Hình học xạ ảnh 36

Hãy dựng thêm một số điểm của đýờng
conic S biết:
•
Năm điểm thuộc S
•
Bốn điểm thuộc S và tiếp tuyến tại một
trong các điểm ấy thuộc S.
•
Ba điểm thuộc S và 2 tiếp tuyến tại 2 trong
3 điểm đó.
Phát biểu bài toán đối ngẫu và giải bài toán
đó
BÀI 36

A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
Q PR
d
Giả sử 5 điểm A

1
,A
2
,A
3
,A
4
,A
5
của(S)
Ta cần dựng thêm A
6
(S)
Câu a:
Bài Làm

Cách dựng:
•
B1:Dựng điểm
P =A
1
A
2
x A
4
A
5
•
B2:Qua P dựng
đường thẳng d bất kỳ

•
B3:Dựng Q = d x A
2
A
3


và R = d x A
3
A
4
•
B4:Dựng A
6
= A
5
Q x
A
3
R là điểm cần dựng
A
4
A
1
A
2
A
3
A
5

A
6
Q
P
R
d

Chứng minh
•
Xét lục giác tạo bởi
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6

•
P =A
1
A
2
x A
4

A
5
•
Q = A
2
A
3
x A
5
A
6
•
R = A
3
A
4
xA
6
A
1
•
Do P, Q, R thẳng hàng nên
theo định lý Pascal lục giác
này nội tiêp 1 conic (S’) nào đó
•
Mà qua 5 điểm A
1
,A
2
,A

3
,A
4
,A
5

có duy nhất một đường conic
(S) nên (S’) trùng (S)
•
Suy ra A
6
thuộc (S)
A
4
A
1
A
2
A
3
A
5
A
6
Q
PR
d
Tui
Đây
Q Đây P Đây

Conic S’
(S’) trùng (S)

a
1

Giải bài toán đối
ngẫu:
Giả sử (S) có 5 tiếp tuyến
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
,.
Ta cần dựng thêm tiếp
tuyến a
6
của (S)
Bài toán đối ngẫu: Hãy dựng thêm một số tiếp tuyến của
đường bậc 2 (S) biết 5 tiếp tuyến thuộc (S)
a
2
a
5

a
4
a
3
a
6
d
1
d
2

Cách dựng
B1:Dựng d =(a
1
x a
2
, a
4
x a
5
)
B2:Trên d lấy điểm O bất kỳ
B3:Dựng d
1
= (O, a
2
x a
3
)
d

2
= (O, a
3
x a
4
)
B4: Khi đó đường thẳng
a
6
= (a
1
x d
2
, a
5
x d
1
) là đường
thẳng cần tìm
a
d
O
a
1
a
2
a
5
a
4

a
3
a
6
d
1
d
2
a1x a2
a4x a5
a2x a3
a3x a4
a1x d2
a5x d1

Chứng minh
•
Xét lục giác tạo bởi a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6

•
d qua (a
1
x a
2
, a
4
x a
5
)
d
1
qua (a
2
x a
3
,a
5
x a
6
)
d
2
qua (a
3
x a
4
,a
6
x a

1
)
•
Do d , d
1
, d
2
đồng quy nên theo định
lý Briăngsông lục giác này ngoại tiếp
1 conic (S’) nào đó
•
Mà qua 5 đường thẳng a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6

có duy nhất một đường conic (S) nên
(S’) trùng (S)
•
Suy ra a
6
thuộc (S)

O
a
d
O
a
1
a
2
a
5
a
4
a
3
a
6
d
2