Hinh hoc

Hồng Trọng Nam - THPT Cị Nịi, Sưu tầm - Tổng hợp
Chủ đề 5. KHỐI ĐA DIỆN
Cau 1:

(SGD VĨNH PHÚC) Cho hình hộp chữ nhật A8CD.A'ECW. có AB=a,AD=aal3. Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng BBf và AC.

A. av3

B. av3.

4

D. av?
2

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta cé: A’C’=4/(A’B’) +(B’C’) = 2a. Ké BH LAC’.
BH

AB BC
——
BC

| a.av3 _ a3
=

2a

2

Vi BB’//(ACC’A’) nén d( BB’, AC’) =d(BB’,(ACC'A’))
d(BB.(ACCA'))= B1 =
Nén d(BB’,AC’)=

Cau 2:

a3.
2

aN3

(SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp §.ABC có $A L(ABC), tam giác ABC vng can tai B,
AC =2a và SA =a. Gọi M

là trung điểm cạnh SB. Tính thể tích khối chóp S.AMC.
3

B.—.
3

3

3

D.—,

c+.

12

9

Hướng dẫn giải
g

„
A
A
../
z
Xét tam giác vng cân A8C có: AB= BC =—==a\2
AC

42

S apc

= 5

Vs apc

l

AB.BC=a

1

= 3

AS

anc

a

2

1,

`...

@

3

Ap dụng định lí Sim-Son ta có:

Vuục _ SA SM SC _1

V, S.ABC

SA SB SC

2

A

x>
B


1
> V5 auc = 2 SABC

Cau 3:

a
— 6

(SGD VĨNH PHÚC) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A,B,C, có AB=a, AC=2a, AA, =2aV5
và BAC =120°. Gọi K, 7 lần lượt là trung điểm của các cạnh CC,, BB,. Tinh khoang cach

từ điểm 7 đến mặt phẳng (A,BK).

Hướng dẫn giải

Chọn C.

4

Ta c6 IK = B,C, = BC =V AB’ + AC? —2AB.AC.cos120° = av7
Kẻ AH LBC,

khi đó AH

7

S icp <5 [KKB =.a

`

35 > V4ink =4

~

H

ƒ

ANT

15(dvtt)

`

B,

là đường cao của tứ diện A,BIK

Vi AH.B,C, = A,B,.4,C,.sin120° > A,H = 4421

G

%

` ~ `

pH

— —— =3#Q

>

Mặt khác áp dụng định lý Pitago và công thức Hê-rông ta tính đc Š„„„„ = 3aAl3 (dvdr)

Do dé d(I,(A,BK))=
Cau 4:

(NGUYỄN

3V 4 BK

5

_ ax5

AA,BK

KHUYỂN TPHCM) Cho hình chóp

$.ABCD

có đáy là hình chữ nhật. Tam giác

SAB vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy và SB=4N2. Gọi M là
trung điểm của cạnh $D. Tính khoảng cách 7 từ điểm M/ đến mặt phang (SBC).

A.I=2

B./=2N2

Iai
Hướng dẫn giải

p.1=%2


2

aig

Theo giả thiết, ta có
Goi N,H,K
z

Ta có

ABCD) = (AB
, |(SAB) L(ABCD),(SAB)A
SA L AB

—= SA L(ABCD).

lần lượt là trung điểm các cạnh SA,SB và đoạn SH.

lọc LSA

BC LAB

=> BC L (SAB)
= BC L AH.

Ma AH | SB(aABC

cantai Ac6é AH là trung tuyến).

Suyra AH 1(SBC), do đó KN L(SBC) (vì KN I AH, đường trung bình).

