De thi chon HSG

Phòng giáo dục và
đào tạo
đề thi chính thức

thi chọn học sinh giỏi CP TRNG
năm học 2015 - 2016
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao ®Ị)
Đề này có 05 câu, in trong 01 trang

Câu 1: (4.0 điểm):

3 3
+
11 12
1,5+1 − 0 ,75
+
a/ Thực hiện phép tính:
5
5
5
− 0 , 625+0,5 − −
2,5+ −1 , 25
11 12
3
0 , 375 −0,3+

b/ Tính B = 1+ 22 + 24 + ...+ 2100 .So sánh B với 2102.
Câu 2: (5.0 điểm):
a/ Tìm x biết: |x − 2|+|3 −2 x|=4 x +1
b/ Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7

c/ Tìm x; y  Z biết: xy + 2x – y = 7
Câu 3: (4.0 điểm):
a/ Cho biểu thức A =

2012− x
. Tìm giá trị nguyên của x để A đạt
6− x

giá trị lớn nhất . Tìm giá trị đó
ab
bc
ca


b) Cho các số a, b, c khác 0 thoả mãn: a  b b  c c  a .

Tính giá trị của biểu thức:

M 

ab  bc  ca
a 2  b2  c2

Câu 4: (5.0 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC. Về phía ngồi của tam giác vẽ các tam giác
vuông cân ABE và ACF vuông ở B và C . Có AH vơng góc với BC ,trên tia
đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC . Chứng minh :
a/ ∆ABI= ∆BEC;
b/ BI = CE và BI vng góc với CE ;
c/ Ba đường thẳng AH,CE,BF cắt nhau tại một điểm.

Câu 5: (2.0 điểm):
Tam giác ABC cân ở B có ABC = 800 . I là một điểm nằm trong tam giác,
biết IAC = 100 và ICA = 300. Tính AIB = ?


Phòng giáo dục và đào P N thi chọn học sinh giỏi CP TRNG
tạo
năm học 2015 - 2016
Môn: Toán 7
đề thi chính thức
Thời gian làm bài: 150 phút (không kĨ thêi gian giao ®Ị)

Câu

Ý
a/ (2
điểm)

Nội dung

Điểm

3 3
+
11 12
1,5+1 − 0 ,75
+
5
5
5

− 0 , 625+0,5 − −
2,5+ −1 , 25
11 12
3
0 , 375 −0,3+

A=

A=

3 3 3 3
3 3 3
− + +
+ −
8 10 11 12
2 3 4
+
5 5
5
5 5 5 5
− + − −
+ −
8 10 11 12 2 3 4

=

( 18 − 101 +111 +121 ) + 3 ( 12 + 13 − 14 )
1 1 1 1
1 1 1
− 5( − + + ) 5 ( + − )

8 10 11 12
2 3 4

=

−3 3
+
=0
5 5

1

3

Câu 1
4
điểm

b/(2
điểm)

a/ (2
điểm

0,5

Ta có 4B = 22 + 24 + 26 + ...+ 2102
4B – B = (22 + 24 + 26 + ...+ 2102 )- (1+ 22 + 24 + ...+ 2100 )
3B = 2102 – 1 => B =

Câu 2
5
điểm

0,5

102

2

−1
3

0,5
0,5

Do đó ta có : B < 2102
a/ Tìm x biết: |x − 2|+|3 −2 x|=4 x +1

0,5

Nếu x >2 ta có: x - 2 + 2x - 3 = 4x + 1  x = - 6 ( loại)
3
 x 2
Nếu 2
ta có: 2 - x + 2x - 3 = 4x + 1  x =
3
Nếu x< 2 ta có: 2 - x + 3 - 2x = 4x + 1  x =
4

Vậy: x = 7

0,5
0,5

−2
3

(loại)

4
7 ( nhận)

0,5
0,5
0,5


b/ (2
điểm

b. Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7
Từ: 2x= 3y; 4y = 5z  8x = 12y = 15z

0,5

x
y
z 4 x 3 y 5z
4 x  3 y  5z 7

    
 12
1 1
1
1
1
1
1 1 1
7
 
 8 12 15 2
4
3 = 2 4 3
12
1 3
1
1 4

 x = 12. 8 = 2 ; y = 12. 12 = 1; z = 12. 15 5
3

c/ (1
điểm

1
0,5

4

Vậy ta tìm được : x = 2 ; y = 1; z = 5

c. Tìm x; y  Z biết: xy + 2x – y = 7
Ta có: xy + 2x - y = 7  x(y+2) - (y+2) = 5
 (y+2)(x-1) = 5.1 =1.5 = (-1).(-5) = (-5).(-1)
y+2
5
1
-1
-5
x-1
1
5
-5
-1
x
2
6
-4
0
y
3
-1
-3
-7

0,5
0,5

Vậy ta tìm được các giá trị của:
(x;y) = (2;3), (6;-1), (- 4 ; - 3),(0; - 7)
a/ (2

điểm

2006

Ta có A = 1+ 6 − x

;

0,5

2006

Để A lớn nhất thì 6 − x phải đạt giá trị lớn nhất,
ta thấy 2006 là số dương nên 6- x > 0 và 6 – x phải đạt giá trị
nhỏ nhất => x= 5 ( vì x  Z)
thì A đạt giá trị lớn nhất là A = 2007

Câu 3
4
điểm
b/ (2
điểm

0,5
0,5
0,5

ab
bc
ca

abc
bca
cab





a b b c c a
(a  b)c (b  c)a (c  a)b

0,5

abc
abc

 ac  bc ab  ac  bc ab  a c
ac  bc ab  ac
Tương tự, chứng minh được: a b c

0,5
0,5
0,5

Thay b = a; c = a được M = 1


I

A

F

E

M

B

Câu 4
5
điểm

a/ (2
điểm

b/ (2
điểm

c/
(1điể
m

H

C

a/ Ta có : IAB = 1800 – BAH = 1800 – ( 900 – ABC)
= 900 + ABC = EBC
∆ABI = ∆BEC ( c – g – c )

0,5
0,5
1

b/∆ABI = ∆BEC ( câu a ) nên BI = EC ( hai cạnh tương ứng )
ECB = BIA hay ECB = BIH .
Gọi giao điểm của CE với AB là M, ta có :
MCB + MBC = BIH + IBH = 900, suy ra BMC = 900 ,
do đó CE  BI . Chứng minh tương tự BF  CI .
c/ Trong tam giác BIC : AH , CE, BF là ba đường cao . Vậy
AH , CE, BF đồng quy tại một điểm

0,5
1
0,5

1

K

Câu 5
2
điểm

B

I
A

C

Tam giác ABC cân ở B, ABC = 800 nên BAC = BCA = 500 .
vì IAC = 200 , ICA = 300 nên IAB = 400 , ICB = 200 .

0,5


Vẽ tam giác đều AKC ( K và B thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AC ) ta có BAK = BCK = 100
∆ABK = ∆CKB (c - g – c ) nên BAK = BCK = 300
∆ABK = ∆AIC (g – c – g ) suy ra AB = AI . Tam giác ABI
cân ở A , AIB = 700 .

Chú ý : Học sinh làm bài theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa./.

0,5
0,5
0,5