Dai so va Giai tich 11 nang cao Kiem tra 1 tiet

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
at + b = 0
Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
( a¹ 0) và t là một hàm số lượng giác.
trong đó a, b là các hằng số
Cách giải. Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a , ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

2) Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx

Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx là phương trình có dạng

asin x + bcos x = c

2
2
2
Cách giải. Điều kiện để phương trình có nghiệm: a + b ³ c . Chia hai vế phương trình cho
a
b
c
sin x +
cos x =
.
2
2
2
2
2
a +b
a +b

a + b2
2

Do

2

ổ a
ử
ổ b
ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
+
=1
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ a2 + b2 ÷
÷ è
÷

è a2 + b2 ø
ø

a

nên đặt

2

2

a +b

= cosa ắắ
đ

cosa sin x + sin a cos x =

Khi đó phương trình trở thành

c
2

2

a +b

b
2

a + b2

a2 + b2 , ta đựợc

= sin a.

 Û sin( x + a ) =

c
2

a + b2

.

3) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
at2 + bt + c = 0

Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
( a¹ 0) và t là một hàm số lượng giác.
trong đó a, b, c là các hằng số
Cách giải. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta
đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

4) Phương trình bậc hai đối với sin x và cosx

2

2

asin x + bsin x cos x + ccos x = d
Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với sin x và cosx là phương trình có dạng
Cách giải. ● Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình.
2
atan2 x + btan x + c = d(1+ tan2 x).
● Khi cos x ¹ 0 , chia hai vế phương trình cho cos x ta thu được phương trình
BÀI TẬP
Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2cos x- 3 = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
5p
Ỵ S.
A. 6

11p
Ỵ S.
B. 6

13p
Ï S.
C. 6

D.

-

13p
Ï S.
6

7p
x=

3 là một nghiệm của phương trình nào sau đây?
Câu 2. Hỏi
A. 2sin x- 3 = 0. B. 2sin x+ 3 = 0. C. 2cos x- 3 = 0.

D. 2cos x+ 3 = 0.
ổ
ử
p
p
p
7p
2sinỗ
4x - ữ
ữ
x= .
ỗ
x= .
x= .
ữ- 1= 0.
ỗ
ố
ứ
3
8
4 B.
24
Cõu 3. Tỡm nghim dng nh nht ca phng trỡnh
A.
C.
D.

p
x= .
12
ổ
pử
tanỗ
2x - ữ
ữ
ỗ
ữ+ 3 = 0
ỗ
ố
3ứ
Cõu 4. S v trớ biu din cỏc nghim ca phương trình
trên đường trịn lượng giác là?A. 4 . B. 3 .C. 2 .D. 1.
[ 0;2018p] , phương trình 3cot x- 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018.
Câu 5. Hỏi trên đoạn
2
Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2cos x = 1?
A.

sin x =

2
.
2

B. 2sin x+ 2 = 0.

C. tan x = 1.

2
D. tan x = 1.

2
Câu 7. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x = 3 ?
1
1
1
cot x =
.
cot x = .
cos x = - .
2
3
3
2
A.
B. 4cos x = 1.
C.
D.

3
cos2 ( 6px) =
0;1)
(
x
4
Câu 8. Với thuộc
, hỏi phương trình

có bao nhiêu nghiệm?A. 8.
B. 10. C. 11.
Câu 9. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3cosx + m- 1= 0 có nghiệm?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vơ số.

D. 12.

[- 2108;2018] để phương trình mcos x+1= 0 có nghiệm?
Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn


A. 2018.

B. 2019.

C. 4036.

D. 4038.
( m+1) sin x + 2- m= 0

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm.
1
1
m³ .
- 1< m£ .
2

2
A. m£ - 1.
B.
C.
D. m>- 1.
Câu 12. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos2x - sin2x = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
p
Ỵ S.
A. 4

p
Ỵ S.
B. 2

3p
ẻ S.
C. 4

5p
ẻ S.
D. 4
ổ pử
ỗ
ữ
ỗ0; ữ
ữ
ỗ
sin2
x
+

3cos2
x
=
3
Cõu 13. S nghim của phương trình
trên khoảng è 2ø là?A. 1.

B. 2.
( 0;2p) .

2
2
Câu 14. Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos x - sin2x = 2 + sin x trên khong
7p
21p
11p
3p
T = .
T =
.
T =
.
T = .
8
8
4
4
A.
B.
C.

D.
ổ pử
ỗ
0; ữ
ỗ
ữ
ỗ ữ
Cõu 15. Số nghiệm của phương trình sin5x + 3cos5x = 2sin7x trên khoảng è 2ø là? A. 2. B. 1.
æ pữ
ử
ổ pử
3cosỗ
+ sinỗ
ữ
ỗx + ữ
ỗx - ữ
ữ
ữ= 2sin2x.
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
2
2ứ
Cõu 16. Gii phương trình

C. 3.

D. 4.

C. 3.

D. 4.

é 5p
é
é 5p
é
5p
p
2p
êx =
êx = êx =
êx = + k
+ k2p
- k2p
+ k2p
ê
ê
ê
ê 18
6
6
6
3
, k Î ¢.
, k Î ¢.
, k Î ¢.
, k Î ¢.

