Chuyen de BDHG toan 9

Buổi 1 :
I> P chứng minh đẳng thức : A = B
2

P2 1 : BiÕn ®ỉi trùc tiÕp : B ®ỉi vÕ nµy b»ng vÕ kia : A = A1=A2=…….=B
2 : So s¸nh : A=A1=A2=………=C ; B=B1=B2=….=C ; =>A =B
3 :Dùng định nghĩa : A-B=0
4 :Biến đổi tơng đơng : A=B A1=B1 A2=B2 .<=> An=Bn là đúng =>A=B
5 :sử dụng giả thiết để biến đổi ( Sd đẳng thức đúng )
6 :P2 quy nạp toán học
7 :Sử dụng biểu thức phụ
II> P2 chứng minh đẳng thức : A > B
1.Dùng định nghĩa : A>B A B > 0
2. BiÕn ®ỉi trùc tiÕp : A=A1=A2=….=B + m2 > B ( m 0)
3. Sử dụng giả thiết hoặc đẳng thức đà chứng minh
4. So sánh : A>A1>A2>.>C ; B=> A >B
5. Bắc cầu A > C ; C > B => A>B
6. Biến đổi tơng đơng : A>B A1>B1 A2>B2 .<=> An>Bn là đúng =>A>B
7. P2 quy nạp toán học
8. P2 phản chứng : gỉa sử A B các phép biến đổi đều tơng đơng là vô lý => A>B
9.Sử dụng BĐT Cô Si : Với a,b 0  a  b 2 ab .DÊu = xẩy ra khi a=b
10. BĐT Bunhiacỗpki : Cho 2 cặp số ( a;b ) và ( x; y ) thì

a b

x
y víi x; y  0
2
2
2

2
2

( · + by )
( a + b )( x + y ) DÊu = xÈy ra khi

11.

a  b a b

DÊu = xÈy ra khi ab 0

a  b a b

DÊu = xÈy ra khi a b 0 hc a b 0
12. Sư dơng BĐT trong tam giác : a+b >c > a-b
13. (a-b)2 0  a2 +b2 2ab
1 1
4
 
14. a b a  b DÊu = xÈy ra khi a=b
a b
 2
15. b a
(a ; b > 0)

Bài tập về đẳng thức
B1: Cho a + b + c = 0 CMR
a. a3 + b3 + c3 = 3abc
b. a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0

c. ( ab + bc + ac )2 = a2b2 + b2c2 + a2c2
d. a 4 + b4 + c4 =2( ab + bc + ac )2
1
e. a 4 + b4 + c4 = 2 Víi a2 + b2 + c2 =1
1
f. a 4 + b4 + c4 = 2 ( a2 + b2 + c2 )2

B2: Cho a + b + c + d =0
CMR a3 + b3 + c3 + d3 = 3( b + c )( ad – bc )
4
4
4
B3 :CMR nÕu a + b + c + d4 = 4abcd và a,b,c,d > 0 Thì a = b = c = d
B4 : a > . CMR nÕu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac Th× a = b= c
b > .Cho ( a + b + c )2 = 3( ab + bc + ac ) CMR a = b= c
1 1 1
 
B5 : Cho 3 sè a,b,c Tho¶ m·n : a + b + c = 1 ; a b c = 0

CM a2 + b2 + c2 =1
B6 : CMR nÕu a = b +1 Th× ( a + b)( a + b )( a + b ) = a – b8
2

2

4

4

8

a b c
x y z
 
 
B7 :Cho a,b,c và x,y,z Thoả mÃn a b c = 1 vµ x y z = 0 CMR

B8 : Cho x,y,z > 0 CM ( x2 + 1)( y2 + 2)( z2 + 8) = 32xyz

x y z
 
a b c =1

1 1 1
 
B9 : Cho 3 sè a,b,c 0 Tho¶ m·n : a + b + c = a b c vµ abc = 1 CM mét trong 3 sè a,b,c cã Ýt nhÊt

mét sè = 1

a
B10 : a> T×m a,b biÕt a+b = ab = b ( b 0)

b>T×m a,b,c BiÕt ab = 2 ; bc = 3 ; ac = 54

1 1 1
1
 
B11: a> Cho 3 sè a,b,c T/m·n a + b + c = 2008 và a b c = 2008 thì 1 trong 3 sè ph¶I cã 1 sè =

2008
2009

1 1 1
1
 
b> Cho 3 sè a,b,c T/m·n a + b + c = 2009 và a b c = 2009 thì 1 trong 3 sè ph¶I cã 1 sè =
1 1 1 1
 
c> Cho 3 sè a,b,c T/m·n a + b + c = n vµ a b c = n thì 1 trong 3 số phảI có 1 số = n

Buổi 2 + 3
bài tâp về bất đẳng thức
Bài 1: a> Cho : a + b =2 .CMR a + b2  2
b> Cho : a + b + c + d = 2 . CMR a2 + b2 + c2 + d2  1
2

 a b 
 a bc 




3
2
2
2



Bµi 2 : CMR : a> a2 + b2   2 
: b> a + b + c
Bµi 3 : Cho a,b  R , tho¶ m·n : a2 + b2  2 CMR : a + b  2


a
Bµi 4 : Cho a,b,c  R ; CMR : 4 + b2 + c2  ab – ac + 2bc
Bµi 5 : Cho a,b,c  R vµ abc = 1 ; a3 > 36 CMR: a2/3 + b2 + c2 > ab + ac + bc
Bµi 6 : CMR víi mäi a,b,c  R ta lu«n cã : a4 + b4 + c2 + 1  2a(ab2 –a +c +1)
Bµi 7 : Cho a + 2b + 3c  14 CMR : a2 + b2 + c2 14
a b c a b c
    
b c a c a b
Bµi 8 : CMR
Bµi 9 : a> CMR : a2 + b2 + c2  ab + ac + bc
bc ac ab
 
a  b  c
b>Cho a,b,c > 0 CMR ; a b c
c> Cho abc = 1 CMR : a4 + b4 +c4  a + b + c
Bµi 10 : Cho a,b,c > 0 CMR: ( a2 + b2 )c + (b2+ c2)a + (a2+c2 )b  6abc
1
Bµi 11 : Cho a + b > 1 CMR : a4 + b4 > 8
Bµi 12 : Cho a,b  R ; CMR : ( a + b )2  2( a2 + b2)
1
Bµi 13 : Cho a,b  R ; CMR : a3 + b3 + ab  2
Bµi 14 : a> Cho a,b > 0 CMR : a3 + b3  ab( a +b )
b> Cho a,b,c  R ; CMR : a2 + b2 + c2  a( b + c)

Bµi 15 : Cho a,b,c,d > 0 CMR : (a  b)(c  d )  ac  bd

a b
2
Bµi 16 : Cho a,b,c  R ; CMR : ab
1
Bµi 17 : Cho a + b + c =1 CMR : a2 + b2 + c2  3
Bµi 18 : Cho a,b,c  0 vµ a + b + c =1 CMR : b + c  16abc
1

Bµi 19 : Cho a,b  R vµ a + b  1 CMR : a2 + b2 2
a
b
c


Bài 20 : CMR nếu a,b,c > 0 thì 1 < a  b b  c a  c < 2


a b
2



1
1
1
a   2; b   2; c 2
c
a
Bài 21 : CMR không có 3 số dơng a,b,c nào thoả mÃn cả 3 BĐT : b
5

1 1 1
1
  
2
2
2
Bµi 22 : Cho a,b,c R và abc > 0 thoả mÃn : a + b + c = 3 C/m: a b c abc
 1  1 
 1    1   9
Bµi 23 : Cho a,b > 0 vµ a + b = 1 CMR :  a  b

Dùng BĐT Cô Si để C/m Các BĐT sau :
Bµi 24 : Cho a,b,c  0 CMR : ( a + b)( b + c )( a + c )  8abc
Bµi 25 : Cho 2 sè a,b  0 CMR : a2 + b2 + 1  ab + a + b
1
Bµi 26 : a> Cho 2 sè a,b  0 CMR : a2 + b2  a + b - 2
b> Cho a,b,c,d  0 CMR : a2 + b2 + c2 + d2 + 1  a + b + c + d


 1 1 1
   
Bµi 27 : Cho a,b,c > 0 CMR : ( a + b + c )  a b c  9
1
3
b
(
a

b
)

Bµi 28 : a > Cho a>b> 0 C/M : a +
3
5
b> Cho a,b > 0 C/m : 2 a  3 b 5 ab

 1  1  1 
1  1  1  
c> Cho a,b,c > 0 vµ a+ b+c = 1 C/m :  a   b   c  64
a
b
c
3



d> Cho a,b,c > 0 C/m: b  c a  c a  b 2
a
b
c



ac
a b 2
Bµi 29 :Cho a,b,c > 0 C/m: b  c
Bµi 30 : Cho a,b  1 C/m : a b  1  b a  1 ab
1 1
4
 
Bµi 31 : a> Cho a , b > 0 CMR : a b a  b

1
2


b> Cho a,b > 0 vµ a+b= 1 C/m: ab a  b 8
1
1


c> Cho a,b > 0 vµ a+b= 1 C/m: ab a  b 6
1
1
1
3



d> Cho a,b,c > 0 T/m abc = ab + bc + ac C/m: a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c 16
ac bd ac bd



4
e> Cho a,b,c,d > 0 CMR : a  b b  c d  c a  d
1 1 1 1
   16
f> Cho a,b,c,d > 0 vµ a+b+c+d=1 CMR : a b c d

g> Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ,P là nữa chu vi

1
1
1
1 1 1


2   
CMR : P  a P  b P  c  a b c 
1
1
1
1



Bµi 32 : Cho a,b,c  R T/m abc=1 C/m: a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2

Bµi 33 : Cho a,b,c >0 T/m: a+b+c=1 C/m: a  b  b  c  a c 6 (Bu-nhi-a-cốp-xki )

áp dụng BĐT tam giác

Bài 34 :Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam gi¸c C/m:
a) ab + bc + ac  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
b) ( a + b –c )( b + c – a )( a + c –b )  abc
c) Th× a ; b ; c cũng là độ dài 3 cạnh cđa tam gi¸c
1
1
1
1 1 1



  
d) a  b  c b  c  a a  c  b a b c


a
b
c


2
e) b  c a  c a  b

f) a3 + b3 + c3 + 3abc > ab(a+b) + bc( b+ c) + ac( a+ c)
a
b
c



g) b  c  a a  c  b a  b  c 3
1
1
1
;
;
h) Th× a  b a  c b c cũng là độ dài 3 cạnh của tam gi¸c

i) a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Víi a + b + c =2

Bi 4 :
t×m GTLN ; GTNN cđa biĨu thøc

Bµi 1 : Cho x + y = 1 . T×m
a> GTNN cđa : A = x2 + y2 ; B = 9x2 +4 y2 ; C = 8x2 +5 y2
b> GTNN cña : P = x3 + y3 + xy
c> GTLN cña : Q = x3 + y3 + 4x2y + 4xy2
Bµi 2 : Cho x,y > 0 ; x + y = 1 .T×m GTNN cđa
 1  1 
1   1  
A =  x  y 

1
1
 1 
 1 
1  1 
1    1  
; B =  x  y  ; C = x   y 
1 1

x
y
Bµi 3 : a.> Cho x, y > 0 ; x + y = 5 T×m GTNN cđa : A =
1 1

x
y
b> Cho x, y > 0 ; x + y = 10 T×m GTNN cña : A =
6 8


x
y

c> Cho x,y > 0 ; thoả mÃn x+y 6 . Tìm GTNN của A= 3x+2y +
1
501

d> Cho x,y > 0 ; tho¶ m·n x+y  1 . T×m GTNN cđa A= x  y xy
1
e> Cho x > 0 T×m GTNN cđa A = 2x + x

Bài 4 : a> Cho x, y thoả m·n : x + 2y = 3 T×m GTNN cđa A = x2 + 2y2
b> Cho x,y tho¶ m·n : x + 2y = 1 T×m GTLN cđa A = xy
c> Cho x,y tho¶ m·n : x + y = 8 T×m GTLN cđa A = x  3  y  4
d> Cho x, y T/m·n : x2 + y2 = 1 T×m GTLN cđa P = 2x + 3y
e> Cho x,y T/m : 3x + y = 1 T×m GTNN cđa A = 3x2 + y2
f> Cho x,y T/m : 3x + y = 1 T×m GTLN cđa A = xy


Bài 5 :a> Tìm GTNN của
b> Tìm GTNN của
c> Tìm GTLN cđa
d> T×m GTNN cđa

A = x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5
A = 5x2 + 5y2 + 8xy – 2x + 2y
A = - 5x2 – 5y2 + 8x – 6y -1
A = ( x – 2 )2 + ( x – 3 )2
x 2  x 3

e> Tìm GTNN của A =
Bài 6 : Tìm GTNN cña A = 2x + 3y – 4z BiÕt x, y , z là nghiêm của HPT 2x + y + 3z = 6
3x + 4y – 3z= 4
Bµi 7 : a> Cho x,y  R , x2 + y2=1 T×m GTNN,GTLN cđa A = x + y
b> Cho x,y  R , x2 + 4y2=25 T×m GTNN,GTLN cđa A = x + 2y
c> Cho x + y = 4 T×m GTNN, GTLN cđa A =

x 1 y 2

d> T×m GTNN,GTLN cđa A = 2x + 5  x
Bµi 8 :Cho x,y  R T/m:(x+y)2 + 7(x+y)2 + y2 +10 = 0 Tìm GTNN,GTLN của A=x+y+1
Bài 9 : Tìm GTNN ; GTLN cđa c¸c BT
x 1
3  4x
4x  3
x  2x  3
x 1
x  3x  1
A= x  1 ; B = x  1 ; C = x  2 ; D = ( x  1) ; E = x  x  1 ; F = x  1
8x  3
27  12 x
2x 1
3x  2 x  3
x 1
G= 4 x  1 ; H = x  9 ; M = x 2 ; N =

Bài 1 : Giải các PT :

Buổi 5 + 6

các bài toán về căn bậc hai

a> x + 5 - 2 x  3 = 0 ; a, > x  3  x = 3

a” > x  2 x  2 = x - 1

b> 3x  6 x  7  5 x  10 x  14 = 4 – 2x – x2
c> 3x  18x  28  4 x  24 x  45 = 6x – x2 – 5
d>
e>
f>
g>
h>

3 x  12 x  16  y  4 y  13

=5

x  3  5  x = x2 – 8x + 18
x  2  6  x = x2 - 4x + 6

;e, > x  1  7  x = x2 – 6x + 13
; f, > x  2  6  x = x2 – 4x + 8

1
2 ( x + y + z)
1
x  2000  y  2001  z  2002 
2 (x+y+z)-3000
x  y 1 z 2 

i> 10  24  40  60 2008(2 x  1)  2  3  5
j> ( x2 + 1)( y2 + 2)(z2 + 8) = 32xyz
k> x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0 ( víi x,y  Z )
l> x + y + z + 4 = 2 x  2  4 y  3  6 z  5


x + y + z + 8 = 2 x  14 y  2 6 z  3 ;

m>
n>

x2 x 1  x 2 x 1 

x 3
2

; n, > x  2  3 2 x  5  x  2  2 x  5 2 2

o> x  2 x  1  x  3  4 x  1 1

; o, > x  3  4 x  1  x  8  6 x  1 1

p> 3 + x  2 x  1 2 x  2 x  1

; p, > x  3  4 x  1  x  8  6 x  1 5

q> x2 + 2x = 2 x  4 x  8  20

; q, > x  2 x  5 = x2 – 2x – 1

r>

x  2 x  1  x  4 x  4 3

; r, > 3x2 + 2x = 2 x  x - x +1

s>

x  2x  3
x 1
=x+3

; s, > 8  x  5  x 5

t>

25  x 

9  x 2

; t, > x3 - 3 2 x2 + 3x + 2 = 0

u> x2 + x  2004 = 2004
v>

x  3x  2  x  3  x  2  x  2 x  3

w> 2  x  2  x  4  x = 2
x>

; u, > x2 + x  2008 = 2008

x 7

+

2008

x 8

2009

=1

; w, > x  2 x  3  x  2  x  3  x  3x  2
; x, >

x 3

+

2004

x 4

2005

=1

Bài 2 : Tính GT các biÓu thøc sau :
A = 21  6 6  21  6 6

; B = 13  30 2  9  4 2

C = 6 2 5  62 5

; D = 32  5 28  12  4 7

E = 4  10  2 5  4  10  2 5

; F = 4  10  2 5  4  10  2 5

G = 4 7  4 7
Bµi 3 : Chøng minh biÓu thøc

; H = 4  15  4  15  2 3  5

3  5 13 48

A=

6 2

là số nguyên

;C=

(5 2 6)(49  20 6) 5  2 6
9 3  11 2

B=
là số nguyên ; D =

Bài 4 : Số sau là số hữu tỉ hay vô tỉ ?

5

3

29 12 5

là số tự nhiên

4 5 3 5 48  10 7  4 3

lµ SN


A = (4  15)( 10  6) 4  15
C=

5

21



14 

6



5

21

; B = 3  5 (3  5)( 10  2)



;D=





10  2 6  2 5



3 5

E = 4  8. 2  2  2 . 2 2 3

Buổi 7

Các bài toán về rút gän biÓu thøc
 2x x  x  x x  x 
x 1

x




x  1  2x  x  1 2 x  1
x x1
1> Cho Bt: P =

a> Tìm ĐKXĐ và RG P

;

b> Tìm GTNN của P







 2x  x  1 2x x  x  x   x  x 1 x 






1


x
1

x
x
2
x

1



2> Cho BT : P = 1-

a> Tìm ĐKXĐ và RG P ; b> T×m GTNN cđa 2000- P khi x 4 ; c> Tìm x Z để P  Z


x   1
2 x

 1 
 : 

x  1   x  1 x x  x  x  1 

3> Cho BT : P =
-1

a> Tìm ĐKXĐ và RG P ; b>Tìm x Z để P Z ; c> Tìm x để P<1 ; d>Tìm x để P P
4> Cho BT

2x  2 x x  1 x x 1


x
x

x
x x
: P=

8
a>RG P ; b> So s¸nh P víi 5 ; c> CMR x ĐKXĐ thì P chỉ nhận 1 GT nguyªn
x 1
x2
x 1


5> Cho BT : P = x  1 x x  1 x  x  1
2
 x
a> Rót gän P ; b> T×m GTLN cđa Q = P

x 2
x 3



x


5
x

6
2

x
6> Cho BT : P =
1
5

2
a> Rút gọn P ; b> Tìm x để P

x 2 
 : 2
x  3  

x 

x  1 

 3x  9 x  3
 1
1
1


 2  :


x1
x 2
 x 1
7 > Cho BT : P =  x  x  2
1
a> Rót gän P ; b> Tìm x N để P N ; c> TÝnh GTBT khi x = 4 -

12


x2
x 1


7> Cho BT : P = x x  1 x  x  1

a> Rót gän P

;

1
x1

b> TÝnh GTBT khi x = 33 - 8 2

;

1
c> C/m P < 3

x x
2 x  x 2  x  1


x
x1
8> Cho BT : P = x  x  1
2 x
Z
a> Rót gän P ; b> Tr×m GTNN cđa P ; c> Tìm x để Q = P
x 5 x 
25  x
x 3
x 5
 1 :



x  25
x 5
x3
 x  2 x  15
9 > Cho BT : P = 

a> Rót gän P ; b> Tìm x để P < 1 ; c > Tính GTBT khi x = 19 - 240
2x  2 x
x x 1

1
x


1
x

x

1
10 > Cho BT : P = x -

a> Rót gän P

; b> T×m GTNN cđa P