Chuyên đề parabol luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ PARABOL
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020


Website: tailieumontoan.com

Chương

Câu 1.

3

CHUYÊN ĐỀ 7
PARABOL
Định nghĩa nào sau đây là định nghĩa đường parabol?
A. Cho điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F . Parabol ( P ) là tập
hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến ∆ .
F1 F2 2c, ( c > 0 ) . Parabol ( P ) là tập hợp điểm M sao cho
B. Cho F1 , F2 cố định với =

MF1 − MF2 =
2a với a là một số không đổi và a < c .
F1 F2 2c, ( c > 0 ) và một độ dài 2a không đổi ( a > c ) . Parabol
C. Cho F1 , F2 cố định với=

( P)

Câu 2.

Câu 3.

2a .
là tập hợp các điểm M sao cho M ∈ ( P ) ⇔ MF1 + MF2 =
D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của parabol.
Lời giải
Chọn A
Định nghĩa về parabol là: Cho điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua
F . Parabol ( P ) là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách
từ M đến ∆ . (Các bạn xem lại trong SGK).
Dạng chính tắc của Parabol là
x2 y 2
x2 y 2
A. 2 + 2 =
B. 2 − 2 =
C. y 2 = 2 px .
D. y = px 2 .
1.
1.
a
b
a
b
Lời giải
Chọn A
Dạng chính tắc của Parabol là y 2 = 2 px . (Các bạn xem lại trong SGK).

Cho parabol ( P ) có phương trình chính tắc là y 2 = 2 px , với p > 0 . Khi đó khẳng định nào sau
đây sai?
p 
A. Tọa đợ tiêu điểm F  ;0  .
2 
C. Trục đối xứng của parabol là trục Oy .

Câu 4.

B. Phương trình đường chuẩn ∆ : x +

p
=
0.
2

D. Parabol nằm về bên phải trục Oy .
Lời giải

Chọn A
Khẳng định sai: Trục đối xứng của parabol là trục Oy . Cần sửa lại: trục đối xứng của parabol
là trục Ox . (Các bạn xem lại trong SGK).
Cho parabol ( P ) có phương trình chính tắc là y 2 = 2 px với p > 0 và đường thẳng
d : Ax + By + C =
0 . Điểu kiện để d là tiếp tuyên của ( P ) là

A. pB = 2 AC .

Câu 5.

B. pB = −2 AC .

C. pB 2 = 2 AC .
Lời giải

D. pB 2 = −2 AC .

Chọn C
Lí thuyết
Cho parabol ( P ) có phương trình chính tắc là y 2 = 2 px với p > 0 và M ( x0 ; y0 ) ∈ ( P ) . Khi đó
tiếp tuyến của ( P ) tai M là
A. =
y0 y p ( x0 − x ) .
Chọn D
Lý thuyết.

B. y=
p ( x − x0 ) . C.
=
y p ( x0 + x ) .
0y
Lời giải

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

D. =
y0 y p ( x0 + x ) .

Trang 1/12

Website: tailieumontoan.com

Câu 6.

Cho parabol ( P ) có phương trình chính tắc là y 2 = 2 px với p > 0 và M ( xM ; yM ) ∈ ( P ) với
yM > 0 . Biểu thức nào sau đây đúng?
A. MF
= yM −

Câu 7.

B. MF
= yM +

p
.
2

( P)

là

A. y = −

p
.
2

p

.
2

D. MF
=

yM −

p
.
2

B. y =

p
.
2

C. y = p .

D. y = − p .

Lời giải

Chọn A
Lý thuyết
Cho parabol ( P ) có phương trình chính tắc là y 2 = −2 px với p > 0 . Phương trình đường
chuẩn của
A. y = −

( P)

là

p
.
2

B. y =

p
.
2

Chọn B
Lý thuyết
Câu 9.

