) là một cấp số nhân với a1 = 4 và công sai q =
Câu 3.

10
.
4

Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một
năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi
khi lĩnh lương anh A đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ơ tơ.
Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ơ tơ giá 500 triệu biết rằng anh A được gia
đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe?
A. 11.

B. 12.

C. 13.

D. 10.

Lời giải
Chọn C
Số tiền anh A cần tiết kiệm là 500 − 500.0,12 =
340 (triệu).
Gọi số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm đầu tiên là u1 = 10 (triệu).
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 17


Website: tailieumontoan.com

Thì số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ hai là

u2 =u1. (1 + 0,12 ) =u1.1,12 (triệu).
Số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ ba là
u3 =
u1. (1 + 0,12 ) =
u1. (1,12 ) (triệu).
2

2

…
Số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ n là
=
un u1. (1 + 0,12 )

n −1

= u1. (1,12 )

n −1

(triệu).

Vậy số tiền mà anh A tiết kiệm được sau n năm là

12. ( u2 − u1 + u3 − u2 + ⋅⋅⋅ + un −1 − un − 2 + un −=
un −1 ) =
12. ( un − u1 ) 12. u1. (1,12 )

Cho 12. u1. (1,12 )



n −1

340 ⇔ (1,12 )
− u1  =


n−1

n −1

− u1  .


23
.
=
6

Thử trực tiếp ta nhận n = 13 .
Vậy sau ít nhất 13 năm thì anh A sẽ tiết kiệm đủ tiền để mua ô tô.
Câu 4.

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác
trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... sao
cho A1 B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2 , tam giác
An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An −1 Bn −1Cn −1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu

S n tương ứng là diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng

S = S1 + S 2 + ... + S n + ...

A. S =

15π
.
4

B. S = 4π .

C. S =

9π
.
2

D. S = 5π .

Lời giải
Chọn B

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 18


Website: tailieumontoan.com

Vì dãy các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... là các tam giác đều nên bán kính đường trịn
ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh ×

3
.
3

Với n = 1 thì tam giác đều A1 B1C1 có cạnh bằng 3 nên đường trịn ngoại tiếp tam giác A1 B1C1
2


3
3
⇒ S1 =
π  3.  .
có bán kính R1 = 3.
3
 3 
Với n = 2 thì tam giác đều A2 B2C2 có cạnh bằng

3
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
2
2

 1 3
1 3
π  3. .  .
⇒ S2 =
A2 B2C2 có bán kính R2 = 3. .
2 3
 2 3 

Với n = 3 thì tam giác đều A3 B3C3 có cạnh bằng

3
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2
4

2

 1 3
1 3
π  3. .  .
⇒ S3 =
có bán kính R3 = 3. .
4 3
 4 3 
...................
1
Như vậy tam giác đều An BnCn có cạnh bằng 3.  
2
1
An BnCn có bán kính Rn = 3.  
2

n −1

n−1

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
2

  1 n −1 3 
3
⇒ Sn =
π  3.   .  .
.
 2
3 
3


Khi đó ta được dãy S1 , S 2 , ...S n ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u=
S=
3π
1
1
và công bội q =

1
.
4

Do đó tổng S = S1 + S 2 + ... + S n =
+ ...

u1
=
4π .
1− q

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 19


Website: tailieumontoan.com

Câu 5.

Cho dãy số ( un ) là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 , cơng bội q = 2 . Tính tổng
T
=

1
1
1
1
.
+
+
+ ... +
u1 − u5 u2 − u6 u3 − u7
u20 − u24

1 − 219
.
A.
15.218

1 − 220
B.

.
15.219

219 − 1
C.
.
15.218
Lời giải

220 − 1
D.
15.219

Chọn B
1
1
1
1
=
T
+
+
+ ... +
u1 − u5 u2 − u6 u3 − u7
u20 − u24
=

1
1
1

1
+
+
+ ... +
4
4
4
u1 (1 − q ) u2 (1 − q ) u3 (1 − q )
u20 (1 − q 4 )

=

1 1 1 1
1 
1 1
1
1
1 
+ + + ... +=
+
+
+ ... + 19 

4 
4 
2
1 − q  u1 u2 u3
u20  1 − q  u1 u1q u1q
u1q 
20

1
20
  −1
1 1 1 1
1 
1
1 q
1
1 1− (q)
1 − 220
=
+
+
+
+
.
1
...
.
. .
. .
=
 =
 =
1
1 − q 4 u1  q q 2
q19  1 − q 4 u1
1 − q 4 u1 (1 − q ) q19 15.219
−1

q

Câu 6.

