Chuyên đề hình trụ bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUN ĐỀ

HÌNH TRỤ TỐN LỚP 9

Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng 8 năm 2021


Website: tailieumontoan.com

1

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG 4
HÌNH TRỤ

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Hình trụ:
 Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh CD cố định, ta được một hình trụ. Khi
đó:
 DA và CB qt nên hai đáy của hình trụ, là hai hình trịn bằng nhau nằm trong hai
mặt phẳng song song, có tâm D và C .
 Cạnh AB quét nên mặt xung quanh của hình trụ, mỗi vị trí của AB được gọi là một
đường sinh. Chẳng hạn EF là một đường sinh.
 Các đường sinh của hình trụ vng góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đường sinh là
chiều cao của hình trụ.
 DC gọi là trục của hình trụ.

2. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng:

 Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với đáy, thì phần mặt phẳng nằm trong hình trụ
(mặt cắt) là một hình trịn bằng hình trịn đáy.



Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục DC thì mặt cắt là một hình chữ nhật.

3. Diện tích xung quanh của hình trụ:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

2


Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao. Ta có cơng thức:

S xq = 2π Rh


Diện tích tồn phần của hình trụ bằng diện tích xung quanh cộng với 2 lần diện tích đáy. Ta
có cơng thức:

=
Stp 2π Rh + 2π R 2
4. Thể tích hình trụ:
 Thể tích của hình trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

=
V S=
.h π R 2 h.

(S: diện tích đáy, h: chiều cao)

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính chiều cao, bán kính đáy, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích


Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao. Ta có cơng thức:

S xq = 2π Rh


Diện tích tồn phần của hình trụ bằng diện tích xung quanh cộng với 2 lần diện tích đáy.
Ta có cơng thức:

Stp 2π Rh + 2π R 2
=


Thể tích của hình trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
=
V S=
.h π R 2 h.

(S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Bài 1:
Hình

Điền đầy đủ các kết quả vào bảng sau
Bán kính đáy
(cm)

Chiều cao
(cm)

2
10

20
8

Chu vi đáy
(cm)

Diện tích
đáy
(cm
2
)

Diện tích xung
quanh
(cm 2 )

Thể tích

(cm
3
)

Diện tích
đáy
(cm
2
)

Diện tích xung
quanh
(cm 2 )

Thể tích
(cm
3
)

8π

16

Lời giải
Ta có bảng sau
Hình

Bán kính đáy
(cm)

Chiều cao
(cm)

Chu vi đáy
(cm)

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

3

Bài 2:

2
10

20
8

4π
20π

4π
100π

80π

160π

80π
800π

4

16

8π

16π

128π

256π

Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính của đường trịn đáy. Diện tích xung quanh của hình
trụ là 314 cm 2 . Tính
a) Bán kính của đường trịn đáy.
b) Thể tích của khối trụ. (Làm trịn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
Theo giả thiết R = h .
Ta có S=
2π Rh
h
= 2π h 2 ⇒=
xq

Bài 3:

S xq
=
2π

314
= 7, 07 cm.
2π

Ta có V =
π R2h =
π h3 =
π ⋅ 7, 073 ≈ 1110, 22 cm3 .
Một hình trụ có bán kính đáy đường tròn đáy là 16 cm, chiều cao là 9 cm. Tính
a) Diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Thể tích của hình trụ. (Lấy π = 3,142 làm trịn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
a) Ta có S xq = 2π Rl = 2 ⋅ 3,142 ⋅16 ⋅ 9 = 983 cm 2 .

Bài 4:

2
b) Ta có =
V π R=
h 3,142 ⋅162 =
⋅ 9 7239 cm3 .
Một hộp sữa ông thọ có chiều cao 12cm và đáy có đường trịn đường kính
8cm . Tính thể tích hộp sữa (Đơn vị cm3 , làm tròn đến số thập phân thứ nhất,
làm trịn đến hàng đơn vị?).

Lời giải
Hộp sữa ơng thọ là hình trụ có chiều cao 12cm và đáy có đường trịn đường
kính 8cm .
r 8=
: 2 4 ( cm )
Bán kính đường trịn đáy là:=
2
Thể tích hộp sữa là:
=
V π=
r 2 h π .4=
.12 192π ≈ 602,9 ( cm3 )

Bài 5:

Từ một tấm tơn hình chữ nhật có kích thước 40 cm x60 cm người ta gò thành mặt xung quanh
của một hình trụ có chiều cao 40 cm. Tính thể tích của khối trụ đó (đơn vị cm3 , làm tròn đến
số thập phân thứ nhất? làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
Lời giải
Ta có diện tích xung quanh hình trụ bằng diện tích hình chữ nhật
⇒ S xq= 2π R.h= 40.60= 2400

30

2π R = 60  R =
⇒
π

 h = 40
 h = 40

Thể tích hình trụ=
là V π=
R 2 .h π .
Bài 6:

900

.60 ≈ 17197,5 cm3
π2
Tính bán kính đáy của một hình trụ có chiều cao bằng hai lần đường kính đáy. Diện tích xung
quanh của hình trụ là 288π cm 2 .