ê
ê
ê
ê
ê
p
2p
ê
p
2p
ê 7p
ê
p
2p
+k
+ k2p
+k
êx = + k
êx = êx =
êx =6
3
18
3
18
3
ë 18
ë
ë
ë
A. ê

B. ê
C. ê
D. ê
x
Câu 17. Gọi 0 là nghiệm âm lớn nhất của sin9x + 3cos7x = sin7x + 3cos9x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
æ p ử
ộ p
ộ p pử
ộ p pử
pự
ỳ.
x0 ẻ ỗ
;0ữ
x0 ẻ ờ- ;x0 ẻ ờ- ;- ữ
x0 ẻ ờ- ;- ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ữ.
ữ.
ữ.
ỗ
ờ
ỳ
ờ
ờ
ố
ứ
ứ

12
6
12
3
6
ở
ỷ
ở
ở 2 3ø
A.
B.
C.
D.

sin( ax + b) = sin( cx + d)
cos3x - sin x = 3( cos x - sin3x)
Câu 18. Biến đổi phương trình
về dạng
với b , d thuộc khoảng
ỉ p pử
p
p
p
p
ỗ
- ; ữ
ữ
b+ d = - .
ỗ
b+ d = .

b+ d = .
b+ d = .
ữ
ỗ
ố 2 2ứ
3
12
4
2
. Tớnh b+ d .A.
B.
C.
D.
[- 10;10] để phương trình ( m+1) sin x - mcos x = 1- m có nghiệm.
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc on
A. 21.
B. 20.
C. 18.
D. 11.
ổ pử
ổ pử
sinỗ
x- ữ
- 3cosỗ
x- ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ

ữ= 2m
ỗ
ỗ
10;10
[
]
ố
ứ
ố
3
3ứ
m
Cõu 20. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham số
thuộc đoạn
để phương trình
vơ
nghiệm.A. 21.

B. 20.
C. 18.
D. 9.
é p÷
ư
ê0; ÷
2
ê ÷
Câu 21. Hỏi trên ë 2ø, phương trình 2sin x - 3sin x +1= 0 có bao nhiêu nghiệm?A. 1.
B. 2. C. 3. D. 4.
2
Câu 22. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của 2cos x + 5cos x + 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là?A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

2
[- p;4p] là?A. 2.
Câu 23. Số nghiệm của phương trình sin 2x - cos2x +1= 0 trên đoạn
B. 4. C. 6. D. 8.
x
x
2sin2 - 3cos = 0
[ 0;8p].
T
4
4
Câu 24. Tính tổng
tất cả các nghiệm của phương trình
trên đoạn
A. T = 0.
B. T = 8p.
C. T = 16p.
D. T = 4p.
17p
T =
.
0;3p]
[
2cos2
x
+
2cos
x
2
=

0
T
4 B. T = 2p. C. T = 4p. D. T = 6p.
Câu 25. Tính tổng
tất cả các nghiệm của
trên
.A.
sin2 x - ( 3 +1) sin x cos x + 3cos2 x = 0.
Câu 26. Giải phương trình
é p
é p
êx = + k2p
êx = + kp
ờ 3
ờ 3
k
ẻ
Â
.
(
)
( k ẻ Â) .
ờ
ờ
p
ờ
ờ p
p
p
x = + k2p ( k ẻ Â ) .

ờx = + k2p
ờx = + kp
x = + kp ( k ẻ Â ) .
3
ë 4
ë 4
4
A.
B.
C. ê
D. ê
p
p
p
p
2
2
6
4sin
x
+
3
3sin2
x
2cos
x
=
4
Câu 27. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
là:A. 12 .

B. . C. 4 . D. 3 .
p
2p
p
p
2sin2 x +( 1- 3) sin x cos x +( 1- 3)  cos2 x = 1.
3 .
Câu 28. Giải phương trình
A. 6 . B. 4 . C.
D. 12 .
Câu 29. Cho phương trình

(

)

(

2 - 1 sin2 x + sin2x +

)

2 +1 cos2 x -

2=0

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?


7p

8 là một nghiệm của phương trình.
A.
2
2
B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x thì ta được phương trình tan x - 2tan x - 1= 0 .
2
2
C. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin x thì ta được phương trình cot x + 2cot x - 1= 0 .
D. Phương trình đã cho tương đương với cos2x - sin2x = 1.
x=

2
2
Câu 30. Tìm điều kiện để phương trình asin x + asin x cos x + bcos x = 0 với a¹ 0 có nghiệm.
4b
4b
£1
£1
A. a ³ 4b .
B. a £ - 4b .
C. a
.
D. a
.