BAI ON TAP HSG VA THI CHUYEN

BÀI TẬP TỔNG HỢP
1
A  x 2  x   2017
x
Bài 1: Cho x  0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
1
2
3
Bài 2(2 điểm) Cho x là số thực âm thỏa mãn x2 + x = 23, tính giá trị của biểu thức A = x3 + x .
2) Phân tích thành nhân tử biểu thức sau:
x4 – 2y4 – x2y2 + x2 + y2.
Bài 3 (2 điểm)
1) Cho x, y là 2 số dương thỏa mãn x + y = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
2
2
P = (1 - x )(1 - y ) .
2) Tìm nghiệm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 2x2 – 2xy = 5x – y – 19.
444....4
888.....8
  
  
2n
n
Bài 4 (1,0 điểm)Cho số nguyên dương n và các số A =
(A gồm 2n chữ số 4); B =
(B
gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương.
Bài 5. (1,0 điểm)

Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2017. Tìm GTLN của
a
b
c
+
+
A= a + 2017a + bc b + 2017b + ca c + 2017c + ab .
Câu 6(1 điểm)
Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013.
Câu 7(1,5 điểm): Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 3.

x2
y2
z2


y

3
z
z

3
x
x 3y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
4n
4n
4n
4n

Câu 8(1,0 điểm): Chứng minh N 2012  2013  2014  2015 không phải là số chính
phương với mọi n là số nguyên dương.
Câu 9 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
a
4b
9c
S


b c  a c  a  b a b  c .
Tìm giá trị nhỏ nhất ca biu thc
Câu 10 1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dơng và biết f(5) f(3) 2010 .
Chứng minh rằng: f(7) f(1) là hợp số.
2) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc:

P  x 2  4x  5 

x 2  6x  13

x 6  3 x 5  3 x 4  x 3  2017
6
3
2
3) Cho biu thc
. Tính giá trị của biểu thức Q = x  x  3 x  3 x  2017
Câu 11.Cho f (x)=ax2 + bx+ c> 0 với mọi x và a,b,c nguyên dơng ( b khác 1).
3350 a+1340 c +4 ac+2 b+1
Chøng minh r»ng :
>2014
b

Câu 12:1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
Chứng minh rằng
a
b
c
3 ab
bc
ca
+
+
= +
+
+
b+c b+ c a+c 4 ( a+ b ) ( b+c ) ( b +c ) ( c+ a ) ( c +a )( a+b )
2

x − x −1=0


2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc − (10 d+ e ) chia hết cho
101?
Bài 13 Cho a + b = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab (a2 + b2)
Bài 14: b) Tìm tất cả các số hữu tỷ x sao cho A = x2 + x+ 6 là một số chính phương.

(x 3  y3 )  (x 2  y 2 )
8
(x

1)(y


1)
a) Cho x > 1 và y > 1. Chứng minh rằng :
Câu 15. (2 điểm)
a) Giải phương trình: x 2 x  2  5 x 9 .
1 1 1
  0
b) Cho ba số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện x y z
. Tính giá trị biểu thức:
yz
zx
xy
A 2
 2
 2
x  2 yz y  2 zx z  2 xy
8x
3(3x  2) 2  7
y
Câu 16.Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng:
2
2
Câu 17. Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số M a  ab  b (a, b ∈ N* )là 0.
a) Chứng minh rằng M chia hết cho 20.
b) Tìm chữ số hàng chục của M.
2
2
2
Câu 18 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 1 . Chứng minh:

ab  2c 2

bc  2a 2
ac  2b 2


2  ab  ba  ca
1  ab  c 2
1  bc  a 2
1  ac  b 2
Câu 19 (2,0 điểm).
2  12013  2 2013  ...  n2013 
n  n  1
n
a) Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì
chia hết cho
.
2
2
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thỏa mãn điều kiện p  2q 1 .
Câu 20 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh:
a
b
c
3



 a 1  b 1  b 1  c 1  c 1  a 1 4
3
3
Câu 21: Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x  y x  y

a) Chứng minh rằng: y x 1
3
3
2
2
b) Chứng minh rằng: x  y x  y 1
2
Caâu 22: Cho M a  3a  1 với a là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ.
b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5?
2

 x2 
 x 1

  4 2
x

2


x 
Câu 23: (2.0 điểm ) Giải phương trình:

2

1   x 1 
 3
 0

2   x  2 

Câu 24: (1 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z t/m: x + y + z = 9


S
Tìm giá trị nhỏ nhất của BT:

x3
y3
z3


x 2  xy  y 2 y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2

Bài 25 : ( 1 điểm) Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện
3yz 4xz 5xy
+
+
4
x
y
z
Chứng minh rằng :

2 xy  xz 1

.

Bài 26: (1,0 điểm) Cho các số a, b, c, d tháa m·n ®iỊu kiƯn: ac  bd 1 . Chøng minh r»ng:

a 2  b 2  c 2  d 2  ad  bc  3
Bµi 27: (2,0 điểm)
a) Cho

f x 0

f x

là một ®a thøc víi hƯ sè nguyªn. BiÕt

f  1 .f 2 2013

, chứng minh phơng trình

không có nghiệm nguyên.
4

b) Cho p là một số nguyên tố. Tìm p để tổng các ớc nguyên dơng của p là một sè chÝnh ph¬ng.
Bài 28: ( 0,5 điểm)
Cho 2 số thực a và b thỏa mãn a>b và ab= 4.
a 2  b2  1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a  b
Câu 29 (1,5 điểm)
2
1. Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2 ( x 2 +2 y 2 −3 ) + ( y 2 − 2 ) =1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức C = x 2 + y 2
2
a −2
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho

là số nguyên.
ab+2
Câu 30. (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn phương trình:

x 2  2 y 2  3xy  2 x  4 y  3 0.


b) Cho tứ giác lồi ABCD có BAD và BCD là các góc tù. Chứng minh rằng AC  BD.
Câu 31. (1,5 điểm)

 x2
x 2
1 
x 1
A 


:
 x x  1 x  x  1 1  x  x  x  1 với x 0, x 1 .
a) Rút gọn biểu thức


x
b) Cho
Câu 32. (1,5 điểm)



3  1 . 3 10  6 3

21  4 5  3

, tính giá trị của biểu thức

P  x2  4x  2





2017

3
3
2
2
a) Cho các số dương x, y thỏa mãn x  y  x  y . Chứng minh rằng x  y  1.

2 x  y 2  1

2
2 y  z  1.
2 z x 2  1
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 33. (2,0 điểm)


x  y 2017
 x; y; z  thỏa mãn y  z 2017 là số hữu tỷ, đồng thời
a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương

x 2  y 2  z 2 là số nguyên tố.
b). Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 5x2 + y2 = 17 + 2xy

 x; y; z  thỏa mãn: x3 + y3 = 2z3 và x + y + z là số nguyên tố.
 x; y; z  thỏa mãn: x3 + y3 = z3 và x + y + z là số nguyên tố.
d) Tìm tất cả các bộ số tự nhiên
c) Tìm tất cả các bộ số tự nhiên

Câu 34: (1,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b để M = a4 + 4b4 là số nguyên tố.
Câu 35 (5,0 điểm)
a) Khơng sử dụng máy tính cầm tay, chứng minh rằng
b) Giải phương trình x4 – x3 – 14x2 + x + 1 = 0.

x 
c) Cho

x 2  2017

 y 

y 2  2017

3

5 2 7 

3

5 2  7 2 2

.

 = 2017. Tính P = x + y.

Bài 36. (1.0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu x  y 1 thì

x

b) Cho 1 a, b, c 2 . Chứng minh rằng

1
1
y 
x
y.
1 1 1
   10
a b c
.

 a  b  c  

Bài 37. (2.0 điểm) Cho a, b là hai số nguyên dương thỏa mãn a  20 và b  13 cựng chia hết cho 21.
a
b
Tỡm số dư của phép chia A 4  9  a  b cho 21.

Bài 38 (1đ ): Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x  y  1998

4
2
Bài 39 (1đ): Giải phương trình: x  x  2018 2018

Bài 40 (1đ ): Cho hai số dương x, y thay đổi sao cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 
1 

 1  2 . 1  2 
x 
y 
P= 
4 x2  1
2
Bài 41 (1đ ): Cho 0 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x (1  x)
Bài 42 (1đ ): Cho a , b là các số thực thoả mãn điều kiện a  b  0 . Chứng minh rằng:
2

 ab  1 
a b 
 2
 a b 
2

2

a
5(a 2  1) 11



2
2a
2
Bài 43 (1đ ): Chứng minh rằng với a > 0, ta có: a  1
Bài 44 (1đ ): Cho hai số tự nhiên a, b khác 0 và a  b = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của tích ab .
Bài 45 (1đ ): Tìm nghiệm dương của phương trình:


1 x 

x2  1



2016



 1 x  x2  1



2016

22017

3x 2
y + yz + z = 1 2 .

Cho các số thực x, y, z thoả mãn:
2

Bài 46 (1,0 điểm) :

2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z .
Bài 47 (1.0 điểm): Cho a, b là c¸c số dương thảo m·n a + b = 4.
33
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a + b + ab
2

2

Bài 48 : Cho ba số dường a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức :

a
b
c


2
bc
a c
a b

Bài 49:(1.0 điểm)

Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả món điều kiện a + b  1 và

8a 2  b
 b2
4
a
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A =

a>0

Câu 50: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm GTLN của biểu thức

Câu 51 (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa món điều kiện:
5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z.
Câu 52: Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa món x + y + z = 9. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
y3
z3
x3
S 2


x  xy  y 2 y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2 .
1 2 3
 
Câu 53: Cho a,b,c là 3 số thực dương thừa món: a2 + 2b2  3c2 . CMR: a b c

1
1
1


2017

a
,
b
,
c
a

b
b

c
c

a
Cõu 54:Cho
là các số dương thay đổi thỏa món:
. Tìm giá trị
1
1
1
P


.
2a  3b  3c 3a  2b  3c 3a  3b  2c
lớn nhất của biểu thức:
Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: x  y  z 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất
x 1 y 1 z 1
Q



1  y2 1  z2 1  x 2 .
của biểu thức:
Câu 57: Cho 4 số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 2.


A

 x  y  z  x  y
xyzt

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 58 (1,0 điểm)

x
Giải phương trình :

Câu 59: Tìm GTNN của biểu thức:
Với a; b dương thỏa mãn: 2a  3b 4

Q

3

3

.



 4 

3

( x 2  4) 2  4

2

.

2002 2017

 2996a  5501b
a
b

Câu 60: Tìm min – max của biểu thức: Q = a2 + b2 + c2 biết a, b, c là các số lớn hơn hoặc bằng 1 và
ab + bc + ca = 9

1
1 1
 2  2 3
2
y
z
Câu 6.Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
2 2
2 2
2 2

yz
zx
x y
P


x  y2  z2  y  z2  x 2  z  x 2  y2 
thức:
.
1
1
2
 2

2
Câu 2( 1 điểm) Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn x  1 y  1 xy  1
1
1
2
 2

x  1 y  1 xy  1
Tính giá trị biểu thức
Câu 1. (1.5 điểm )Cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số
1 1
1 1
1 1
1 1
a 2   ;b 2   ;c 2   ;d 2  
b c

c d
c d
a b Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.
Câu 2. (1.5 điểm )Giải phương trình :
P

x

2

2

2

 2 x   4  x  1 

2

2

2

x 2   x  1   x 2  x  2017

Câu 3. (3.0 điểm )
2
3
3
4
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a b ;c d ; a d  98

1
1
x  2; x 2  2 2; x  ; x 
x
x có đúng một
2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số
số không phải là số nguyên.

Câu 5: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2, b 2 và a+b+2c=6 . Chứng minh rằng:
1) a 2  b 2  4ab  16 4c 2  16c  20
2)

4  b2
2
4   c  2   1





a2
 5 0
(a  b) 2  6ab  16

Câu 5 : ( 1 điểm ) Cho a; b ; c là độ dài ba cạnh của tam giác .Chứng minh rằng
a2 +b2 −c 2
b2 +c 2 − a2
c2 +a2 − b2
+
+

>1
2 ab
2 bc
2 ca


1 1 1
 
b. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + a b c ≥ 6.

Bài 5: (1,0 điểm)
Cho các số tực a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh:
3  a2 3  b2 3  c2


6
N = bc c a ab
Bài 5: Cho hai số dương x, y thỏa x  2y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

2x 2  y 2  2xy
xy

2
2
Bài V (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a  b 4 , tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức

M

ab
a b 2

2
2
2
Câu 5. Cho các số thực x, y , z thoả mãn x  y  z 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F xy  2 yz  zx .
Câu V (1,0 điểm) Cho 2015 số nguyên dương a1;a2 ;a3 ;...;a2015 thỏa mãn điều kiện:
1
1
1
1


 ... 
89
a1
a2
a3
a2015

Chứng minh rằng trong 2015 số ngun dương đó, ln tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.
Câu 5. (1,0 điểm)
1) Giải phương trình

3x 2  6 x  6 3

 2  x

5

  7 x  19  2  x .