1
n −1 
*
Cho dãy số xác định bởi u1 = 1 , un +1 =
 2un + 2
 ; n ∈  . Khi đó u2018 bằng
3
n + 3n + 2 

A. u=
2018

22016
1
+
.
2017
3
2019

B. u=
2018

22018
1
+

.
2017
3
2019

C. u=
2018

22017
1
+
.
2018
3
2019

D. u=
2018

22017
1
+
.
2018
3
2019

Lời giải
Chọn A
Ta có:=

u n +1
⇔ un +1 −

1
2 1
1
n −1  1 
3
2  2
.
− .
−
 2u n + 2
 =  2un +
 = un +
n + 2 3 n +1
3
n + 3n + 2  3 
n + 2 n +1  3

1
2
1 
=
 un −
 (1)
n+2 3
n +1 

Đặt v=

un −
n

1
2
, từ (1) ta suy ra: vn +1 = vn .
3
n +1

Do đó ( vn ) là cấp số nhân với v1 = u1 −

1 2
=
vn v=
. 
Suy ra:
1 .q
2 3
n −1

n −1

1 1
2
= , công bội q = .
2 2
3

1
1 2

⇔ un −
=.  
n +1 2  3 

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

n −1

1 2
. 
⇔
=
un
2 3

n −1

+

1
.
n +1

Trang 20


Website: tailieumontoan.com

1 2
=

u2018
. 
Vậy
2 3
Câu 7.

2017

22016
1
1
+ = 2017 +
.
2019
2019 3

Giá trị của tổng 4 + 44 + 444 + ... + 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng
A.

40 2018
(10 − 1) + 2018 .
9

B.


4  102019 − 10
− 2018  .

9

9


C.


4  102019 − 10
+ 2018  .

9
9


D.

4 2018
(10 − 1) .
9

Lời giải
Chọn B
Cách 1: Đặt S = 4 + 44 + 444 + ... + 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có:

9
S = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9 =
4
Suy ra:

(10 − 1) + (102 − 1) + (103 − 1) + ... (102018 − 1)

9
S = (10 + 102 + 103 + ... + 102018 ) − 2018 =
A − 2018 .
4

Với A = 10 + 102 + 103 + ... + 102018 là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu
u1 = 10 , cơng bội q = 10 nên ta có A = u1

1 − 102018 102019 − 10
1 − q 2018
= 10
=
.
−9
9
1− q

9
102019 − 10

4  102019 − 10
=
− 2018
Do
đó S
=
⇔S
− 2018  .

4

9
9
9

u1 = 4
u1 = 4

Cách 2: Xét dãy số có 
⇔
4
4

10un + 4
1
un +=
un +1 + 9= 10  un + 9 



Đặt vn = un +

40

4 v1 =
⇒
⇒ v ( n ) là cấp số nhân.
9
9
vn +1 = 10vn

4
v
4
2018.4
Ta có: S n = u1 + u2 + ....... + u2018 = v1 − + v2 − ... + v2018 − = v1 + v2 + ... + v2018 −
9
9
9
9
2018
1 − qn
1 − 102018 40 40. (10 − 1)
Trong đó=
.v1
.
Sv( 2018) =
=
1− q
1 − 10 9
81

Vậy tổng=
là S

Câu 8.


40
4
4  102019 − 10

2018
10
−
1
−
=
.2018
− 2018  .
(
)

81
9
9
9


Cho dãy số ( un ) như sau: un =
A.

1
.
4

n
1 + n2 + n4

B. 1 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

1 , 2 , ... Tính giới hạn lim ( u1 + u2 + ... + un ) .
, ∀n =
x →+∞

C.

1
.
2

D.

1
.
3
Trang 21


Website: tailieumontoan.com

Lời giải
Chọn C

=
Ta có un

n
=
2

(1 + n2 ) − n2

Ta có u1 + u2 + ... + un=

n
1
1
1

=
− 2
 2

2
( n + n + 1)( n − n + 1) 2  n − n + 1 n + n + 1 
2

1 1 1 1 1 1 1 1
1
1

− 2
1 − + − + − + − + ... + 2

n − n +1 n + n +1 
2  3 3 7 7 13 13 21

2
1
1

 1 n +n
=
1
−
=
.


2  n2 + n + 1  2 n2 + n + 1

1
1+
1
1
n
Suy ra lim ( u1 +=
.
=
u2 + ... + un )
lim
1 1 2
2
1+ + 2
n n
Câu 9.

Cho dãy số ( un ) thỏa mãn ln ( u12 + u22 + 10
=
) ln ( 2u1 + 6u2 ) và un+2 + un= 2un+1 + 1 với mọi

n ≥ 1. Giá trị nhỏ nhất của n để un > 5050 bằng.
B. 99 .
C. 101 .
A. 100 .