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

4
Lời giải

Vì chiều cao bằng hai lần đường kính đáy nên ta có h = 4r .
Diện tích xung quanh của hình trụ là=
S xq 2=
π rh 288π .

2π r.4r
⇔ 288π =
⇔ r2 =

36
⇔r=
6

Bài 7:

Vậy bán kính đáy của hình trụ là 6cm.
Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Diện tích xung quanh trụ bằng 36π (cm 2 ).
Tính thể tích hình trụ?
Lời giải
Gọi bán kính đường trịn đáy là R thì đường cao hình trụ là 2 R.
Diện tích xung quanh hình trụ là: S= 2π R.h= 2π R.2 R= 36π ⇒ R= 3 ( cm ) .
2
Thể tích hình trụ =
là V π .=
π R 3 54π ( cm3 ) .
R 2 .h π .R=
.2 R 2=

Bài 8:

Một hộp sữa Ơng Thọ do cơng ty Vinamilk sản xuất có thể tích là 293 ml. Nhà sản xuất tính
tốn rằng, để trọng lượng của vỏ hộp là nhẹ nhất thì đường kính của đáy hộp bằng 7,2 cm (kết
quả đã được làm tròn) và vỏ hộp được làm từ cùng một hợp kim có độ dày như nhau tại mọi vị
trí. Hỏi khi đó chiều cao của hộp sữa bằng bao nhiêu? (kết quả làm trịn đến chữ số thập phân
thứ 2).
Lời giải
Ta có thể tích hộp sữa Ơng Thọ là V = 293 ml = 293 (cm3 ) . Bán kính đáy hộp là

7, 2 : 2 = 3, 6 (cm)

Từ công thức V = π r 2 h suy ra chiều cao của hộp sữa là
=
h

V
293
=
≈ 7, 20 (cm).
2
πr
π .3, 62

Vậy chiều cao của hộp sữa là 7, 20 (cm).
Bài 9:

Có một lọ thủy tinh hình trụ có bán kính đáy 1dm , cao 5dm .

a) Phải đổ vào bình bao nhiêu lít nước để mực nước trong bình cao 3dm (π ≈ 3,14 ) ?
b) Người ta thả vào lọ một thanh sắt hình trụ cao 2 dm , chìm trong nước. Mực nước trong lọ
dâng cao 5 cm . Tìm đường kính đáy của thanh sắt.
Lời giải
a) Số lít nước cần đổ vào bình để mực nước trong bình cao 3dm là
2
=
V π=
r 2 h 3,14.1
=
.3 9, 42 ( dm3 ) hay 9, 42 lít nước.

b) Đổi 5 cm = 0,5 dm .

Thể tích nước và thanh sắt trong lọ thủy tinh là
V ′ = π r 2 h′ = 3,14.12. ( 3 + 0,5 ) = 10,99 ( dm3 ) .

Thể tích thanh sắt là V ′ − =
V 10,99 − 9, 42
= 1,57 ( dm3 ) .
Bán kính đáy của thanh sắt là=
r′
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

1,57
=
3,14.2

1 1
=
dm
= 5 cm .
4 2
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

5
Bài 10:

Vậy đường kính đáy của thanh sắt là 2.5 = 10 cm2 .
Một hình trụ đứng có bán kính đáy là 40 cm , diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung
quanh. Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?