C. MF =
− yM +

Lời giải
Chọn B
Lý thuyết
Cho parabol ( P ) có phương trình chính tắc là y 2 = 2 px với p > 0 . Phương trình đường chuẩn
của

Câu 8.

p

.
2

C. y = p .
Lời giải

Đường thẳng nào là đường chuẩn của parabol y 2 =
3
A. x = − .
4

3
B. x = .
4

D. y = − p .

3
x
2

3
C. x = .
2
Lời giải.

3
D. x = − .
8

Chọn D.
Phương trình chính tắc của parabol ( P ) : y 2 = 2 px

3
3
0
⇒ p = ⇒ Phương trình đường chuẩn là x + =.
8
4
Câu 10. Viết phương trình chính tắc của Parabol đi qua điểm A ( 5; −2 )
A. y = x 2 − 3 x − 12.

B. y = x 2 − 27.

2
C. y=
5 x − 21.

Lời giải.
Chọn D.
Phương trình chính tắc của parabol ( P ) : y 2 = 2 px

D. y 2 =

4x
.
5

4
A ( 5; −2 ) ∈ ( P ) ⇒ 2 p =

5
4
x.
5
Câu 11. Đường thẳng nào là đường chuẩn của parabol y 2 = −4 x ?
A. x = 4.
B. x = 2.
C. x = 1.
Lời giải.
Chọn C.
Phương trình chính tắc của parabol ( P ) : y 2 = 2 px

Vậy phương trình ( P ) : y 2 =

D. x = ±1.

⇒ p=
−2 ⇒ Phương trình đường chuẩn là x − 1 =0 .
Câu 12. Viết phương trình chính tắc của Parabol đi qua điểm A (1; 2 ) .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 2/12


Website: tailieumontoan.com

A. y = x 2 + 2 x − 1.

B. y = 2 x 2 .

C. y 2 = 4 x.
Lời giải.

D. y 2 = 2 x.

Chọn C.
Phương trình chính tắc của parabol ( P ) : y 2 = 2 px

A (1; 2 ) ∈ ( P ) ⇒ 2 p =
4
Vậy phương trình ( P ) : y 2 = 4 x .
Câu 13. Cho Parabol ( P ) : y 2 = 2 x . Xác định đường chuẩn của ( P ) .
A. x + 1 =
0

C. x =

B. 2 x + 1 =
0

Lời giải.

Chọn B.

1
2

D. x − 1 =0

1

Phương trình đường chuẩn x = − .
2
Câu 14. Viết phương trình chính tắc của Parabol biết đường chuẩn có phương trình x +
A. y 2 = x.

x
C. y 2 = .
2
Lời giải.

B. y 2 = − x.

1
=
0
4

D. y 2 = 2 x.

Chọn A.
Phương trình chính tắc của parabol ( P ) : y 2 = 2 px

1
1
=
0 ⇒ p = ⇒ ( P) : y 2 = x .
4
2
Câu 15. Cho Parabol ( P ) có phương trình chính tắc y 2 = 4 x . Một đường thẳng đi qua tiêu điểm F của

Parabol có đường chuẩn x +

( P ) cắt ( P )
A. (1; 2 ) .

tại 2 điểm A và B . Nếu A (1; −2 ) thì tọa độ của B bằng bao nhiêu?
B. ( 4; 4 ) .

(

C. ( −1; 2 ) .

)

D. 2; 2 2 .

Lời giải.

Chọn A.
( P ) có tiêu điểm F (1;0 )
Đường thẳng AF : x = 1
Đường thẳng AF cắt parabol tại B (1; 2 ) .
Câu 16. Điểm nào là tiêu điểm của parabol y 2 =

1
x?
2

 1
B. F  0;  .

 4

1 
A. F  ;0  .
8 

 1 
C. F  − ;0  .
 4 
Lời giải.

Chọn A.
Ta có: p =

1 
D. F  ;0  .
2 

1
1 
⇒ F  ;0 
4
8 

Câu 17. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn của parabol y 2 = 3 x là:
A. d ( F , ∆ ) = 3.

B. d ( F , ∆ ) =

3

.
8

Chọn C.
Ta có: p =

C. d ( F , ∆ ) =
Lời giải.

3
.
2

D. d ( F , ∆ ) =

3
.
4

 3 
3
3
−
⇒ F 
;0  và đường chuẩn ∆ : x =
2
4
 4 

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 3/12


Website: tailieumontoan.com

3
.
2
Câu 18. Viết phương trình chính tắc của Parabol biết tiêu điểm F ( 2;0 ) .