2)

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
T

a
b
c
 4
 4
4
4
b  c  a a  c  b a  b4  c .
4

thức:
Câu 5 (3 điểm).Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x  y 3 . Chứng minh rằng:
1 2 9
xy
 
2x y 2
Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:
1

1 
 1 1 1
 1
7  2  2  2  6 
    2017.
a b c 
 ab bc ca 

1

P

2

2

3(2a  b )



1
2

2

3(2b  c )



Tìm GTLN của biểu thức:

Câu 4: (1.0điểm): Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x > y và xy = 1

x
Chứng minh rằng:

2

 y2 

 x  y

1
3(2c 2  a 2 )

.

2

8

2

2 x +2 x √ x −1 x 2+ √ x
( x> 0 ; x ≠ 1 ) .
+
−
Bài 1 (3,0 điểm).Cho biểu thức: P=
x− √ x x √x+x
√x
a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của thức P khi x=3 −2 √ 2
c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức
7
P

chỉ nhận một giá trị nguyên.

Bài 3 (1,0 điểm).Giải phương trình:

9
2x
+
−1=0.
2
x √ 2 x 2 +9

Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh
1
1
1
3
+ 2 + 2 ≥
a +1 b +1 c +1 2
Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

rằng:

2

thức Q  3a  bc  3b  ca  3c  ab .

Bài 5:

2

2

2

Cho a,b,c > 0 thoả mãn a  b  c 1

a
b
c
3 3
 2
 2

2
2
2
c a
a b
2
Chứng minh rằng : b  c
2


 x 2  xy2016  (y2016  1) 0
4
3

x,
y
 x  1  y  2016x  2015
Câu5(1,0điểm). Cho hai số thực
thỏa mãn 
5
1
P  (x  1) 2016  (y  2) 2015  2017.
2
2
Hãy tính giá trị của biểu thức:

Bài 5. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
2
2
2
2
biểu thức: P  3a  2ab  3b  3b  2bc  3c  3c  2ca  3a
Câu 5: (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn: 0 a b c 1 . Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức:

Q a 2  b  c   b 2  c  b   c 2  1  c 

.

1 1
 2
a

,
b
a
b
Câu V (1,0 điểm): Cho hai số dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
1
Q 4
 4
2
2
2
a  b  2ab b  a  2ba 2 .
Câu 5: (1.0 điểm) Cho x, y > 0, x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
1
1
40
M = 8  x4 + y 4  + 5 + 5 + 2 2 x
y
x y xy .
Bài 5(0,5 điểm ):

Cho a,b là hai số dương và a  b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

S ab 

1

ab

Bài 5. (0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a + b + c = 1009.

Chứng minh rằng:

(b  c) 2
(c  a) 2
(a  b) 2
2018a 
 2018b 
 2018c 
2018 2.
2
2
2

a; b; c  0

Bài 5: (1 điểm). Cho a  b  c 1
Tìm giá trị lớn nhất của: S  a  b  b  c  c  a
Câu V ( 1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương.

P
Chứng minh rằng

3( x3  y 3  z 3 )
1
3



2
4( xy  yz  zx) ( x  y  z ) 4


Bài V ( 0,5 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c 2017 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q  2017a  bc  2017b  ca  2017c  ab .

x

2

 x  1  x 2  4x  1 6x 2

Giải phương trình:
3





2

 x  4  ( x  4)  4 .
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình :
Bài 5: (1,0 điểm).
Cho các số thực a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng:

3

3

2

2

3  a 2 3  b2 3  c2
N


6
b c c a a b
a2
b2
c2


12
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh: b  1 c  1 a  1
.

Câu 6. (0,5 điểm): Cho ba số dương a, b, c thay đổi thoả mãn: a2 + b2 + c2 = 3.

 1 1 1
P  2(a  b  c)     
a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4: (1.0điểm): Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x > y và xy = 1

x
Chứng minh rằng:
Bài 5: (1,0 điểm)

2

 y2 

 x  y

2

2

8

Cho x, y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy  5 x  2016

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c.Chứng minh:
2
2
2
 a  b    b  c    c  a  9  2  a  b  c 


ab
bc

ca
 b c a c a b 
Bài 2: Cho hình vng ABCD trên cạnh BC lấy một điểm E sao cho E

B.Tia AE cắt tia DC
tại K. Kẻ đường thẳng qua A và vng góc với AE. Đường thẳng này cắt đường thẳng CD tại
I.


1

1

a) Chứng minh rằng AE + 2 không đổi khi E di chuyển trên BC.
AK
b) Tìm vị trí của E để độ dài IK ngắn nhất.
c) Đương thẳng đi qua A và vng góc với IE cắt đường thẳng CD tại M.Chứng minh rằng
1
1
2
+
= √
AE AK AM
3. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x + y + z = 3
x
y
z
S



2
2
1  y 1  z 1  x2
Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 5: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1.
2
2
2
2
2
2
Chứng minh rằng: 2 x  xy  2 y + 2 y  yz  2 z + 2 z  zx  2 x  5

Câu 5 (1,5 điểm). Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x  y 2017 . Tính giá trị nhỏ
2
2
nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P x ( x  y )  y ( y  x) .


a 5 b 5 c5
  a 3  b3  c3
bc ca ab

Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR:
2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM  BC, kẻ IN
2
2
2
 AC, IK  AB. Tìm vị trí của I sao cho tổng IM + IN + IK nhỏ nhất.

Bài 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  1.

x  1  y3 

y  1  z3 

z 1  x3 



y3
z3
Chứng minh rằng:
Câu 9: (1 điểm) Cho x , y là các số thực dương bé hơn 1.

x3

0

xy  1  x  y 
.
 x  y 1 x 1 y 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
Câu 8(0,5 Điểm): Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2.
3
3
2
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x  y  x  y

Bài 4: (1,5đ)

x 2  2 y 2  2 xy  4 x  8 y  7 0

4.1)Giải phương trình nghiệm nguyên :
4.2)Cho 3 số thực không âm a; b; c . Ch/m rằng:

ab  b 2  bc  ca   bc  c 2  ac  ab   ca  a 2  ab  bc   ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2 
Câu 5. (1,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số thực dương, chứng minh bất đẳng thức sau:

1
1
1
3



a 3a  2b b 3b  2c c 3c 2a
5abc
2) Cho 3 số thực x, y, z bất kì, thỏa mãn: x + y + z = 0 và xyz

0

y2
x2
z2


2

2
2 z 2  x2  y 2 x 2  y 2  z 2
Tính giá trị của biểu thức: P = y  z - x


Câu 3. (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình:
x3 – y3 = 6xy + 3

1
3
x
,
y
xy
Câu 5: Cho các số dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 1
1 
3
P 2 


2
2 
 1  x 1  y  1  2 xy .
x2  y2 

2
2

Câu 3 (2,0 điểm) a) Giải phương trình 3 x  4 3 x x  4 .
2
 x  5 xy  3 x  1 0
 2
4 y  xy  6 y  1 0.
c) Giải hệ phương trình 
Câu 5: Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:

9
P  x 2  y 2  z 2  xyz
2
.

Câu 5: (1 điểm) Chứng minh P(n) = n4 – 14n3 + 71n2 – 154n + 120 luôn chia hết cho 24,
với mọi số tự nhiên n  N*
2 x 2  4 x  y 3  3 0
 2 3
Câu 6: Giải hệ phương trình  x y  y 2 x
x2 1
4
2
Bài 1. Tìm x, y nguyên sao cho y
là số chính Phương
Đk: y 0

Ta có

x2  1

4
y2
= k2 ( k nguyên)

 x 2  1  4 y 2 k 2 y 2

Đặt x2 = 4m2, y2= m (m Nguyên ).
Ta có . 4m2 + 1 + 4m = k2m
 4m2 +m( 4 – k2) +1 = 0
 = (4 – k2)2 –16 Phương trình có nghiệm nguyên khi  là số chính phương
Suy ra :(4 – k2)2 –16 = n2 ( n nguyên )
 (4 – k2 + n)(4- k2 – n) = 16

vì (4 – k2 + n) và(4- k2 – n) cùng tính chẵn lẻ


 4 

 4 

 4 
 4 

 4 

 4 

 4 
 4 


k 2  n 8
k 2  n 2
k 2  n 4
k 2  n 4
k 2  n  4
k 2  n  4
k 2  n  8
k 2  n  2

Ta có.
suy ra k2 = 9 hoặc k2 = 4 (loại)
Thay k2= 9 ta có . 4m2 -5m +1 = 0 suy ra m = 1 thì
(2;  1);  2;1 ;(  2;1);(  2;  1) 
(x,y)  