Tải bản đầy đủ (.doc) (27 trang)

Giáo án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (363.32 KB, 27 trang )

GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Phơng trình nghiệm nguyên
A. Kiến thức cơ bản:
I. Một số ph ơng pháp th ờng vận dụng khi giải ph ơng trình nghiệm nguyên
1. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích:
Các ví dụ:
VD1: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: xy x y =2
Giải:
Viết PT về dạng: (x 1 )(y 1 ) =3
Do x, y

Z nên (x-1), (y-1)

Z và x-1, y-1 là ớc của 3
Do vai trò của x,y nh nhau nên không mất tính tổng quát g/s x

y
1 3 4
1 1 2
1 1
1 1 0
1 3 2
x x
y y
x y
x x
y y
= =




= =




= =



= =



Vậy phơng trình có nghiệm (x;y) = (4;2), (0;-2) , (2;4), (-2;0)
VD2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
2
+x+6=y
2
(2)
Giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
4 4 24 4
2 2 1 23
2 2 1 2 2 1 23
2 2 1 0 2 2 1 0
x x y

y x
y x y x
y x y x
+ + =
+ =
+ + + =
+ + > + >
Ta có:
2 2 1 2 2 1y x y x+ + > +
nên
5
6
6
2 2 1 23 2 12
6
2 2 1 1 2 1 11 5
6
6
6
x
y
x
y x y
y
y x x x
y
x
y
=




=



=



+ + = =
=





+ = + = =






=


=





=


Vậy phơng trình có các nghiệm nguyên (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6)
2. Đ a về ph ơng trình tổng:
Các ví dụ:
VD1: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x
2
4xy +5y
2
=169
Giải:
Pt tơng đơng với: (x 2y)
2
+y
2
=169 =13
2
+0
2
=12
2
+5
2
Mà y

Z
+

;
2 0
13
2 5
2
12
2 12
5
x y
y
x y
x y N
y
x y
y

=



=




=






=




=



=




Từ đó tìm đợc nghiệm nguyên dơng của PT: (26;13), (29;12) , (19;22), (22;5)
VD2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
1
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9

1 10
1
7
x
y
z
+ =
+

Giải:
Ta có
10 1 1 1
1 1
1 1 1
7
2 2
3 3
x
y
z
= + + = +
+ + +
Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có x=1;y=2;z=3
3. Nhận xét về ẩn số:
VD: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 1+x+x
2
+x
3
=y
3
Giải:
Ta có x
2
+x+1>0 và 5x
2
+11x+7>0 với mọi x
Nên (1+x+x
2
+x

3
) (x
2
+x+1)< 1+x+x
2
+x
3
<(1+x+x
2
+x
3
) +(5x
2
+11x+7)
Do đó x
3
<y
3
<(x+2)
3
suy ra y
3
=(x+1)
3
Từ đó suy ra x(x+1)=0
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là:
0 1
;
1 0
x x

y y
= =


= =

4. Vận dụng tính chất của tập hợp số nguyên.
VD1: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 3x+17y=159
Giải:
Giả sử x,y là các số nguyên thoả mãn phơng trình
Ta thấy 3x,159 chia hết cho 3 nên 17y phải chia hết cho 3 mà 17 không chia hết cho 3
vậy y phải chi hết cho 3 suy ra y=3t(t
Z
)
Thay y=3t vào pt ta đợc: x=53-17t
Thay x=53-17t; y=3t vào pt, ta đợc nghiệm đúng
VD2: Tìm nghiệm nguyên tố của ph ơng trình: x
2
2y
2
= 1
Giải:
PT tơng đơng với (x+1)(x-1)=2y
2
Vì x
2
=2y
2
+1 là số lẻ nên x+1, x-1 là số chẵn do đó (x+1)(x-1) chia hết cho 4 vậy y
2

chia
hết cho 2 suy ra y chia hết cho 2 mà y là số nguyên tố nên y=2
Vậy phơng trình có nghiệm: (3;2)
5. Ph ơng pháp chứng minh bằng phản chứng.
b. Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của pt: x
3
+2y
3
=4z
3
(1)
Giải:
Giả sử (x
0
;y
0
;z
0
) là một nghiệm nguyên của phơng trình (1) .
Khi đó x
0
chia hết cho 2 . đặt x
0
=2x
1
. Thay vào (1) ta có y
0
chia hết cho 2, đặt y
0
=2y

1
Thay vào (1) ta có z
0
chia hết cho 2 ,đặt z
0
=2z
1
.
Nh vậy nếu (x
0
;y
0
;z
0
) là nghiệm của (1) thì (x
1
;y
1
;z
1
) cũng là nghiệm của (1) .
Quá trình cứ tiếp tục mãi suy ra x
0
,y
0
,z
0
chia hết cho 2
k
(k thuộc tập số tự nhiên)

Vậy (x
0
;y
0
;z
0
)=(0;0;0)
B. Bài tập áp dụng
Bài1: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình:
a/ 5x-y=13
b/23x+53y=109
c/12x-5y=21
d/12x+17y=41
e/5x+10y=3
g/4x+12y=7
h/ 4x+11y=47
i/12x-7y=45
k/9x+10y=135
Bài2: Giải phơng trình nghiệm nguyên
a/ x
2
+91=y
2
e/ 2
m
-2
n
=1984 k/ x+y=xy
b/x
2