Mặt khác AN II 8C — MN II(SBC).
Nên đ(M,(SBC)) = 4(N.(SBC)) = NK =< AH =2y2.
Đáp án: B.
Cau 5:

(NGUYEN KHUYEN

TPHCM) Cho tứ diện đều

ABCD

có cạnh bằng 3. Gọi M,N

trung điểm các cạnh AD, BD. Lấy điểm không đổi P trên cạnh A4

khối chóp PMNC bằng

A. 9⁄2
16

B. 843
3

C. 34/3

lần lượt là

(khác A,B). Thể tích

D. 242
12

Hướng dẫn giải

Chọn A
Do AZ||(CMN) nên đ(P.(CMN)) = d(A.(CMN)) = d(D.(CMN))
Vay Vecun = Vorun = Vuewn = q Anco

(Do diện tích day va chiều cao đều bằng một nửa).

ˆ


2

Mat khác V,ze„=
Cau 6:

»

an Sa’

=

)

3

oN

T2

(NGUYEN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ dién ABCD
trung diém cua cdc canh
MN .Tinh sing.

a 223

AC,BD

nên Vy, ==}

ov

cé AD =14,BC =6. Goi M,N

va MN =8. Goi ø là góc giữa hai dwong thang

B.

củ2

Pla

trung

điểm

của

=(MN, BC) =(MN.NP).

Trong

tam

giac
2MN.NP

Cau 7:

y

1
canh

(CD,

ta

_1

2

MNP,

ta

Suy ra MNP

=60° .

D

7

KHUYEN

B

TPHCM)

AB =2aV2 . Biét AC'=8a

bằng

A5203.

Cho lang tru tam gidc ABC.A'B'C'

c 164) j3.

3

3

3

3

3

Hướng dẫn giải
Goi #7 là hình chiếu của A lên mp(A'B'C')
— HC'A=45°
=> AAHC' vuéng can tai H.
~AC

_ 54

M2 42

—

V2,

NX:
2

Va sccs' = 4 ABC.A'BC

2

— 3 AH

Sapgc = = day.

Chon D.

Gọi H là hình chiếu của A lên mp(A'B'C')
=> HC'A=45°

6

C

có đáy ABC

p

là đều cạnh

và tạo với mặt đáy một góc 45”. Thể tích khối đa diện ABCC'B'

g 8đ `6.

3

=> AH

có

có

ra sin@ =—

(NGUYEN

va

14

cos MNP - MN’ + PNT IMP"

Suy

BC

p, 24

Hướng dẫn giải
Goi

lần lượt là

N

3

3

—> AAHC'' vuông cân tại H.
=> AH = AC

8 54

v2_ 42

NX: V A.BCC'B'
Cau 8:

2

— 3

— 1a V2,

(2av2)
2
2
Vincapic: = AH
Syne
=
3.442
——a
3

(T.T DIEU HIEN) Cho hình lập phương

hai đường thẳng B8C' và CD'.

A. a2.

v3

AĐCD.A'B'C'D'

B. ws

_ 16a° V6

3

cạnh

a. Tính khoảng cách giữa

C 2a.

D. ~.

Hướng dẫn giải

Goi O= A'C'NB'D' vatw B' ké B'H | BO
Ta

có

CD'//(BA'C)

nên

d(BC';CD') =d(D';(BA'C’)) = d(B';(BA'C))
= B'H - BEBO _ oN
Cau 9:

(T.T DIEU HIEN) Một hình hép chiy nhat ABCD.A’B’C’D’ cé ba kich thuéc 1a 2cm, 3cm và

6cm . Thể tích của khối tứ diện A.Cð?“ bằng

A. 8 cm'.

B. 12 cm’.

C.6cm’.

D. 4 cm`.

Hướng dẫn giải

OY,

aa

Ta có :
B

ở cm
B

2 em

C


V apcp.a’BCD’

= V5 AB‘C

+ MT,

+ Vy Bab’

+ Vo Rep’

+ Vice’

> Vagcp.a’B'CD’ = AV, aB’C + Va ced’
> Va cer’ = Vagcp.a’B'C’D! — 4V? „pc

1

> Va cer’ = Vagcp.a’B'C’D! — ®-cYAncpAwc

=3246 =12cm`

> Va cer’ = 3 Ý ABCD.AWCi

Cau 10:

(LẠNG GIANG SỐ 1) Cho khối tứ diện d€u ABCD

canh bang 2cm. Goi M,N,P

lần lượt là

trọng tâm của ba tam giác ABC, ABD, AC?D. Tính thể tích V của khối chóp AMNP.

