HINH HOC KHONG GIAN HAYCO LOI GIAI CHI TIET

Trang 1


VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I.

CÁC ĐỊNH NGHĨA
 Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0.
a  b  ( a, b) 900


Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vng góc với mặt phẳng nếu nó vng góc với
mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. a  ( )  b  ( ) : a  b

 Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0.
( )  (  )  (( ),(  )) 90 0 .

 Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi
qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
 Định nghĩa 5: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường
thẳng a và mặt phẳng (α) bằng 90 0. Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (α) thì
góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt
phẳng (α).
 Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai
mặt phẳng đó.
 Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng
(α) (trên đường thẳng ∆).
 Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng
cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).

 Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
 Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vng góc chung
của hai đường thẳng đó.
II.

CÁC ĐỊNH LÝ THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG
a b


a, b  ( P )   d  ( P )

1) d  a, d  b 

2)

Trang 2

d  ( P) 
 d a
a  ( P) 


d  ( P) 
  d '  ( P)
d '/ / d 
3)

5)

d / /( P) 
 d'd
d '  (P)

7)

( P )  (Q )

( P )  (Q)  
  d  (Q)
d  ( P)


d 

4)

( P ) / /(Q) 
  d  (Q)
d  ( P) 

6)

d  ( P) 
  ( P)  (Q)
d  (Q) 

8)

( P)  (Q)  


( P)  ( R)
    ( R)

(Q)  ( R)


a kh«ng vu«ng gãc víi ( P)

9)



b ( P)

b a
a ' là h ì nh chiÕu cđa a trª n (P) 

b  a'

(ĐL ba đường vng góc )

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng, đường thẳng vng góc với mặt phẳng,
mặt phẳng vng góc với mặt phẳng.
1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA  ( ABC )
a) Chứng minh rằng: BC  ( SAC )
b) Gọi E là hình chiếu vng góc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE  ( SBC )
c) Gọi mp(P) đi qua AE và vng góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: SB  ( P ).
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: AF  ( SAB)

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy. M và N lần lượt là hình
chiếu của A lên SB, SD.
a) CMR:
b) CMR:

AM  ( SBC ); AN  ( SCD );
BD  ( SAC )
Trang 3


c) CMR: MN / / BD; MN  ( SAC )
d) Gọi K là giao của SC với (AMN), CMR: tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc.
3) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vng, tam giác SAB là tam giác đều, ( SAB)  ( ABCD) .
Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng: FC  ( SID)
4) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vng tại A và B, SA  ( ABCD ) , AD=2a,
AB=BC=a. Chứng minh rằng tam giác SCD vng.
5) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vng, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: MN  BD
6) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng, tam giác SAD đều, ( SAD)  ( ABCD) . Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng: AM  BP
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD a 2 , SA  ( ABCD ) . Gọi M
là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: ( SAC )  ( SMB)
8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= a, BC = a 3 . Mặt bên SBC vuông tại B, SCD
là tam giác vuông tại D, SD= a 5
a) CM: SA (ABCD)
b) Đường thẳng đi qua A và
AC, cắt các đt CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là h/c của A
lên SC. Xđ các giao điểm K, L của SB, SD với mp (HIJ). CMR: AK (SBC), AL
(SCD)
9) Cho tứ diện ABCD có SA (ABC). Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC và SBC. CMR:

a) AH, SK, BC đồng quy
b) SC (BHK); (SAC)
(BHK)
c) KH (SBC); (SBC)
(BHK)
Dạng 2. Bài tốn xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng
10)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, ( SAB)  ( ABCD), H là trung điểm của
AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD
11) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy,
SA a 6 . Tính sin của góc giữa:
Trang 4


a) SC và (SAB)
b) AC và (SBC)
2a 3
12)Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3 . Tính góc giữa SA và mp(ABC)

13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 2a,
SA a, SB a 3,( SAB )  ( ABCD ). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính cosin của

góc giữa hai đường thẳng SM và DN?

14) Cho hình chóp S.ABC, SA  ( ABC )

a) Xác định góc giữa (ABC) và (SBC)
b) Giả sử tam giác ABC vng tại B xác định góc giữa hai mp (ABC) và (SBC)

15)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và SA = SB = SD =
a √3

2

a) CMR: (SAC)
b) CMR SB

(ABCD)

BC

c) Tính tan của góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)
16)Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vng góc, ABCD là hình vng
cạnh a, tam giác SAB cân tại S. Gọi M,N là trung điểm của AB và DC
a) Chứng minh DC

(SMN)

b) Tính góc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD)
c) Tính góc giữa 2mp(SMC) và (ABCD)
17)Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vng tâm O, cạnh a, SO vng góc với đáy. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA và CD. Cho biết MN tạo với (ABCD) góc 600.
a) Tính MN và SO
b) Tính góc giữa MN và (SBD)

Dạng 3. Bài tốn xác định khoảng cách từ một điểm điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song, khoảng cách giưa hai đường thẳng chéo nhau.
18) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA  ( ABCD ) , SA=2a,

Trang 5

a) Tính
b) Tính

d ( A,( SBC ))
d ( A,( SBD))

19) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh a, tam giác SAB đều, ( SAB )  ( ABCD) .
Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính d ( I ,( SFC ))
20) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD a 3 . Hình chiếu vng góc
của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính d ( B ',( A ' BD))
0

21) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, ABC 30 , SBC là tam giác đều

cạnh a, ( SBC )  ( ABC ) . Tính d (C ,( SAB))
22) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AB=AD=a, CD=2a,

SD  ( ABCD ) , SD=a.
a) Tính d ( D,( SBC ))
b) Tính d ( A,( SBC ))
23) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, BA=3a, BC=4a,


( SBC )  ( ABC ), SB 2a 3, SBC
300 . Tính d ( B,( SAC ))
24) Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cả các cạnh cịn lại bằng 3a. Tính d ( AB, CD)
25) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, SH  ( ABCD), SH a 3 . Tính d ( DM , SC )

26) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

AA ' 

a 2
2 . Tính

d ( AB, CB ')
27) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên bằng a 2 . Tính

d ( AD, SB)
28) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, (SAD)
vng góc với mặt phẳng đáy. Tính d ( SA, BD)
Trang 6


29) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) cùng vng góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và
song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0. Tính d ( AB, SN )
30) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a. Gọi M là
trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính d ( A,( IBC ))
0

31) Cho hình chóp SABC, SA 3a, SA  ( ABC ), AB 2a, ABC 120 . Tính d ( A,( SBC ))
0


32) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , ABC BAD 90 , BA=BC=a, AD=2a,

SA  ( ABCD) , SA a 2 . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD
vng và tính d ( H ,( SCD ))

33) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA=BC=a,

AA ' a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính d ( AM , B ' C )
34) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, E là điểm đối xứng với D
qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng: MN  BD
. Tính d ( MN , AC )

Phần 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN GHI NHỚ
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CẦN GHI NHỚ LÀM CƠ SỞ ĐỂ TÍNH TỐN
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho tam giác ABC vng ở A, đường cao AH. Khi đó ta có:
2

2

 AB  AC BC

2

2

2

 AB BC.BH , AC BC.CH

1
1
1
 2
2

AB
AC 2
 AH

b) Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 Định lý cosin: a =b  c – 2bc.cosA; b c  a  2ca.cos B; c a  b  2ab.cos C

Trang 7


 Định lý sin:

a
b
c


2 R
sin A sin B sin C

 Cơng thức trung tuyến:

2. Cơng thức diện tích

ma2 

b2  c2 a2
c2  a2 b2
a2  b2 c2

; mb2 

; mc2 

2
4
2
4
2
4

a) Tam giác:
1
1
1
S  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2

abc
S

4R

 S  pr

 ABC vuông tại A:

1
1
1
S  bc sin A  ca. sin B  ab sin C
2
2
2




S  p  p  a  p  b  p  c

2S  AB. AC BC .AH

 ABC đều cạnh a:
b) Hình vng:
S = a2
c) Hình chữ nhật: S = a.b

S

a2 3
4

(a: cạnh hình vng)
(a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành:


S = AB.AD.sinBAD

e) Hình thoi:

1

S  AB. AD.sinBAD
 AC .BD
2

f) Hình thang:

S

1
 a  b .h
2

g) Tứ giác có 2 đường chéo vng góc:

(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
1
S  AC .BD

2

3. Thể tích khối chóp

1
V  Sđáy .h
S
3
(trong đó đáy là diện tích đáy, h là chiều cao)
B. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 CẦN NHỚ ĐỂ HỌC HÌNH
KHƠNG GIAN LỚP 12.
§1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa

Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song
với nhau nếu chúng khơng có điểm nào
chung.

a

a / /(P)  a  (P) 

II.Các định lý
Trang 8

(P)


ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên
mp(P) và song song với đường thẳng a nằm

trên mp(P) thì đường thẳng d song song với
mp(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với
mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P)
thì cắt theo giao tuyến song song với a.

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng
song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng song song với đường thẳng
đó.

d

d  (P)

d / /a  d / /(P)
a  (P)


a
(P)

(Q)

a / /(P)

 d / /a
a  (Q)
(P)  (Q) d


(P)  (Q) d

 d / /a
(P) / /a
(Q) / /a


a
d

(P)

d
a
Q
P

§2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là song song với
nhau nếu chúng khơng có điểm nào chung.

(P) / /(Q)  (P)  (Q) 

P
Q

II. Các định lý:

ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b
cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.

ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong
hai mặt phẳng song song thì song song với
mặt phẳng kia.

a,b  (P)

 (P) / /(Q)
a  b I
a / /(Q),b / /(Q)


P

a
b I

Q

a

(P) / /(Q)
 a / /(Q)

a  (P)

Trang 9

P
Q


ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song
song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì
phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng
song song.

R

(P) / /(Q)

(R)  (P) a  a / / b
(R)  (Q) b


a

P

b

Q

§3. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là vng góc
với một mặt phẳng nếu nó vng góc với

mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.

a  mp(P)  a  c, c  (P)

a

P

c

II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai
đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm
trong mp(P) thì đường thẳng d vng góc
với mp(P).

d

d  a ,d  b

a , b  mp(P)  d  mp(P)
a,b caét nhau


b
a

P

ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường

thẳng a khơng vng góc với mp(P) và
đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều
kiện cần và đủ để b vng góc với a là b
vng góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

a

a  mp(P),b  mp(P)
b  a  b  a'
P

a'

§4. HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
II. Các định lý:

Trang 10

b


ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường
thẳng vng góc với một mặt phẳng khác
thì hai mặt phẳng đó vng góc với nhau.

Q
a

a  mp(P)

 mp(Q)  mp(P)

a  mp(Q)

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vng
góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào
nằm trong (P), vng góc với giao tuyến
của (P) và (Q) đều vng góc với mặt
phẳng (Q).

P

P
a

(P)  (Q)

(P)  (Q) d  a  (Q)
a  (P),a  d


ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vng
góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì
đường thẳng a đi qua điểm A và vng góc
với (Q) sẽ nằm trong (P)

Q

d

P

(P)  (Q)

 A  (P)
 a  (P)

A  a
a  (Q)

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng
vng góc với mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng
thứ ba.

a
A

Q

P

(P)  (Q) a

 a  (R)
(P)  (R)
(Q)  (R)


R

§5. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1 mặt
phẳng:

O

a

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt
phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là
hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

H

O

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
P

H

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là
khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).
Trang 11

a

P

O

H

Q
a


d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

O
P

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH

H

Q

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài
đoạn vng góc chung của hai đường thẳng đó.

A

a

d(a;b) = AB

b
B

§6. GĨC
a

a'

1. Góc giữa hai đường thẳng a và b

b'

là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần
lượt cùng phương với a và b.

b

2. Góc giữa đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P)

a

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc
giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.

a'

P

3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt
phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng
vng góc với giao tuyến tại 1 điểm

Q

P

a

P

Trang 12

b

a

b

Q


4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong
mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì

S

S' Scos 
(trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’))

A

C


B

Phần 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP CỤ THỂ
Dạng 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY (Với khối chóp loại này đường cao
chính là độ dài cạnh bên vng góc với đáy)
1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vng góc với
đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp.
2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a và SA vng góc đáy ABCD và mặt
bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.Tính thể tích hình chóp SABCD và khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SCD).
3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B với BA=BC=a biết SA vng góc với
đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. Tính thể tích hình chóp .
4. Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a. Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vng góc với
(SBC). Tính thể tích hình chóp.

o
5. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC=2a, BAC 120 , biết SA  (ABC) và
mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp SABC.

6. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a ,
SA  (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o Tính thể thích khối chóp SABCD.

7. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60 o và SA  (ABCD).
Biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD.
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các mặt bên (SAB) và (SAD) vng góc với
0

đáy, SA = AB = a, góc SDA 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng với đáy, góc giữa SC và (SAB) bằng
450. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.Tính thể tích khối chóp G.ABCD.

Trang 13


10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳmg (ABCD),
góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) bằng 45 0. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
(THPT QG 2015)
0

11. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B , ABC 120 , AB a , SB vng góc với
0
ABC 
SAC 
ABC 
mặt phẳng 
, góc giữa hai mặt phẳng 
và 
bằng 45 . Gọi M là trung điểm của
AC và N là trung điểm của SM . Tính theo a thể tich khối chóp S . ABC và khoảng cách từ C đến

ABN 
mặt phẳng 
.

(dự bị THPT QG 2015)

12. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là
trung điểm của BC và CD, góc giữa (SMN) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
13. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vng góc với mặt
phẳng đáy và có độ dài là a 3 , cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp và diện
tích tồn phần của hình chóp.
14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA  ( ABCD) và SA=a.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM) với M là
trung điểm của CD.
15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a. AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với
đáy, góc giữa SB và mặt đáy là 450.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AHKD.
16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a biết SA vng góc
với đáy và SC hợp với (SAB) một góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B, AB BC a , CD 2a , SA
vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ
điểm D đến mặt phẳng (SBC).
18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = AC = a, AD = 2a,
SA vng góc với đáy và (SCD) hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
19. Cho hình chóp S.ACB có đáy ABC là tam giác vuông cân ( BA BC ) , cạnh SA vng góc với mặt
0
phẳng đáy và có độ dài bằng a 3 , cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp
S.ABC và diện tích tồn phần của hình chóp.

20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng
0
đáy. Đường SD tạo với mặt phẳng ( SAB) một góc 30 . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo a .

Trang 14


·

21. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BAC = 300, SA = AC = a và SA vng góc với
mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và
(SAD) vng góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
23. Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA= a, SB
hợp với đáy một góc 300 .Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. SA  (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm AD, SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN).
25. Hình khơng gian Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B. SA
(ABC) ,
SA=AB=a; BC=a √ 3 . Gọi I là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo a thể tích
khối tứ diện GSIC.
26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA  (ABCD), SB = a 3 , gọi M là trung điểm
AD. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AB.
27. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt
0
phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 và SC 2a 2 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD

SCD 
và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng 
theo a .

28. Hình khơng gian Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA
(ABC) ,
SA=AB=a; BC=a √ 3 . Gọi I là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo a thể tích
khối tứ diện GSIC.
0

29. Cho hình chóp S . ABCD có SC  ( ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 và ABC 120 .
0
Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và ( ABCD) bằng 45 . Tính theo a thể tích của khối chóp

S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD.

30. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng tại B , BC 3a , AC a 10 . Cạnh bên SA vng
góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng

 SBC 

và mặt phẳng

 ABC 

0
bằng 60 . Tính thể tích khối chóp

S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a , biết M là điểm trên đoạn BC
sao cho MC 2MB .
31. Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC đều cạnh
bằng 4a; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC. Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN).

Trang 15


32. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Cạnh bên SA vng góc với đáy. Góc
0
giữa SC và mặt đáy bằng 45 . Gọi E là trung điểm BC. Tính thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng

cách giữa hai đường thẳng DE và SC theo a.
0

33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB 2a , BAC 60 , cạnh bên SA vng

góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 . Gọi M là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,CM.
34. Trong khơng gian cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BC = 3a, AC a 10 , cạnh
0
bên SA vng góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính thể tích

khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a, biết M là điểm trên đoạn
BC sao cho MC = 2MB.
35. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật có
AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 0. Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD và tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC).
36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD 2a , SA  ( ABCD) . Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung
điểm của CD biết góc giữa SC và mặt phẳng chứa đáy là α với tan α =

1
√5

Dạng 2: KHỐI CHĨP CĨ MẶT BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY.
Chú ý: Đối với khối chóp này thì đường cao của tam giác nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy hạ từ
đỉnh của khối chóp) chính là chiều cao của khối chóp.
37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáyABCD. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với
trung điểm cạnh AB. Tính thể tích khối chóp SABCD.
38. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)  (BCD) và
AD hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện ABCD.
39. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, cóBC = a. Mặt bên SAC vng góc
với đáy, các mặt bên cịn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45 0. Chứng minh rằng chân đường cao khối
chóp trùng với trung điểm cạnh AC. Tính thể tích khối chóp SABC.

Trang 16


40. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45 o. Tính thể
tích của SABC.

o 
o
41. Cho hình chóp SABC có BAC 90 ; ABC 30 ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB)  (ABC). Tính
thể tích khối chóp SABC.

42. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , D SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vng
góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD.
43. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB  (ABCD) , hai mặt
bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD.
44. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AD = CD = a; AB =2a, D

SAB đều nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD .
45. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và D SAD vuông cân tại S ,
nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD.
46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và
vng góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 2a. Hình chiếu vng góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng
(ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BD.
48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác vng tại S và nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy, hình chiếu vng góc của S trên đường thẳng AB là điểm H
thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH. Gọi I là giao điểm của HC và BD. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
0
49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a, góc BAD 120 .Mặt bên (SAB)

có SA a, SB a 3 và vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích
hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAB).
50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng
vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết SD 2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng
0
(ABCD) bằng 30 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SAC).
51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với
mặt phẳng (ABCD). Biết AC=2 a , BD=4 a , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AD và SC.
Trang 17


52. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD a 2 , tam giác SAB cân

tại S và mặt phẳng ( SAB) vng góc với mặt phẳng ( ABCD) . Biết góc giữa mặt phẳng ( SAC ) và
mặt phẳng ( ABCD ) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD . Gọi H là trung điểm cạnh AB tính
góc giữa hai đường thẳng CH và SD.
53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy,
tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 60 0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.
0

54. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt
phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC). Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng
 600 . Xác định rõ góc  và tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

55. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, AB = a; AC = 2a. Mặt bên (SBC) là tam
giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc giữa hai mặt (SAB) và (ABC)
bằng 300. Tính thể tích khối chóp SABC và khống cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a.
56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a , hình chiếu vng góc của S
lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB . Góc tạo bởi cạnh SC và mặt phẳng đáy bằng
450 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD ) .
3a
2 . Hình chiếu vng góc H của đỉnh
57. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a ,
S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Tính theo
a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD .
SD 

58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a. Góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung điểm của AD, M là trung điểm của
SC, biết mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD).

Dạng 3: KHỐI CHÓP ĐỀU
Chú ý: Đối với khối chóp này thì chiều cao chính là khoảng cách từ đỉnh đến tâm của mặt đáy.
59. Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường
cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
60. Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Trang 18


61. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC), Suy ra thể tích hình chóp MABC.
62. Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a và cạnh bên hợp với đáy ABC một góc 60 o. Tính thể
tích khối chóp.
63. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60 o. Tính thể tích
khối chóp SABC.
64. Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45 o và khoảng cách từ chân đường cao
của chóp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích hình chóp.
65. Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác
9a3 2
V
2 .
đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng

66. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5 .
Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C  và D.
Tính thể tích của khối đa diện ADD.BCC.
67. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm
đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng
minh MN  BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
68. (Dự bị D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 5a. Gọi SH là đường cao của
hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng a . Tính thể tích khối

chóp S.ABCD.
69. Cho hình chóp đều A.BCD có AB a 3; BC a . Gọi M là trung điểm của CD. Tính thể tích khối
chóp A.BCD theo a và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, AD.
70. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi
M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt
phẳng (SMN).
Vấn đề 4. BÀI TẬP TỔNG HỢP (Về khối chóp trong các đề thi đại học, thi thử đại học)
0

71. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vng tại B, AB a 3 , ACB 60 , hình chiếu vng góc

của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết SE a 3 . Tính
thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

Trang 19


0

72. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAC 60 , hình chiếu vng góc

SAC 
của S trên mặt ( ABCD ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng 
hợp với mặt
0
phẳng ( ABCD) góc 60 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD và khoảng cách từ B đến ( SCD ) theo a.

73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc ,

SO   ABCD 

và

SO 

3a
4 .

Gọi E là trung điểm CD, I là trung điểm DE. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ O
đến mp(SCD).
74. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a ,AD=a .Hình chiếu của S lên mặt
phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc bằng 45 0. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD).
75. Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB  AC a , I là trung điểm của SC , hình
ABC 
SAB 
chiếu vng góc của S lên mặt phẳng 
là trung điểm H của BC , mặt phẳng 
tạo với đáy

SAB 
1 góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S . ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng 
theo a .

76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 2a. Hình chiếu vng góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng
(ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BD.
77. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vng góc của đỉnh S lên
SA a 2, AC 2a, SM 

5
a
2 ,

mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD. Biết
với M là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM và AC.

78. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với
mặt phẳng (ABCD). Biết AC=2 a , BD=4 a , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AD và SC.
3a
79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SD = 2 , hình chiếu vng góc của S

trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). (A-2014)
Trang 20