-656xy-657y
2
=1983 g/ (x+5)(y+6)=3xy l/x
2
+x+1991=y
2
c/x
2
-25=y(y+6) h/ y3-x3=91 m/x
2
=y
2
+2y+13
d/
2 2
3
6 332
2
x y x = +
i/x
4
=y
2
(y-x
2
) n/x
2
-6xy+5y
2
=121

Bài3: Tìm nghiệm nguyên dơng :
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
2
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
a/2
x
+2
y
+2
z
=2336
b/x
2
(x+2y)-y
2
(y+2x)=1991
c/ xy -2x +3y =27
d/3x
2
+10xy+8y
2
=96
e/ 2
n
+12
2
=z
2
-3

2
Bài4: Giải phơng trình nghiệm nguyên
a/ x
2
+13y
2
=100+6xy
b/x
2
-x-6=-y
2
c/ 4x
2
+4x+y
2
=24
d/101(x
2
y
2
z
2
+x
2
+z
2
)=913(y
2
z
2

+1)
Bài5: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau:
a/ 3x
2
+2y
2
+z
2
+4xy+2xz=26-2yz
b/ x
2
+y
3
-3y
2
=65-3y
c/31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)
d/ 55(x
3
y
3
+x
2
+y
2
)=229(xy
3
+1)
e/7(x
2

y+x+xy
2
+2y)=38xy+38
g/x
6
+z
3
-15x
2
z=3x
2
y
2
z-(y
2
+5)
3
h/(x
2
+4y
2
+28)
2
=17(x
4
+y
4
+14y
2
+49)

i/
2 2 2
1 2
1 1 1
1
n
x x x
+ + + =
Bài6: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT:

1
2
3
1 1
1
1 1
2
1 1
3
1
1
1
n
x
x
x
n
x
=
+ +

+ +
+
+
+
M
M
Bài7: Tìm nghiệm nguyên dơng của các pt sau:
a/ x+y+z=xyz
b/
1 1 1
2
x y z
+ + =
c/
2 2 2 2
1 1 1 1
1
x y z t
+ + + =
d/5(x+y+z+t)=2xyzt-10
e/5(xy+yz+zx)=4xyz
g/ xyz=9+x+y+z
h/x+y+1=xyz
i/2
x
+1=3
y
k/xy
2
+2xy+x-216y=0

Bài8: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
a/
3
xy xz yz
z y x
+ + =
b/ y
3
-x
3
=3x
c/x
4
+x
2
+1=y
2
d/ (x+2)
2
-x
4
=y
3
e/x
3
-y
3
-2y
2
-3y-1=0

g/y
3
-x
3
=2x+1
h/x
4
-y
4
+z
4
+2x
2
z
2
+3x
2
+4z
2
+1=0
i/ x
4
+x
2
+4=y
2
-y
k/ x
4
+x

2
-y
2
+y+10
l/x
6
-x
2
+6=y
3
y
m/19x
2
+5y
2
+1995z=9
505
+3
n/x
2
+y
2
+z
2
=1980
o/
4 4 4
1 2 14
1999x x x+ + + =
Bài9: Chứng minh rằng các phơng trình sau không có nghiệm nguyên

a/ x
3
+y
3
+z
3
=30419751951995
b/x
5
+3x
4
y-5x
3
y
2
-15x
2
y
3
+xy
4
+12y
5
=33
Bài10: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
a/ 4xy-x-y=z
2
b/ x
2
-y

3
=7
c/4xy-y=9x
2
-4x+2
d/
1980x y+ =
với x<y
e/xy
2
+2xy-243y+x=0
Bài11: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
a/ 19x
2
+28y
2
=729
b/x
2
+4y
2
=196
c/
13 7 2000x y =
d/
11
2 1 3 4 1 2
5
x
x y y + = +

e/x
3
-100=225y
g/ 19x
5
+5y+1995z=x
2
-x+3
Bài12: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
3
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
a/ x
3
-3y
3
-9z
3
=0
b/x
2
+y
2
+z
2
+t
2
=2xyzt
c/8x

4
+4y
4
+2z
4
=u
4
d/x
2
+y
2
+z
2
=x
2
y
2
e/ 1!+2!++x!=y
2
Ngày soạn :18/10/2008
Buổi 6 : Phơng trình vô tỉ

Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn
Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ
I. Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:
Dạng1:
( ) ( )f x g x=

( ) ( ) 0
( ) ( )

x TXD
f x g x
f x g x


=

=

(*)
Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x)

0 và g(x)

0
VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
2 2
3 2 2x x m x x + = +
2
2 2
1 2
3 2 0
3 2 2 0
1
1
x
x x
x x m x x
x m
x m



+

+ = +

= +
= +


Để phơng trình có nghiệm thì 1
1 2 0 1m m
+

Dạng2:
2
( ) & ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x conghia g x
f x g x
f x g x


=

=

Chú ý: Không cần đặt điều kiện
( ) 0f x

VD: Giải phơng trình:
2 2
2 2
1 0
1
1 1 1 1 1
2 2
1 ( 1)
x
x
x x x x x
x
x x
+



= = + =

=
= +


Vậy phơng trình có nghiệm x=-1
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
4
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Dạng3:
2

( ) & ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0
( ( ) ( )) ( )
f x conghia f x
f x g x h x g x conghia g x
f x g x h x



+ =


+ =

Chú ý: Không cần đặt điều kiện
( ) 0h x
VD: Giải phơng trình:
4 1 1 2
1
1 0
1
1 1 2 4 1 2 0
2
1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 4
(1 )(1 2 ) 2 1
x x x
x
x
x x x x x
x x x x x

x x x
+ =







+ = +


+ + = +


= +

2
2
1 1
1
1 1
2 2
2
2 1 0 0
0
2 2
2 7 0
7
(1 )(1 2 ) (2 1)

2
x
x
x
x x
x
x x
x x x
x











+ =
=




+ =
= +




=



Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa
- Biến đổi phơng trình
Các bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
a/
2 3 0x x =
e/
1 1 2x x + =
b/
2
1 1x x+ + =
g/
15 3 6x x + =
c/
3 4 1x x+ =
h/
4 1 3 4 1x x+ + =
d/
10 3 5x x + + =
k/
2
3 2 2x x x + =
Bài2: Giải các phơng trình sau:

2 2

/ 4 1 1 2
/ 3 4 2 1 3
/( 3) 10 12
a x x x
b x x x
c x x x x
+ =
+ + = +
+ =

/ 2 1 1 1
/ 2 1 2 1 2
/ 6 9 6 9 6
d x x x
e x x x x
g x x x x
=
+ + =
+ + =

Bài3: Cho phơng trình:
2
1x x m =
a/ Giải phơng trình với m=1
b/ Giải và biện luận phơng trình

II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1:
VD1: Giải phơng trình:

2 2

2 2
1 31
11 11 42 0
x x
x x
+ + =
+ + + =
Đặt t=
2
11 11x t+
. Khi đó phong trình có dạng:
t
2
+t 42 =0
6
7
t
t
=



=

Vì t
11
nên t=6
2 2 2
11 6 11 36 25 5x x x x + = + = = =
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=-5; x=5

-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
5
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
VD2: Giải phơng trình :
( ) ( )
2 2
2
4
4 4
2 1 3 1 1 0x x x+ + + =
Giải:
Vì x=1 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho
( )
2
4
1 0x
, ta đ-
ợc:
4 4
1 1
2 4 0
1 1
x x
x x
+
+ + =
+
Đặt t=
4 4

1 1 1
0
1 1
x x
x x t
+
=
+
f
, Khi đó phơng trình trở thành:
2t+
2
1 0
1
3 0 2 3 1 0
1
0
2
t
t t
t
t
= <


+ = + + =

= <

(không thoả mãn ĐK)

Vậy phơng trình vô nghiệm.
II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2:
VD: Giải PT:
3
2 1 1x x =
Giải:
Điều kiện : x-1

0
1x

Đặt
3
3 2
2
1
1, 0
u x
u v
v x v

=

+ =

=


. Khi đó ta có hệ:
3 2

1
1
u v
u v

+ =

+ =

Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10
Vậy pt đã cho có 3 nghiệm 1,2,10
Dạng3: PT có chứa căn bậc 3 và luỹ thừa bậc 3
VD: Giải PT:
3
3
2 3 3 2x x+ =
Đặt y=
3
3 2x
. Khi đó phơng trình chuyển thành hệ
3
3
2 3
3 2
x y
x y
y x

+ =


=

=


Từ đó tìm đợc x=1; x=-2
Bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
2 2
2 2
2 2
2
/ 3 3 3 6 3
/ 2 5 2 2 2 5 6 1
/ 3 2 2 2 6 2 2
/( 5)(2 ) 3 3
a x x x x
b x x x x
c x x x x
d x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + + =
+ = +

( )
( )
( ) ( )
2
4 4 4

2 2
2
/ ( 1) 2 1 2 2
/ 1 1
/ 2 1 3 1 1 0
n
n n
e x x x x
g x x x x
h x x x
+ = +
+ = +
+ + + =
Bài 5: Giải các pt sau:
a/
( )
( ) ( ) ( )
2
1
1 3 2 2 3
2
2
/ 2 2 4 2 3
2
x
x x x x
x
x
b x x x
x


+ + + =

+
+ + =

Bài6: Giải các phơng trình sau:

( )
2 2
2 2
/ 1 2 2
/ 4 2 2 4
a x x x x
b x x x x x
= +
+ = + +

( )
2 2
3 3
/ 1 2 2
/ 4 1 1 2 2 1
c x x x x
d x x x x
=
+ = + +
Bài 7: Giải các phơng trình sau:
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50

6
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9

( )
3
3
2
/ 9 2 1
/ 2 1 1
/ 1 1 0
a x x
b x x
c x x x x x x
=
=
+ =
Bài8: Với giá trị nào của a thì các pt sau có nghiệm:

3 3
/ 1 1a x x a + + =

/ 1 1b x x a + + =
Bài9: Giải và biện luận các phơng trình sau:

/ 4a x x m+ =

2
/ 1b x x m+ =
Bài10: Giải các phơng trình sau:


3 3 3 3
3 3 3 3
/ 1 7 2 / 25 3 4
/1 16 3 / 4 6 1
a x x b x x
c x x d x x
+ + = + + =
+ = + + =

3 3
3 3
/ 2 1 1 / 24 12 6
/ 2 1 1 / 2 1 3
e x x g x x
h x x i x x
+ = + + =
+ = + + =
Bài11: Giải các phơng trình sau:
( ) ( )
2 2
3
2
3 3 3
3 3
3 3
3 3 3
3 3
/ 1 1 5 / 1 1 1 1
7 5
/ 1 2 3 0 6

7 5
a x x xb x x x
x x
c x x x d x
x x
+ + = + + + =

+ + + + + = =
+

2 2
/ 2 3 2 2 2 2 1 2 2
2 2
/ 2 9 4 3 2 1 2 21 11 / 2
2 2 2 2
e x x x x x
x x
g x x x x x h
x x
+ + + + + = + +
+
+ + = + + =
+ +

Bài12: Giải các phơng trình sau:

2
2
3
3

/ 1 4 5
/ 3 1 4 13 5
/ 2 3 3 2
a x x x
b x x x
c x x
+ = + +
+ = +
+ =

(
)
2
3
3
3 33 3
4 9
/ 7 7 , 0
28
/ 1 2 2 1
/ 35 35 30
x
d x x x
e x x
g x x x x
+
= + >
+ =
+ =
III. Ph ơng pháp đánh giá:

Đánh giá dựa trên tam thức bậc hai, BĐT, GTTĐ,.
VD1: Giải phơng trình:
2
2 5 1 2x x x + + =
Giải: Từ ĐK đánh giá VT luôn lớn hơn hoặc bằng 2 dựa trên tam thức bậc hai
VD2: Giải phơng trình:
2 2
1 1 2x x x x + + =
Giải:
ĐK:
1x
đánh giá VT
2
dựa trên BĐT Cosi, dấu = xảy ra khi x=1,-1
Do
1x
nên x=1
VD3: Giải pt:
( ) ( )
( ) ( )
2 1 3 4 1 1
1 1 2 1 1 1 2 1
1 1 2 1 0 2 5
x x x x
x x x x
x x x
+ + =
+ = +

Bài tập đề nghị:

Bài1: Giải các phơng trình sau:
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
7
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9

3 2 2
2
2
3 2 2
3 3
2 2 3 3 4 44 4
/ 2 7 11 25 12 6 1
1 1
/ 2 2 4
/ 1 2 2 1 2 2 1
3
/ 2 1 2 1
2
/ 2 5 3 3 2 6 1
/ 1 1 1 1 1 1 6
a x x x x x
b x x
x x
c x x x x
y
d y y y y
e x x x x x
f x x x x x x
+ = +


+ = +


+ =
+
+ =
+ + = +
+ + + + + + + + =
4 4 4
4 24
2
2 4 4 34
2 44 4
/ 1 1 2 8
/ 2 3 4
6
/ 2 1 19 2
10 24
/ 2 1
/ 2 2 4
g x x x x
h x x x
i x x
x x
k x x x x
l x x x x
+ + + = +
= +
+ =

+
= +
+ + + =
Bài2: Giải các phơng trình sau:

2 2
/ 4 4 6 9 1
/ 4 4 9 6 1
/ 6 4 2 11 6 2 1
a x x x x
b x x x x
c x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + + + =

2 2
2
/ 2 4 2 7 6 2 1
/ 6 2 1
/ 7 9 16 66
d x x x x
e x x x
g x x x x
+ + + =
+ =
+ = +
Bài3: Giải các phơng trình sau:

( )

( )
2
/ 1 10 2 5
/ 1 3 2 1 3 5 4 2
a x x x x
b x x x x x x
+ + + = + + +
+ + + + =
Ngày soạn :25/9/2008
Buổi 3-4:
Chứng minh
Bất đẳng thức
phần i : Các kiến thức cần lu ý
1, Định nghĩa bất đẳng thức
2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức :
a, Tính chất 1: a > b <=> b < a
b, Tính chất 2: a > b và b > c => a > c
c, Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c
Hệ quả : a > b <=> a - c > b - c
a + c > b <=> a > b - c
d, Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d
a > b và c < d => a - c > b - d
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
8
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
e, Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd
a > b và c < 0 => ac < bd
f, Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
g, Tính chất 7 : a > b > 0 => a

n
> b
n
a > b <=> a
n
> b
n
với n lẻ .
h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 =>
3, Một số đẳng thức thông dụng :
a, Bất đẳng thức Côsi :
Với 2 số dơng a , b ta có :
ab
ba

+
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b
b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )
2


(a
2
+ b
2
)(x
2

+ y
2
)
Dấu đẳng thức xảy ra <=>
y
b
x
a
=

c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :

baba ++
Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab

0
phần ii :
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
- Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0 .
- Lu ý : A
2


0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
- Ví dụ :
Bài 1 :
Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x
2
+ y

2
+ z
2
+3

2(x + y + z)
Giải :
Ta xét hiệu : H = x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2( x + y + z)
= x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2x - 2y - 2z
= (x
2
- 2x + 1) + (y
2
- 2y + 1) + (z
2
- 2z + 1)
= (x - 1)
2

+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2
Do (x - 1)
2


0 với mọi x (y - 1)
2


0 với mọi y (z - 1)
2


0 với mọi z
=> H

0 với mọi x, y, z
Hay x
2
+ y
2
+ z
2
+3

2(x + y + z) với mọi x, y, z .
Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.

Bài 2 :
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
9
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Cho a, b, c, d, e là các số thực :
Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2


a(b + c + d + e)
Giải :
Xét hiệu : H = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

- a(b + c + d + e)
= (
b
a

2
)
2
+ (
c
a

2
)
2
+ (
d
a

2
)
2
+ (
e
a

2
)
2
Do (

b
a

2
)
2


0 với mọi a, b
Do(
c
a

2
)
2


0 với mọi a, c
Do (
d
a

2
)
2


0 với mọi a, d
Do (

e
a

2
)
2

0 với mọi a, e
=> H

0 với mọi a, b, c, d, e
Dấu '' = '' xảy ra <=> b = c = d = e =
2
a
Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức :

2
22
22






+

+ baba
Giải :
Xét hiệu : H =

2
22
22






+

+ baba
=
4
)2()(2
2222
bababa +++
=
0)(
4
1
)222(
4
1
22222
=+ baabbaba
. Với mọi a, b .
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng .
- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng

hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng .
Ví dụ :
Bài 1 : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :

3
4
1
1
1
1

+
+
+ ba
Giải:
Dùng phép biến đổi tơng đơng ;
3(a + 1 + b + 1)

4(a + 1) (b + 1)
9

4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)
9

4ab + 8 1

4ab (a + b)
2



4ab
Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
10
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Bài 2: Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4
Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3

Giải:
Từ : (a + b)
2


4ab , (a + b + c)
2
=
[ ]
cbacba )(4)(
2
+++
=> 16


4(a + b)c => 16(a + b)

4(a + b)
2
c

16 abc
=> a + b

abc
Tơng tự : b + c

abc
c + a

abc
=> (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3

Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức :

3
33
22







+

+ baba
; trong đó a > 0 ; b > 0
Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

3
33
22






+

+ baba









+
+






+
2
).(
2
22
ba
baba
ba
.
2
2






+ ba
a

2
- ab + b
2



2
2






+ ba
4a
2
- 4ab + 4b
2


a
2
+ 2ab + b
2

3a
2
- 6ab + 3b
2



3(a
2
- 2ab + b
2
)

0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra :
3
33
22






+

+ baba
Bài 4:
Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a
3
+ b
3
+ ab



2
1
Giải :
Ta có : a
3
+ b
3
+ ab


2
1
<=> a
3
+ b
3
+ ab -
2
1


0
<=> (a + b)(a
2
- ab + b
2
) + ab -
2
1



0
<=> a
2
+ b
2
-
2
1

0 . Vì a + b = 1
<=> 2a
2
+ 2b
2
- 1

0
<=> 2a
2
+ 2(1-a)
2
- 1

0 ( vì b = a -1 )
<=> 4a
2
- 4a + 1

0

<=> ( 2a - 1 )
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =
2
1
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
11
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức :
3
33
22







+

+ baba

Trong đó : a > 0 , b > 0 .
Giải :
Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0
Ta có :
3
33
22






+

+ baba
<=>
( )
2
22
22
.
2







+






+
+






+ baba
baba
ba
<=>
2
22
2







+
+
ba
baba
<=> 4a
2
- 4ab + 4b
2


a
2
+ 2ab + b
2

<=> 3(a
2
- 2ab + b
2
)

0
<=> 3(a - b)
2


0 . Bất đẳng thức này đúng
=>

3
33
22






+

+ baba
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :

a
b
a




a
b
b
Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng :

a
b

a




a
b
b
(
)() baabbbaa ++

0

[ ]
0)()()(
33
++ baabba

0)())(( +++ baabbababa

0)2)(( ++ bababa

0))(( + baba
Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra :
a
b
a





a
b
b
3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,
Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x
2
+ y
2


2xy
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
12
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Với a, b > 0 ,
2+
a
b
b
a
Các ví dụ :
Bài 1 : Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng:

2>
+
+

+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a

Giải
áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
a + (b + c)
)(2 cba +

cba
a
cb
a
++

+
2
Tơng tự ta thu đợc :

cba
b
ac
b
++


+
2
,
cba
c
ba
c
++

+
2
Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :
a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dơng ).
Từ đó suy ra :
2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bài 2:
Cho x , y là 2 số thực thoả mãn :

x
2

+ y
2
=
22
11 xyyx +
Chứng minh rằng : 3x + 4y

5
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :
(x
2
+ y
2
)
2
= (
22
11 xyyx +
)
2
(
1x
;
1y
)


(x
2

+ y
2
)(1 - y
2
+ 1 - x
2
)
=> x
2
+ y
2


1
Ta lại có : (3x + 4y)
2


(3
2
+ 4
2
)(x
2
+ y
2
)

25
=> 3x + 4y


5
Đẳng thức xảy ra







=
>>
=+
43
0,0
1
22
yx
yx
yx






=
=
5
4

5
3
y
x
Điều kiện :
2
5
2
3
x
Bài 3: Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a,
6+++++ accbba
b,
5,3111 <+++++ cba
Giải
a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )






++++++++++++
222

1111.1.1. accbbaaccbba
=>
( )
6)22.(3
2
=+++++++ acbaaccbba
=>
6+++++ accbba
.
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
13
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

1
22
1)1(
1 +=
++
+
aa
a
Tơng tự :
1
2
1 ++

b
b
;
1
2
1 ++
c
c
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

5,33
2
111 =+
++
+++++
cba
cba
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
Vậy :
5,3111 <+++++ cba
Bài 4 : Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng :
9
111
++
cba
Giải :
Ta có :
0>+
a

b
b
a
, a , b > 0
Ta có :
=++
cba
111
)
111
(
cba
++
.1 =
)
111
(
cba
++
.(a + b + c)
=
111 ++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b

c
a
b
a
=
++++++ )()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
9
111
++
cba
Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
Bài 5
a, Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng :
yxyx +

+
411

b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác ) .
Chứng minh rằng :

2
111


+

+
cpbpap
)
111
(
cba
++
Giải
a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xyyx 2+


yx
11
+




xy
2
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
14
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
=> (x + y)(
yx
11
+
)

4
=>
yx
11
+



yx +
4
b, Ta có : p - a =
0
2
>
+ acb
Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ;
áp dụng kết quả câu a , ta đợc ;
cbpapbpap

4
)()(
411
=
+


+

Tơng tự :
acpbp
411


+


bcpap
411


+

=>
)
111
(4)
111
(2
cbacpcpap

++

+

+

=> đIều phải chứng minh .
Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c .
Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :
- Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bài tập .
Các ví dụ :
Bài 1 : Cho 2 số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = 2 .
Chứng minh rằng : x
4
+ y
4


2
Giải
Theo tính chất bắc cầu ta có : (x
2
- y
2
)

0 x
4
+ y

4


2x
2
y
2
2(x
4
+ y
4
)

(x
2
+ y
2
)
2
(1)
Ta có : (x - y)
2


0 x
2
+ y
2



2xy
2(x
2
+ y
2
)

(x +y)
2
2(x
2
+ y
2
)

4 Vì : x + y = 2
x
2
+ y
2


2 (2)
Từ (1) và (2) ta có : x
4
+ y
4


2

Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = 1 .
Bài 2:
Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng :
(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Giải :
Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
15
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)
(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
Do a, b, c, d > 0 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0
=>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bài 3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c

2
a
Giải :
Do a, b < 1 => a
3
< a
2
< a < 1 ; b
3
< b
2
< b < 1 ; ta có :
(1 - a
2
)(1 - b) > 0 => 1 + a
2
b > a
2
+ b
=> 1 + a
2
b > a
3
+ b
3
hay a
3
+ b
3
< 1 + a

2
b .
Tơng tự : b
3
+ c
3
< 1 + b
2
c ; c
3
+ a
3
< 1 + c
2
a .
=> 2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a
5. Phơng pháp 5 : Chứng minh phản chứng .
- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng

thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý .
Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau , từ đó suy ra
đẳng thức cần chứng minh là đúng .
Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
+ Dùng mệnh đề đảo
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng .
+ Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngợc nhau .
+ Phủ định rồi suy ra kết luận .
Các ví dụ :
Bài 1 : Cho 0 < a,b,c,d <1 . Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau là sai : 2a(1
- b) > 1
3b(1 - c) > 2
8c(1 - d) > 1
32d(1 - a) > 3
Giải:
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
16
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Giả sử ngợc lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng về ;
ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3
=>
[ ][ ][ ][ ]
256
1
)1()1()1()1( > ddccbbaa
(1)
Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :


2
1
2
1
)1( =
+

aa
aa
=> a(1 - a)


4
1
Tơng tự : b(1 - b)


4
1
c(1 - c)


4
1
d(1 - d)


4
1
Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :


[ ][ ][ ][ ]
256
1
)1()1()1()1( > ddccbbaa
(2)
Từ (1) và (2) suy ra vô lý .
Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai .
Bài 2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau )
Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau :
2
1
<+
b
a
;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Giải
Giả sử tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức :


2
1
<+
b
a
;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

6
111
<+++++
a
c
c
b
b
a

6)

1
()
1
()
1
( <+++++
c
c
b
b
a
a
(1)
Vì a, b, c > 0 nên ta có :
2)
1
( +
a
a
;
2)
1
( +
b
b
;
2)
1
( +
c

c
=>
6)
1
()
1
()
1
( +++++
c
c
b
b
a
a
Điều này mâu thuẫn với (1)
Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên . => đpcm
Bài 3 : Chứng minh rằng không có các số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức sau :
4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 .
Hớng dẫn : tơng tự nh bài 2 :
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
17
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Bài 4 :( Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng )
Cho a
3
+ b
3
= 2 . Chứng minh rằng : a + b


2 .
Giải :
Giả sử : a + b > 2 => (a + b )
3
> 8
=> a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b) > 8
=> 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a
3
+ b
3
= 2 )
=> ab(a + b) > 2
=> ab(a + b) > a
3
+ b
3
( Vì : a
3
+ b
3
= 2 )
Chia cả hai vế cho số dơng a, b ta đợc :
ab > a
2
- ab + b

2
=> 0 > (a - b)
2
Vô lý
Vậy : a + b

2
6. Phơng pháp 6 : Đổi biến số
- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về dạng đơn
giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải
Các ví dụ :
Bài 1 : Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :

2
3

+
+
+
+
+ ab
c
ac
b
cb
a
Giải:
Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z
=> a + b + c =
2

zyx ++
=> a =
2
xzy +
, b =
2
yxz +
, c =
2
zyx +
Khi đó :
VT =
ab
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
=
z
zyx
y
yxz
x
xzy

222
+
+
+
+
+
=
2
3
2
3
111
2
3
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
=+++++++
z
y
y
z
z
x

x
z
y
x
x
y
Bài 2 : Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức :
-
4
1
)1()1(
)1)((
4
1
2222
2222

++


yx
yxyx
Giải:
Đặt : a =
)1)(1(
22
22
yx
yx
++


và b =
)1)(1(
1
22
22
yx
yx
++

=> ab =
2222
2222
)1()1(
)1)((
yx
yxyx
++

-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
18
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Ta có dễ thấy với mọi a, b thì : -
22
)(
4
1
)(
4

1
baabba +
Mà : (a - b)
2
=
2
2
1
2
1






+

x
(a + b)
2
=
2
2
1
2
1







+

y
Suy ra : -
4
1


ab


4
1
.
Bài 3 : Cho a, b, c > 0 ; a + b + c

1 . Chứng minh rằng :

9
2
1
2
1
2
1
222


+
+
+
+
+ abccabbca
Giải :
Đặt : a
2
+ 2bc = x ; b
2
+ 2ca = y ; c
2
+ 2ab = z
Khi đó : x + y + z = a
2
+ 2bc + b
2
+ 2ca + c
2
+ 2ab
= (a + b + c)
2


1
Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z

1 .
Cứng minh rằng :


9
111
++
zyx
Ta chứng minh đợc : (x + y + z)(
9)
111
++
zyx
Theo bất đẳng thức Côsi
Mà : x + y + z

1 nên suy ra
9
111
++
zyx
.
Phần iii : ứng dụng của bất đẳng thức
I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
- Kiến thức : Nếu f(x)

m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m .
Nếu f(x)

M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M .
Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị .
Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đ-

ơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức
Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chú ý :
BABA ++

Xảy ra dấu '' = '' khi AB

0
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
19
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9

0A
Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0
Ví dụ :
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = a
3
+ b
3
+ ab ; Cho biết a và b thoả mãn : a + b =
1 .
Giải
B = (a + b)(a
2
- ab + b
2
) + ab = a
2

- ab + b
2
+ ab = a
2
+ b
2

Ta có : 2(a
2
+ b
2
)

(a + b)
2
= 1 => a
2
+ b
2



2
1
Vậy min B =
2
1
khi a = b =
2
1

Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x
2
+ x)(x
2
+ x - 4)
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
B = - x
2
- y
2
+ xy + 2x +2y
Giải
a, A = (x
2
+ x)(x
2
+ x - 4) . Đặt : t = x
2
+ x - 2
=> A = (t - 2)(t + 2) = t
2
- 4

- 4
Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 x
2
+ x - 2 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0 x = -2 ; x = 1 .
=> min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;

b, Tơng tự
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
a, C =
1232 + xx

b, D =
63
22
++++ xxxx

c, E =
4321 +++ xxxx
Giải :
a, áp dụng BĐT :
BABA ++
Dấu '' = ''xảy ra khi AB

0 .
=> C =
2221322132 ==++ xxxx
Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x)

0
2
3
2
1
x

Vậy minC = 2 khi

2
3
2
1
x
b, Tơng tự : minD = 9 khi : -3

x

2
c, minE = 4 khi : 2

x

3
Bài 4 : Cho a < b < c < d , tìm :
Minf(x) =
ax
+
bx
+
cx
+
dx
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
20
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Hớng dẫn : tơng tự : minf(x) = d + c - b - a khi b


x

c
Bài 5 : Cho ba số dơng x , y , z thoả mãn :
x+1
1
+
y+1
1
+
z+1
1


2
Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz
Giải :

x+1
1


(1 -
y+1
1
) + ( 1 -
z+1
1
) =
y

y
+1
+
z
z
+1


2
)1)(1( zy
yz
++
Tơng tự :
y+1
1


2
)1)(1( zx
zx
++

z+1
1


2
)1)(1( yx
xy
++

Từ đó suy ra : P = xyz


8
1
MaxP =
8
1
khi x = y = z =
2
1
Bài 6 : Cho 3 số dơng a, b, c thảo mãn : a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
F =
222
)
1
()
1
()
1
(
c
c
b
b
a
a +++++
Giải:
Ta có : F = (a
2

+ b
2
+ c
2
) + (
222
111
cba
++
) + 6
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có :
(a.1 + b.1 + c.2)
2


3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
=> a
2
+ b
2
+ c
2




3
1
Tơng tự :
2
)
111
(
cba
++


3
)
111
(
222
cba
++
Mặt khác :
=++
cba
111
(
cba
111
++
).1 = (
cba
111

++
)(a + b + c)
= 3 + (
a
b
b
a
+
) + (
b
c
c
b
+
) + (
c
a
a
c
+
)

3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
cba
111
++


9

=>
2
)
111
(
cba
++


81
=>
)
111
(
222
cba
++


27
F


3
1
+ 27 + 6 = 33
Du '' = '' xy ra khi : a = b = c =
3
1
-

Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
21
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Vy MinF = 33
3
1
khi : a = b = c =
3
1
.
Bi 7 : Cho G =
xyz
zxyyzxxyz 321 ++
Tỡm giỏ tr ln nht ca G :
Gii : Tp xỏc nh : x

1 ; y

2 ; z

3
Ta có : G =
x
x 1
+
y
y 2
+
z
z 3

Theo BT Cụsi ta cú :
2
11
1
+

x
x
=>
x
x 1

2
1

Tơng tự :
22
1
2


y
y
;
32
13


z
z

=> G


32
1
22
1
2
1
++
Vậy MaxG =
32
1
22
1
2
1
++
đạt đợc khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6
Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H =
1x
x
với x > 1 .
b. Tìm giá trị lớn nhất của K =
2
1. xx

HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 :
II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình .
- Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất

đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của
phơng trình .
Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ)
=> phơng trình có nghiệm .
Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn .
=> phơng trình vô nghiệm .
- Các ví dụ :
Bài 1 : Giải phơng trình :
13
1x
+ 9
1+x
= 16x
Giải:
Điều kiện : x

1 (*)
Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13
1x
+ 9
1+x
= 13.2.
1
2
1
x
+ 3.2.
1
2
3

+x
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
22
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9


13( x - 1 +
4
1
) + 3(x + 1 +
4
9
) = 16x
Dấu '' = '' xảy ra






=+
=
2
3
1
2
1
1
x

x
x =
4
5
thoả mãn (*)
Phơng trình (1) có nghiệm dấu '' = '' ở (2) xảy ra
Vậy (1) có nghiệm x =
4
5
.
Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L =
32 x
+
x25
b. Giải phơng trình :
32 x
+
x25
- x
2
+ 4x - 6 = 0 (*)
Giải :
a. Tóm tắt : (
32 x
+
x25
)
2



2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4

32 x
+
x25


2
=> MaxL = 2 khi x = 2 .
b. TXĐ :
2
5
2
3
x

(*)
32 x
+
x25
= x
2
- 4x + 6
VP = (x - 2)
2
+ 2

2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
=> với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
=> phơng trình (*) có nghiệm x = 2 .

Bài 3 : Giải phơng trình :

x6
+
2+x
= x
2
- 6x + 13
Giải : TXĐ : -2

x

6.
VP = (x - 3)
2
+ 4

4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
VT
2
= (
x6
.1 +
2+x
.1)
2


(6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
=> VT


4 , dấu '' = '' xảy ra khi
x6
=
2+x
x = 2 .
=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm
Bài 4 : Giải phơng trình :

16123
2
+ xx
+
134
2
+ yy
= 5
HD :
16123
2
+ xx

2 ;
134
2
+ yy

3 => VT

5 .

Dấu '' = '' xảy ra khi :



=
=
02
02
y
x




=
=
2
2
y
x

=> phơng trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
23
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Ngày soạn :1/10/2008
Buổi 9: TèM GTLN V GTNN
C/ CC DNG TON C TH:
Dng I: Cỏc bi toỏn m biu thc l a thc

Vớ d 1: Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
33)(/
2
++=
xxxfa
)5()(/ = xxxgb
Gii
4
3
2
3
4
3
4
9
2
3
233)(/
2
22
+






+=+++=++=
xxxxxxfa
Ta cú

,0
2
3
2







+x
nờn
4
3
4
3
2
3
2
+






+x
Vy: f(x) t GTNN bng
4

3
khi
2
3
0
4
3
2
==






+ xx
Cỏch gii chung ca bi toỏn trờn l:
Ta bin i a thc ó cho v dng:
( )
[ ]
axh +
2
trong ỏ a l mt hng s. Vỡ
( )
[ ]
0
2
xh
nờn
( )

[ ]
aaxh +
2
. Do ú GTNN ca biu thc ó cho bng a khi h(x) =0.
Vớ d 2: Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
142)(/
2
+= xxxfa
2
)(/ xxxgb =
Gii
( )
151142)(/
2
2
++=+= xxxxfa
Ta cú
( )
01
2
+x
nờn
( )
01
2
+ x


( )
15151

2
++ x
Vy: f(x) t GTLN bng 15 khi
( )
101
2
==+ xx
Cỏch gii chung ca bi toỏn trờn l:
Ta bin i a thc ó cho v dng:
( )
[ ]
axh +
2
trong ỏ a l mt hng s. Vỡ
( )
[ ]
0
2
xh
nờn
( )
[ ]
aaxh +
2
. Do ú GTLN ca biu thc ó cho bng a khi h(x) =0.
2/ Bi tp t gii:
Bi tp 1: Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
132)(
2
++= xxxf


ỏp s: f(x) t GTLN bng
4
3
8
17
=xkhi
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
24
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Bi tp2 : Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
1
64
1
)(
2
=
x
xxg
ỏp s: g(x) t GTNN bng
3
1
36
37
= xkhi
Bi tp 3: a/ Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
)4)(3)(2)(1()( ++++= xxxxxf
ỏp s: f(x) t GTNN bng
2

55
1
2,1

= xkhi
b/ Gii phng trỡnh trờn khi f(x)=3
ỏp s: Phng trỡnh cú nghim
2
135
2,1

=x
Bi 4: Cho phng trỡnh
( ) ( )
01381
222
=++++ xmmxmm
Gi
21
, xx
l hai nghim ca phng trỡnh trờn. Tỡm GTLN v GTNN ca biu tng S=
21
xx +
ỏp s: S t GTLN bng
1323
3413
3
132



=mkhi
S t GTNN bng
1323
3413
3
132
+
+
= mkhi
Bi 5: Cho x v y tha món iu kin : 3x + y = 1
a/ Tỡm GTNN ca biu thc:
22
3 yxM +=
ỏp s: M t GTNN bng
4
1
;
4
1
4
1
== yxkhi
b/ Tỡm GTLN ca biu thc: N = 2xy
ỏp s: N t GTLN bng
2
1
;
6
1
6

1
== yxkhi
Dng II: Cỏc bi toỏn m biu thc l phõn thc
ng li chung gii dng toỏn ny: Cho biu thc
)(
)(
xG
xF
A =
. Biu thc A t GTLN khi
F(x) t GTLN v G(x) t GTNN; biu thc A t GTNN khi F(x) t GTNN v G(x) t
GTLN.
1/ Vớ d:
Vớ d 1: Tỡm GTLN ca biu thc:
106
35183
2
2
+
+
=
xx
xx
A
Gii
( )
13
5
3
106

5
3
106
35183
222
2
+
+=
+
+=
+
+
=
x
xxxx
xx
A
A t GTLN khi
( )
13
2
+x
t GTNN, m
( )
113
2
+x
Vy GTLN ca
8
1

5
3 =+=A
khi
( )
303
2
== xx
Cỏch gii chung ca bi toỏn trờn l:
Ta thy bc ca t thc bng bc ca mu thc, ta thc hin phộp chia a biu
thc v dng A = M +
)(xf
N
(M, N l hng s). Do ú biu thc A t GTLN khi biu thc f(x)
t GTNN.
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
25

×