A.V =2 cu,

B.V =2Ý? cu,

162

cy a

81

81

on,

pv axon’,
144

Hướng dẫn giải

Tam giác CD

đều > DE = V3 => DH -2

AH =ý\JADˆ- DH = Ne
S cre

1

= 5

=> Voxrg

Aer

=

1

_AN

2 AE

ma

Vuạp
ee

11

= 55

bac.

| AP

_2

AF

3

v3

ĐC

“A.

AM AN AP 8
AE AK AF 27a4

Lại có: == ——
Cau 11:

1

12/6 43

AF Sacre ~ 3° _.
3

, AM

ca

PK

=~—

42

6

Vamnp —

8
27

5

4/2
81

YAEKF ~~ oq"

(LY
TỰ
TRONG
TPHCM)
Cho
hình
hộp

ABCDABCT
có
BCD =60°, AC =aV7, BD = aV3, AB > AD duong chéo BDˆ hợp với mặt phẳng (ADD’A’)
góc 30°. Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A“B C7.
A. V39a'.

B. cha

C. 23a`.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

D.

33a).


D

4

Ni

—'

?!

_n"

1
|

\

D
a”

~~

_

\

—
=

⁄

\

42
\\

A

Dat x =CD;y
= BC
e

=

C

—T”—

AT

O

_

Ụ

B

(x> y)

Ap dung dinh ly ham cos va phan giác trong tam giác BCD
3a?

2

=x?
+ y*—xy

> x =2a;

e

Vax?

+y? =5a

yữ

Với x=2y=2a và C=60 > BD LAD —› BD'?;(ADD'A)=30
— DD'=3a

® - SAnCD = xy.sin 60 =a? V3

e

(NGO

GIA TU’ - VP) Cho hình chóp tứ giác đều

trung điểm của canh

SD. Néu

SB LSD

S.ABCD

có thể tích V

C.-.

D.

v3

|
A

A.2

2

Goi

thi khodng cach tr B dén mat phang

bang:

SỊ"

Cau 12:

Vay Vhinh hép= a°3V3

Hướng dẫn giải

Giả sử hình chóp có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Khi đó, BD = av2.
Tam giác SBD vuông cân tại S nên SD= SB=a

BD

và SO=——=

2

a

2
2.

M

la

(MAC)


Suy ra các tam giác SCD, SAD 1a cdc tam gidc déu canh a va SD L(MAC) tai M.

Thể tích khối chóp là V = 5505
Ma

a `2 _ V2
6 6

ABCD

=

a’ V2
6

a=1

Vi O la trung diém BD nén d(B,(MAC))=d(D,(MAC))= DM =~.
Cau 13:

(THTT - 477) Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều canh bang a, canh bén bang b va

tạo với mặt phẳng đáy một góc øz. Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ va
đỉnh là một điểm bất kì trên đáy cịn lại là
A. N3 „ay sin @.

v3

B. N3 0% sin @.

12

v3

C. —a’bcosa.

4

D. —a’bcosa.

12

4

Hướng dẫn giải

5

Gọi #7 là hình chiếu của A” trên (ABC). Khi đó z= AAH.
Ta

có A“H = AA.sin

Vance

=bsin đ
2

;

nên

thể

tích

khối

lăng

trụ

là

.

a’bV3 sina

~ AA Sage —
=

A

Lại có chiều cao của chop theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng A“H

a

eae

X:

T2

Tà

1

a

bJ3sina

nên thể tích khối chóp là Ý, ,„¿ = 3 YAnC.xEC ——
=
Cau 14:

(THTT - 477) Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bang a, b, c. Thể

tích của khối hộp đó là

m---..bo +e -a\(C +a —b’

\(a +b? -c

8

B.V=

(b° +¢ -đ”°)(c

C. V = abc.

+a

-b°)(a’ +b

8

—c’)


D.V=a+b+c.