Vậy, d ( F , ∆ ) =

A. y 2 = 4 x.

C. y 2 = 2 x.

B. y 2 = 8 x.

D. y =

Lời giải.
Chọn B.
Phương trình chính tắc của parabol ( P ) : y 2 = 2 px

1 2
x .
6

Tiêu điểm F ( 2;0 ) ⇒ p = 4

Vậy, phương trình parabol y 2 = 8 x.
Câu 19. Xác định tiêu điểm của Parabol có phương trình y 2 = 6 x
3 
 3 
B. ( 0; −3) .
C.  − ;0  .
D. ( 0;3) .
A.  ;0  .
2 
 2 
Lời giải.
Chọn A.
3 
Ta có: p = 3 ⇒ tiêu điểm F  ;0  .
2 
Câu 20. Viết phương trình chính tắc của Parabol biết đường chuẩn có phương trình x + 1 =
0
2
2
2
2
A. y = 2 x.
B. y = 4 x.
C. y = 4 x .
D. y = 8 x.
Lời giải.
Chọn B.
Phương trình chính tắc của parabol ( P ) : y 2 = 2 px
p
=1 ⇒ 2p =

4 ⇒ y2 = 4x .
2
Câu 21. Viết phương trình chính tắc của Parabol biết tiêu điểm F ( 5;0 )

Đường chuẩn x + 1 =
0 suy ra

A. y 2 = 20 x.

B. y 2 = 5 x.

C. y 2 = 10 x.

D. y 2 =

Lời giải.

1
x.
5

Chọn C.
Phương trình chính tắc của parabol ( P ) : y 2 = 2 px
Ta có: tiêu điểm F ( 5;0 ) ⇒ p =
5 ⇒ 2p =
10
Vậy ( P ) : y 2 = 10 x .

3
là:

4
3
D. y 2 = x.
2

Câu 22. Phương trình chính tắc của parabol mà khoảng cách từ đỉnh tới tiêu điểm bằng
A. y 2 =

3
x.
4

B. y 2 = 6 x.

C. y 2 = 3 x.

Lời giải.
Chọn C.
Phương trình chính tắc của parabol ( P ) : y 2 = 2 px
p  p
Khoảng cách từ đỉnh O đến tiêu điểm F  ;0  là
2  2
p 3
Theo đề bài ta có: = ⇒ 2 p =3
2 4
2
Vậy ( P ) : y = 3 x .

Câu 23. Viết phương trình Parabol ( P ) có tiêu điểm F ( 3;0 ) và đỉnh là gốc tọa độ O

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 4/12


Website: tailieumontoan.com

B. y 2 = 12 x

A. y 2 = −2 x

D. y = x 2 +

C. y 2 = 6 x

Lời giải.
Chọn B.
Phương trình chính tắc của parabol ( P ) : y 2 = 2 px

1
2

p
3 2p =
12
=⇒
2
Vậy phương trình ( P ) : y 2 = 12 x

Ta có:

Câu 24. Lập phương trình tổng quát của parabol ( P ) biết

( P)

có đỉnh A (1;3) và đường chuẩn

d : x − 2y =
0.

A. ( x + 2 y ) − 10 x − 30 y = 0

B. ( 2 x + y ) − 10 x − 30 y =
0

2

2

C. ( x + 2 y ) + 10 x − 30 y = 0

D. ( x + 2 y ) − 10 x + 30 y = 0
Lời giải.

2

2

Chọn B.
Gọi M ( x; y ) ∈ ( P )

Ta có: AM 2 =
( x − 1) + ( y − 3) , d ( M , d ) =
2

2

x − 2y
5

=
M ∈ ( P ) ⇒ AM d ( M , d ) ⇒ ( x − 1) + ( y − 3)
2

2

( x − 2y)
=
5

2

⇔ 4 x 2 + y 2 − 10 x − 30 y + 4 xy =
0

Vậy ( P ) : ( 2 x + y ) − 10 x − 30 y =
0
2

Câu 25. Lập phương trình chính tắc của parabol ( P ) biết ( P ) có khoảng cách từ đỉnh đến đường chuẩn

bằng 2.
B. y 2 = 8 x
C. y 2 = 2 x
D. y 2 = 16 x
A. y 2 = x
Lời giải.
Chọn B.
P ) : y 2 2 px ( p > 0 )
Phương trình chính tắc của parabol ( =
Đỉnh O và đường chuẩn x = −

p
2

Suy ra khoảng cách từ O đên đường chuẩn là
Vậy ( P ) : y 2 = 8 x

p
⇒ p=
4
2

Câu 26. Lập phương trình chính tắc của parabol ( P ) biết ( P ) qua điểm M với xM = 2 và khoảng từ M
đến tiêu điểm là

