Bất đẳng thức- CĐ thi vào THPT-HSG và thi chuyên môn Toán của Thanh Hóa

V.Bất đẳng thức , bất phơng trình ,cực trị đại số
V.1 - Bất đẳng thức
1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa : Cho hai số a và b ta có a > b

a b > 0
b) Một số bất đẳng thức cơ bản :
01) Các bất đẳng thức về luỹ thừa và căn thức :

2
0
n
A n Ơ
với A là một biểu thức bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

2
0
n
A
;
0;A n Ơ
; dấu bằng xảy ra khi A = 0

A B A B+ +
Với
0; 0A B
dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bằng không

A B A B
với A B o dấu bằng xảy ra khi B = 0
02) Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối

0A
Với A bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

A B A B+ +
dấu bằng xảy ra khi A và cùng dấu

A B A B
Dấu bằng xảy ra khi A và B cùng dấu và A> B
03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) :
- Cho các số
1 2
1 2 1 2
...
, ,..., 0 ...
n
n
n n
a a a
a a a a a a
n
+ + +


( Trung bình nhân của n số không âm không lớn hơn trung bình cộng của chúng )
Dấu bằng xảy ra khi
1 2
...
n
a a a= = =

- Bất đẳng thức Côsi cho hai số có thể phát biểu dới các dạng sau :

2
a b
ab
+

Với a và b là các số không âm

( )
2
4a b ab+ Với a và b là các số bất kỳ

( )
2
2 2
2
a b
a b
+
+
Với a và b là các số bất kỳ
Dấu bằng xảy ra khi a = b
04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi Svac ) :
- Cho hai bộ các số thực:
1 2
, ,...,
n
a a a
và

1 2
, ,...,
n
b b b
.
Khi đó :
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
... ... ...
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + + + + + + +

Dấu bằng xảy ra khi :
- Hoặc
1 2
1 2
...
n
n
a
a a
b b b
= = =
với a
i
, b
i

khác 0 và nếu
0
i
a =
thì
i
b
tơng ứng cũng bằng 0
- Hoặc có một bộ trong hai bộ trên gồm toàn số không
- Bất đẳng thức Côsi Svac cho hai cặp số :

( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ax by a b x y+ + +
Dấu bằng xảy ra khi ay = bx
05) Bất đẳng thức
1
2x
x
+
Với x > 0 ;
1
2x
x
+
Với x < 0
c) Các tính chất của bất đẳng thức :
01) Tính chất bắc cầu : Nếu a > b và b > c thì a > c

02 ) Tính chất liên quan đén phép cộng :
Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : Nếu a> b thì a +c > b+ c
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : Nếu a > b và c > d thì a+c > b +d
03 ) Trừ hai bất đẳng thức ngợc chiều : Nếu a > b và c < d thì a c > b d
04 ) Các tính chất liên quan đến phép nhân :
- Nhân 2 vế của bất đẳng thức với một số
Nếu a >b và c > 0 thì ac > bc
Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc
- Nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều
Nếu a > b >0 và c > d > 0 thì ac > bd
Nếu a < b < 0 và c < d < 0 thì ac > bd
- Luỹ thừa hai vế của một bất đẳng thức :

2 1 2 1n n
a b a b
+ +

Với mọi n Ơ

2 2
0
n n
a b a b
Với mọi n Ơ

2 2
0
n n
a b a b <
Với mọi n Ơ

0 < a < 1
n m
a a <
Với n > m
a > 1
n m
a a >
Với n > m
2. Một số điểm cần l u ý :
- Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không đợc trừ hai bất đẳng thức cùng
chiều hoặc nhân chúng khi cha biết rõ dấu của hai vế . Chỉ đợc phép nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng
một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó
- Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra đợc số lớn nhất và số nhỏ nhất .
Tính chất này đợc dùng để sắp thứ tự các ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức
3. Một số ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức :
3.1. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thức x thì :
2
2
3 4 11
2
1
x x
x x
+ +

+
Giải :
Ta có :
2

2
1 3
1 0
2 4
x x x

+ = + >
ữ

Với mọi x
Do vậy :
2
2
3 4 11
2
1
x x
x x
+ +

+
( )
2 2 2 2
3 4 11 2 1 3 4 11 2 2 2x x x x x x x x + + + + + +

( )
2
2
6 9 0 3 0x x x + + + Đúng với mọi x
Dấu bằng xảy ra khi x = -3

Ví dụ 2 : Cho a, b
Ă
và a+b

0 . Chứng minh rằng
5 5
2 2
a b
a b
a b
+

+

Giải :
Ta có :
( )
5 5 2 2
5 5 5 5
2 2 2 2
0 0
a b a b a b
a b a b
a b a b M
a b a b a b
+ +
+ +
=
+ + +
Xét tử của M :

( ) ( ) ( ) ( )
5 5 3 2 2 3 5 2 3 3 2 5 2 3 3 2 3 3
a b a b a b a a b a b b a a b b a b+ = = =

( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
1 3 1 3
4 4 2 4
a b a b a b a ab b a b a b
a b a b a ab b b a b a b a b b
= + + =



= + + + = + +

ữ ữ

Vì a+b

0 nên M=
( )
2
2
2
1 3
2 4
a b a b b


+

ữ



> 0 do a, b không thể đồng thời bằng 0

3.2. Ph ơng pháp phản chứng:
Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn
0
0
0
a b c
ab ac bc
abc
+ + >

+ + >


>

.
Chứng minh rằng cả ba số đó đều dơng
Giải
- Giả sử có một số không dơng: a 0
Từ abc > 0 ta có: bc < 0 (* )
Từ a+b+c >0 ta có: b + c > - a > 0
Từ ab +bc+ac >0 ta có: bc + a(b + c) > 0 bc > - a (b + c) > 0 (**)
Ta có (*) và (**) mâu thuẫn nhau đpcm.
3.3. Ph ơng pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản :
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với x, y > 0. Ta có : ( 1 + x) (1 + y)

(1 +
xy
)
2
Giải
Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có :

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
(1 )(1 ) 1 1 1x y x y xy

+ + = + + +

ữ ữ

Cách 2 : Theo bất đẳng thức Cosi ta có:
( )
2
2
1 1
(1 )(1 )
1 1 1
2
1 1 (1 )(1 )
2 1 1
2 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xy
x y
x y
x y
x y x y
xy xy
xy x y x y xy
x y x y
+
+ +
+ +
+
+ + + +
+ +
+ + + <=> + + +
+ + + +

Dấu bằng xảy ra khi x = y
Ví dụ 5 : Cho
,a b Ă
và 3a + 4 = 5 . Chứng minh rằng
2 2
1a b+
Giải :
Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có :

( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2
5 3 4 3 4a b a b a b= + + + +
1
Dấu bằng xảy ra khi :
3
3 4 5
5
4
3 4
5
a b
a
a b
b

+ =
=

=

=



Cách 2 : Từ 3a +4b = 5 ta có a=
5 4
3
b
Vậy
2
2 2 2 2 2
5 4
1 1 25 40 16 9 9
3
b
a b b b b b


+ + + +
ữ


( )
2

2
25 40 16 0 5 4 0b b b + Đúng với mọi x
Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi góc nhọn x ta có :
a ) sin x + cosx
1
2

b) tgx + cotgx 2
Giải :
a) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có :
sin x + cosx
2 2
sin cos 1
2 2
x x+
=

Dấu bằng xảy ra khi sinx = cosx hay x = 45
0
b ) Vì tgx , cotgx >0 . áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta có ;
tgx + cotgx 2 .cot 2tgx gx = ( Vì tgx . cotgx = 1 )
Dấu bằng xảy ra khi tgx = cotgx hay x= 45
0
Ví dụ 7 : Cho
4a

. Chứng minh rằng :
1 17
4
a

a
+
Giải :
Ta có :
1 1 15
16 16
a a
a
a a
+ = + +
áp dụng bất đẳng thức Cosicho hai số dơng
16
a
và
1
a
ta có :
1 1 1 1
2 . 2
16 16 16 2
a a
a a
+ = =
Mà :
15 15 15
4 .4
16 16 4
a
a =
Vậy

1 17
4
a
a
+
Dấu bằng xảy ra khi a = 4
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng với mọi số thực x , y ta có :
2 2
5 2 2 4 6 10x y xy x y+ >
Giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với :

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2
5 2 2 4 6 10
4 4 1 6 9 2 0
2 1 3 0
x y xy x y
x x y y x xy y
x y x y
+ >
+ + + + +
+ +
Điều này đúng vì
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 0; 3 0; 0x y x y

và không đồng thời xảy ra (2x-1)
2
= (y-3)
2
= (x-y)
2
= 0
3.4. Ph ơng pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của ph ơng trình :
Ví dụ9 : Chứng minh rằng nếu phơng trình:
2x
2
+ (x + a)
2
+ (x + b)
2
= c
2
Có nghiệm thì 4c
2


3(a + b)
2
8ab
Giải
Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 2 0x x a x b c x a b x a b c+ + + + = + + + + + =

Để phơng trình có nghiệm thì :
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2
' 0 4( ) 0 4 3 2 4 3 8a b a b c c a b ab c a b ab + + + +
3.5. Phơng pháp làm trội:
Ví dụ10 : Chứng minh với n

N
*
thì:
2
1
2
1
...
2
1
1
1
>++
+
+
+
nnn
Giải
Ta có:
nnnn 2

11
1
1
=
+
>
+

1 1
2 2n n
>
+
+ .

1 1
2 1 2n n
>


2
1
2
1
.
2
1
...
2
1
1

1
2
1
2
1
=>++
+
+
+
=>
=
n
nnn
nn
4. Các bài tập tự luyện :
Bài 1: Trong tam giác vuông ABC có cạnh huyền bằng 1 , hai cạnh góc vuông là b và c.
Chứng minh rằng : b
3
+ c
3
< 1
Bài 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
2
2
7 15 12
3
1
x x
x x

+

+
Với mọi x
b ) Nếu a + b < 0 thì
( )
3 3
a b ab a b+ +
c ) Nếu x
3
+y
3
= -2 thì
2 0x y + <
d ) Nếu x
3
+y
3
= 16 thì 0 < x +y 4
Bài 3 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a ) Nếu a
2
+b
2
= 13 thì a
2
+b
2
2a +3b
b)

( )
( ) ( )
2 2
5 4 2 1 0x y x y xy+ + +
Với mọi x , y
Ă
Bài 4: a) Cho hai số thực dơng a và b . Chứng minh rằng :
1 1 4
a b a b
+
+
b) Cho 0 < x < 2 và x

1 . Chứng minh rằng :

( )
( )
2
2
1 1
4
2
1
x
x x
x
+ >


Bài 5: a ) Cho a > b > 0 . Chứng minh rằng

2
a b a b
a
+ +
>
b ) áp dụng so sánh
2007 2006
và
2006 2005
Hớng dẫn giải :
Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có 1

= b
2
+ c
2
và 1> b; 1 > c
Vậy 1= b
2
+ c
2
> b
3
+ c
3
Bài 2 : a) Ta có : Vì x
2
- x +1 =
2
1 3

0
2 4
x

+ >
ữ

với mọi x
Nên
2
2 2
2
7 15 12
3 7 15 12 3 3 3
1
x x
x x x x
x x
+
+ +
+

( )
2
2
4 12 9 0 2 3 0x x x + ( Đúng )
Dấu bằng xảy ra khi x =
3
2
b ) Ta có :

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2
2
2 2
2 0 0
a b ab a b a b a ab b ab a b
a b a ab b a b a b
+ + + + +
+ + +
Đúng vì a +b < 0 và a+b
2
0
c) Ta có
( )
( )
3 3 2 2
2 x y x y x xy y = + = + +
Mà
2
2 2 2
3
0
2 4
y
x xy y x y

+ = +
ữ

Nên x + y < 0
Mặt khác :
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
3
3 3
0
2 3 6
3 8 8 2
x y x xy y xy x y x xy y xy x y
y x y xy x y
x y xy x y x y x y
+ + + +
+ +
+ + + + +
Dấu bằng xảy ra khi x = y = -1
d) Tơng tự câu c
Bài 3 : a) áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopxky ta có :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2

2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2 3 13
2 3 2 3
a b a b a b a b
a b a b a b a b
+ + + = + = +
+ + + +
Dấu bằng xảy ra khi a = 2 ; b = 3
b) Ta có :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2
5 4 2 1 0
4 4 1 4 4 1 2 0
2 1 2 1 0
x y x y xy
x x y y x xy y
x y x y
+ + +
+ + + + + + +
+ + + +
Điều này luôn luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi
1 1
;

2 2
x y= =
Bài 4: a ) Ta có:
1 1 4 4a b
a b a b ab a b
+
+
+ +
(*)
Vì a,b > 0; a+b > 0 nên: (*)
( )
2
4a b ab + ( Bất đẳng thức Cosi cho 2 số )
Vậy
1 1 4
a b a b
+
+
với mọi a , b > 0
b) Đặt (x-1)
2
= t thì t > 0 và x(2-x) = -x
2
+2x = 1-(x-1)
2
= 1-t
Vì 0 < x < 2 nên 1-t > 0
áp dụng bất đẳng thức ở câu (a) cho hai số dơng t và 1-t ta đợc
( )
( )

2
1 1 1 1 4
4
2 1 1
1
x x t t t t
x
+ = + =
+

Mà 4 - x
2
< 4 do 0 < x < 2.
Vậy:
( )
( )
2
2
1 1
4
2
1
x
x x
x
+ >


Bài 5: a) Ta có
2

2
a b a b
a a a b a b
+ +
> > + +
Bình phơng hai vế của bất đẳng thức ta đợc:
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 0a a a b a a b a a b b> + > > >
Đúng
b) áp dụng câu a với a = 2006 và b = 1 ta có:

2 2006 2007 2005 2006 2005 2007 2006> + >
V.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Của biểu thức :
1. Kiến thức cần nhớ :
Cho các biểu thức A và B
- Nếu A
a
trong đó a là một giá trị của biểu thức A
Thì a đợc gọi là giá trị lớn nhất của A (GTLN của A ) , đợc ký hiệu là MaxA hay A
Max

- Nếu B b trong đó b là một giá trị của B
Thì b đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của B (GTNN của B ),đợc ký hiệu là Min B hay B
Min

- Các cách biến đổi thờng dùng để tìm GTLN và GTNN.
Cách 1: a) Tìm GTLN: f(x)

g(x)

a
b) Tìm GTNN: f(x)

g(x) a
Cách 2: a) Tìm GTLN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x)

0; g(x)

a)
b) Tìm GTNN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) 0; g(x) a)
Với biểu thức nhều biến có cách làm tơng tự
2. Một số diểm cần l u ý :
- Khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức . Nếu biến lấy giá trị trên toàn tập
Ă
thì vấn đề đã
không đơn giản . Khi biến trong biểu thức chỉ lấy giá trị trong
, ,Ô Â Ơ
hoặc một khoảng giá trị nào đó thì
vấn đề càng phức tạp và dễ mắc sai lầm .
- Một sai lầm thờng mắc phải đó là khi biến đổi các biểu thức theo cách 1 hoặc cách 2 . Ta kết luận giá trị
lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức là a nhng dấu bằng không xảy ra đồng thời
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 4x
2
+ y
2
+2xy+3x+5
Lời giải 1 :
( ) ( )
2 2

2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 3 2 1 3 3P x xy y x x x x x y x x x x x= + + + + + + + = + + + + + Với mọi x
Mà
2
2
1 11 11
3
2 4 4
x x x

+ = +
ữ

Nên Min P =
11
4
khi x =
1
2
và x +y = 0 nên y = -
1
2
Ta thấy lời giải này sai lầm ở chỗ dấu bằng không xảy ra đồng thời . Khi x =
1
2
thì (x-1)
2

0

Lời giải 2 : Ta có
( )
2
2
2 2 2
1 17 1 17 17
2 3 3
4 4 2 4 4
P x xy y x x x y x

= + + + + + + = + + + +
ữ ữ

Vậy Min P =
17
4
Khi
1
0
2
1
1
0
2
2
x y
x
x
y

+ =
=





+ =

=




Ví dụ 2 : Cho a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1
a
a
+
Lời giải 1 : Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có
1 1
2 . 2P a a
a a
= + =
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2
Lời giải này sai lầm ở chỗ 2 1P a= = không thoả mãn điều kiện a 2
Lời giải 2 : Ta có
1 1 3 1 3 3 7
2 . 2

4 4 4 4 4 2
a a
P a a a a
a a a
= + = + + + +
Vậy Min P =
7
2
khi a = 2
3. Bài tập ví dụ :
-Về bản chất bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức và bài toán chứng minh bất đẳng
thức có thể coi là tơng đơng nhau . Bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức nếu ta phán
đoán đợc kết quả thì bài toán trở thành chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 3: Cho x, y, z

R thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
Tìm GTLN của P =
zyx 32
++
Giải:
Theo bất đẳng thức Cosi Bunhiacopxki ta có:
P
2
= ( x + 2y + 3z)

2


(1
2
+ 2
2
+ 3
2
) (x
2
+ y
2
+ z
2
) = 14
Nên P
14

Dấu = xảy ra khi: