Khao sat doi tuyen HSG toan 9

PHềNG GD&T

Đề khảo sát đội tuyển Toán 9
Câu 1 (1,5 điểm).
Tìm các số tự nhiên dạng abcd biết abcd 11 và a= b + c, bc
phơng.
Câu 2 (2 điểm).
Cho:

là sè chÝnh

3
x 4 +1 x − x ( 4 x −1 ) −4
x 2 +29 x+ 78
P = 1,5 - x − 2
:
x +1 x 7 +6 x 6 − x −6
3 x 2+12 x − 36

[ (

4

]

)

1. Rót gän P.
2. Tìm x để |P| = 15.
Câu 3 (1,5 điểm):
Giải phơng trình: 2x2 +8 x +6+ x 2 1= 2x + 2

Câu 4 (1 điểm).
Tìm đa thức P(x) biÕt:
P(x) chia cho (x -3) d 3.
P(x) chia cho (x+4) d (- 4)
P(x) chia cho (x2 + x – 12) đợc (x2 + 3) và còn d.
Câu 5 (1 điểm):
Tìm Min cđa: P = x2008 − 2008 x +2008
C©u 6 (1 điểm):
Cho a, b, c > 0 thoả mÃn: 1 + 1 + 1 =2 .
a+1 b +1

c +1

1
CMR:
abc ≤
.
8
C©u 7 (1 điểm):
Qua điểm A của hình vuông ABCD cạnh a vẽ 1 đờng thẳng cắt BC tại M và cắt
DC tại I.
CMR: giá trị của biểu thức:
P=

1
1
+ 2
2
AM AI

không phụ thuộc vào vị trí của M và I.

Câu 8 (1điểm):
Cho O nằm trong ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của
lần lợt tại A ' , \{ B' , \{ C ' . Tìm vị trí cđa O ®Ĩ:
P=

OA OB OC
+
+
O A' O B' O C'

Δ ABC

nhỏ nhất.

đáp án
Nội dung
Câu Vì abcd 11 a+ c − b −d ⋮ 11
1
Mµ a=b+c ⇒2 c − d 11 (1)
Mặt khác: 9 2 c d ≤ 18 ⇒2 c − d ∈ { 0 ;1 } (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
+TH1: 2c – d =0 ⇔ d =2 c ≤ 9 ⇒c ≤ 4 mà bc là số chính phơng
c {0 ; 1 ; 4 }

Nếu c =0 thì vô lí vì số chính phơng đà tận cùng là 0 thì phảI có hai
chữ số tận cùng là 00

điểm

bc=81⇒
b=8
NÕu c = 1 th× a=9 ⇒abcd=9812
d=2
¿{{
⇒ bc=64 ⇒
b=6
NÕu c = 4
lo¹i
a=10
¿{

+TH2: 2c – d =11

⇒ 2 d=c +11 ≤ 18⇒ c ≤ 7
⇒ c ∈ { 0; 1 ; 4 ; 5; 6 }

Mà c lẻ vậy c 1; 5

bc=81
a=9
Nếu c=1 b=8 abcd=9816
d=6
{{
bc=25
a=7
Nếu c=5 b=2 abcd=7258
d=8

{{

loại vì không chia hết cho 11

loại vì không chia hết cho 11

Vậy có duy nhất số 9812 thoả mÃn
Câu
2

(

P=

3 x 6 1 x 3 −4 x2 + x −4
x 2 +3 x+26 x +76
− 2 . 7
:
2 x +1 x + 6 x6 − x −6 3 x 2 +18 x −6 x −36

)

3
3
2
3 ( x +1)( x −1) (x − 4)(x +1) (x+3)(x +26)
−
.
:
2

x 2 +1
(x+ 6)(x 6 −1) ( x +6)(3 x − 6)
3 x −4 ( x+6)(3 x −6)
−
.
2 x +6 ( x +3)(x+ 26)
3 x +18 −2 x+ 8 ( x+ 6)( 3 x −6) x +26 (x +6)(3 x −6)
.
=
.
2( x+ 6)
( x +3)(x+ 26) 2( x+ 6) ( x +3)(x+26)
3 x −6
2(x+ 3)
¿
x ≠1
x ≠ −1
§KX§: x ≠ −3
x≠2
x ≠ −26
¿{{{{
¿

(

)

(

)

|32xx+−66 =15 ⇔|x − 2|=10|x +3||

|P|=15 ⇔

⇔
x −2=10 x+30
¿
x − 2=− 10 x −30
¿
⇔
¿
−32
b/
x=
9
¿
− 28
x=
9
¿
¿
¿
¿
¿
¿ ¿¿
VËy víi x= − 32 và x= 28
9
9

Giải phơng trình:

thì |P| =15

2 x 2 +8 x+ 6+√ x2 −1=2 x +2 (1)

x ≥1
¿
x=−1
§K
¿
¿
¿
¿
(1)⇔ 2 x 2+ 8 x+6+ x2 −1+2 √ (x 2 − 1)(2 x 2+ 8 x +6)=4 x 2 +8 x+ 4
⇔ √ (x+ 1)( x −1). 2( x+ 1)( x +3)=x 2 − 1
⇔∨x+ 1∨√ 2(x − 1)( x +3)=(x −1)( x +1)

+ NÕu x =-1 tho¶ m·n
+ NÕu x 1 ta cã PT:

√ 2(x −1)(x +3)=x − 1
C©u
3

x −1 ¿2
¿
⇔
¿

x −1=0
¿
2 x +6=x − 1
¿
x=1
¿
x=− 7 loai
¿
¿
¿
¿
¿
⇔
¿
¿
⇔ 2(x −1)(x +3)=¿

VËy nghiƯm cđa PT lµ x = 1 vµ x=-1
Câu + Vì P(x) chia cho x2+ x -12 đợc thơng là x2 +3 và còn d. Do đó P(x)
là ®a thøc bËc 4 vµ sè d lµ: ax + b
4


VËy P(x) = (x2+ 3 )(x2 +x – 12) + ax +b
+ P(3) = 3 ⇔ 3 a+ b=3
+ P(-4) = -4   4a  b  4
⇒
a=1
b=0
2

⇒ P( x )=(x +3)( x 2+ x −12)+ x
¿{
4
⇔ P(x )=x + x 3 − 12 x 2 +3 x 2+3 x − 36+ x
⇔ P ( x)=x 4+ x3 −9 x 2 +4 x −36
2008

P=x

+ 1+
1+ .. .1 −2008 x +1
⏟

P≥ 2008 2008 x

√

C©u
5

2007
2008

. 11
. .. 1 − 2008 x+1
⏟
2008

P≥1

DÊu = xảy ra khi x = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1 Dấu = xảy ra khi x = ±1

C©u
6

1
1
1
+
+
=2
1+ a 1+b 1+c
Tõ
1
1
1
b
c
bc
⇒
=( 1−
)+(1 −
)=
+
≥2
a+1
1+b
1+ c b+1 c+1
(b+1)(c +1)

1
ac
≥2
(a+1)( c+1)
T2 b+1
1
ab
≥2
c+1
(a+1)(b+1)
Nh©n vÕ víi vÕ cđa 3 BĐT trên ta có: abc 1
8






Trên tia đối cđa tia DC lÊy ®iĨm E | BM = DE
Ta có: ABM = ADE (2 cạnh góc vuông )
∠ A 1 =∠ A 2 ; AM=AE
∠ AEI =∠ A +∠ A 2 =∠ A1 +∠ A 3
TA Cã
⇒ A2 = A 1
AEI

Câu
Vuông tại A. Có CD vu«ng gãc víi EI
7
1

1
1
= 2+ 2
2
AD AE AI
1 1
1
hay
= 2
2
2
AM AI a
⇒

C©u Ta cã : S1 = SBOC ; S2 = SAOC; S3 = SAOB
8


S
S
S +S
OA
= 2 = 3 = 2 3
OA ' S OA ' C SOA ' B
S1
S 1+S 3
OB
T2
=
OB '

S2
OC S 1+ S 2
=
OC'
S3
S +S S 1+S 3 S 1+S 2
⇒ P= 2 3 +
+
S1
S2
S3
S1 S2
S S
S S
+
+ 3 + 2 + 1+ 3 ≥6
S2 S1
S2 S3
S 3 S1

⇒

(

)(

)(

)

DÊu “=” x¶y ra khi S1 = S2 = S3
Hay tam gi¸c ABC là tam giác dều