5
.
2

A. y 2 = 8 x

B. y 2 = 4 x

C. y 2 = x
Lời giải.

D. y 2 = 2 x

Chọn D.
P ) : y 2 2 px ( p > 0 )
Phương trình chính tắc của parabol ( =

(

)

p 
xM = 2 ⇒ M 2; ± 4 p , tiêu điểm F  ;0 
2 
2
 p =1
25
p

2
Ta có: MF=
⇔ p2 + 8 p − 9 = 0 ⇔ 
 − 2 + 4 p =
4


2
 p = −9
2
Vậy phương trình chính tắc ( P ) : y = 2 x

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 5/12


Website: tailieumontoan.com

Câu 27. Lập phương trình chính tắc của parabol ( P ) biết một dây cung của ( P ) vuông góc với Ox có
độ dài bằng 8 và khoảng cách từ đỉnh O của ( P ) đến dây cung này bằng 1 .
A. y 2 = 16 x

B. y 2 = 8 x

C. y 2 = 4 x
Lời giải.

D. y 2 = 2 x

Chọn A.
P ) : y 2 2 px ( p > 0 )
Phương trình chính tắc của parabol ( =

Dây cung của ( P ) vng góc với Ox có phương trình x = m và khoảng cách từ đỉnh O của

( P)

đến dây cung này bằng 1 nên m = 1

(

) (

Dây cung x = 1 cắt ( P ) tại 2 điểm A 1; 2 p , B 1; − 2 p

) ⇒ AB=

2 2 p= 8 ⇒ p =
8

Vậy ( P ) : y 2 = 16 x .
Câu 28. Cho parabol ( P ) : y 2 = 4 x . Điểm M thuộc ( P ) và MF = 3 thì hồnh độ của M là:
A. 1.

B. 3.

C. 2.

D.

Lời giải.

3
.
2

Chọn C.
2
M ∈ ( P ) : y=
4 x ⇒ M ( m 2 ; 2m ) , tiêu điểm F (1;0 )

m2 = 2
2
2
Ta có : MF 2 = ( m 2 − 1) + ( 2m ) = 9 ⇔ m 4 + 2m 2 − 8 =
0⇔ 2
 m = −4
Vậy hoành độ điểm M là 2 .
Câu 29. Một điểm M thuộc Parabol ( P ) : y 2 = x . Nếu khoảng cách từ M đến tiêu điểm F của ( P )
bằng 1 thì hồnh độ của điểm M bằng bao nhiêu?
3
3
B. 3
C.
D. 3
A.
2
4
Lời giải.
Chọn C.
M ∈ ( P ) : y 2 = x ⇒ M ( m2 ; m )

( P)

1 
có tiêu điểm F  ;0 

4 

 2 3
m = 4
1 2 15
 2 1
2
2
4
1⇔ m + m − = 0 ⇔ 
MF =  m −  + m =
2
4
16

m2 = − 5

4
3
Vậy hoành độ điểm M là .
4
2
Câu 30. Parabol ( P ) : y = 2 x có đường chuẩn là ∆ , khẳng định nào sau đây đúng ?
2

A. Tiêu điểm F

(

)

2;0 .

B. p = 2.
C. Đường chuẩn ∆ : x =
−

2
.
4

D. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn d ( F , ∆ ) =
Chọn C.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Lời giải.