Lời giải

40 cm
r

h

Vì Stp = 2.S xq

2.2π rh
⇒ 2π rh + 2π r 2 =
⇔ 2π r 2 =
2π rh
⇔r =
h.
Mà r = 40 cm

⇒h=
40 cm

⇒ V= π r 2 h ≈ 3,14.402.40
= 200960 cm3 ≈ 201 .
Bài 11:

Vậy thùng chứa được khoảng 201 lít nước.
Từ một tấm tơn hình chữ nhật, kích thước 50 cm x 189 cm người ta cuộn tròn lại thành mặt
xung quanh của một hình trụ cao 50 cm . Hãy tính
a) diện tích tơn để làm hai đáy.
b) thể tích của hình trụ được tạo thành.
189 cm

50 cm

Lời giải
a) Bán kính đáy:
189
r=
( cm ) .
2π
Diện tích tơn để làm hai đáy là

1892 35721
S 2=
cm 2 ) .
=
πr
=
(
2π
2π
b) Thể tích của hình trụ là
2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

6

V= π r 2 h=
Bài 12:

35721
893025
⋅ 50=
cm3 ) .
(
4π
2π

Một hình trụ có chiều cao 25cm và diện tích tồn phần là 1200π cm 2 . Tính thể tích của hình
trụ.
Lời giải
Tao có: Stp = 2π rh + 2π r 2 = 2π ( rh + r 2 )= 1200π .
n)
 r1 = 15 ( nhaä
.
⇒ rh + r 2 = 600 ⇔ r 2 + 25r = 600 ⇔ 
 r2 = −40 ( loại )
Thể tích của hình trụ là
2
.r 2 .h π .15
.25 5625π
V π=
=
=

Bài 13:

( cm ) .
3

Một hình trụ có diện tích tồn phần bằng 432π ( cm2 ) và chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy.
Chứng minh diện tích xung quanh bằng 10 lần diện tích đáy.
Lời giải
Ta có S xq = 2π rh .
Mà h = 5r (giả thuyết).

=
S xq 2π=
r.5r 10
π r 2 10Sđ .
Nên=
Bài 14:

Hai cái lọ có dạng hình trụ, các kích thước như ở hình bên. Lọ nào có dung tích lớn hơn?

Lời giải
Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của hình trụ cao và hình trụ thấp.
Gọi R1 , R2 lần lượt là bán kính của hình trụ cao và hình trụ thấp.
2
V1 = π R1 h1
.

2
V2 = π R2 h2

 R1 = r
Mà: 
;
R
2
r
=
 2

h1 = 3h
.

h
h
=
 2

V1 π=
r 2 .3h 3π r 2 h
=
V1 3π r 2 h 3
Nên: 
.
⇒
=
=
2
2
2
4

4
V
π
r
h
=
V
π
=
2
r
h
4
π
r
h
(
)
2
 2

Vậy dung tích của lọ hình trụ thấp lớn hơn.

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

7

2
chiều cao. Cắt hình trụ này bằng một mặt phẳng chứa
5
trục ta được một mặt cắt có diện tích là 80 cm2 . Tính diện tích tồn phần của hình trụ.
Lời giải

Một hình trụ có bán kính đáy bằng

Bài 15:

Gọi h , r lần lượt là chiều cao và bán kính của hình trụ.
Vì bán kính đáy bằng

2
2
chiều cao ⇒ r = h .
5
5

Mặt phẳng chứa trục cắt hình trụ là một hình chữ nhật có diện tích là 80 cm2 .

⇒ 2rh = 80 ⇒ rh = 40 .
Mà: r =

2
2
h . Nên ⋅ h=
.h 40

0 ⇒ h 10 cm
=
⇒ h 2 10
=
=
⇒ r 4 cm .
5
5

Vậy: Stp = 2π rh + 2π r 2 = 2π .4.10 + 2π .42 = 112π ( cm2 ) .
Bài 16:

3
đường kính đáy. Biết thể tích của nó là 768π cm3 . Tính
4
diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Một hình trụ có chiều cao bằng

Lời giải

Bài 17:

3
3
Ta có: V = π .R 2 .h = π .R 2 ⋅ ⋅ 2 R = ⋅ π .R 3 .
4
2
3
3
3

768π ⇔ R=
512 ⇔ =
R 8 ( cm ) .
= 768π ⇔ π .R=
Theo đề ta có: V
2
3
2
2
S xq= 2π Rh= 2π R ⋅ ⋅ 2 R= 3π R=
3π .8=
192π ( cm2 ) .
4
Một hộp bánh hình trụ có chiều cao nhỏ hơn bán kính đáy là 1,5 cm . Biết thể tích của hộp
bánh là 850π cm3 . Tính diện tích vỏ hộp.
Lời giải
Ta có: V = π .R .h = π .R . ( R − 1,5 ) = π .R − 1,5.π .R 2 .
2

2

3

Theo đề ta có:

V= 850π ⇔ π .R 3 − 1,5.π .R 2= 850π ⇔ R 3 − 1,5.R 2 − 850= 0 ⇔ R 3 − 1,5.R 2 − 850= 0
 R = 10
.
⇔ ( R − 10 ) ( R 2 + 8,5 R + 85 ) =0 ⇔  2
0 ( vônghiệ

m)
 R + 8,5 R + 85 =
Diện tích vỏ hộp là

Stp = 2π Rh + 2π R 2 = 2π R ( R − 1,5 ) + 2π R 2 = 2π R ( 2 R − 1,5 )= 2π .10 ( 20 − 1,5 )= 370π ( cm2 ) .

Bài 18:

Một hình trụ có diện tích tồn phần gấp hai lần diện tích xung quanh. Biết bán kính đáy hình
trụ là 6 cm . Tính thể tích hình trụ.
Lời giải
2
Stp 2π Rh + 2π R và S xq = 2π Rh .
Ta có:=
Theo đề ta có: Stp= 2 S xq ⇔ 2π Rh + 2π R 2= 2.2π Rh ⇔ 2π R 2= 2π Rh ⇔ R= h .
2
2
Do đó:=
V π .R=
.h π .R=
.R π=
.R 3 π=
.63 216π ( cm3 ) .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


8

Bài 19:

Website: tailieumontoan.com
Một chậu hình trụ cao 20 cm . Diện tích đáy bằng nửa diện tích xung quanh, trong chậu có
nước cao đến 15 cm . Hỏi phải thêm bao nhiêu nước vào chậu để nước vừa đầy chậu?
Lời giải

h

R

Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ lần lượt là h , R (cm).
Thể tích của chậu, thể tích nước có trong chậu và thể tích nước cần đổ đầy chậu lần lượt là V ,
V1 , V2 .

1
1
Ta có : Sđáy = S xq ⇔ π R 2 = ⋅ 2π Rh ⇔ R = h = 20 cm .
2
2

2
Thể tích của chậu=
là V π=
=
R 2 .h π .20
.20 8000π ( cm3 ) .
2
Thể tích lượng nước có trong chậu=
là V1 π=

=
R 2 .15 π .20
.15 6000π ( cm3 ) .

Vậy thể tích lượng nước cần đổ vào để đầy chậu là
V2 = V − V1 = 8000π − 6000π = 2000π ( cm3 ) .

Bài 20:

Một hình trụ có thể tích là 200 cm3 . Giảm bán kính đáy đi hai lần và tăng chiều cao lên hai
lần ta được một hình trụ mới. Tính thể tích của hình trụ này.
Lời giải

h

r

Gọi bán kính và chiều cao của hình trụ có thể tích là 200 cm3 lần lượt là r , h ( cm ) .

=
V π=
r 2 h 200 cm3 (1) .
Ta có thể tích của hình trụ ban đầu là
Hình trụ mới có thể tích, bán kính và chiều cao tương ứng là V1 , r1 , h1 với r1 =

1
r ; h1 = 2h .
2

(1) 1

1
1 
Khi đó ta có V1 =
100 ( cm3 ) .
π r12 .h1 =⋅
π  r  .2h = ⋅ π r 2 .h =⋅ 200 =
2
2
2 
Một hình chữ nhật có chu vi và diện tích theo thứ tự là 28 cm , 48cm2 . Quay hình chữ nhật
một vịng quanh một cạnh cố định để được một hình trụ. Tính thể tích lớn nhất của hình trụ
này.
2

Bài 21:

Lời giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là a , b , 0 < b ≤ a < 14 .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

9

Vì hình chữ nhật có chu vi và diện tích theo thứ tự là 28 cm , 48cm2 nên ta có:
b= 14 − a
a ≥b > 0  a = 8

28 b= 14 − a
2 ( a + b ) =

.
⇔ 2
⇔ a = 6
⇔ 

0 
ab = 48
b = 6
a − 14a + 48 =
a = 8
Trường hợp 1: quay hình chữ nhật quanh cạnh cố định là chiều rộng.

6

8

6=( b ) và bán kính =
r1 8=( a ) .
Hình trụ tạo thành có chiều cao: h=
1
Khi đó thể tích của hình trụ này =
là V1 π =
.r12 .h1 π=
.82.6 384π ( cm3 ) .
Trường hợp 2: quay hình chữ nhật quanh cạnh cố định là chiều dài.

8

6

8=( a ) và bán kính r=
6=( b ) .
Hình trụ tạo thành có chiều cao: h=
2
2
Khi đó thể tích của hình trụ này =
là V2 π .=
r22 .h2 π=
.62.8 288π ( cm3 ) .
Vậy thể tích lớn nhất có thể đạt được của hình trụ khi quay quanh cạnh cố định của hình chữ nhật là
384π ( cm3 ) .
Bài 22:

Tính thể tích hình khối sau: (kích thước cho trong hình vẽ, làm trịn đến chữ số thập phân thứ
nhất).

5mm
R=12mm
18mm
R=8mm
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

10
Lời giải
2
Thể tích phần thân hình trụ =
là V1 π=
.r 2 .h π .8
.18 3619,1( mm3 ) .
=

Thể tích phần nắp hình trụ=
là V2 π=
.R 2 .h π=
.122.5 2261,9 ( mm3 ) .
Thể tích hình khối là V =V1 + V2 = 5881( mm3 ) .
Bài 23:

Hình trụ có đường kính đáy bằng 4 cm và chiều cao bằng đường kính đáy. Tính thể tích của
hình trụ (lấy π ≈ 3,14 ).
Lời giải
Ta có bán kính đáy là r=

d 4
= = 2 ( cm ) .
2 2

Vì đường kính đáy bằng chiều cao nên: h= d= 4 ( cm ) .

V S=
.h π r 2=
.h π .22.4 ≈ 50, 24 ( cm3 ) .

Thể tích của hình trụ là =
Bài 24:

Một hình trụ có bán kính đường trịn đáy là 6 cm , chiều cao 9 cm .
a) Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Tính thể tích của hình trụ (kết quả làm trịn đến hai chữ số thập phân: π ≈ 3,14 ).
Lời giải
S xq 2=
=
π .r.h 2π .6.9 ≈ 339,12 ( cm2 ) .
a) Diện tích xung quanh hình trụ là

V S=
.h π r 2=
.h π .62.9 ≈ 1017,36 ( cm3 ) .
b) Thể tích của hình trụ là =
Bài 25:

Người ta nhấn chìm hoàn toàn một tượng đá nhỏ vào một lọ thủy tinh có nước đựng hình trụ
có đường kính là 4 cm . Nước trong lọ dâng lên 8,5 mm . Hỏi thể tích tượng đá là bao nhiêu

cm3 ?
Lời giải
Ta có bán kính đáy của hình trụ thủy tinh là r=

d 4
= = 2 ( cm ) .
2 2

S π=

.r 2 π .22 ≈ 12,56 ( cm2 ) .
Diện tích đáy của hình trụ là=
Thể tích của tượng đá bằng thể tích của lượng nước dâng lên so với mực nước ban đầu của lọ thuỷ tinh
có dạng hình trụ với diện tích đáy là 12,56 cm2 và chiều cao bằng 8,5 mm = 0,85 cm .

V=
S .h ≈ 12,56.0,85 ≈ 10, 676 ( cm3 ) .
Vậy thể tích của tượng đá xấp xỉ 10, 676 ( cm3 ) .
Bài 26:

Thùng Phuy là một vật dụng hình ống dùng để chứa và chuyên chở chất lỏng với dung tích
lớn. Mỗi thùng phuy có đường kính nắp và đáy là 584 mm , chiều cao là 876 mm .

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

11
d = 584mm

h = 876mm

Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của thùng phuy.
Lời giải
Bán kính nắp và đáy của thùng phuy là r = 292 mm .
Diện tích xung quanh của thùng phuy là=
S xq 2=

π r.h 2.292.876
=
π 511584π mm2 .
Diện tích toàn phần của thùng phuy là: Stp =
S xq + 2π r 2 =
511584π + 2.2922 π =
43619868704π mm2 .
Thể tích của thùng phuy là:
V π=
r 2 .h 2922.876
π 74691264π mm2 .
=
=
Bài 27:

Một hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 cm2 , chu vi là 6 cm và AB > AD . Cho hình chữ
nhật này quay quanh cạnh AB một vịng ta được hình gì? Hãy tính thể tích và diện tích xung
quanh của hình được tạo thành.
Lời giải
C

B

D

A

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD lần lượt là x ( cm ) , y ( cm ) .
Điều kiện: 0 < y < x < 3 .
3

x + y =
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: 
.
 xy = 2
x = 2
x = 1
Hệ phương trình trên có hai nghiệm là 
và 
.
y =1
y = 2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

12
x = 2
.
Kết hợp với điều kiện ta được 
y =1

Do đó, chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD lần lượt là 2 cm và 1cm .
Tức là AB = 2 cm và AD = 1cm .
Khi quay hình chữ nhật này quanh cạnh AB cố định một vịng ta được một hình trụ có bán kính đáy
r = 1cm và chiều cao h = 2 cm .
=

V π=
r 2 .h 2π cm2 .
Thể tích của hình trụ được tạo thành là:
Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là=
S xq 2=
π r.h 4π cm2
Bài 28:

.
Hộp phơ mai hình trụ có đường kính đáy 10,6cm và chiều cao 1,5cm .

a) Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp nằm sát bên trong hộp. Hỏi thể tích của một miếng phơ mai là
bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
b) Người ta gói từng miếng phơ mai bằng loại giấy đặc biệt. Giả sử miếng phơ mai được gói
chiếm 90% giấy gói. Em hãy tính diện tích giấy gói được sử dụng cho một miếng phơ mai.
Lời giải

1
1
a) Thể tích hộp phô mai là: V = h ⋅ ⋅ π ⋅ d 2 = 1,5 ⋅ ⋅ 3,14 ⋅10, 62 = 132,3039 ( cm3 ) .
4
4
Thể tích một miếng phơ mai là: V ′ =

132,3039
≈ 16,5 ( cm3 ) .
8

b) Diện tích xung quanh của một miếng phơ mai là:
1

⋅π ⋅ d 2
d
d ⋅π ⋅ h
10, 6 ⋅ 3,14 ⋅1,5 3,14 ⋅10, 62
4
S = 2⋅ ⋅h +
+ 2⋅
= 10, 6 ⋅1,5 +
+
= 44, 70815 ( cm2 ) .
2
8
8
8
16
Diện tích giấy gói được sử dụng cho một miếng phơ mai là:

=
S ′ 44, 70815 ⋅ 90% ≈ 40, 2 ( cm2 ) .
Bài 29:

Một thùng kín dạng hình trụ có diện tích tồn phần là 90π dm3 và chiều cao là 12 dm , hỏi
thùng đó có thể chứa được bao nhiêu lít nước? (π = 3,14 ) .

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

13

Lời giải
Bán kính đáy là: R =

S xq
2.h.π

=

90 ⋅ π
= 3, 75 ( dm ) .
2 ⋅12 ⋅ π

Thùng đó có thể chứa được số lít nước là: V = S .h = 3,14 ⋅ 3, 752 ⋅12 = 529,875 ( dm3 ) .
Bài 30:

Nước giải khát thường được đựng trong lon nhôm và cỡ lon phổ biến trên thế giới thường
chứa khoản 335 ml chất lỏng, được thiết kế hình trụ với chiều cao gần gấp đơi đường kính đáy
(cao 12 cm, đường kính đáy 6,5 cm). Nhưng hiện nay các nhà sản xuất có xu hướng tạo ra
những lon nhôm với kiểu dáng thon dài cao. Tuy chi phí sản xuất của những chiếc lon này tốn
kém hơn, do nó có diệc tích mặt ngồi lớn hơn, nhưng nó lại dễ đánh lừa thị giác và được
người tiêu dùng ưa chuộng hơn.

a) Một lon nước ngọt cao 14 cm, đường kính đáy là 6 cm. Hỏi lon nước ngọt cao này có thể chứa
được hết lượng nước ngọt của một lon có cỡ phổ biến khơng? Vì sao?
b) Hỏi chi phí sản xuất lon nước ngọt cao ở câu a) tăng bao nhiêu phần trăm so với chi phí sản
xuất lon có cỡ phổ biến?
Lời giải

a) Thể tích của lon nước ngọt 14 cm, đường kính đáy là 6 cm là :

=
V1 π=
.r 2 .h π .33.14 ≈ 395,84 ml .
Vì V1 > V (395,84 ml > 335 ml ) nên lon nước ngọt cao này có thể chứa được hết lượng nước ngọt của
một lon có cỡ phổ biến.

Stp(1) π d1h1 + 2π r12
6.14 + 2.3
102
=
=
b)=
Ta có:
.
2
2
99,125
Stp( 2) π d 2 h2 + 2π r2
6,5.12 + 2. ( 3, 25 )
Với Stp(1) là diệc tích tồn phần của lon nước ngọt ở câu a);
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

14

Stp( 2) là diệc tích tồn phần của lon nước ngọt phổ biến

Vậy chi phí sản xuất lon nước ngọt cao ở câu a) tăng 2,875% ≈ 2,9% phần trăm so với chi phí
Bài 31:

sản xuất lon có cỡ phổ biến.
Để làm cống thoát nước cho một khu vực dân cư, người ta cần đúc 900 ống hình trụ có đường
kính trong 2m và chiều cao mỗi ống bằng 1,6m, độ dày thành ống là 10 cm.
1m

O
10 cm

1,6 m

O'