Hướng dẫn giải

Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x, y,z.

2

2

x+y

=a

2

y

2

2

2

=a -x

Theo u cầu bài tốn ta có 4 yˆ+z”=c”©4y `+z2 =c
x'+z

»

a-b+c

>»

ath-c

»

2

©4x=—————
2

zj

Cau 15:

>

=

=

ˆ=P

y

2

2

=a -x

2

©+4a -x`+b`—x =c”

z?=bˆ—xˆ

2? =b-x

=5...

8

b+e-a

2

(SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình lăng tru ABCA’ B’C’ cé day 1a tam giác đều canh a. Hinh chiéu
vng góc của 4 lên mặt phẳng (ABC)

trùng với trọng tâm tam giác 4 8Œ. Biết khoảng

cách giữa hai đường thẳng AA’ va BC bang nh

Tính thể tích W của khối lăng trụ

ABCA BC’.
3

An
24

gu

3

Mã.
12

cực
Hướng dẫn giải

Chọn B.

AM là trung điểm của ĐC thì BƠ L( AM).
Goi MH la dwong cao của tam giác A A1⁄ thì
MH 1 A’A va HM L BƠ nên HM

là khoảng cách

3

3

pụ

3

6


AA

va BC.

Taco A AHM = A’GAM©

8 y= avs

2

œ A2 =4l AA2—® l3

Ð =4

3

Đường cao của lăng trụ là A’G = đa

2

x

3

2

dự

9

2

9

AVA —
2

A2 <4“ 3 ta - 24.

9

3

_ ức

38

3

Thể tích V„„

Cau 16:

_ a N30"

3`

4

-1 vã

12

(SO’ GD HA NOD) Cho hinh chép S.ABC cé ASB =CSB =60°, ASC =90°, SA=SB=SC =a.

Tinh khoang cach d tir diém A dén mat phang (SBC).

A. d=2avo.

B=

8,

Ca =ax/6.

p= 206

Hướng dẫn giải
Chọn B.

S

B
A

H

Ợ

+ Ta có: ASAB, ASPC là các đều cạnh z nên AB = BC =a
+ Ta có: ASAC

vng cân tại § nên AC = a\2

+ Ta có: AC” = AB” + BC” nên AABC vng tại B có S„„„ =
+ Gọi H là trung điểm của AC. Ta có: HA = HB= HC và SA = SB= SC nên SH L(ABC)
và sy

AC
2

a2.
2


SI

a

+ Vậy d[ A:(SBC)]=ate = 27 Sane S sac

2

a6

a3

3

+

SBC

a

>

Cau 17:

(CHUYEN HÙNG VƯƠNG - 6L) Cho hình chóp S.ABCD cé day ABCD 1a hinh thoi canh
bằng 2aV3, góc BAD bằng 120°. Hai mặt phẳng (SAB) va (SAD) cing vng góc với
day. Géc gira mat phang (SBC) va (ABCD) bang 45°. Tinh khoảng cách » từ A đến mặt
phang (SBC).

A. h=2aV2.

Bn =2

Cũ 292,

D. h=av3.

Hướng dẫn giải
Gọi H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
Xét tam giác APH :

.

AH

sin ZB

ng

=> AH = 2aV3.sin 60°

BH

cos ZB =

eno

= 3a.

= BH =2a^|3.cos60° = a^/3.

Xét tam giác SAH
A
tan ZSHA = SA
AH

vuông tại A:
= SA =3atan 45° = 3a.

Trong tam giác S4H

vuông tại A, kẻ

AI LSH tại I. Ta có AI L(SBC) nên AI là

P

H

C

khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Xét tam giac SAH , tacé:

1

AI”

1
SA?”

—~=—;>+

1
AH”

y=

1
(3a)

5

i

(3a)

2?

9a"

= d(A,(SBC)) = AI = mg,
Cau 18:

(CHUYEN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên ø lần
nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi ø lần thì thể tích của nó.

A. Khơng thay đổi. — B. Tăng lên ø lần.

C. Tăng lên ø—1 lần.

D.Giam di n Jan.

Hướng dẫn giải

1

Ta có: V= 21»

X

2

, với h là chiêu cao, Š là diện tích đáy

a

S =————~

voi x 1a dé dài cạnh của đa giác đều, a 1a sé dinh của đa giác đều.

0

su

HP
a

|


——~“
san

Cau 19:

0
a

_il

n3.

|

l6 =—V,
n

(BIÊN HỊA - HÀ NAM) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

có cạnh đáy bang a , canh

bên hợp với day mét géc 60°. Goi M là điểm đối xứng của € qua D, N là trung điểm
SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai

phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

AW,75

B.—.71

CH.73

p.©.5

Hướng dẫn giải

B

Giả sử các điểm như hình vẽ.

E=SDOMN =>

E là trọng tâm tam giác SCM, DF // BC > F là trung điểm BM.

Ta có: (SD,(ABCD)} = SDO = 60° => So = ”

2

= d(O,(SAD))=OH "

2/7

Vuerp _ ME MF MD
Vunec MN MB MC
5

=> VerpcnE = Vmnec

V$ Agcp

1

= 4°

Suy ra: VSABFEN
BFDCNE

ABCD

=ĐF.Ap=5 v7

4

2

1

6
5 1

1

=cra:d(M.(SAP))->Sse



SE =A|SO? +OF? a

a6

6

5

1

=1g #"'2đsAp
710

= Vsanren

= Vs asco

~ VBrpcCNE

=

36

—

5a°V6
1

—

J6

~

_ 1,
5

Đăng ký sử dụng tài liệu trọn gói với giá cực hấp dẫn!


Soạn tin nhắn “Tơi muốn mua tài liệu mơn Tốn”
Gửi đến số điện thoại

01646.655.010
Cau 20:

(CHUYEN PHAN BOI CHAU) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A#C?

có tồng diện tích của

tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo AC” bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là

bao nhiêu?

A. 8.

B. 842.

C. 16/2.

D. 243.

Hướng dẫn giải
Gọi chiêu dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: z, ư, c>0
Tacé

AC? =a’ +b +c? =36;S =2ab+2be+2ca
=36> (atb+c)
3

ore
Cau 21:

> Yabc =ác

<|[ #2 *£]

=72>a+b+c=6N2

3

(2

= 162. Vay Vu, =16V2

(CHUYEN DHSP HN) Cho hình chóp đều S.ABC có đáy cạnh bằng z, góc giữa đường thang
%4 và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Gọi A7, B/, Cˆ tương ứng là các điểm đối xứng của A,
B, C qua S. Thể tích của khối bát diện có các mặt ABC, ABC”,
ABC,

A.

2434
3

BÁC,
3

CA

ABC,

BCA,

CAB,

là

B. 22/34.

C.

3

D.

2

4V3a"

3

3

Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S.ABC:
Goi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a > CH

<<

ở

. Góc giữa đường thẳng .34 và mặt

ờ
phang (ABC) bang
60° > CCH
SCH =60° > SH =a > Vs arc = 3Ị 5A Sasc

V=

2Vp xca:c: — 2.4V; „cs — 8V 5 age =

2a V3
3

a3

Cách 2: Ta có thể tích khối chóp S.AĐØC là:V, „„¿ = 73

=a“

-

vs

= oN
:


Diện tích tam giac SBC la: S...- =

Khoảng

cách

từ

d(A,(SBC)) =

A

đến

a’39
T2

mặt

phẳng

(SPC)

là:

p

3a

M13.

Tứ giác BCB'C' là hình chữ nhật vì có hai đường chéo

bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Có 5p = 2883, pp 203 6, pic
3
3
2

Diện tích BCB'C
'là: Š„„. =^ v9

39,
3
|

Thể tích khối 8 mặt cần tìm là:

V= 2.2d(A,(SBC)) “)BCB'C'
¬—
¬
T

3

3

Cách 3 (Tham khảo lời giải của Ngọc HuyênLB).

1
Thể tích khối bát dign 44 cho lA V = Wi pese = 24V spe = 8Vs.anc =8-5 SES
gu

la

có: ~— (SA;(ABC))=SAG=60°.

tan SAG =

Vậy

g

Cau 22:

©

1
V =8.—SG.S,„.
3

SG = AG.tan SAG

Xét

ASGA

vng

tạ

Ơ:

=a.

La N3
2N3a
=8.—.a.
=
.

286.3

4

3

(CHUN THÁI BÌNH) Cho khối chóp S.ABC có SA=a, SB=a\2, SC=aN3. Thể tích

lớn nhất của khối chóp là

A. . a^J6 .

p, =
26

c—
26

1
Goi H la hinh chiéu cua A lén (SBC) >V = 3 AA Ssue:

Ta có AH < S4; dấu “=” xảy ra khi AS L(SBC).
——~

1

S SBC ==
SBSC.sin SBC <—SBSC,
——
SB LSC.

,

dau

“=” xay ra khi

p, —.
v6


Khi đó, V = 5 AH Sx SAS
Dấu

SB-SC =—SA-SB-SC.

«oy

“=” xảy ra khi SA,SB,SC

đơi một vng góc với nhau.

Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là V = = SASBSC - a6.
Cau 23:

(CHUN THÁI BÌNH) Cho hình chóp S.ABCD

có đáy là hình vng canha, SD =

avi7
5

hình chiếu vng góc H của § lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Tinh chiéu cao
của khối chóp H.SBD theo a.

ụ,X3a

B. av3

5

C. 2421

7

Ta

có

p, 22.

5

ASHD

vng

=> SH =4|SD” - HD” - (2)

5

tại

{« 3]

Cach 1. Tacé d(H,BD) =.4(A BD)=

H

8

=3.

od
4

Chiêu cao của chóp H.SBD la

d(H.(SBD))=

SH.d(H, BD)

_

; JSH” +[ 4(H,BD) |

a2

2/3.“

_ 22622

3g? va

_ a3.

4.5a

5

8

Cách 2. S.ABCD =3SH.5

ABCD

—

>

1

V, H.SBD — 5 Asp = 2

|

Tam gidc ASHB vuéng tai H => SB = SH? + HB? =,/3a’ +
Tam giác ASBD

có SB= av

2

ls :BD =a^l2:SD =

=> d(H,(SBD)) — Vso
_ a3.
ASBD

5

a\17
2

>

§

2

1

=

V3,

— 4Ý 3.ABCD — 1"

= wis .
5a”

ASBD

1

ABC


Cach

3.

Goi

O=H;

Ox=HI;

J

là

Oy
= HB;

trung

điểm

BD.

Chọn

hệ

trục

(@xwyz

với

Oz= Hs.

Ta cé H (0;0;0); a 0:50); S(0:0:av3); /[ 5:0]
Vi (SBD) =(SBI)
=> (SBD) 2 42% 4
a

a

*

=1©2x+2y+

an3

” z~a=0,

B

2.0+

2.0 +—.0-a

3

Suy ra d(H,(SBD))=

[44444

Cau 24:

=
°

3

(CHUYEN PHAN BOI CHAU) Cho khéi chép S.ABCD cé thé tich bang a*®. Mặt bên SAB 1a

tam giác đều cạnh a va day ABCD
va CD.

A. 2A3a.

la hinh binh hanh. Tinh theo a khoang cach gitra SA
2a

B. aV3.

c. <2.
43

Hướng dẫn giải

ChọnA.

a

D.—.
2

Vì đáy ABC?D là hình bình

hành>

1
a
Vsasp = Veeco = 2 3.ABCD — 2

,

Ta có:

Vì tam giác S4

đều cạnh a

¬—SAB

-~

4

Vì CD | AB > CP||(SAB) nên

d(CD,SA) =d(CD,(SAB)) =d(D,(SAB))
_ 3V sapp __
S spp

Câu25:

30
2

=~ 2/3 a.

a3

4

(LÝ TỰ TRỌNG - TPHCM) Tìm Vmax là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật

có đường chéo bằng 32cm và diện tích toan phan bang 18cm’.

A.V... =6cn.

B.V... = 5cm.

C.V.. =4cm'.

D.V... =3cm'.

Hướng dẫn giải
Chọn C.


a’ +b? +c’ =18

Dat a,b,c la kich thwéc cua hinh h6p thi ta có hệ

Suy ra a+b+c=6.

ab +bc +ac =9

.

Can tim GTLN cua V = abe.

Tacé b+c=6-a=>
be =9-a(b+c)=9-a(6—-a).

o (b+c) =4be
> (6-a) =4[9-a(6-a)
| 0Tương tự 0
Ta lại có V = a|9 —d (6—a)].
Cau 26:

Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của V là 4.

(CHUYEN PHAN BOI CHAU) Khối chóp

SA =SB=SC

=a,Canh

3

S.ABCD

3

A.—.

B. =.

8

cé day ABCD

là hình thoi cạnh a.

SD thay doi. Thé tich l6n nhat cla khéi chop S.ABCD

¢ 32.

4

8

Hướng dẫn giải

la:

3

D.—.
2

ChọnD.

Khi $D thay đổi thi AC thay đổi. Đặt AC = x.

Gọi O= ACmBD.
Vì SA= SB= SC nên chân đường cao SH trùng
với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
—> He BO.
Ta có op=

fa

— [4

=

JopAc=
os
Sane = 2
2"
HB=R=

q.d.X

AS snc

=

_*

—#

a *x

——

44 —x

_ x\4a” —x°
4
a

=———:
—x⁄ _ N4aˆ-xˆ

SH =VSB?-BH? = a°-

— ONWE
v3a? TF
=x"
V4 a

_2

Vs ancp= 2Vs anc = 2. sSH. Sage = 3
2
tal saa)
Cau 27:

sta{

de

2
2
EE)

—x?

— x?

.

xV4a2 — x?
4

3

(THTT - 477) Cho khối đa diện đều ø mặt có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng
Š. Khi đó, tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt

của nó bằng

An

B

c3

D.

S

S

ns
35

Hướng dẫn giải


Xét trong trường hợp khối tứ diện đều.
Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự.
Vin spc

3s

3V,

3V

—hthi+h

th

(LƯƠNG

DAC

ABCD.A‘’B’C’D’

Vin sap

=a

3V.

=—;h,=——~;
5
2
5
h,

h,

Câu28:

=

aBc

Vin

= 3/55

=

Via sac

3S

3V,

=—`:h
——4
5
4
5

A

3(W,+V,+V, +V,
= PS
NTH

BẰNG)

Cho

C

—

B

hình

lập

phương

có cạnh bằng a, một mặt phẳng (@) cat cdc canh AA’, BB’, CC’, DD’

lần lượt tại M, N, P, O.Biết AM =.4,

CP =sa, Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ

là:
A Ue

B a

"30

C 2a"

3

D Mis

3

15

HD: Tứ giác 1⁄/VP0là hình bình hành cú tõm l I

B,

C

thudc doan OO.

Tacộ: of
Â

tC

2

tt

30

A
`2

MÂĐ

Goi 01 1a điểm đối xứng O qua I thì :
001=201=—a

—¬

AN

=

= aH
—

IN

Pa

kề

|


⁄

|
—~

——>t

I9

A--+-+--3

Fe “Bil

Vẽ mặt phẳng qua O¡ song song véi (ABCD) cat

7

các cạnh 447 8B7ŒŒ; DD Tần lượt tại

><

9%
aie

te

5

oke

Ớ'

4

D

Az, BiCy D1 Khi đó T là tâm của hình hộp
ABCDA

B1C1WD1.

Vay V(ABCD. MNPQ)=V( MNP@.A1

1
2

1
2

B1CWD1)

II
30

=—V(ABCD.A,B,C,D,) =—a’°O0, =—a"
Câu 29:

A. =

4

(CHUYEN VINH PHUC) Nguoi ta got một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội
tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của
khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó:
3

B. —

6

3

C.—

3

12

D. —

3

8


Đáp án B
Dựng được hình như hình bên

A

+ Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của

L^—‹

hình chóp S.ABCD

tỳ

+ Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD

TS

+ ABCD là hình vng có tâm O đồng thời chính là hình chiếu

của S lên mặt đáy
SO=>;

BD=

cạnh của hình lập phương

=a

È“

. Suy ra các

⁄

⁄

/—^

⁄i~'—

A

IPPÄN,,

wl

.L= TZ

Nex! 2‡-z
4
“`
W

A

cạnh của hình vng ABCD = ey

Vs. aBcp

Cau 30:

1

=ạnh

11

(V2

“125

)(J2

a

as

—s&

— 2.V¿ cgep

- Vkhối đa diện

~ 419

a

(2

.

Cho tt dién ABCD cé thé tich bang 12 va G 1a trong tam tam gidc BCD. Tinh thé tich V

của khối chóp A.GBC.

A.V=3.

B.V=4.

C.V=6.

D.V=5.

Chọn B.

Phân tích: tứ diện

AĐCD

và khối chóp

A.GBC

có cùng

đường cao là khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD). Do
G

là

trong

tâm

tam

giác

BCD

SAgoc = Šagep = SAcøp => SAgcp = 35apoc (Xem

minh).

nên
phần

ta

có

chứng

Áp dụng cơng thức thể tích hình chóp ta có:
V apep ~ Tp
"3" S asco
Va osc

=>

=3

1

-

Sacee

1
Va cae = 3 Vasc

Vencp

3 Ỉ h.SSS aRcD _ Ẩ

“Aonc

3 hhồAonc

A
4

ĐAgBc

1
=~.l2=4.

7

7

Chứng minh: Đặt DN = h; BC = a.
C

Từ hình vẽ có:

+) MFI ND = 2

DN

-€?

CD

_1 — Mp =` DN = ME =Ã.,
2

9

2.2~"
S=.8
~^— @Eg=^jp=
+) GE /U0ME=-C
MF

BM

3

3

32

3


+)

! pn.BC

S

Lia

ABCD — 2

Sscsc

=

Loppc

1"

2

D
=3 =>

Sascp = 3S aeac

23

+) Chứng minh tương tự có Sigon = 35Sasgp = 3Sacep
=> Sasoc =Sascp = Sacep

-

° Gach 2:
HT

5

nen

Z3

/(6:(AB€) =34(D:(ABC)).

2
1
1
Nén Vy anc =34(G(ABC)) Sssnc = 5 Vane =4.
Cau 31:

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4, diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có

bán kính bằng 1. Tính thể tích V khối trụ đó.
A.V =4.

B. V =6.

CV =8.

D.V =10.

Đáp án B
5, D nhìn AŒ

dưới một góc 90°.

SD = a; KD =
,

dL

Ta có: PP

1

+ AD

AD’

a”
a
=-“—=-—:
SƠ =4|SA?
+ AC? = a6

SD

as

1

= We

V5

>Ak=

2a

U)

SC” = SD’ + CD’ => tam giác SŒD vng tại D.
Khi đó tam giác KŒ

= KC =

vuông tại D.

JCD? + KD = ”

5

Tacé: AK? + KC? = AC”. Vay AKC = 90°. Tương tự
———

AHC = 90°
Vậy AŒ

chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối

B

ABCDEHK.

AC =avN2
= OA= “Vv

2

Cau 32:

= 4 OM

3

=—T

3 j2

3

Ghép 5 khối lập phương cạnh a để được khối hộp chữ thập như hình vẽ.
Tính diện tích tồn phần S,, cua khối chữ thập

AS, ? = 20a’.

B.S, tp = 30a”.

CS,

tp

= 12a’.

D.S, tp = 22a’.