De thi HSG mon Toan lop 8

PHÒNG GD&ĐT HƯƠNG SƠN
TRƯỜNG TH&THCS SƠN HỒNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017-2018
Mơn: TỐN - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x(y2 – z2) + y (z2 – x2) + z(x2 – y2)
b/ x2(x2 + 4) – x2 + 4
Câu 2: a/ Cho a + b + c = 0 và ab + bc + ca = 0. Tính giá trị của biểu thức:
A = (a – 2017)2018 + (b – 2017)2018 – (c – 2017)2018
10ab
2
2
b/ Cho a > b > 0 thỏa mãn: a + 2b = 3ab. Tính giá trị của biểu thức: B = a  b
2

2

 x  y  z  3
 2
2
2
Câu 3: Tìm bộ 3 số nguyên x, y, z thỏa mãn:  x  y  z 1

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, Lấy điểm M bất kì trên cạnh AC,Từ C vẽ
đường thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM tại D và cắt tia BA tại E.




a/ Chứng minh rằng: EA.EB = EC.ED và EAD ECB
b/ Kẻ DH vng góc với BC tại H. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BH và DH.
Chứng minh rằng: CQ  PD.
Câu 5: Có 20 viên bi gồm 10 bi đỏ, 5 bi xanh, còn lại là bi vàng và trắng để trong
hộp. Khơng nhìn vào hộp, lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi thì chắc chắn trong số bi lấy ra
có:
a/ 5 bi cùng màu.
b/ 5 bi đỏ
Câu 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + 2y2 + 2xy + 4x – 2y + 18
-------------------------- Hết ------------------------


HƯỚNG DẪN CHẤM:
Câu

ý

Đáp án

1

a

x(y2 – z2) + y (z2 – x2) + z(x2 – y2)
= x(y2 – z2) + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
= x(y– z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)
= (y – z)(xy + xz – yz – x2) = (x – y)(y – z)(z – x)

b

2

a

b

3

Điểm

0,5
1
0,5

x2(x2 + 4) – x2 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – x2

1

= (x2 + 2)2 – x2 = (x2 – x + 2)(x2 + x + 2)

1

Ta có: (a + b + c)2 = 0 <=> a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0

0,5

<=> a2 + b2 + c2 = 0 (vì: ab + bc + ca = 0)

0,5

=> a = b = c = 0

0,5

thay vào BT A ta được: A = 20172018

0,5

Ta có: a2 + 2b2 = 3ab<=> (a – b)(a – 2b) = 0.

1

Mặt khác, vì a > b > 0 nên: a = 2b. Thay vào BT B ta được:

0,5

20b 2
4
2
B = 5b

0,5

 x  y  z  3 (1)
 2
2
2
 x  y  z 1 (2) Từ (1) ta được: x = y + z – 3. Thế vào (2)

0,5

ta được: (y + z – 3)2 – y2 – z2 = 1 <=> yz – 3y – 3z + 4 = 0
<=> (y – 3)(z – 3) = 5. Từ đó ta tìm được các bộ 3 số nguyên
(x; y; z) thỏa mãn là: (9; 8; 4); (9; 4; 8); (-3; -2; 2); (-3; 2; -2)

0,5

1


4

Hìn
h vẽ

a/

0,5

Chứng minh được: EAC EDB  EA.EB EC.ED

2

EA ED

 EDA EBC
và suy ra được: EC EB
(c – g – c)

1



0,5



=> EAD ECB
b/

BHD DHC 

Chứng minh được:



BH BD
2 BP BD



DH DC
2 DQ DC

1

BP BD


DQ DC

suy ra: BPD DQC (c – g – c)


=> BDP DCQ mà:



BDP
 PDC
900

5

6

1



 DCQ
 PDC
900  CQ  PD

a

Tình huống xấu nhất: Lấy trúng tất cả số bi trắng và bi vàng
và lấy được 4 viên bi màu đỏ và 4 viên màu xanh thì vẫn
chưa có được 5 viên bi cùng màu. Vậy nếu lấy thêm 1 viên

nữa thì hoặc là được viên màu đỏ hoặc được viên màu xanh
thì ta đều có 5 viên bi cùng màu. Vậy để chắc chắn lấy được
5 viên bi cùng màu thì cần lấy ít nhất 14 viên bi

1

b/

Tính huống xấu nhất ta chỉ lấy được 4 viên bi màu đỏ và lấy
được toàn bộ số bi màu xanh,màu trắng,màu vàng. Như vậy
ta đã lấy tổng cộng 14 viên bi. Nếu lấy thêm 1 viên nữa thì
chắc chắn được viên bi màu đỏ. Vậy để chắc chắn lấy được 5
viên bi màu đỏ ta cần lấy ít nhất 15 viên bi.

1

Ta có: A = x2 + 2y2 + 2xy + 4x – 2y + 18
= (x + y + 2)2 + (y – 3)2 + 5 ≥ 5. Dấu “=” xảy ra

1


 x  5

khi và chỉ khi:  y 3 .
 x  5

Vậy MinA = 5. Đạt tại  y 3

1