2
.
2

Trang 6/12


Website: tailieumontoan.com

2
2
2 x ⇒ p = ⇒ đường chuẩn x = −
4

2
2
Câu 31. Một điểm A thuộc Parabol ( P ) : y = 4 x . Nếu khoảng cách từ A đến đường chuẩn bằng 5 thì
khoảng cách từ A đến trục hoành bằng bao nhiêu?
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 8.
Lời giải.
Chọn A.
Ta có: A ∈ ( P ) ⇒ A ( m 2 ; 2m ) , đường chuẩn ∆ : x =
−1

( P) : y2 =

Khoảng cách từ A đến đường chuẩn d ( A=
5 ⇒ m2 = 4
, ∆ ) m 2=
+ 1 m2 + 1 =
Vậy khoảng cách từ A đến trục hoành bằng 2m = 4 .
Câu 32. Lập phương trình chính tắc của parabol ( P ) biết ( P ) cắt đường thẳng d : x + 2 y =
0 tại hai
điểm M , N và MN = 4 5 .
A. y 2 = 8 x
B. y 2 = x

C. y 2 = 2 x
Lời giải.

D. y 2 = 4 x

Chọn C.
Phương trình chính tắc của parabol ( =
P ) : y 2 2 px ( p > 0 )

2
Ta có: d cắt ( P ) tại M ≡ O , N ( −2m; m ) ( m < 0 ) ⇒ MN
=
5=
m2

(4 5 )

2

⇒m=
−4

M ( 8; −4 ) ∈ ( P ) ⇒ 16
= 2 p.8 ⇒ 2 p= 2
Vậy ( P ) : y 2 = 2 x .
Câu 33. Cho parabol ( P ) : y 2 = 4 x . Đường thẳng d qua F cắt ( P ) tại hai điểm A và B . Khi đó mệnh
đề nào sau đây đúng?
A. AB
B. AB
C. AB
D. AB = x A + xB + 2
= 2 x A2 + 2 xB2
= 4 x A2 + 4 xB2
= 2 x A + 2 xB

Lời giải.
Chọn D.
Đường chuẩn ∆ : x =
−1
A, B ∈ ( P ) ⇒ =
AF d ( A, ∆ ) = x A + 1 , =
BF d ( B, ∆ ) = xB + 1
Vậy AB = AF + BF = x A + xB + 2 .

Câu 34. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol ( P ) : y 2 = 8 x . Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của

( P)

và cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ tương ứng là x1 , x2 . Khi đó mệnh đề
nào sau đây đúng?
A. AB
B. AB = x1 + x2 + 4
C. AB
D. AB = x A + xB + 2
= 4 x A + 4 xB
= 8 x A2 + 8 xB2
Lời giải.
Chọn B.
Ta có: đường chuẩn ∆ : x =
−2
A, B ∈ ( P ) ⇒ =
AF d ( A, ∆ ) = x A + 2 , =
BF d ( B, ∆ ) = xB + 2
Vậy AB = AF + BF = x A + xB + 4 .

Câu 35. Cho parabol ( P ) : y 2 = 12 x . Đường thẳng d vuông góc với trục đối xứng của parabol ( P ) tại
tiêu điểm F và cắt ( P ) tại hai điểm M , N . Tính độ dài đoạn MN .
A. 12
B. 6
C. 24
Lời giải.
Chọn A.
Ta có: ( P ) đối xứng qua trục Ox và có tiêu điểm F ( 3;0 )

D. 3

x =⇒
3 y=
±6 ⇒ M ( 3;6 ) , N ( 3; −6 )

Vậy MN = 12
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 7/12


Website: tailieumontoan.com

Câu 36. Cho parabol ( P ) : y 2 = 2 x , cho điểm M ∈ ( P ) cách tiêu điểm F một đoạn bằng 5 . Tổng tung
độ các điểm A ∈ ( P ) sao cho ∆AFM vuông tại F .
A. 5

B. 0

C. −

Lời giải.

Chọn B.

3
2

D.

3
2

1
1 
có tiêu điểm F  ;0  và phương trình đường chuẩn ∆ : x =
−
2
2 
1
9
MF= 5 ⇒ d ( M , ∆ ) = 5 ⇒ xM + = 5 ⇒ xM = ⇒ yM = ±3
2
2
2
y

A ∈ ( P ) ⇒ A  A ; yA 
 2

  y 2 − 1




FA =  A ; y A  , FM
= ( 4; ±3)
 2


1
1 1
 yA = 2 ⇒ A  8 ; 2 



 y A = −2 ⇒ A ( 2; −2 )
   
FA ⊥ FM ⇒ FA.FM = 0 ⇒ 2 ( y A2 − 1) ± 3 y A = 0 ⇒ 
1
1 1

=
−
⇒
;− 
y
A
A


2

8 2


 y A = 2 ⇒ A ( 2; 2 )
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy , hãy viết phương trình của

( P)

Parabol có tiêu điểm F ( −2; 2 ) và đường chuẩn ∆ : y =
4.

− x2 − 4x + 8
A. ( P ) : y =

1
B. ( P ) : y =− x 2 − x + 2
4

1
C. ( P ) : y =− x 2 − x + 2
2

D. ( P ) : y = x 2 + 4 x − 8

Chọn B.
Gọi M ( x; y ) ∈ ( P ) ⇒ MF = d ( M , ∆ )

Lời giải.

1

2
2
2
=y − 4 ⇒ ( x + 2 ) + ( y − 2 ) =
( y − 4 ) ⇒ y =− x 2 − x + 2
4
2
0 . Xác định tiêu điểm F
Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y − 8 x =

⇒

( x + 2) + ( y − 2)
2

2

của ( P ) .
A. F ( 8;0 )

B. F (1;0 )

Chọn D.
( P ) : y 2 = 8x

C. F ( 4;0 )
Lời giải.

D. F ( 2;0 )

Vậy tiêu điểm F ( 2;0 ) .
Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy , cho parabol ( P ) : y =
đường thẳng d : 2mx − 2 y + 1 =0 . Khẳng định nào sau đây đúng?

1 2
x và
2

A. Với mọi giá trị của m , đường thẳng d luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt.
B. Đường thẳng d luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi m > 0 .
C. Đường thẳng d luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi m < 0 .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 8/12


Website: tailieumontoan.com

D. Khơng có giá trị nào của m để d cắt ( P ) .
Lời giải.
Chọn A.
Phương trình hồnh độ giao điểm của ( P ) và d là
1 2 2mx + 1
⇔ x 2 − 2mx − 1 =0 có ∆ ' =m 2 + 1
x =
2
2
Vậy d luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt với mọi m .

Câu 40. Lập phương trình chính tắc của parabol ( P ) biết ( P ) cắt đường phân giác của góc phần tư thứ

nhất tại hai điểm A, B và AB = 5 2 .
A. y 2 = 20 x
B. y 2 = 2 x

C. y 2 = 5 x
Lời giải.

D. y 2 = 10 x

Chọn C.
Phương trình chính tắc của parabol ( =
P ) : y 2 2 px ( p > 0 )
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất: y = x
2
Ta có: A ≡ O , B ( m; m ) ( m > 0 ) ⇒ AB
=
2=
m2

(5 2 )

2

⇒m=
5

B ( 5;5 ) ∈ ( P ) ⇒ 25= 2 p.5 ⇒ 2 p= 5
Vậy ( P ) : y 2 = 5 x
Câu 41. Cho điểm A ( 3;0 ) , gọi M là một điểm tuỳ ý trên ( P ) : y 2 = − x . Tìm giá trị nhỏ nhất của AM .
9

B. .
2

A. 3.

Chọn A.
Ta có: M ∈ ( P ) ⇒ M ( −m 2 ; m )

C.
Lời giải.

11
.
2

D.

5
.
2

AM 2 =−
( m2 − 3) + m2 =m4 + 7m2 + 9
2

Vì m 2 ≥ 0 nên AM 2 ≥ 9
Vậy giá trị nhỏ nhất của AM là 3 khi M ≡ O .
Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy , cho điểm F ( 3;0 ) và đường
thẳng d có phương trình 3 x − 4 y + 16 =
0 . Tìm tọa độ tiếp điểm A của đường thẳng d và

parabol ( P ) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc tọa độ O .

4 
A. A  ;5 
3 

8 
B. A  ;6 
3 

2 9
D. A  ; 
3 2

 16 
C. A  ;8 
 3 
Lời giải.

Chọn C.
( P ) có tiêu điểm F ( 3;0 ) và có gốc toạ độ O suy ra ( P ) : y 2 = 12 x
 3 x + 16 
2
Phương trình hồnh độ giao điểm của d và ( P ) là 
0
 = 12x ⇔ 9 x − 96 x + 256 =
 4 
16
⇔x=
⇒y= 8 .

3
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) có phương trình y 2 = x và điểm I ( 0; 2 ) . Tìm


tất cả hai điêm M , N thuộc ( P ) sao cho IM = 4 IN .
2

A. M ( 4; 2 ) , N (1;1) hoặc M ( 36;6 ) , N ( 9;3) .
B. M ( 4; −2 ) , N (1;1) hoặc M ( 36; −6 ) , N ( 9;3) .
C. M ( 4; −2 ) , N (1;1) hoặc M ( 36;6 ) , N ( 9; −3) .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 9/12


Website: tailieumontoan.com

D. M ( 4; −2 ) , N (1;1) hoặc M ( 36;6 ) , N ( 9;3) .
Lời giải
Chọn D
Gọi
Khi
M ( m2 ; m ) ∈ ( P ) ,
N ∈ ( n2 ; n ) ∈ ( P ) .


IN= ( n 2 ; n − 2 ) ⇒ 4 IN= ( 4n 2 ; 4n − 8 ) .

đó

ta


có =
IM

( m ; m − 2) ,
2



 m 2 = 4n 2
m = 6
m = −2
hoặc 
Vì =
IM 4 IN ⇔ 
⇔
n = 3
n = −1
 m − 2 = 4n − 8
Vậy các cặp điểm thỏa là M ( 4; −2 ) , N (1;1) hoặc M ( 36;6 ) , N ( 9;3) .
Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy , cho A ( 2;0 ) và điểm M di
chuyển trên đường tròn ( C ) tâm O bán kính bằng 2 , còn điểm H là hình chiếu vuông góc
của M lên trục tung. Tính tọa độ của giao điểm P của các đường thẳng OM và AH theo góc
 
α = OA, OM .

(

)

 2 cos α 2sin α  ∀α ≠ π + k 2π
A. P 
;
,
 1 + cos α 1 + cos α  k ∈ 
C. P ( 2sin α ; 2 cos α )

 2sin α 2 cos α  ∀α ≠ π + k 2π
B. P 
;
,
 1 + cos α 1 + cos α  k ∈ 
D. P ( 2 cos α ; 2sin α )
Lời giải.

Chọn A.
M ∈ ( C ) ⇒ M ( 2 cos α ; 2sin α )

H là hình chiếu M lên Oy suy ra H ( 0; 2sin α )

Đường thẳng OM : y = tan α .x
Đường thẳng AH : y =
− sin α .x + 2sin α
Toạ độ giao điểm P của OM và AH thoả tan α .x =
− sin α .x + 2sin α
2sin α
2 cos α
2sin α ∀α ≠ π + k 2π

,
.
=
⇒x
=
.x
y tan α
⇒
=
=
tan α + sin α 1 + cos α
1 + cos α k ∈ 
Câu 45. Cho M là một điểm thuộc Parabol

( P ) : y 2 = 64 x

và N là một điểm thuộc đường thẳng

d : 4 x + 3 y + 46 =
0 . Xác định M , N để đoạn MN ngắn nhất.

 37 126 
B. M ( −9; 24 ) , N  − ;

 5 5 
 37 126 
D. M ( 9; −24 ) , N  ; −

5 
 5

Lời giải.

A. M ( −9; 24 ) , N ( 5; −22 )
−26 

C. M ( 9; −24 ) , N  −5;

3 


Chọn D.
M ∈ ( P ) ⇒ M ( m 2 ;8m )
d (M ;d )

4m 2 + 24m + 46

( 2m + 6 )

2

+ 10

≥2
5
5
d ( M , d ) đạt giá trị nhỏ nhất khi m = −3 ⇒ M ( 9; −24 )
=

N là hình chiếu của M lên đường thẳng d
Đường thẳng MN : 3 x − 4 y − 123 =

0
 37 126 
N là giao điểm MN và d suy ra N  ; −
.
5 
 5
Câu 46. Cho parabol ( P ) : y 2 = 4 x và đường thẳng d : 2 x − y − 4 =
0 . Gọi A, B là giao điểm của d và

( P ) . Tìm tung độ dương của điểm C ∈ ( P )
A. 3

B. 6

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

sao cho ∆ABC có diện tích bằng 12 .
C. 2

D. 4
Trang 10/12


Website: tailieumontoan.com

Chọn B.
Ta có: d cắt ( P ) tại A ( 4; 4 ) ; B (1; −2 )

Lời giải.

C ∈ ( P ) ⇒ C ( c 2 ; 2c )

AC = ( c 2 − 4; 2c − 4 )

BC = ( c 2 − 1; 2c + 2 )

1
Diện tích tam giác ABC : S ABC = ( c 2 − 4 ) ( 2c + 2 ) − ( c 2 − 1) ( 2c − 4 ) =
12
2
c = −2
6c 2 − 6c − 12 = 24 ⇒ 
c = 3
Vậy tung độ của điểm C dương là 6.
Câu 47. Cho parabol ( P ) : y 2 = x và đường thẳng d : x − y − 2 =
0 . Gọi A, B là giao điểm của d và

( P ) . Tìm tung độ điểm C ∈ ( P )

sao cho ∆ABC đều.

−1 + 13
2
−1 ± 13
C.
2

A.

B.

−1 − 13
2

D. Không tồn tại điểm C.
Lời giải.

Chọn D.

x = 1
2
Phương trình hồnh độ giao điểm của d và ( P ) : ( x − 2 ) = x ⇔ 
⇒ A (1; −1) , B ( 4; 2 )
x = 4
C ∈ ( P ) ⇒ C ( c2 ; c )

AB = 3 2 , AC = ( c 2 − 1) + =
( c + 1) , BC
2

2

(c

2

− 4) + (c − 2)
2

2

−1 ± 13
AC = BC ⇒ 6c 2 + 6c − 18 = 0 ⇒ c =
2
So với điều kiện AC = 3 2 ta thấy khơng có giá trị c thoả.
Vậy không tồn tại điểm C thoả đề.
Câu 48. Cho Parabol ( P ) : y 2 = 2 x và đường thẳng ∆ : x − 2 y + 6 =
0 . Tính khoảng cách ngắn nhất giữa
∆ và ( P ) .

A. d min =

4 5
5

B. d min = 2

C. d min =
Lời giải.

Chọn A.
Gọi M ∈ ( P ) ⇒ M ( 2m 2 ; 2m )

2 5
5

D. d min = 4

2m 2 − 4m + 6
2

4
2
=
( m − 1) + 2 ≥ .
5
5
5
Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy , cho điểm A ( 0; 2 ) và parabol
d ( M=
; ∆)

( P ) : y = x 2 . Xác định các điểm
 6 3

A. M 
hoặc M  −
 2 ; 2 




 3 3

C. M 
;  hoặc M  −
 2 4


M trên ( P ) sao cho AM ngắn nhất.

6 3
; .
2 2 

 3 9
3 9
B. M  ;  hoặc M  − ;  .
 2 4
2 4

3 3
; .
2 4 

 7 7

7 7
D. M 
;  .
;  hoặc M  −
 2 4
 2 4

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 11/12


Website: tailieumontoan.com

Lời giải.

Chọn A.
M ∈ ( P ) ⇒ M ( m; m 2 )

2

3 7 7

AM = m + ( m − 2 ) = m − 3m + 4 =  m 2 −  + ≥
2 4 4

3
6
±
AM ngắn nhất khi m 2 − = 0 ⇔ m =
2
2

 6 3
6 3
Vậy, M 
hoặc M  −
.
 2 ; 2 
 2 ; 2 





x2
Câu 50. Cho parabol ( P ) : y = x 2 và elip ( E ) : + y 2 =
1 . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
9
A. Parabol và elip cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.
B. Parabol và elip cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
C. Parabol và elip cắt nhau tại 1 điểm phân biệt.
D. Parabol và elip không cắt nhau.
Lời giải.
Chọn B.
 2 −1 + 5 13
x =
2
x
18
4
Phương trình hồnh độ giao điểm của ( P ) và ( E ) là
+ x = 1⇔ 
9
 2 −1 − 5 13
x =
18

Vậy ( P ) cắt ( E ) tại 2 điểm phân biệt.
2

2

2

2

4

2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 12/12