D. 102 .

Lời giải
Chọn D
Ta có: ln ( u12 + u22 + 10
=
) ln ( 2u1 + 6u2 ) ⇔ u12 + u22 + 10 = 2u1 + 6u2
u = 1
2
2
.
⇔ ( u1 − 1) + ( u2 − 3) =
0⇔ 1
u2 = 3

Đặt =
vn un +1 − un với n ≥ 1 ⇒ v1 = u2 − u1 = 2 .
Theo giả thiết: un + 2 + un= 2un +1 + 1 ⇔ un + 2 − un +1 = un +1 − un + 1 ⇔ vn +1 = vn + 1 , ∀n ≥ 1 .
Suy ra ( vn ) là cấp số cộng có cơng sai d = 1 .
Ta có: un +1 = un +1 − un + un − un −1 + ... + u3 − u2 + u2 − u1 + u1 = S n + u1 .


 



 
vn

vn−1

Với S n = v1 + v2 + ... + vn =

un +1
Suy ra:=

v1

n ( n − 1)
n
.
( v1 + vn ) =
2
2

n ( n − 1)
+ 1=
⇒ un
2

Ta có: un > 5050 ⇔

v2

( n − 1)( n − 2 ) + 1
2

.

( n − 1)( n − 2 ) + 1 > 5050 ⇔ n2 − 3n − 10096 > 0 ⇔ n > 101,99
2

.

Vậy số n nhỏ nhất thỏa yêu cầu là 102 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 22


Website: tailieumontoan.com

Câu 10. Cho dãy số ( un )

u1 = 2

u + 2 − 1 , ∀n ∈ * . Tính u2018 .
thỏa mãn 
un +1 = n

1 − 2 − 1 un


(

A. u2018= 7 + 5 2 .

)

C. u2018= 7 − 5 2 .

B. u2018 = 2 .

D. u2018= 7 + 2 .

Lời giải
Chọn A

π

Đặt tan α = 2 . Ta có tan =
8

2 − 1 . Suy ra un +1 =

π

un + tan
1 − tan

π
8

8
.un

π

tan α + tan
π

8
Có
=
=
tan  α +  .
u2
π
8

1 − tan .tan α
8

π

Bằng quy nạp, ta chứng minh được u=
tan α + ( n − 1)  .
n
8


π

π  tan α + tan 8
2017π 



Vậy u2018= tan  α +
=
+
=
= 7+5 2 .
α
tan



8 
8  1 − tan α .tan π


8

Câu 11. Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao 6 ( m ) so với mặt đất,
mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết
rằng quả bóng ln chuyển động vng góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay
(từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng khơng nảy nữa) khoảng:
A. 44 ( m ) .

B. 45 ( m ) .

C. 42 ( m ) .

D. 43 ( m ) .

Lời giải
Chọn C
Ta có quãng đường bóng bay bằng tổng quảng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi
xuống.
Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng
2

3

3
lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là
4
n

3
3
3
3
S1= 6. + 6.   + 6.   + ... + 6.   + ...
4
4
4
4

3
3 9
u1 6.=
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu=
và công bội q = .
4 2

4

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 23


Website: tailieumontoan.com

9
2
Suy ra=
18 .
S1 =
3
1−
4
Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường
2

n

3
3
3
bóng nảy lên nên là S 2 = 6 + 6.   + 6.   + ... + 6.   + ...
4
4
4

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 6 và công bội q =
=
S2

3
. Suy ra
4

6
= 24 .
3
1−
4

Vậy tổng quãng đường bóng bay là S = S1 + S 2 =18 + 24 = 42 .
Câu 12. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác
trung bình của tam giác ABC .
Ta xây dựng dãy các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... sao cho A1 B1C1 là một tam giác đều
cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của
tam giác An −1 Bn −1Cn −1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S n tương ứng là diện tích hình trịn
ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S = S1 + S 2 + ... + S n + ... ?
A. S =

15π
.
4

B. S = 4π .

C. S =

9π
.
2

D. S = 5π .

Lời giải
Chọn B
Vì dãy các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... là các tam giác đều nên bán kính đường trịn
ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh ×

3
.
3

Với n = 1 thì tam giác đều A1 B1C1 có cạnh bằng 3 nên đường trịn ngoại tiếp tam giác A1 B1C1
2


3
3
π  3.  .
⇒ S1 =
có bán kính R1 = 3.
3
 3 
Với n = 2 thì tam giác đều A2 B2C2 có cạnh bằng

3

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
2
2

 1 3
1 3
π  3. .  .
⇒ S2 =
A2 B2C2 có bán kính R2 = 3. .
2 3
 2 3 
Với n = 3 thì tam giác đều A3 B3C3 có cạnh bằng

3
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
4
2

 1 3
1 3
π  3. .  .
⇒ S3 =
A2 B2C2 có bán kính R3 = 3. .
4 3
 4 3 
...................
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 24