Hỏi phải chuẩn bị bao nhiêu bao xi măng để làm đủ số ống nói trên, biết mỗi mét khối bê tơng
thì cần 7 bao xi măng?
Lời giải
Thể tích của ống thoát nước là: V = V1 − V2 = π h ( r12 − r2 2 ) = π .1, 6. (1,12 − 12 ) ≈ 1, 05 ( m3 ) .
Số bao xi măng đủ để làm 900 ống nói trên là: 1, 055.900.7 ≈ 6647 ( bao).
Bài 32:

Một hình trụ có bán kính đáy là 8 cm. Diện tích tồn phần gấp ba lần diện tích xung quanh.
Tính thể tích hình trụ đó.
Lời giải
Gọi R là bán kính đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ.
Diện tích xung quanh của hình trụ là S xq = 2π Rh .
Diện tích tồn phần của hình trụ là S tp =S xq + 2.Sñ =2π Rh + 2π R 2 =2π R ( h + R ) .

Theo đề bài diện tích tồn phần gấp ba lần diện tích xung quanh nên
⇔

( h + R ) = 3 ⇔ h + 8 = 3 ⇔ h + 8 = 3h ⇔ h = 4
h

h

2π R ( h + R )
= 3.
2π Rh

cm .

2
R 2 h π . ( 8=
Thể tích của hình trụ =
là V π=
) .4 2562π cm3 .

Bài 33:

Một cửa hàng phục vụ hai loại bánh pizza có độ dày giống nhau nhưng khác nhau về kích
thước. Cái nhỏ có đường kính 30 cm giá 60000 đồng. Cái lớn có đường kính 40 cm giá 80000
đồng. Vậy mua cái nào lợi hơn? Vì sao?
Lời giải
Mỗi chiếc bánh pizza giống như một hình trụ. Vì độ dày hai loại bánh giống nhau, ta có thể giả
sử độ dày mỗi loại là 1 cm để dễ so sánh.
.302.1 900π cm3 .
Thể tích của pizza cỡ nhỏ=

là Vn π=

60000 200
=
đồng.
900π
3π
.402.1 1600π cm3 .
Thể tích của pizza cỡ lớn=
là Vl π=

1 cm3 pizza cỡ nhỏ có giá

1 cm3 pizza cỡ lớn có giá

80000 50
=
đồng.
1600π π

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

15

200 50

>
nên 1 cm3 pizza cỡ nhỏ có giá lớn hơn 1 cm3 pizza cỡ lớn.
3π
π
Như vậy mua pizza cỡ lớn có lợi hơn.
Bài 34:

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 30π

( cm ) , biết đường kính đáy của hình trụ bằng
2

6 cm. Tính thể tích của hình trụ đó.
Lời giải
Bán kính đáy là: 6 : 2 = 3 ( cm )
Chiều cao hình trụ là: S xq = 2π rh ⇒ h=

S xq 30π
=
= 5 ( cm )
2π r 2π .3

2
=
V π=
r 2 h π .3
=
.5 45π ( cm3 ) .
Thể tích của hình trụ là:

Vậy thể tích của hình trụ là 45π ( cm3 ) .
Bài 35:

Một hình trụ có chiều cao bằng 2 lần đường kính đáy. Nếu đường kính đáy có chiều dài bằng
4 ( cm ) thì thể tích hình trụ đó bằng bao nhiêu?
Lời giải

Bán kính đáy là: 4 : 2 = 2 ( cm )
Chiều cao hình trụ là: 2.4 = 8 ( cm )
2
=
=
V π=
r 2 h π .2
.8 32π ( cm3 ) .
Thể tích hình trụ là:

Vậy thể tích của hình trụ là 32π ( cm3 ) .
Bài 36:

Có hai lọ thủy tinh hình trụ, lọ thứ nhất bên trong có đường kính đáy là 30 cm, chiều cao 20
cm đựng đầy nước, lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là 40 cm chiều cao là 12 cm.

Hỏi nếu đổ hết nước từ lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước có bị tràn ra ngồi khơng? Tại sao?
Lời giải
Bán kính lọ thứ nhất là: 30 : 2 = 15 ( cm ) .
2
=
V π=
r 2 h π .15=

.20 4500π ( cm3 ) .
Thể tích lọ thứ nhất là:

Bán kính lọ thứ hai là: 40 : 2 = 20 ( cm ) .
2
.12 4800π ( cm3 ) .
r 2 h π .20=
Thể tích lọ thứ hai là=
: V π=

Vậy nếu đổ hết nước từ lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước không bị tràn ra ngồi (vì 4500π < 4800π ).
Bài 37: Một viên than tổ ong có dạng hình trụ, đường kính đá là 114 mm, chiều cao là 10 cm. Viên
than nà có 19 lỗ tổ ong hình trụ có trục song song với trục của viên trục của viên than, mỗi lỗ
có đường kính 12 mm.

