Bài tập xác suất thống kê chương 2 biến ngẫu nhiên

BÀI TẬP
CHƯƠNG 2
BIẾN NGẪU NHIÊN

CuuDuongThanCong.com

/>

1.
a) X
P
P(X

2
3
4
5
6 . . . 12
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 . . .1/36
2)

[ {1 1} ]
[

P(X

3)

]

1

36

[ {1 2 , 2 1} ]
[

2

]

36

...
P(X

12)

[{6 6} ]
[

CuuDuongThanCong.com

]

1
36

/>

EX

xi pi

2 .(1 / 3 6 )

3 .( 2 / 3 6 )

...

1 2 .(1 / 3 6 )

7

i 1

DX

2

( xi

EX ) pi

i 1
2

(2

7 ) .(1 / 3 6 )

2

(3

7 ) .( 2 / 3 6 )

...

(1 2

2

7 ) (1 / 3 6 )

Hoặc
DX

EX

2

(EX )

2

[ 2 . (1 / 3 6 )

2

2

3 .( 2 / 3 6 )

...

2

1 2 . (1 / 3 6 ) ]

35 / 6
CuuDuongThanCong.com

/>
7

2


b)

Y
P

P (Y

P (Y

-4
15/36
4)

5)

1

5
21/36

P(X

6)

P(X

1 / 36

...

5 / 36

P (Y

4)

2)

...

P(X

6)

15 / 36

21 / 36

2

EY

yi pi

4 .(1 5 / 3 6 )

5 .( 2 1 / 3 6 )

45 / 36

i 1
2

DY

( yi

2

E Y ) pi

i 1
2

[ 4

( 4 5 / 3 6 ) ] .(1 5 / 3 6 )

19, 69

CuuDuongThanCong.com

[5

2

( 4 5 / 3 6 ) ] .( 2 1 / 3 6 )
/>

2. Gọi X là số đạn cần bắn. Cần tính EX.
Trước hết cần lập bảng phân phối của X.
X
1
2
3
4
5
P 1/2 1/4 1/8 1/16 2/32
Ký hiệu
A i ={Viên thứ i trúng}
P(X

1)

P ( A1 )

1/2

P(X

2)

P ( A1 A 2 )

P(X

3)

P ( A1 A 2 A 3 )

P ( A1 ) P ( A 2 )

P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 )

(1 1 / 2 ).(1 1 / 2 ).1 / 2
CuuDuongThanCong.com

(1 1 / 2 ).(1 / 2 )

1/8
/>
1/4

P(X

4)

P ( A1 A 2 A 3 A 4 )
(1

P(X

5)

1 / 2 ) .(1

P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) P ( A 4 )

1 / 2 ) .(1

P ( A1 A 2 A 3 A 4 A 5 )

1 / 2 ) .(1 / 2 )

1 /16

P ( A1 A 2 A 3 A 4 A 5 )

P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) P ( A 4 ) P ( A 5 )
P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) P ( A 4 ) P ( A 5 )

EX

1 . (1 / 2 )

CuuDuongThanCong.com

2 . (1 / 4 )

...

2 / 32

5 .( 2 / 3 2 )

/>

3.
X
P

-4
1/16

-2
0
2
4
4/16 6/16 4/16 1/16

P(X

4)

P(NNNN )

1 /16

P(X

2)

P(NNNS )

P (N N SN )

1 /16
P(X

0)

1 /16

P (N N SS )
1 /16

...

P (N SN S )

1 /16

4 /16

...

P (SN N S )

1 /16

6 /16

P (N SSS )

P(X

2)

P (SSSN )

...

P(X

4)

P (SSSS )

1 /16

CuuDuongThanCong.com

1 /16

P (N SN N )

1 /16

...

/>
P (SN N N )

1 /16

4 /16


Hoặc
P(X

[( X

4)

4 )]
[

P(X

[{ N N N N } ]

]

[

2)

0)

]

[{ N N N S , N N S N , N S N N , S N N N } ]
[

P(X

1 /16

]

[ { N N S S , N S N S , ..., S N N S } ]
[

4 /16

6 /16

]

...

EX
DX

4 . (1 / 1 6 )
( 4

2

...

0 ) (1 / 1 6 )

CuuDuongThanCong.com

4 .(1 / 1 6 )
...

(4

0
2

0 ) .(1 / 1 6 )
/>
4


4.
a) Cho EX=1, EY=-2
E(2X+3Y)=2EX+3EY=2.1+3(-2)=-4

E(X-Y)=EX+E(-Y)=EX-EY=1+2=3
E(1/2)(X+Y)=(1/2)(EX+EY)=(1/2)(1-2)=-1/2
2
b) Cho EX=1, EX =2
2
2
E (X -7 ) =EX -2.7.EX+E49=2-14.1+49=37
E(X-1)(X+3)=E( X +3X-X-3)
=E X +2EX-E3=2+2.1-3=1
2

2

CuuDuongThanCong.com

/>

2

c) Cho EX=2, E X =5
2
2
(
E
X
)
D(7X-4)=D7X+D(-4)=49DX+0=49[EX ]
=49.(5-4)=49
D(-X+3)=D(-X)+D(3)=(-1)2 DX+0=DX=1

CuuDuongThanCong.com

/>

5. Gọi X là số tiền thưởng thu được.
X 0
1000
5000
10000
P 987/1000 10/1000 2/1000 1/1000
EX=30
Trung bình nhận được 30đ tiền thưởng.

CuuDuongThanCong.com

/>

6. Luật chơi: Người chơi chọn một mặt, thí
dụ mặt 6 và đặt a đồng. Tung 3 súc sắc.
- Nếu có i mặt 6 thì người chơi được i.a đ
- Nếu khơng có mặt 6 người chơi mất a đ
Gọi X là số tiền người chơi thu được.
X -a
a
2a
3a
P 125/216 75/216 15/216 1/216
3
[Ω]= 6 =216
P(X=-a)=(5.5.5)/216=125/216

P(X= a)=3(1.5.5)/216=75/216
P(X=2a)=3(1.1.5)/216=15/216
CuuDuongThanCong.com

/>

P(X=3a)=1/216
Ta tính: EX= -a.(17/216)
Như vậy, trung bình số tiền thu được của
người chơi là âm và phụ thuộc vào số tiền
đặt. Nghĩa là người chơi sẽ mất tiền khi
chơi nhiều. Còn nhà cái sẽ được tiền.

CuuDuongThanCong.com

/>

7. Hàm phân phối:
x

F (x)

+Khi x

f (t ) d t

0

CuuDuongThanCong.com

do f ( t )

0

nên F ( x )

/>
0


+ Khi x

0
0

x

F (x)

f (t ) d t

x

f (t ) d t
0

f (t ) d t
0

x

t

e dt

t

e

x

1

e

x

0
0

1

e

x

x

0

x

0

F (x)
0

CuuDuongThanCong.com

/>

EX

x f ( x)dx

xe

x

dx

(* )

0

u
(* )

x, du

dx ; dv

e

x

xe

x

e

x

dx, v

dx

x

e

(* * )

0
0

lim ( x e

x

)

x

(* * )

lim

e

x

0

e

x

x

x

lim
x

(x)
x

(e )

1

lim
x

e

1
0

CuuDuongThanCong.com

/>
x

0


DX
EX

2

EX
2

x

(EX )
2

2

2

f ( x)dx

x e

x

dx

(* )

0

u
(* )

2

x , du
2

2 xdx ; dv

x e

x

2

xe

e
x

x

dx, v

dx

0

e
2 .1

0
0

EX
DX

1
2

1

2

CuuDuongThanCong.com

1
/>
x

2


5

P( 3

X

5)

5

f ( x)dx

e

x

dx

e

x

5
0

3

1

0
5

e

Hoặc
P( 3

X

5)

F (5 )
1

CuuDuongThanCong.com

e

F ( 3)

5

0

/>

8.
a) Tìm hàm mật độ
f (x)

1

0

x

1

0

x

1; x

F (0 )

1/ 2

F (x)
0

b) Tính xác suất
P (0

X

1 / 2)

CuuDuongThanCong.com

F (1 / 2 )

/>
0

1/ 2


10. X- số tiền thu được
DD
: 6đ
DX, XD : 5đ
DT, TD : 2đ
XX
: 4đ
XT, TX : 1đ
TT
: -2đ

CuuDuongThanCong.com

/>

X
P

-2
4/16

1
4/16

2
4/16

4
1/16

5
6
2/16 1/16

P(X=-2)=P(TT)=P(T) P(T)=(2/4)(2/4)=4/16
P(X=1)=P(XT+TX)=P(XT)+P(TX)=
=P(X)P(T)+P(T)P(X)
= (1/4)(2/4)+(2/4)(1/4)=4/16
...

CuuDuongThanCong.com

/>

Cách khác. Ta có KGSKSC như sau:
DD

DX

XD

XX

D T1

D T2

T1 D

T2 D

X T1

X T2

T1 X

T2 X

T 2 T1

T 2T 2

T 1T 1
P(X

6)

T 1T 2

[{ D D } ]
[

P(X

5)

]

16

[{ X D , D X } ]
[

CuuDuongThanCong.com

1

]

2
16

/>

P(X

[ { T 1T 1 , T 1T 2 , T 2 T 1 , T 2 T 2 } ]

2)

[
P(X

1)

]

16

[ { X T1 , X T 2 , T1 X , T 2 X } ]
[

]

4
16

. . .
b) EX, DX

CuuDuongThanCong.com

4

/>

11. Mơ hình nhị thức:
+ Phép thử Bernoulli: sinh 1 con
A={sinh con trai}
P(A)=1/2
+ Có n=4 phép thử độc lập
+ X là số con trai trong 4 con
X ~ B(4, 1/2)
Ta có EX=np=4.1/2=2
DX=npq=4.1/2.1/2=1

CuuDuongThanCong.com

/>

12.
a) Sinh viên khơng biết gì.
Mơ hình nhị thức:
+ Phép thử Brenoulli: trả lời một câu hỏi
A={Trả lời đúng}
P(A)=1/5
+ Có n=6 phép thử độc lập
+ X là số câu trả lời đúng
X ~ B(6, 1/5)

CuuDuongThanCong.com

/>