De thi chon HSG toan 7

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN N MƠ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7

(ĐỀ CHÍNH THỨC)

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1: (6,0 điểm)
1. Thực hiện phép tính
a) A= 5 + 14 - 12

15
25
9
12 5
6 2
10 3
5
2 .3  4 .9
5 .7  25 .49 2

(22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143

NĂM HỌC 2015 – 2016
MƠN TỐN

+ 2 + 11
7

b) B =

25

2. Tìm x, y, z biết
a)

(3 − 109 −|x+2|) :( 1910 − 1− 25 )+ 45 =1

x

y

b) 3 = 4 ,

y z
=
3 5

và

2 x −3 y + z=6

Câu 2: (3,0 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
3n2  2n2  3n  2n chia hết cho 10

Câu 3: (3,0 điểm)

1. Cho ®a thøc A(x) = x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 .
a) Chøng minh r»ng x= -1 lµ nghiƯm của A(x)
1
b) Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 2

Câu 4: (6,0 điểm)
Cho ABC ( AB > AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M vng

góc với tia phân giác của góc BAC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (giao điểm
của đường thẳng đó với tia phân giác goch BAC là H). Chứng minh rằng:
a) EH = HF




b) 2BME  ACB  B .
FE 2
 AH 2  AE 2
c) 4
.
d) BE = CF
Câu 5: (2,0 điểm) Giải bằng máy tính cầm tay
2
3
10
a) Tính giá trị của đa thức P(x) = 1 + x + x + x + .... + x tại x = 2,13 (kết quả ghi

dưới dạng số thập phân lấy trên màn hình).
b)Tìm 2 chữ số cuối của: A= 22010 + 22011 + 22012 + 22013 + 22014 + 22015+ 22016
-------------Hết-----------Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:......................................

Số báo danh:............................................

Chữ ký của giám thị 1:...............................

Chữ ký của giám thị 2:............................

PHÒNG GD&ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2015- 2016

MƠN: TỐN 7
Câu
Câu 1
(6đ)

ý
1a.
1,0 đ

Tóm tắt lời giải
5
14
12
2
A= 15 + 25 - 9 + 7

 3 25 2
2
 
( −1+1 )
= 3 25 7 =
+ 7

+

11
25

0,5
0,5

2
2
=0+ 7 = 7
10
212.35  212.34 510.73  5 .7 4
 12 6 12 5  9 3 9 3 3
A 2 .3  2 .3 5 .7  5 .2 .7

1b.
1,5đ

Điểm

212.34.  3  1 510.73.  1  7 
 12 5


2 .3 .  3  1 59.73.  1  23 

0,5
0,5

10 3
212.34.2 5 .7 .   6 
 12 5 
2 .3 .4
59.73.9
1  10
7
 

6
3
2

0,5

Ta có

2.a
1,5 đ

(3 − 109 −|x+2|) :(1910 − 1− 25 )+ 45 =1
30 9
19 10 4
4

⇔ ( − −| x+2|) : ( − − )=1 −
10 10
10 10 10
5
21
5 1
⇔ ( −|x +2|): =
10
10 5

0,25
0,25
0,25

21
1 5
1
⇔ −|x +2|= . =
10
5 10 10
21 1
⇔ |x+ 2|= − =2
10 10
⇔ x +2=− 2 ; 2
⇔ x=− 4 ; 0

0,25
0,25

Vậy x = 0; -4

2.b
2,0 đ

x y x y
Từ giả thiết: 3 = 4 ⇒ 9 =12
(1)
y z
y
z
= ⇒ =
(2)
3 5 12 20
x y
z
Từ (1) và (2) suy ra: 9 =12 =20

0,25
0,5
(*)

0,5


x y
z 2 x 3 y z 2 x −3 y + z 6
Ta có: 9 =12 =20 =18 =36 =20 =18− 36+20 = 2 =3
x

0,5

Do đó: 9 =3 ⇒ x=27

KL:

y
=3 ⇒ y =36
12
z
=3⇒ z=60
20
x=27 , y=36 , z=60
2

Câu 2
(3,0đ)

2

Theo đề ta có 3xy – 2y = x + 5  y(3x – 2) = x + 5 (1)
Do x, y nguyên nên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x – 2
 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 2
a.
 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 2  9.x2 - 6x + 6x – 4 + 49 chia hết cho 3x – 2
(1,0đ)  3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2
 49 chia hết cho 3x – 2  3x – 2  { − 49; − 7 ; −1 ; 1; 7 ; 49 }
 3x  { − 47 ; −5 ; 1; 3 ; 9 ; 51 }  x  { 1; 3 ; 17 }
Thay x lần lượt vào (1) ta được y  { 6 ; 2; 6 }
Vậy các cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6)
3n2  2n2  3n  2n = 3n 2  3n  2 n 2  2n

n

2

n

2

= 3 (3  1)  2 (2  1)
b.
n
n
n
n 1
= 3 10  2 5 3 10  2 10
(2,0đ)
= 10( 3n -2n-1)
n2
n 2
n
n
Vậy 3  2  3  2  10 với mọi n là số nguyên dương.

1.a
(1,0đ)

A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+...+ (-1)99 + (-1)100
= - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) +...(-1) + 1 = 0
( v× cã 50 sè -1 vµ 50 sè 1)
Suy ra x = -1 lµ nghiƯm cđa ®a thøc A(x)

1.b
1
1 1 1
1
1
1
 2  3  ...  98  99  100
(2,0đ)
2
2
2
+ Víi x= 2 thì giá trị của đa thức A = 2 2 2
Câu 3
(3đ)
1 1 1
1
1
1
1 1 1
1
1
 2  3  ...  98  99  100
1   2  3  ...  98  99
 2. A 2 ( 2 2 2
2
2
2 )= 2 2 2
2
2

1 1 1
1
1
1
1
1
 2  3  ...  98  99  100
 2 A  A 1  100
100
 2 A =( 2 2 2
2
2
2 ) +1 - 2
2
 A 1 

1
2100

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

0,5
0,5

0,5
0,5
0,5


V hỡnh vit gt+ Kl ỳng

A

E

(0,5)
B

1

M

C

H

Cõu 4
(6)

cho 0,5

0,5

D
F

a
(1,0)

C/m đợc AEH AFH (g-c-g) Suy ra EH = HF (®pcm)



Tõ AEH AFH Suy ra E1 F




XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy ra CMF  ACB  F
b


 
BME cã E1 lµ gãc ngoµi suy ra BME E1  B
(1,5đ)







vËy CMF  BME ( ACB  F )  ( E1 B )



hay 2BME ACB B (đpcm).
áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH :
c
FE 2
AH 2  AE 2
(1,5đ)
ta cã HF2 + HA2 = AF2 hay 4
(®pcm)


C/m AHE AHF ( g  c  g ) Suy ra AE = AF vµ E1 F
Tõ C vÏ CD // AB ( D  EF )
(1)
C/m ®ỵc BME CMD( g  c  g )  BE CD

d
(1,5)



và có E1 CDF (cặp góc đồng vị)



CDF cân  CF = CD ( 2)
do do ®ã CDF F

Tõ (1) vµ (2) suy ra BE = CF

1,0
1,5

1,5

0,25
0,5
0,25
0, 5

x11 - 1
= x-1

a.
(1,0đ)
Câu 5
(2đ)

2
3
10
Cách 1: Ta có thức P(x) = 1 + x + x + x + .... + x
2,1311 - 1
Thay x = 2,13 ta được kết quả P(2,13) = 2,13 - 1  3622,355813.
10

Cách 2: Nhập vào máy:
3622,355813.

  2,13 
x=0

X

 ta được kết quả P(2,13) 

HD: A = 22000(210 + 211 + 212 + 213 + 214 + 215+ 216)
= (220)100 x 130048
mà 220 = (210)2 =10242 = 1048576
b.
Ta nhận thấy bất kỳ một số có đi là 76 thì lũy thừa ln ln có
(1,0đ) đi là 76 (dùng máy để kiểm tra)
Do đó: A = 130048 x (…76) = ….. 48. Vậy 2 số cuối của A có
giá trị là 48
Ghi chú:

0,5

0,5


- Bài hình học nếu học sinh khơng vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì khơng chấm.
- Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
---------------------Hết------------------------