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

16
D=144mm

D=12mm

10cm

Tính thể tích nhiên liệu đã được nén của mỗi viên than (làm tròn đến cm3 ).

Lời giải
Đổi: 114 mm = 11, 4 cm ; 12 mm = 1, 2 cm .
2

 11, 4 
R .h π . 
.10 324,9π
Thể tích của viên than tổ ong =
là V1 π=
=
 2 
2

( cm ) .
3

2

 1, 2 
3
=
=
π .r .h 19.π .  =
Thể tích của 19 lỗ tổ ong
là V2 19.
 .10 68, 4π ( cm ) .
 2 
2

Thể tích nhiên liệu được nén của mỗi viên than là V = V1 − V2 = 256,5π ≈ 806 ( cm3 ) .

Bài 38:

Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có chiều cao 10 cm, đường kính đường trịn đáy
6 cm.
Lời giải

6
.10 60π ≈ 188, 4 ( cm2 ) .
S xq 2π=
rh 2π . =
Diện tích xung quanh của hình trụ là: =
2
2

6
V π r=
h π .  =
.10 90π ≈ 282, 6 ( cm3 ) .
Thể tích của hình trụ là:=
2
 
Tính diện tích tồn phần và thể tích hình trụ có chu vi đáy là 6, 28 cm, chiều cao hình trụ là
2

Bài 39:

12 cm (π ≈ 3,14 ) .

Lời giải
Cđáy 6, 28

=
( cm ) .
2π
2π
Diện tích tồn phần của hình trụ là:
6, 28

+ 12  ≈ 81, 64 ( cm2 ) .
Stp= 2π r 2 + 2π rh= 2π r ( r + h =
) 6, 28. 
 2π


Bán kính đáy của hình trụ là:
=
r

2

 6, 28 
3
=
V π=
r h π .
Thể tích của hình trụ là
 .12 ≈ 37, 68 ( cm ) .
2
π



2

Bài 40:

Một hình trụ có diện tích đáy là 12,56 cm2 , chiều cao hình trụ là 5 cm . Tính thể tích hình trụ

(π ≈ 3,14 ) .

Lời giải

=
V π=
r h 12,56.5 ≈ 62,8 ( cm3 ) .
Thể tích của hình trụ là
2

Bài 41:

Tính thể tích hình bên ( π ≈ 3,14 )

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

17
12cm
8cm

42cm

Lời giải
Thể tích hình bên là: V = V1 − V2 = π .R12 .h − π .R22 .h = π .122.42 − π .82.42 = π .42. (122 − 82 ) =10550, 4

( cm ) .
3

Thể tích hình trụ có chiều cao 10 cm là 502,4 cm3 . Tính diện tích xung quanh?

Bài 42:

Lời giải
Diện tích đáy của hình trụ là: S = 502,4 : 10 = 50,24 ( cm2 ) .
Bán kính đáy của hình trụ là : R =

S

π

=

50,24
= 4 ( cm ) .
3,14

Diện tích xung quanh của hình trụ là : S xq = 2π Rh = 2.3,14.4.10 = 251,2 ( cm2 ) .
Cho hình chữ nhật ABCD ( AB = 5 cm ; CD = 10 cm ). Quay một vòng quanh cạnh AB . Tính
diện tích xung quanh và thể tích của hình (lấy π = 3,14 ).

Bài 43:

Lời giải
Khi quay hình chữ nhật ABCD ( AB = 5 cm ; CD = 10 cm ) một vòng quanh cạnh AB ta được một hình
trụ có chiều cao h = 5 cm và bán kính đáy R = 10 cm .
Khi đó:
Diện tích xung quanh của hình trụ là: S xq = 2π Rh = 2.3,14.10.5 = 314 ( cm2 ) .
Thể tích của hình trụ là V = π R 2 h = 3,14.102 .5 = 1570 ( cm3 ) .
Bài 44:

Một ống thủy tinh có chiều cao 200 mm, đường kính ống là 40 mm. Nếu đổ nước vào ống thì
3
mực nước chiếm chiều cao của ống.
4

Tính thể tích nước (lấy π ≈ 3,14 ).
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

18
Lời giải
2

 40   3


R h π .   .  .200  ≈ 188400 ( cm3 )
Thể tích nước =
là V π=
 2  4

2

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC