Một số bài tập hình học không gian có lời giải pot

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
Trang 1

MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
(CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)


BÀI 1

Câu 1
:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ñường thẳng (d) :
x y 2 0
2x z 6 0
− − =


− − =

sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) :
2 2 2
x y z 2x 2y 2z 1 0
+ + + − + − =
là ñường tròn có bán kính r = 1.
Câu 2
:
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên ñều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là
trung ñiểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng A'B và B'C'.
GIẢI

Câu 1

:
Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0

(P): (m 2n)x my nz 2m 6n 0
⇔ + − − − − =

° Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2.
° (P) cắt (S) theo một ñường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

2 2
d(I; P) R r 3
⇔ = − =


2 2 2
m 2n m n 2m 6n
3
(m 2n) m n
− − − + − −
⇔ =
+ + +

2 2
4m 7n 3. 2m 5n 4m.n
⇔ − − = + +


2 2
5m 22m.n 17n 0
⇔ + + =

°
Cho
2
17
n 1 5m 22m 17 0 m 1 hay m
5
= ⇒ + + = ⇔ = − = −

°
Vậy, có 2 mặt phẳng (P):
1
2
(P ): x y z 4 0
(P ): 7x 17y 5z 4 0
+ − − =


− + − =


Câu 2
:
. Cách 1
:
°
Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

⇒

/ / / / / /
AB BC CA A B B C C A a
= = = = = =


⇒
các tam giác ABC, A
/
B
/
C
/
là các tam giác ñều.
°
Ta có:
/ / / / /
B C // BC B C //(A BC)
⇒


/ / / / / / /
d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC))
⇒ = =

°
Ta có:
/
/ / /
BC FD
BC (A BC)

BC A D ( A BC caân taïi A )
⊥

⇒ ⊥

⊥ ∆


°
Dựng
/
FH A D
⊥

° Vì
/ /
BC (A BC) BC FH H (A BC)
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

A
/

B
/

C
/

C

B

A

H

F

D

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
Trang 2
° ∆A
/
FD vuông có:
2 / 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 7 a 21
FH .
7
FH A F FD 3a a 3a
= + = + = ⇒ =
° Vậy,
/ / /
a 21
d(A B; B C ) FH
7
= =
Cách 2
:
° Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

⇒ ∆ABC, ∆A
/
B
/
C
/
là các tam giác ñều cạnh a.
° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
ñôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

/
/ /
a a 3 a a 3
B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a),
2 2 2 2
a a 3 a a 3
B ; ; a , C ; ; a
2 2 2 2
   
−
   
   
   
−
   
   

° Ta có:
/ / / / /
B C // BC, B C //(A BC)

/ / / / / / / /
d(B C ; A B) d(B C ; (A BC)) d(B ; (A BC))
⇒ = =

°
/ /
a a 3 a a 3
A B ; ; a , A C ; ; a
2 2 2 2
   
= − = − −
   
   
uuuur uuuur

°

2
/ / 2 2 2
a 3 3
[A B; A C] 0; a ; a 0;1; a .n,
2 2
   
= = =
   
   
uuuur uuuur
r

với
3
n 0; 1;
2
 
=
 
 
r

°
Phương trình mp (A
/
BC) qua A
/
với pháp vectơ
n
r
:
3
0(x 0) 1(y 0) (z a) 0
2
− + − + − =


/
3 a 3
(A BC): y z 0
2 2
⇔ + − =

°
/ /
a 3 3 a 3
a 3
.a
a 21
2 2 2
2
d(B (A BC)) .
7
3 7
1
4 2
+ −
= = =
+

°
Vậy,
/ / /
a 21
d(A B; B C ) .
7
=


BÀI 2

Câu 1

:
Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và ñường thẳng
(
∆
) :
x 1 y 2 z 3
2 1 2
− + −
= =
−

1. Tìm ñiểm M thuộc (
∆
) ñể thể tích tứ diện MABC bằng 3.
2. Tìm ñiểm N thuộc (
∆
) ñể thể tích tam giác ABN nhỏ nhất.


A
/

C
/

B
/

A

B

C

D

x

a

z

y

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 3
Câu 2
: (1,0 ñiểm)
Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ
S ñến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a ñể hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông
góc nhau.
GIẢI
Câu 1:
1. Phương trình tham số của (D):
x 1 2t
y 2 t
z 3 2t
= +



= − −


= +


°

M ( ) M(1 2t; 2 t; 3 2t)
∈ ∆ ⇒ + − − +

°

AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)
= = −
uuur uuur

°

[AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n
= − − = − − = −
uuur uuur
r
, với
n (1; 2; 2)
= −
r

°

Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ
n
r
: (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.
°

2 2 2
ABC
1 1 9
S [AB; AC] ( 3) ( 6) 6 .
2 2 2
= = − + − + =
uuur uuur

°
ðường cao MH của tứ diện MABC là khoảng từ M ñến (ABC):

1 2t 2( 2 t) 2(3 2t) 2 4t 11
MH d(M(ABC))
3
1 4 4
+ + − − − + − − −
= = =
+ +

°
Thể tích tứ diện MABC bằng 3
4t 11
1 9
V . . 3

3 2 3
+
⇔ = =


5 17
4t 11 6 t hay t .
4 4
⇔ + = ⇔ = − = −

°
Vậy, có 2 ñiểm M cần tìm là:
3 3 1 15 9 11
M ; ; hay M ; ;
2 4 2 2 4 2
   
− − −
   
   

2.
N ( ) N(1 2t; 2 t; 3 2t)
∈ ∆ ⇒ + − − +

°

2 2
ABN
1 1 2 3 2
S [NA; NB] 32t 128t 146 (4t 8) 9

2 2 2 2
= = + + = + + ≥
uuur uuur


ABN
3 2
maxS 4t 8 0 t 2.
2
⇒ = ⇔ + = ⇔ = −

°
Vậy, ñiểm N cần tìm là N(-3; 0; 1).
Câu 2
:
Cách 1
:
°
Gọi O là tâm của
∆
ABC
°
Ta có:
SA SB SC
OA OB OC ( ABC ñeàu)
= =


= = ∆


⇒
SO là trục của ñường tròn (ABC)
SO (ABC)
⇒ ⊥

°
Mà :
AO BC; SO BC BC (SOA) BC SA
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

°
Dựng
BI SA
⊥
, suy ra:
SA (IBC) SA IC.
⊥ ⇒ ⊥

S

I

A

O

B

M

C

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 4


BIC
⇒
là góc phẳng nhị diện (B, SA, C).
°

∆
SOA vuông có:
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a 3h a 3h a
SA SO OA h SA
3 3
3
+ +
= + = + = ⇒ =

°
Gọi M là trung ñiểm BC
Ta có:
BM (SOA), BI SA
⊥ ⊥

IM SA
⇒ ⊥
(ñịnh lý 3 ñường vuông góc)

⇒

MIA SOA
∆ ∆



2 2 2 2
AM a 3 3 3ah
MI SO. h. .
SA 2
3h a 2 3h a
⇒ = = =
+ +

°

SAB SAC (c.c.c) IB IC IBC
∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ∆
cân tại I.
°

(SAB) (SAC) IBC
⊥ ⇔ ∆

vuông cân tại I
1
IM BC
2
⇔ =


2 2
2 2
2 2 2
3ah 1
a 3h 3h a
2
2 3h a
a 6
9h 3h a h .
6
⇔ = ⇔ = +
+
⇔ = + ⇔ =

°
Vậy,
a 6
h .
6
=

Cách 2
:

°
Gọi H là tâm của
∆
ABC
và M là trung ñiểm của BC
°
Ta có:
SA SB SC
HA HB HC ( ABC ñeàu)
= =


= = ∆


°
Dựng hệ trục tọa ñộ Axyz, với Ax, Ay, Az
ñôi một vuông góc
A(0; 0; 0),

a a 3 a a 3 a 3 a 3
B ; ; 0 , C ; ; 0 , H 0; ; 0 , S 0; ; h
2 2 2 2 2 3
       
−
       
       
.
°

a 3 a a 3 a a 3
SA 0; ; h , SB ; ; h , SC ; ; h
3 2 6 2 6
     
= = − = − −
     
     
uuur uur uuur

°

2
1
ah 3 ah a 3 a a
[SA; SB] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n ,
2 2 6 6 6
 
= − − = − − = −
 
 
uuur uur
r

với
1
n (3h 3; 3h; a 3)
= −
r

°

2
2
ah 3 ah a 3 a a
[SA; SC] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n ,
2 2 6 6 6
 
= − − = − − = −
 
 
uuur uuur
r

với
2
n (3h 3; 3h; a 3)
= −
r
.
°
Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương
SA; SB
uuur uur
nên có pháp vectơ
1
n
r
.
°
Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương

SA; SC
uuur uuur
nên có pháp vectơ
2
n
r
.
S

z

A

z

H

B

M

y

C

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 5
°
1 2

(SAB) (SAC) cos(n ; n ) 0
⊥ ⇔ =
r r


2 2 2
2 2
3h 3.3h 3 3h.3h a 3( a 3) 0 27h 9h 3a 0
a 6
18h 3a h .
6
⇔ − + − = ⇔ − − =
⇔ = ⇔ =

°
Vậy:
a 6
h .
6
=


BÀI 3

Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho ñường thẳng (d) và mặt cầu (S):

2 2 2
2x 2y z 1 0
(d): ; (S):x y z 4x 6y m 0

x 2y 2z 4 0
− − + =

+ + + − + =

+ − − =


Tìm m ñể (d) cắt (S) tại hai ñiểm M, N sao cho MN = 8.
Câu 2
:
Cho tứ diện OABC có ñáy là
∆
OBC vuông tại O, OB = a, OC =
a 3,
(a 0)
>
và ñường
cao
OA a 3
=
. Gọi M là trung ñiểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng
AB và OM.

GIẢI

Câu 1
:
Mặt cầu (S):
2 2 2

(x 2) (y 3) z 13 m
− + − + = −
có tâm
I(-2; 3; 0), bán kính
R IN 13 m
= = −
, với m < 13.
°
Dựng
IH MN MH HN 4
⊥ ⇒ = =


2 2
IH IN HN 13 m 16 m 3
⇒ = − = − − = − −
, với m < -3.
°
Phương trình tham số của ñường thẳng (d):
x t
1
y 1 t
2
z 1 t
=



= +



= − +



°
(d) có vectơ chỉ phương
1 1
u 1; ; 1 (2; 1; 2)
2 2
 
= =
 
 
r
và ñi qua ñiểm A(0; 1; -1)
°

AI ( 2; 2;1); [AI; u] (3; 6; 6)
= − = −
uur uur r

°
Khoảng cách h từ I ñến ñường thẳng (d):
2 2 2
2 2 2
[AI; u]
3 6 6 81
h 3.
u

9
2 1 2
+ +
= = = =
+ +
uur
r
r

° Ta có: IH = h

m 3 3 m 3 9
⇔ − − = ⇔ − − =

m 12
⇔ = −
(thỏa ñiều kiện)
H

N

M

I

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
Trang 6
° Vậy, giá trị cần tìm: m = -12.
Câu 2
:

Cách 1
:
° Gọi N là ñiểm ñối xứng của C qua O.
° Ta có: OM // BN (tính chất ñường trung bình)

⇒ OM // (ABN)

⇒ d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).
° Dựng
OK BN, OH AK (K BN; H AK)
⊥ ⊥ ∈ ∈

° Ta có:
AO (OBC); OK BN AK BN
⊥ ⊥ ⇒ ⊥


BN OK; BN AK BN (AOK) BN OH
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥


OH AK; OH BN OH (ABN) d(O; (ABN) OH
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

° Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a 15
OH
5

OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a
= + = + + = + + = ⇒ =

° Vậy,
a 15
d(OM; AB) OH .
5
= =
Cách 2
:
° Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz
ñôi một vuông góc O(0; 0; 0),
A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0),

a a 3
M ; ; 0
2 2
 
 
 
và
a 3 a 3
N 0; ;
2 2
 
 
 

là trung ñiểm của AC.
° MN là ñường trung bình của ∆ABC

⇒ AB // MN

⇒ AB // (OMN) ⇒ d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).
°
a a 3 a 3 a 3
OM ; ; 0 , ON 0; ;
2 2 2 2
   
= =
   
   
uuuur uuur

°
( )
2 2 2 2 2
3a a 3 a 3 a 3 a 3
[OM; ON] ; ; 3;1; 1 n
4 4 4 4 4
 
= = =
 
 
uuuur uuur
r
, với
n ( 3;1;1)
=
r

° Phương trình mp (OMN) qua O với pháp vectơ
n : 3x y z 0
+ + =
r

° Ta có:
3.a 0 0
a 3 a 15
d(B; (OMN))
5
3 1 1 5
+ +
= = =
+ +

°
Vậy,
a 15
d(AB; OM) .
5
=

BÀI 4

z

A

a 3

a 3

y

C

N

O

M

a

x

B

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 7
Câu 1
:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (
α
) : 2x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua giao tuyến của (
α
) và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng tọa ñộ
một tứ diện có thể tích bằng

36
125
.

Câu 2:
Cho hình chóp SABC có ñáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a
(a > 0), hình chiếu của S trên ñáy trùng với trọng tâm G của
∆
ABC. ðặt SG = x
(x > 0). Xác ñịnh giá trị của x ñể góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60
o
.

GIẢI
Câu 1:
Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0
°
Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác ñịnh bởi (
α
) và (xOy) có dạng:
m(2x – y + z – 5) – nz = 0
(P) : 2mx my (m n)z 5m 0
⇔ − + + − =

°
Giao ñiểm A, B, C của (P) và 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa ñộ:

5 5m
A ; 0; 0 , B(0; 5; 0), C 0; 0;
2 m n

   
−
   
+
   

°
Thể tích tứ diện OABC bằng
125
36
1 1 5 5m 125
V .OA.OB.OC . .5.
6 6 2 m n 36
⇔ = = =
+


m n 3m m 1, n 2
m n 3 m
m n 3m m 1, n 4
+ = = =
 
⇔ + = ⇔ ⇒
 
+ = − = = −
 

°
Vậy, có 2 phương trình mặt phẳng (P):

1
2
(P ): 2x y 3z 5 0 (m 1; n 2)
(P ): 2x y 3z 5 0 (m 1; n 4)
− + − = = =


− − − = = = −


Câu 2
:
. Cách 1
:
°
Gọi M là trung ñiểm của BC

AM BC
⇒ ⊥
(
∆
ABC vuông cân)
°
Ta có:
SG (ABC) SG BC
⊥ ⇒ ⊥
.
Suy ra:
BC (SAM)
⊥

°
Dựng
BI SA IM SA
⊥ ⇒ ⊥
và
IC SA
⊥



BIC
⇒
là góc phẳng nhị diện (B; SA; C).
°

SAB SAC (c.c.c)
∆ = ∆


IB IC IBC
⇒ = ⇒ ∆
cân tại I.
°

1 a 2 a 2
BC a 2; AM BM MC BC ; AG
2 2 3
= = = = = =

°

2 2 2
2
AM a 2 1 ax 2
AIM ~ AGS IM SG. x. .
AS 2
SG AG 2a
2 x
9
∆ ∆ ⇒ = = =
+
+

G

M

C

S

I

A

B

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 8

2 2
3ax 2
IM
2 9x 2a
⇔ =
+
.
°
Ta có:

o
BIC 60
=

o o
2 2
a 2 3.3ax 2
BIM 30 BM IM.tg30
2
2 9x 2a
⇔ = ⇔ = ⇔ =
+


2 2 2 2 2
2 2 2 2
9x 2a 3x 3 9x 2a 27x
a

18x 2a 9x a x .
3
⇔ + = ⇔ + =
⇔ = ⇔ = ⇔ =

°
Vậy,
a
x .
3
=

Cách 2
:
°

BC a 2
=

°
Gọi M là trung ñiểm BC
a 2 a 2
AM ; AG
2 3
⇒ = =

°
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G
trên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuông

a
AG AE 2 AE AF .
3
⇒ = ⇒ = =

°
Dựng hệ trục tọa ñộ Axyz, với Ax, Ay, Az
ñôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
C(0; a; 0),
a a a a
G ; ; 0 , S ; ; x
3 3 2 2
   
   
   
.
°

a a 2a a a 2a
SA ; ; x , SB ; ; x , SC ; ; x
3 3 3 3 3 3
     
= = − − = − −
     
     
uuur uur uuur

°

2

1
a a
[SA; SB] 0; ax; a 0; x; a.n
3 3
 
 
= − = − =
 
 
 
 
uuur uur
r
, với
1
a
n 0; x;
3
 
= −
 
 
r

°

2
2
a a
[SA; SC] ( ax; 0; ) a x; 0; a.n ,

3 3
 
= − = − − = −
 
 
uuur uuur
r
với
2
a
n x; 0;
3
 
= −
 
 
r
.
°
Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương
SA, SB
uuur uur
nên có pháp vectơ
1
n
r

°
Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương
SA, SC

uuur uuur
nên có pháp vectơ
2
n
r

°
Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60
o
.

2
o
2 2
2 2
2 2
a a
a
0.x x.0
3 3
9
cos60
9x a
a a
0 x x 0
9
9 9
+ +
⇔ = =
+

+ + + +


2
2 2
1 a
2
9x a
⇔ =
+

2 2 2 2 2
a
9x a 2a 9x a x .
3
⇔ = = ⇔ = ⇔ =

°
Vậy,
a
x .
3
=


z

x

x

y

C

B

A

E

F

G

M

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 9
BÀI 5

Câu 1
:

Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox ñiểm A cách ñều ñường thẳng
(d) :
2
2
z

2
y
1
1
x
+
==
−
và mặt phẳng (
α
) : 2x – y – 2z = 0.

Câu 2:
Cho hình chóp SABC có ñáy ABC là tam giác ñều có cạnh bằng
2a 2
, SA vuông góc
với (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung ñiểm của cạnh AB, BC. Tính góc và
khoảng cách giữa hai ñường thẳng SE và AF.

GIẢI

Câu 1:
Gọi A(a; 0; 0)
Ox
∈
.
°
Khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (
α
) :

2 2 2
2a 2a
d(A; )
3
2 1 2
α = =
+ +

°
(
∆
) qua
0
M (1; 0; 2)
−
và có vectơ chỉ phương
u (1; 2; 2)
=
r

°
ðặt
0 1
M M u
=
uuuuuur
r

°
Do ñó: d(A;

∆
) là ñường cao vẽ từ A trong tam giác
0 1
AM M


0 1
2
0
AM M
0 1
[AM ; u]
2.S
8a 24a 36
d(A; )
M M u 3
− +
⇒ ∆ = = =
uuuuur
r
r

°
Theo giả thiết: d(A;
α
) = d(A;
∆
)

2

2 2 2
2
2a
8a 24a 36
4a 8a 24a 36 4a 24a 36 0
3 3
4(a 3) 0 a 3.
− +
⇔ = ⇔ = − + ⇔ − + =
⇔ − = ⇔ =

°
Vậy, có một ñiểm A(3; 0; 0).
Câu 2
:
Cách 1
:
°
Gọi M là trung ñiểm của BF
⇒
EM // AF




(SA; AF) (EM; AF) SEM
⇒ = =

°

∆
SAE vuông tại A có:

2 2 2 2 2
SE SA AE a 2a 3a
= + = + =
SE a 3
⇒ =

°
2a 2. 3
AF a 6
2
= =

a 6
EM BM MF ; BF a 2
2
⇒ = = = =
°
2 2 2 2 2 2
SB SA AB a 8a 9a SB 3a
= + = + = ⇒ =

C

S

F

M

B

E

K

H

A

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 10
°
2 2 2 2 2 2
SF SA AF a 6a 7a SF a 7
= + = + = ⇒ =

°
Áp dụng ñịnh lý ñường trung tuyến SM trong
∆
SBF có:

2 2 2 2
1
SB SF 2.SM BF
2
+ = +

2
2 2 2 2 2
1 15a
9a 7a 2SM .2a SM
2 2
⇔ + = + ⇔ =

°
Gọi
α
là góc nhọn tạo bởi SE và AF
°
Áp dụng ñịnh lý hàm Côsin vào
∆
SEM có:


2 2
2
2 2 2
3a 15a
3a
ES EM SM 2 2
2 2
cos cosSEM .
2.ES.EM 2 2
a 6
2. .a 3

2
+ −
+ −
α = = = = − =


o
45 .
⇒ α =

°
Dựng
AK ME; AH SK.
⊥ ⊥
Ta có:
a 2
AK MF
2
= =
và
AH (SME)
⊥

°
Vì
AF// ME d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH.
⇒ = =

°

∆
SAK vuông có:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 3 a 3
AH
3
AH SA AK a a a
= + = + = ⇒ =

°
Vậy,
a 3
d(SE; AF)
3
=
.
Cách 2
:
°
Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
ñôi một vuông góc, A(0; 0; 0),
B(a 2; a 6; 0), C( a 2; a 6; 0), S(0; 0; a),
a 2 a 6
E ; ; 0 ; F(0; a 6; 0)
2 2
−
 
 
 

và
a 2
M ; a 6; 0
2
 
 
 
.
°

a 2 a 6 a 2
SE ; ; a ; AF (a; a 6; 0), SM ; a 6; a
2 2 2
   
= − = = −
   
   
uur uuur uuur

°
Gọi
α
là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có:

2
2 2
2 2
a 2 a 6
0. a 6. 0( a)

3a 2
2 2
cos cos(SE; AF) .
2
a 6.a 3
a 3a
0 6a 0. a
2 2
+ −
α = = = =
+ + + +
uur uuur


o
45 .
⇒ α =

°

2 2 2 2
a 6 a 3 a 3 a 3
[SE; SM] ; 0; ( 2; 0; 1) n,
2 2 2 2
 
= = =
 
 
uur uuur
r

với
n ( 2; 0; 1)
=
r

z

a

S

A

x

E

B

M

F

y

C

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 11

°
Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ
n : 2x z a 0.
+ − =
r

°
Khoảng cách từ A ñến (SEM):
0 0 a
a 2
d(A;SEM)
3
2 1
+ −
= =
+


°
Vì
AF// EM AF//(SEM) d(SE; AF) d(A; SEM)
⇒ ⇒ =

°
Vậy,
a 3
d(SE; AF) .
3
=

BÀI 6

Câu 1
:
Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
(P):
2 2 2 2
2x 2y z m 3m 0 ; (S): (x 1) (y 1) (z 1) 9
+ + − − = − + + + − =
.
Tìm m ñể (P) tiếp xúc (S). Với m tìm ñược xác ñịnh tọa ñộ tiếp ñiểm.
Câu 2
:
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA
vuông góc với ñáy và SA = 2a. Gọi M là trung ñiểm SC. Chứng minh
∆
MAB cân và tính
diện tích
∆
MAB theo a.
GIẢI

Câu 1
:

2
(P): 2x 2y z m 3m 0
+ + − − =

2 2 2
(S): (x 1) (y 1) (x 1) 9
− + + + − =
có tâm I(1; -1; 1) và bán kính R = 3.
(P) tiếp xúc (S)
d[I, (P)] R
⇔ =


2
2
2
2
2 2 2
m 3m 1 9 m 2
2.1 2.( 1) 1.1 m 3m
3 m 3m 1 9
m 5
m 3m 1 9
2 2 1

+ − = =

+ − + − −
⇔ = ⇔ + − = ⇔ ⇔


= −
+ − = −



+ +


°
Vậy, (P) tiếp xúc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi ñó (P): 2x + 2y + z – 10 = 0
°
ðường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình:

x 1 y 1 z 1
2 2 1
− + −
= =

°
Tọa ñộ tiếp ñiểm là nghiệm của hệ:
x 3
2x 2y z 10 0
y 1
x 1 y 1 z 1
z 2
2 2 1
=

+ + − =



⇒ =



− + −
= =


=



°
Vậy, tọa ñộ tiếp ñiểm M(3; 1; 2).
Câu 2
:
Cách 1:
°
Ta có:
SA (ABC) SA AC.
⊥ ⇒ ⊥

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 12
Do ñó
∆
SAC vuông tại A có AM là
trung tuyến nên
1
MA SC.
2

=

°
Ta lại có:
SA (ABC)
AB BC ( ABC vuoâng taïi B)
⊥


⊥ ∆



⇒
SB BC
⊥
(ñịnh lý 3 ñường vuông góc)
Do ñó
∆
SBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên
1
MB SC.
2
=

°
Suy ra: MA = MB
⇒

∆

MAB cân tại M.
°
Dựng MH // SA và
HK // BC (H AC; K AB)
∈ ∈

vì:
1
MH SA a
SA (ABC) MH (ABC)
2
BC AB HK AB 1
HK BC a
2

= =

⊥ ⊥
 

⇒ ⇒
  
⊥ ⊥
 

= =



°

∆
MHK vuông tại H có:
2 2 2 2 2 2
MK MH HK a a 2a MK a 2
= + = + = ⇒ =

°
Diện tích
∆
MAB:
2
MAB
1 1 a 2
S .MK.AB .a 2.a
2 2 2
= = =

Cách 2
:
°

∆
ABC vuông tại B có:
2 2 2 2 2 2
AC AB BC a 4a 5a
AC a 5
= + = + =
⇒ =

°
Dựng
BH AC (H AC),
⊥ ∈
ta có:
⋅

2 2
AB a a
AH
AC
a 5 5
= = =

⋅

2 2 2 2
1 1 1 5
BH AB BC 4a
= + =


2a
BH
5
⇒ =

°
Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az ñôi một vuông góc và

2a a
A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0
5 5
 
 
 

°
Tọa ñộ trung ñiểm M của SC là
a 5
M 0; ; a
2
 
 
 

°
Ta có:
a 5 3a
MA 0; ; a MA
2 2
 
= ⇒ =
 
 
uuuur


2a 3a 3a
MB ; ; a MB .

2
5 2 5
 
= − ⇒ =
 
 
uuur

suy ra: MA = MB
⇒

∆
MAB cân tại M.
S

M

C

H

B

K

A

z

S

2a

M

C

y

a 5

H

B

A

K

x

a
5

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 13
°
Ta có:
2 2

2 2
a 2a
[MA; MB] ; ; a [MA; MB] a 2
5 5
 
= − ⇒ =
 
 
uuuur uuur uuuur uuur

°
Diện tích
∆
MAB:
2
2
MAB
1 1 a 2
S [MA; MB] .a 2 .
2 2 2
= = =
uuuur uuur


BÀI 7

Câu 1
:
Cho hình chóp ñều S.ABC, ñáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với ñáy một góc bằng
o o

(0 90 )
ϕ < ϕ <
. Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ ñỉnh A ñến
mặt phẳng (SBC).
Câu 2
:
. Trong không gian oxyz cho hai ñường thẳng:
(d
1
) :





=
=
=
4z
ty
t
2
x
; (d
2
) :



=−++

=−+
012z3y4x4
0
3
y
x

Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có ñường kính là
ñoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).

GIẢI

Câu 1:
Cách 1
:
°
Gọi H là trung ñiểm của BC.
°
Do S.ABC ñều và
∆
ABC ñều nên
chân ñường cao ñỉnh S trùng với

giao ñiểm ba ñường cao là trực tâm O
của
∆
ABC và có
∆
SBC cân tại S.
suy ra:
BC SH, BC AH,
⊥ ⊥
nên

SHA
= ϕ
.
°
Ta có:
1 a 3
OH AH .
3 6
= =


SHO
∆
vuông góc:
a 3
SO HO.tg tg
6
= ϕ = ϕ
và

HO a 3
SH
cos 6.cos
= =
ϕ ϕ

°
Thể tích hình chóp S.ABC:
2 3
ABC
1 1 a 3 a 3 a tg
V .SO.S . tg .
3 3 6 4 24
ϕ
= = ϕ =

°
Diện tích
∆
SBC:
2
SBC
1 a 3
S .SH.BC
2 12.cos
= =
ϕ

°
Gọi h là khoảng cách từ A ñến (SBC), ta có:

S

A

O

B

H

C

ϕ
ϕϕ
ϕ



Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 14

3 2
SBC
SBC
1 3.V a tg a 3 a 3
V .h.S h 3. : sin
3 S 24 12cos 2
ϕ
= ⇒ = = = ϕ

ϕ

Cách 2
:
°
Vì S.ABC là hình chóp ñều
nên chân ñường cao ñỉnh S trùng
với tâm O ñường tròn (ABC).
°
Gọi M là trung ñiểm của BC. Ta có:
-
2 a 3
AO AM
3 3
= =
và
a 3
OM
6
=

-

AM BC, SM BC SMA
⊥ ⊥ ⇒ = ϕ

-
∆
SOM vuông có:
a 3

SO OM.tg tg
6
= ϕ = ϕ

°
Dựng hệ trục tọa ñộ Axyz, với Ax, Ay, Az ñôi một vuông góc, A(0; 0; 0),
a a 3 a a 3 a 3 a 3 a 3 a 3
B ; ; 0 ,C ; ; 0 ,M 0; ; 0 , O 0; ; 0 , S 0; ; tg
2 2 2 2 2 3 3 6
         
− ϕ
         
         

°
Thể tích hình chóp:
3
ABC
1 a tg
V .SO.S
3 24
ϕ
= =

°
Ta có:
a a 3 a 3
BS ; ; tg , BC ( a; 0; 0)
2 6 6
 

= − − ϕ = −
 
 
uur uuur

°

2 2
a 3 a 3
[BS; BC] 0; tg ; n
6 6
 
= − ϕ − =
 
 
uur uuur r

°
Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến
n :
r


2 2
a a 3 a 3 a 3
O x tg y (z 0) 0
2 6 2 6
 
 
− − ϕ − − − =

 
 
 
 


a 3
(SBC): tg y z tg 0.
2
⇔ ϕ + − ϕ =

°
Khoảng cách d từ A ñến (SBC):

2
a 3
a 3
tg .O O tg
tg
2
a 3
2
d sin .
1
2
tg 1
cos
ϕ + − ϕ
ϕ
= = = ϕ

ϕ +
ϕ

Câu 2
:
(d
1
) ñi qua ñiểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương
1
u (2; 1; 0)
=
r

(d
2
) ñi qua ñiểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương
2
u (3; 3; 0)
= −
r


°

AB (3; 0; 4)
= −
uuur

C

ϕ
ϕ ϕ
ϕ



M

B

x

A

z

S

O

y

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 15
°

1 2 1 2
AB.[u ; u ] 36 0 AB, u , u
= ≠ ⇒

uuur r r uuur r r
không ñồng phẳng.
°
Vậy, (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
°
(d
2
) có phương trình tham số:
/
/
x 3 t
y t
z 0

= +

= −


=


°
Gọi MN là ñường vuông góc chung của (d
1
) và (d

2
)
°

1
M (d ) M(2t; t; 4)
∈ ⇒
,
/ /
2
N (d ) N(3 t ; t ; 0)
∈ ⇒ + −


/ /
MN (3 t 2t; t t; 4)
⇒ = + − − − −
uuuur

°
Ta có:
/ /
/
1
/ /
2
MN u 2(3 t 2) (t t) 0 M(2; 1; 4)
t 1
N(2; 1; 0)
t 1

3 t 2t (t t) 0
MN u


⊥ + − − + = 
= − 
 
⇒ ⇔ ⇒
   
=
+ − + + =
⊥






uuuur r
uuuur r

°
Tọa ñộ trung ñiểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính
1
R MN 2.
2
= =

°
Vậy, phương trình mặt cầu (S):

2 2 2
(x 2) (y 1) (z 2) 4.
− + − + − =



BÀI 8

Câu 1:
Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0,
(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 ñường thẳng:
(d
1
):
4
2
z
3
1
y
2
3
x
:)d(;
3
1
z
4
3
y

2
5
x
2
−
=
+
=
−
−
+
=
−
−
=
+

Viết phương trình ñường thẳng (
∆
) song song với hai mặt phẳng (P) và (Q),
và cắt hai ñường thẳng (d
1
) và (d
2
).
Câu 2
:
Cho hình lập phương ABCD . A'B'C'D' cạnh a. M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và
C'D'. Tính khoảng cách từ B' ñến (A'MCN).

GIẢI


Câu 1:
(P) có pháp vectơ:

/
P P
n (3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n ,
= − = − =
r r
với
/
P
n (1; 4; 1)
= −
r

°
(Q) có pháp vectơ
Q
n (3; 4; 9)
= −
r

°
(d
1
) có vectơ chỉ phương
1

u (2; 4; 3)
= −
r

°
(d
2
) có vectơ chỉ phương
2
u ( 2; 3; 4)
= −
r

Q

P

Q
/

P
/

∆
∆∆
∆



u

r
rr
r

1
u
r
rr
r
2
u
r
rr
r
B

d
2

d
1

A

∆
∆∆
∆
/
//
/

q
n
r
rr
r
p
n
r
rr
r
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 16
°
Gọi:
/
/
/ /
/ /
1 2
( ) (P) (Q)
(P )//(P), (Q )//(Q)
(d ) (P ), (d ) (Q )
u u
∆

∆ = ∩




⊂ ⊂


=

r r

°
Suy ra (
∆
) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P
/
)
và (Q
/
), và (
∆
) // (
∆
/
).
°
(
∆
) có vectơ chỉ phương
/ /
P Q

u [n ; n ] (32; 12; 16) 4(8; 3; 4) 4u ,
= = − − = − − =
r r r r

với
/
u (8; 3; 4).
= − −
r

°
mp (P
/
) có cặp vectơ chỉ phương
1
u
r
và
/
u
r
nên có pháp vectơ:

/
/
P
1
n [u ; u ] (25; 32; 26)
= =
r r r

°
Phương trình mp (P
/
) chứa (d
1
) ñi qua ñiểm A(-5; 3; -1)
1
(d )
∈
với
/
P
n
r
là:
25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0

/
(P ): 25x 32y 26z 55 0
⇔ + + + =

°
mp (Q
/
) có cặp vectơ chỉ phương
2
u
r
và

/
u
r
nên có pháp vectơ:

/
/
Q
2
n [u ; u ] (0; 24; 18)
= = −
r r r

°
Phương trình mp (Q
/
) chứa (d
2
) ñi qua ñiểm B(3; -1; 2)
2
(d )
∈
với
/
Q
n
r
là:
0(x 3) 24(y 1) 18(z 2) 0
− + + − − =

/
(Q ): 4y 3x 10 0
⇔ − + =

°
Ta có:
/ /
( ) (P ) (Q ).
∆ = ∩

°
Vậy, phương trình ñường thẳng (
∆
) :
25x 32y 26z 55 0
4y 3z 10 0
+ + + =


− + =


Câu 2
:
Cách 1
:
°
Bốn tam giác vuông

/ / / /
AA M, BCM, CC N, A D N
bằng nhau (c.g.c)

/ /
A M MC CN NA
⇒ = = =

/
A MCN
⇒
là hình thoi.
°
Hai hình chóp B
/
A
/
MCN và B
/
.A
/
NC có chung
ñường cao vẽ từ ñỉnh B
/
và
/ /
A MCN A NC
S 2.S
=

nên:
/ / / /
B .A MCN B .A NC.
V 2.V
=


°
Mà:
/ / / / / / /
3 3
/
B .ANC C.A B N A B N B .A MCN
1 1 1 a a
V V .CC .S .a. .a.a V .
3 3 2 6 3
= = = = ⇒ =

°
Ta có:
/
/
A MCN
1
S .A C.MN,
2
=
với
/ /
A C a 3; MN BC a 2

= = =


/
2
A MCN
a 6
S .
2
⇒ =

D
/

A
/

B
/

C
/

D

A

B

C

M

N

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 17
°
Gọi H là hình chiếu của B
/
trên (A
/
MCN), ta có:
/ / /
/
B .A MCN A MCN
1
V .B H.S
3
=


/ /
/
3 2
/
B .A MCN
A MCN
3.V

a a 6 a 6
B H 3. : .
S 3 2 3
⇒ = = =

Cách 2
:
°
Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz
ñôi một vuông góc,
A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0),
D(0; 0; 0), A
/
(a; 0; a),
B
/
(a; a; a), C
/
(0; a; a), D
/
(0; 0; a),
a a
M a; ; 0 , N 0; ; a
2 2
   
   
   

°
Ta có:

/
A C ( a; a; a), MN ( a; 0; a)
= − − = −
uuuur
uuuur


/ 2 2 2 2
2
[A C; MN] (a ; 2a ; a ) a (1; 2; 1)
a .n vôùi n (1; 2; 1).
= =
= =
uuuur
uuuur
r r

°
Phương trình mp (A
/
MCN) qua C(0; a; 0) với pháp vectơ
n :
r

1(x 0) 2(y a) 1(z 0) 0
− + − + − =


/
(A MCN): x 2y z 2a 0.

⇔ + + − =

°
Khoảng cách d từ B
/
(a; a; a) ñến mp(A
/
MCN):
a 2a a 2a
2a a 6
d .
3
1 4 1 6
+ + −
= = =
+ +


BÀI 9

Câu 1
:
Trong không gian Oxyz cho 2 ñường thẳng:
(d
1
) :






+=
+=
=
t26z
t4y
t
x
; và (d
2
) :





−=
−=
=
1'tz
6't3y
'
t
x

Gọi K là hình chiếu vuông góc của ñiểm I(1; -1; 1) trên (d
2
). Tìm phương trình tham số
của ñường thẳng qua K vuông góc với (d
1

) và cắt (d
1
).
Câu 2
:
1. Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết ñáy ABC là một tam giác ñều cạnh a, mặt
bên (SAB) vuông góc với ñáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với ñáy góc
α
.

GIẢI

Câu 1:
C

a

A
/

C
/

D

A

B

M

N

D
/

z

a

a

y

x

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 18
(d
1
) có vectơ chỉ phương
1
u (1; 1; 2)
=
r

(d
2
) có vectơ chỉ phương

2
u (1; 3; 1)
=
r

°

/ / / / / /
2
K (d ) K(t ; 3t 6; t 1) IK (t 1; 3t 5; t 2)
∈ ⇒ − − ⇒ = − − −
uur

°

/ / / /
2
18 18 12 7
IK u t 1 9t 15 t 2 0 t K ; ;
11 11 11 11
 
⊥ ⇔ − + − + − = ⇔ = ⇒ −
 
 
uur r

°
Giả sử (
∆
) cắt (d

1
) tại
1
H(t; 4 t; 6 2t), (H (d ))
+ + ∈

°

18 56 59
HK t; t; 2t
11 11 11
 
= − − − − −
 
 
uuur

°

1
18 56 118 26
HK u t t 4t 0 t
11 11 11 11
⊥ ⇔ − − − − − = ⇔ = −
uuur r


30 7 1
HK 4; ; (44; 30; 7).
11 11 11

 
⇒ = − − = − −
 
 
uuur

°
Vậy, phương trình tham số của ñường thẳng (
∆
):
18
x 44
11
12
y 30
11
7
z 7
11

= + λ



= − − λ



= − λ



.
Câu 2
:
Cách 1
:
°
Dựng
SH AB
⊥

°
Ta có:
(SAB) (ABC), (SAB) (ABC) AB, SH (SAB)
⊥ ∩ = ⊂


SH (ABC)
⇒ ⊥
và SH là ñường cao của hình chóp.
°
Dựng
HN BC, HP AC
⊥ ⊥




SN BC, SP AC SPH SNH
⇒ ⊥ ⊥ ⇒ = = α

°

∆
SHN =
∆
SHP
⇒
HN = HP.
°

∆
AHP vuông có:
o
a 3
HP HA.sin60 .
4
= =

°

∆
SHP vuông có:
a 3
SH HP.tg tg
4
= α = α

°
Thể tích hình chóp

2 3
ABC
1 1 a 3 a 3 a
S.ABC: V .SH.S . .tg . tg
3 3 4 4 16
= = α = α

Cách 2
:
°
Dựng
SH AB
⊥

°
Ta có:
(SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB) SH (ABC)
⊥ ∩ = ⊂ ⇒ ⊥

°
Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc
α
và
∆
ABC ñều, nên suy ra H là
trung ñiểm AB.
S

H

P

C

A

B

N

ϕ
ϕϕ
ϕ



Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

Trang 19
°
Dựng hệ trục tọa ñộ Hxyz, với Hx, Hy, Hz
ñôi một vuông góc,
H(0; 0; 0),

a a
A ; 0; 0 ; B ; 0; 0 ,
2 2
a 3
C 0; ; 0 , S(0; 0; h), (h 0).
2

   
−
   
   
 
>
 
 

°
Phương trình mp (ABC):
z = 0, với pháp vectơ
1
n (0; 0;1)
=
r

°
Phương trình mp (SAC):

x y z
1
a h
a 3
+ + =


(SAC): 2h 3x 2hy a 3z ah 3 0
⇔ + + − =
với

2
n (2h 3; 2h; a 3)
=
r

°
(SAC) tạo với (ABC) một góc
α
:
2 2 2 2 2
0 0 a 3
a 3
cos
0 0 1. 12h 4h 3a 16h 3a
+ +
α = =
+ + + + +


2 2
2
2 2
2 2
2
1 16h 3a
1 tg
cos 3a
3a tg a 3
h h tg
16 4

+
⇔ = + α =
α
α
⇔ = ⇔ = α

° Thể tích hình chóp S.ABC:
2 3
ABC
1 1 a 3 a 3 a
V .h.S . tg . tg
3 3 4 4 16
= = α = α
.

BÀI 10

Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho 2 ñường thẳng:
(
∆
1
) :
2
x 3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9
; ( ):
7 2 3 1 2 1
− − − − − −
= = ∆ = =
− −

1. Lập phương trình chính tắc của ñường thẳng (
∆
3
) ñối xứng với (
∆
2
) qua (
∆
1
).
2. Xét mặt phẳng (
α) : x + y + z + 3 = 0. Viết phương trình hình chiếu của (∆
2
) theo phương
(
∆
1
) lên mặt phẳng (
α).
3. Tìm ñiểm M trên mặt phẳng (α) ñể
1 2
MM MM
+
uuuur uuuur
ñạt giá trị nhỏ nhất biết M
1
(3; 1; 1) và
M
2

(7; 3; 9).
Câu 2:
Cho lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc

o
BAC 120
=
, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung ñiểm CC'. Chứng minh ∆AB'I vuông tại
A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

GIẢI

z

h

S

B

C

A

x

H

a
2

a 3
2

y

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
Trang 20
Câu 1
:
1.
°
1
1 1
1
x 3 7t
( ): y 1 2t
z 1 3t
= −


∆ = +


= +

có vectơ chỉ phương
1
u ( 7; 2; 3)
= −
r

°
2
2 2
2
x 7 7t
( ): y 3 2t
z 9 t
= +


∆ = +


= −


2
qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) vaø
coù vectô chæ phöông u (1; 2; 1)
= −
r

° Gọi H là hình chiếu của A trên (∆
1
)
°
1 1 1 1
H ( ) H(3 7t ; 1 2t ; 1 3t )

∈ ∆ ⇒ − + +


1 1 1
AH ( 4 7t ; 2 2t ; 8 3t )
⇒ = − − − + − +
uuur

°
1
1 1 1
AH u 7( 4 7t ) 2( 2 2t ) 3( 8 3t ) 0
⊥ ⇔ − − − + − + + − + =
uuur r


1
t 0 H(3; 1; 1)
⇔ = ⇒

° Gọi A
/
là ñiểm ñối xứng của A qua H
⇒ A
/
(-1; -1; -7)
° Gọi K là hình chiếu của B trên (∆
1
) và B
/

là ñiểm ñối xứng của B qua K. Tương tự
như trên ta tìm ñược:
/
114 25 22 20 105 204
K ; ; B ; ;
31 31 31 31 31 31
   
⇒ − − −
   
   

°
/ /
11 74 13 1 1
A B ; ; (11; 74;13) .a
31 31 31 31 31
 
= − − = − =
 
 
uuuuur
r
, với
a (11; 74; 13)
= −
r

° Phương trình ñường thẳng (∆
3
) ñối xứng với (∆

2
) qua (∆
1
) chính là phương trình
ñường thẳng
/ /
A B
qua A
/
với vectơ chỉ phương
a
r
.
° Vậy, phương trình chính tắc (∆
3
):
x 1 y 1 z 7
11 74 13
+ + +
= =
−
.
2. Mặt phẳng (
β) chứa (∆
2
) và (β) // (∆
1
)

⇒ (β) có cặp vectơ chỉ phương

1 2
u ( 7; 2; 3), u (1, 2, 1)
= − = −
r r


⇒
1 2
[u ; u ] ( 8; 4; 16) 4(2;1; 4) 4n ,
β
= − − − = − = −
r r r
với
n (2; 1; 4)
β
=
r

° Phương trình mp (β) qua A(7; 3; 9)
2
( )
∈ ∆
với pháp tuyến
n
β
r
:
( ): 2x y 4z 53 0
β + + − =

° Ta có:
/
2
( ) ( ) ( )
α ∩ β = ∆
là hình chiếu của (∆
2
) lên (α) theo phương (∆
1
).
° Vậy, phương trình hình chiếu
/
2
x y z 3 0
( ) :
2x y 4z 53 0
+ + + =

∆

+ + − =


3. Gọi I là trung ñiểm
1 2
M M I(5; 2; 5)
⇒

° Ta có:
1 2

MM MM 2MI
+ =
uuuur uuuur uuur


1 2
MM MM
⇒ +
uuuur uuuur
nhỏ nhất
2MI
⇔
uuur
nhỏ nhất

⇔
M là hình chiếu của I trên (α)
° Phương trình ñường thẳng (∆) qua I
và vuông góc với (α) là:
A

A
/

B
/

B

∆

∆∆
∆
2
22
2



∆
∆∆
∆
1
11
1



∆
∆∆
∆
3
33
3



K

1
u

r
rr
r
H

α
αα
α



M
2

u
α
αα
α
r
rr
r

M
1

I

(
∆
∆∆

∆
)



M
0

M

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
Trang 21

x 5 t
y 2 t
z 5 t
= +


= +


= +


° Gọi M là giao ñiểm của (∆) và (α)
°
M ( ) M(5 t; 2 t; 5 t)
∈ ∆ ⇒ + + +

°
M ( ) 5 t 2 t 5 t 3 0 t 5 M(0; 3; 0)
∈ α ⇒ + + + + + + = ⇔ = − ⇒ −

° Vậy, ñiểm M cần tìm: M(0; -3; 0).
Câu 2
:
Cách 1
:
° Gọi H là trung ñiểm
BC AH BC.
⇒ ⊥

° ∆ABH là nửa tam giác ñều cạnh AB = a ⇒
a
AH
2
=
và
a 3
BH BC a 3
2
= ⇒ =
°
/ /
IB C
∆
vuông có:
2 2
/ 2 / 2 / / 2 2

a 13a
IB IC B C 3a
4 4
= + = + =
° ∆AIC vuông có:
2 2
2 2 2 2
a 5a
AI IC AC a
4 4
= + = + =
° Ta có:
2 2
2 / 2 2 / 2
5a 13a
AI AB 2a IB
4 4
+ = + = =
(AB
/
là ñường chéo của hình vuông AA
/
B
/
B cạnh a)
° Vậy, ∆AB
/
I vuông tại A.
° Ta có:
/

2
/
AB I
1 1 a 5 a 10
S .AI.AB . .a 2
2 2 2 4
= = =

2
ABC
1 1 a a 3
S .AH.BC . .a 3
2 2 2 4
= = =

° Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB
/
I), theo công thức chiếu, ta có:

/
2 2
ABC
AB I
S
a 3 a 10 30
cos :
S 4 4 10
α = = =

Cách 2:

° Gọi H là trung ñiểm BC ⇒
AH BC
⊥

° ∆ABH là nửa tam giác ñều cạnh AB = a

a
AH
2
⇒ =
và
a 3
BH BC a 3
2
= ⇒ =

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
ñôi một vuông góc,
A(0; 0; 0),

A
/

B
/

C
/

A

B

C

30
o

H

I

60
o

B
/

A
/

C
/

z

a

B

C

A

H

I

y

z

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
Trang 22

/
/ /
a 3 a a 3 a
B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a),
2 2 2 2
a 3 a a 3 a a 3 a a
B ; ; a , C ; ; a , I ; ;
2 2 2 2 2 2 2
   
−
   
   
     
− −
     

     

°

/
a 3 a a 3 a a
AB ; ; a , AI ; ;
2 2 2 2 2
   
= = −
   
   
uuur uur

°
Ta có:
2 2 2
/
a 3 a 3 a a a 3a a 2a
AB .AI . . a. 0
2 2 2 2 2 4 4 4
 
= − + + = − + + =
 
 
uuur uur


/
AB AI.

⇒ ⊥
uuur uur
Vậy,
∆
AB
/
I vuông tại A.
* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ
1
n (0; 0; 1)
=
r

* mp (AB
/
I) có cặp vectơ chỉ phương
/
AB , AI
uuur uur
, nên có pháp vectơ:

2 2 2 2 2
/
2
a 3a 3 2a 3 a a
[AB ; AI] ; ; (1; 3 3; 2 3) .n
4 4 4 4 4
 
= − − = − − = −
 

 
uuur uur
r

với
2
n (1; 3 3; 2 3)
= −
r
.
°
Gọi
α
là góc giữa (ABC) và (AB
/
I), ta có:

0 0 2 3
2 3 30
cos .
10
0 0 1. 1 27 12 40
+ −
α = = =
+ + + +