Cac bai Luyen tap

chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy hằng
đẳng thức đáng nhớ.
I) Nhân đơn thức với đa thức:
1. Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C
2. Bµi tËp áp dụng:
Bài 1. Làm tính nhân:
a) 3x(5x2 - 2x - 1);
b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);
1
2
2
c) 2 x2y(2x3 - 5 xy2 - 1);
d) 7 x(1,4x - 3,5y);
1
2
3
4
e) 2 xy( 3 x2 - 4 xy + 5 y2);
f)(1 + 2x - x2)5x;
2
g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2;
h) 3 x2y(15x - 0,9y + 6);
3
i) 7 x4(2,1y2 - 0,7x + 35);
Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị cđa chóng.
3
a) 3(2a - 1) + 5(3 - a)
víi a = 2 .
b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x)
víi x = 2,1.
c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2

víi a = -0,2.
1
d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1)
víi b = 2
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau:
a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;
b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);
c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;
d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).
Bµi 4. Đơn giản các biểu tức:
a) (3b2)2 - b3(1- 5b);
b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;
1
1
c) (- 2 x)3 - x(1 - 2x - 8 x2);
d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100).
Bµi 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);
b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);
Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0;
a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
Bài tập nâng cao
Bài 7. Tính giá trị biểu thøc:
a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15
víi x = 79.
b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + …+ 10x2 - 10x + 10 víi x = 9.
c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1
víi x = 31.
d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x

víi x = 14.
Bµi 8. Chøng minh r»ng :
a) 356 - 355 chia hÕt cho 34
b) 434 + 435 chia hÕt cho 44.
Bài 9. Cho a và b là các số nguyªn. Chøng minh r»ng:
a) nÕu 2a + b  13 và 5a - 4b 13 thì a - 6b  13;
b) nÕu 100a + b  7 th× a + 4b  7;
c) nÕu 3a + 4b  11 thì a + 5b 11;
II) Nhân đa thức với đa thức.
1. Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;
2. Bµi tập áp dụng:
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1);
b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);
1
1
c) 2 x2y2(2x + y)(2x - y);
d) ( 2 x - 1) (2x - 3);
1
1
e) (x - 7)(x - 5);
f) (x - 2 )(x + 2 )(4x - 1);


g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4);
h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
Bµi 2.Chøng minh:
a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1;
b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;

Bµi 3. Thùc hiƯn phÐp nh©n:
a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);
b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)
e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4).
Bài 4. Viết các biểu thức sau dới dạng đa thức:
a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);
b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);
c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);
d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y:
a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1);
b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);
Bài 6. Tìm x, biết:
a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);
d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);
e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).
Bµi tËp nâng cao
Bài 7. Chứng minh hằng đẳng thức:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca).
Bµi 8. Cho a + b + c = 0. Chøng minh M = N = P víi :
M = a(a + b)(a + c);
N = b(b + c)(b + a);
P = c(c + a)(c + b);
Bµi 9. Sè 350 + 1 có là tích của hai số tự nhiên liên tiÕp kh«ng ?
HD: Tríc hÕt chøng minh tÝch cđa hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 thì d 0 hoặc 2. Thật vậy
nêu trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 thì tÝch cđa chóng chia hÕt cho 3, nÕu c¶ hai

sè đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 d 2 ( tù chøng minh). Sè 350 + 1 chia cho 3 d 1
nên không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài 10. Cho A = 29 + 299. Chøng minh r»ng A  100
HD: Ta cã A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - …-2.277 + 288)
Thõa sè thø nhÊt 2 + 211 2050 
  A 4100  A 100
Thõa số thứ hai chẵn

III) Các hằng đẳng thức đáng nhớ
1) Kiến thức cơ bản:
1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2.
1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B).
1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3.
1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).
1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2).
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. TÝnh
a) (x + 2y)2;
b) (x - 3y)(x + 3y);

c) (5 - x)2.
1
f) (x - 2 )2.

d) (x - 1)2;
e) (3 - y)2
Bài 2. Viết các biểu thức sau dới dạng bình phơng của một tổng:
1

a) x2 + 6x + 9;
b) x2 + x + 4 ;
c) 2xy2 + x2y4 + 1.
Bµi 3. Rót gän biĨu thøc:
a) (x + y)2 + (x - y)2;
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;
c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).
Bài 4. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau;
a) (y - 3)(y + 3);
b) (m + n)(m2 - mn + n2);
c) (2 - a)(4 + 2a + a2);
d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;
e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3;
f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);


Bài 5. HÃy mở các dấu ngoặc sau:
a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m)
b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);
2
2
c) (25a + 10ab + 4b )(5a - 2b);
d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).
Bµi 6. TÝnh giá trị biểu thức:
a) x2 - y2 tại x = 87
víi y = 13;
b) x3 - 3x2 + 3x - 1
Víi x = 101;
c) x3 + 9x2 + 27x + 27
víi x = 97;

d) 25x2 - 30x + 9
víi x = 2;
e) 4x2 - 28x + 49
víi x = 4.
Bµi 7. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trÞ cđa chóng:
a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy)
víi x = - 5, y = -3;
b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b)
víi a = -4, b = 4.
Bµi 8. Sư dơng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tÝnh sau:
a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);
b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);
d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);
e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1).
Bài 9. Tìm x, biÕt:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9;
b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;
2
2
c) 3(x + 2) + (2x - 1) - 7(x + 3)(x - 3) = 36;
d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;
e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau:
a) 192; 282; 812; 912;
b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562;
Bài 11. Chứng mih các hằng đẳng thøc sau:
a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab;
b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;

6
6
2
2
2
2
2
2
2
c) a + b = (a + b )[(a + b ) - 3a b ];
d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2].
Các bài toán nâng cao
Bài 12. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;
Bài 13. HÃy viết các biểu thức dới dạng tổng cđa ba b×nh phong:
(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2.
Bµi 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chøng minh r»ng a = b.
Bµi 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chøng minh r»ng a = b =c.
Bµi 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chøng minh r»ng a = b = c.
Bµi 17. Cho a + b + c = 0
(1)
a2 + b2 + c2 = 2(2)
TÝnh a4 + b4 + c4.
Bµi 18. cho a + b + c = 0. Chứng minh đẳng thức:
a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);
b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;

a

2

 b2  c 2



2

2
c) a4 + b4 + c4 =
;
Bài 19. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dơng với mọi giá trị của biến.
a) 9x2 - 6x +2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Bµi 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = x2 - 3x + 5;
b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;
Bài 21. Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc:
a) A = 4 - x2 + 2x;
b) B = 4x - x2;
Bµi 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trị của biểu thức x3 + y3.
Bài 23. Cho x + y = a; xy = b.
Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b:
a) x2 + y2;
b) x3 + y3;
c) x4 + y4;
d) x5 + y5;
3
3
Bµi 24. a) cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: x + y + 3xy.

b) cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy.
Bµi 25. Cho a + b = 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b).
Bài 26. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2;
b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1);
c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;
d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;
e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;
g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;


h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2;
b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bµi 29. Cho a + b + c = 0. chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bµi 30. Chøng minh r»ng:
a) nÕu n lµ tỉng hai sè chÝnh phơng thì 2n cũng là tổng của hai số chính phơng.
b) nếu 2n là tổng hai số chính phơng thì n cũng là tổng của hai số chính phơng.
c) nếu n là tổng của hai số chính phơng thì n2 cũng là tổng của hai số chính phơng.
Bài 31. a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - 1 ch÷ sè 0). Chøng minh r»ng: ab + 1 là số
chính phơng.
b) Cho một dÃy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là các số tạo thành bằng cách viết chèn
số 15 vào chính giữa số hạng liền trớc :
16, 1156, 111556,
Chứng minh rằng mọi số hạng của dÃy đều là số chính phơng.
Bài 32. Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phơng với a = 1112(n chữ số 1),
b = 1114(n chữ số 1).
Bài 33. Cho a gồm 2n chữ sè 1, b gåm n + 1 ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè 6. Chøng minh r»ng a + b + c + 8

là số chính phơng.
Bài 34. Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính ph¬ng:
11...1
 22...2
11...1
 44...4
1




n
n
a) A = 2 n
b) B = 2 n
Bài 35. Các số sau là bình phơng của số nµo ?
99...9
00...0
25
99...9800...01




n
n
a) A = n
;
b) B = n
;

44...488...89
11...122...25




n 1
n1
c) C = n
;
d) D = n
.

chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử
I) Phơng pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C
*) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử
*) Bài 1: Phân tích thành nhân tö


a) 3x - 3y
b) 2x 2  5x3  x 2 y
c)14x 2  21xy 2  28x 2 y 2
d)4x 3  14x 2
e)5y10  15y 6
f)9x 2 y 2  15x 2 y  21xy
g)x(y  1)  y(y  1)
h)10x(x  y)  8y(y  x)
i)3x 2 (x  1)  2(x  1)
j)a(b  c)  3b  3c
k)a(c  d)  c  d

l)b(a  c)  5a  5c
m)b(a  c)  5a  5c
n)a(m  n)  m  n
o)mx  my  5x  5y
p)ma  mb  a  b
q)1  xa  x  a
r)(a  b)2  (b  a)(a  b)
t)a(a  b)(a  b)  (a  b)(a 2 ab b 2 )
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)2x(x+3)+2(x+3)
b)4x(x-2y)+8y(2y-x)
c) y 2 (x 2  y)  zx 2  zy
d)3x(x  7)2  11x 2 (x  7)  9( x  7)
e)(x  5)2  3(x  5)
f)2x(x  3)  (x  3)2
g)x(x  7)  (7  x)2
h)3x(x  9)2  (9  x)3
i)5x(x  2)  (2  x)
j)4x(x  1)  8x 2 (x  1)
k)p m 2 .q  p m 1 .q 3  p 2 .q n 1  p.q n 3
o)5x 5 (x  2z)  5x 5 (2z  x)
p)10x(x  y)  8y(y  x)
q)21x 2  12xy 2
r)2x(x  1)  2(x  1)
t)4x(x  2y)  8y(2y  x)


Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 4x2  6x;
b)21x2 y  12xy2 ;

c)x3  x2  2x;
d)3x  x  1  7 x2  x  1 ;
e)x2 y2 z  xy2 z2  x2 yz;
f )2x  x  1  2  x  1 ;
g)4x  x  2y   8y  2y x
Bài 4: Tính giá trị của biểu thøc
a) 15.91,5+ 150.0,85
b) 5x 5 (x  2z)  5x5 (2z x)tại x= 1999; y= 2000; z= -1
Bài 4: T×m x, biÕt
a) 5x(x-2)-(2-x)= 0
b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1)
1 2
c) x(2x-1)+  x 0
3 3
d)x(x  4)  (x  4) 2 0
e)x2  5x 0;
f )3x(x  2)  2(2  x) 0;
g)5x(3x  1)  x(3x  1) 2(3x 1) 0.
Bài 5:Chứng minh r ằng
a) Bình ph ơng của một số lẻ chia cho 4
thì d 1
b) Bình ph ơng của một số lẻ chia cho 8
thì d 1
Bài 6: chứng minh rằng:
n 2 n  1  2n  n  1
lu«n chia hÕt cho 6 với mọi số nguyên n.

II) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dung hằng đẳng thức:
1) Phơng pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng hằng đẳng thức
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2
3. A2 - B2 = (A - B)(A + B)
4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3


5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2)
2)Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nh©n tư:
a) x2 - 9;
b) 4x2 - 25;
6
6
c) x - y
d) 9x2 + 6xy + y2;
e) 6x - 9 - x2; f) x2 + 4y2 + 4xy
g) 25a2 + 10a + 1;
h)10ab + 0,25a2 + 100b2
1
i)9x2 -24xy + 16y2
j) 9x2 - xy + 36 y2
k)(x + y)2 - (x - y)2
l)(3x + 1)2 - (x + 1)2
3
3
3
n) x + y + z - 3xyz.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nh©n tư.
a) x3 + 8;

b) 27x3 -0,001
c) x6 - y3;
d)125x3 - 1
3
2
e) x -3x + 3x -1;
f) a3 + 6a2 + 12a + 8
Bài 3: Phân tích đa thức thành nh©n tư.
a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;
2

 4abcd  a 2  b 2 c 2  d 2   4  cd a 2  b 2  ab c 2  d 2 



b) M = 















2

Bµi 4

TÝnh nhanh:
a) 252 - 152;
b) 872 + 732 - 272 - 132
2
2
c) 73 -27 ;
d) 372 - 132
e) 20092 - 92
Bài 5 Tìm x, biÕt
a) x3 - 0,25x = 0;
b) x2 - 10x = -25
c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1
e) x3 + 3x2 = -3x - 1
Bµi 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x8 - 12x4 + 18;
b) a4b + 6a2b3 + 9b5;
c) -2a6 - 8a3b - 8b2; d) 4x + 4xy6 + xy12.
Bµi 7 Chøng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm
a) x2 - 2xy + y2 + a2;
b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1;
c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;
d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;
Bài 8 Chứng minh rằng các đa thức sau không âm với bất kì giá trị nào của các chữ:
a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1
b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz

c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz
d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz
Bµi 9 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2 - 25 chia hÕt cho 8.
III) Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm các hạng tử.
1) Kiến thức cơ bản: Tìm cách tách đa thức đà cho thành nhóm các hạng tử thích hợp sao cho khi phân
tích mỗi nhóm hạng tử thành nhân tử thì xuất hiện nhân tử chung.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tö:
a) x2 - xy + x - y;
b) xz + yz - 5(x + y)
c) 3x2 -3xy - 5x + 5y.
2
2
2
2
2
d) x + 4x - y + 4;
e) 3x + 6xy + 3y - 3z ;
f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2;
g) x2 - x - y2 - y;
h) x2 - 2xy + y2 - z2;
i) 5x - 5y + ax - ay;
3
2
2
j) a - a x - ax + xy; k) 7a -7ax - 9a + 9x;
l) xa - xb + 3a - 3b;
Bµi 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử;
a) ma - mb + na - nb -pa + pb;
b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy;

c) ax - bx - cx + ay - by - cy;
d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by;
Bµi 3 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2;
b) a4 + ab3 - a3b - b4;
c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2;
c) x4 + x3 y - xy3 - y4;
Bµi 4 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 70a - 84b - 20ab - 24b2;
b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y;
2
3
c) 21bc - 6c - 3c +42b;
d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a.
Bài 5 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3;
b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3;


1
c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + 3 ;
d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2.
Bài 6 Tìm x, biết:
a) x3 + x2 + x + 1 = 0;
b) x3 - x2 - x + 1 = 0;
c) x2 - 6x + 8 = 0;
d) 9x2 + 6x - 8 = 0.
e) x(x - 2) + x - 2 = 0;
f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0.
Bài 7 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức sau;

a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = 6; y = -4; z = 45.
b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 tại x = 0,5
Bài 8. Tính nhanh :
a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5;
b) 452 + 402 - 152 + 80.45.
Bài 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a).
Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2;
b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3.
IV) Ph©n tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp.
1) Kiến thức cơ bản:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử và các phơng pháp khác.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 - 2x2 + x;
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;
c) 2xy - x2 - y2 + 16;
d) a4 + a3 + a3b + a2b e) a3 + 3a2 + 4a + 12;
f) a3 + 4a2 + 4a + 3;
g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz;
h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab;
2
2
3
2
i) 4a - 4b - 4a + 1; j) a + 6a + 12a + 8;
k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3.

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y);
b) (x + y)3 - x3 - y3;
2
2
c) (x - y + 4) - (2x + 3y - 1) ;
d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2.
e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);
f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc;
g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2;
h) x5 - 5x3 + 4x;
3
2
4
2
2
i) x - 11x + 30x;
j) 4x - 21x y + y4;
k) x3 + 4x2 - 7x - 10;
l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15;
n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15;
o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6.
Bài 2: Tìm x, biết.
1
a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0;
c) x3 - 4 x = 0;
2
2
2
d) (2x - 1) - (x + 3) = 0

e) x (x - 3) +12 - 4x =0.
Bài 3. Tính nhanh giá trị biểu thức:
1
1
a) x2 + 2 x + 16 tại x = 49,75;
b) x2 - y2 - 2y - 1 tại x = 93 và y = 6.
Bài 4. a) Sè 717 + 17. 3 - 1 chia hÕt cho 9. Hái sè 718 + 18.3 - 1 cã chia hết cho 9 không?
b) Biến đổi thành tích các biểu thøc:
A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2].
Bài 5. Chứng minh các hằng đẳng thøc sau:
1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1
Víi x2 + y2 = 1
4
2
2
4
2
2
2) x + x y + y = a - b
víi x2 + y2 = a, xy = b
3) (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0
víi ab = a + b.
4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2
víi a + b + c = 2p.
Bài 6. Tính giá trị biểu thức:
a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - 2 - 1.
b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - 1
víi x = 11.
Bµi 7. Rót gän:
a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1).

2
22
23
24
2n
b) Më réng: B = 3(2  1)(2  1)(2  1)(2  1)...(2  1)
Bµi 8. Chøng minh:
1
a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = 2 (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) víi a + b + c = 0


Bµi 9. Chøng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2)
víi a + b + c = 0.
Bài 10. Tổng các số nguyên a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng
A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hết cho 3
V) Một số phơng pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Phơng pháp tách một số hạng thành nhiều số hạng khác.
1.1) Đa thức dạng f(x) = ax2 + bx + c.
- Bíc 1: T×m tÝch ac.
- Bíc 2: Ph©n tÝch a.c ra tÝch cđa hai thứa số nguyên bằng mọi cách.
- Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Các bài tập áp dụng dạng này:
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tö
a) 4x2 - 4x - 3;
b) x2 - 4x + 3;
c) x2 + 5x + 4;
2
2
d) x - x - 6;
e) x + 8x + 7;

f) x2 - 13 x + 36;
2
2
2
g) x +3x - 18;
h) x - 5x - 24;
i) 3x - 16x + 5;
j) 8x2 + 30x + 7;
k) 2x2 - 5x - 12;
l) 6x2 - 7x - 20.
1.2) Đa thức từ bậc ba trở lên ngời ta dùng phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
a) Chú ý: nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a.
Trong đó a là íc sè cña an,, víi f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an.
b) VÝ dơ: Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - 4.
Lần lợt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thÊy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0.
Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa thõa sè x - 2.
Ta t¸ch nh sau:
C¸ch 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4
= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)
= ( x - 2)(x2 + x + 2).
C¸ch 2: x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4
= (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2)
= (x - 2)(x2 + x + 2).
2) Phơng pháp đặt ẩn phụ: Khi một đa thức phức tạp, hoặc có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm
giảm bậc của đa thức để phân tích.
2.1) Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tö:
a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12.
b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.
HD: a) Đặt y = x2 + x + 1, khi ®ã ®a thøc f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4)

Thay ngỵc trở lại y = x2 + x + 1 vào ®a thøc f(x) ta ®ỵc:
f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24
= y(y + 2) - 24 víi y = x2 + 5x + 4
= y2 + 2y - 24
= (y - 4)(y + 6)
Thay ngợc trở lại y = x2 + 5x + 4 ta đợc
f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)
3) Phơng pháp thêm, bớt một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình
phơng.
*) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x8 + x4 + 1;
b) x4 + 4;
HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1)
= [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2]
= [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( 3 x)2]
= (x2 +1 - x)(x2 + 1 -

3 x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 +

3 x)

*) Bài tập áp dụng :
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) f(x) = x4 + 324
b) f(x) = x8 + 1024;
c) f(x) = x8 + 3x4+ 4
1
Bài 2. a) Phân tích n4 + 4

4 1  4 1   4 1 
 1    2   ...  19  
4
4 
4

 4 1  4 1   4 1 
 2    4   ...  20  
4 
4 
4
b) ¸p dơng: Rót gọn S =
4) Phơng pháp xét giá trị riêng: Trớc hết ta xác định dạng của các thừa số chứa biến của đa thức, rồi
gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
a) Ví dụ: Phân tích thành thừa số:
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).


Giải:
Thử thay x bởi y thì P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Nh vËy P chøa thõa sè x = y
nÕu thay x bëi y, y bởi z, z bởi x thì P không đổi. Do đó P chứa thừa số có dạng (x - y),
(y - z), (z - x). vËy P cã d¹ng P = k(x - y)(y - z)(z - x).
Vì đăngt thøc x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với mọi x, y, z,
Nên ta gán x = 2, y = 1, z = 0 vào đẳng thức ta đợc:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k  k = -1
vËy P = -(x - y)(y - z)(z - x)
Các bài tập áp dụng của các dạng trên.
Bài 1: Phân tích ra thừa số nguyên tè
a) 6x2 - 11x + 3;
b) 2x2 + 3x - 27;

2
2
c) 2x - 5xy + 3y ;
d) 2x2 -5xy - 3y2.
Bài 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố:
a) x3 + 2x - 3;
b) x3 - 7x + 6;
c) x3 + 5x2 + 8x + 4;
d) x3 - 9x2 + 6x + 16;
3
2
e) x - x - 4;
f) x3 - x2 - x - 2;
3
2
g) x + x - x + 2;
h) x3 - 6x2 - x + 30.
Bµi 3. Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng nhiều cách).
x3 - 7x - 6.
Bài 4. Phân tích đa thức thành nh©n tư:
a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4;
b) 2x3 - x2 + 5x + 3.
Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15;
b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;
2
2
c) (x + x + 1)(x + x + 2) - 12;
d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24;
e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4

f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2;
g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.
Bµi 6. Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng phơng pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ)
a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc
HD: §Ỉt x = a + b, y = a - b.
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 4x4 - 32x2 + 1;
b) x6 + 27;
c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2;
d) (2x2 - 4)2 + 9;
4
e) 4x + 1;
f) 64x4 + y4;
4
g) x + 324;
h) x8 + x + 1;
i) x7 + x5 + 1;
j) x8 + x4 + 1;
k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6;
l) x3 + 3xy + y3 - 1.
Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định
a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1;
b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1;
c) x4 - 8x + 63.
Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử:
x8 + 98x2 + 1.
Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng phơng pháp xét giá trị dơng).
a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).
b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc víi 2m = a + b + c

chuyên đề chia đa thức cho đa thức
I) Chia đơn thức cho đơn thức (trờng hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B).
1) Phơng pháp:
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
- Chia từng luỹ thõa cña tõng biÕn trong A cho luü thõa cña biến đó có trong B.
- Nhân các kết quả tìm đợc với nhau.
1) Ví dụ và bài tập:
Bài 1. Làm phÐp tÝnh chia:
a) 10015 : 10012;
b) (-79)33 : (- 79)32;
16

14

 1 1
  : 
c)  2   2 ;
Bài 2. Chia các đơn thức:
a) -21xy5z3 : 7xy2z3;
c) x2yz : xyz;
e) 18x2y2z : 6xyz;
g) 27x4y2z : 9x4y;
3
1
i) ( 4 m2n4) : 2 m2n2;

21

18

 3  3
  : 
d)  5   5  .
1
3
b) ( 2 a3b4c5) : 2 a2bc5;
d) x3y4 : x3y;
f) 5a3b : (-2a2b);
h) 9x2y3 : (-3xy2);
j) 5x4y3z2 : 3xyz2;


k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2);
n) (x + y)2 : (x + y);

3
1
l) 2 (a - b)5 : 2 (b - a)2;
m)(x - y)5 : (y - x)4;
2
¬) 0,5ambnc3 : ( 3 a2bc);

o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3;
p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c).
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức sau:
1
(-x2y5)2 : (-x2y5) tại x = 2 và y = -1.
Bµi 4. Thùc hiƯn phÐp chia:
4
6

1
a) (xy2 - 3 x2y3 + 5 x3y2) : 2xy;
b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( 3 x);
3
6
9
3
c) ( 4 a3b6c2 + 5 a4b3c - 10 a5b2c3) : 5 a3bc;
d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2
e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2).
Bài 5. Với giá trị nào của n thì thực hiện đợc các phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm đợc hÃy thùc
hiƯn phÐp chia ®ã .
a)x2n : xn + 3;
b) 3xny2 : 4x2y;
3
5
n
2
c) 6x y : 5x y ;
d) xnyn+2 : 3x3y4.
II) Chia đa thức cho đơn thức.
1) Phơng pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B.
- Chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B.
- Cộng các kết quả lại với nhau.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) (7. 35 - 34 + 36) : 34;
b) (163 - 642) : 83;
Bµi 2. Lµm tÝnh chia:
a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2;

b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy);
1
1
c) (x3y3 - 2 x2y3 - x3y2) : 3 x2y2;
d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2);
2
e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + 3 a4);
f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2.
g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2;
h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b);
3
2
2
3
i) (x + 3x y + 3xy + y ) : (2x + 2y).
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
15
a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + 4 a2mnbn-1cp+2x) : (-3a3-mb5c4);
b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc;
c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy.
d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hÕt cho 17 ( n thuéc N).
Bµi 4. Lµm tÝnh chia:
a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2
b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y);
3
3
c) (x - 8y ) : (x + 2y);
d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3
e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3.
Bài 5. Rút gọn rồi tính giá trÞ cđa biĨu thøc víi x = -2.

A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3.
III) Chia đa thức một biến đà sắp xếp:
1) Phơng pháp chung:
- Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia thì đợc hạng tử cao
nhất của thơng.
- Nhân hạng tử cao nhất của thơng với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa tìm đợc, ta đợc
d thứ nhất.
- Chia hạng tử cao nhất của đa thức d thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta đợc hạng tử thứ
hai của thơng.
- Nhân hạng tử thứ hai của thơng víi ®a thøc chia råi lÊy d thø nhÊt trõ đi tích vừa tìm đợc, ta đợc d thứ
hai.
- Lặp lại quá trình trên cho đến khi:
+) nếu d cuối cïng b»ng 0 th× phÐp chia cã d b»ng 0 và đợc gọi là phép chia hết.


+) nếu d cuối cùng khác 0 và bậc của ®a thøc d thÊp h¬n bËc cđa ®a thøc chia thì phép chia đó đợc gọi là phép chia có d.
2) Ký hiệu:
A(x) là đa thức bị chia;
B(x) là đa thức chia;
Q(x) là đa thức thơng;
R(x) là đa thức d;
Ta lu«n cã: A(x) = B(x). Q(x) + R(x);
- NÕu R(x) = 0 thì A(x) = B(x) . Q(x) gọi là phÐp chia hÕt.
- NÕu R(x) 0 th× A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bËc cđa R(x) nhá h¬n bËc cđa B(x)) gọi là phép chia có d.
3) Bài tập áp dơng:
Bµi 1. Lµm tÝnh chia:
a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5);
b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3);
c) (2x4 + x3 - 5x2 - 3x - 3) : (x2 - 3);
Bài 2. Sắp sếp các đa thức sau theo luỹ giảm dần thừa cña biÕn:

a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2);
b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x);
c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1);
d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3);
e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2);
f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5);
h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);
i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2);
j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2);
k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2);
l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1);
n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5);
m) (x4 - x - 14) : (x - 2).
Bµi 3. Kh«ng thùc hiƯn phÐp chia, h·y xem phÐp chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức
d trong trờng hợp không chia hết;
a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5).
HD:
a) KÝ hiƯu sè d lµ r, ta cã thÓ biÕt:
x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r
Trong đẳng thức trên đặt x = -3, ta đợc:
r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9
vËy d trong phÐp chia lµ 9.
b) Ta thÊy ngay th¬ng trong bíc thø nhÊt cđa phÐp chia là 3x và do đó đa thức d thứ nhất là 2x 1. Vì 2x - 1 có bậc nhỏ hơn 3x2 - 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia đợc nữa. Do đó phép
chia không là phép chia hết và đa thức d là 2x - 1.
Bài 4. Không thực hiện phép chia, xét xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức
d trong trờng hợp không chia hết.
1
a) (8x2 - 6x + 5) : (x - 2 );

b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1);
c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1);
d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1).
Bµi 5. TÝnh nhanh:
a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a);
b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a);
c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1);
1
4
1
d) (64a3 - 27 b3) : (16a2 + 3 ab + 9 b2).
4) Một số phơng pháp khác để tìm đa thức thơng và đa thức d:
4.1) Phơng pháp đặt phép chia:
Ví dụ:
Xác định các số hữu tỷ a và b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho đa thức x2 + x + 2.
Giải
Thực hiện phép chia
x3
+ ax
+
b
x2 + x - 2
x3 +
x2 - 2x
-x2 + (a +2)x
+
b
x-1
-x2 x +
2

(a + 3)x + (b -2)
§Ĩ chia hết, đa thức d phải đồng nhất băng 0, nên :


 a  3 0
 a  3


b  2 0
b 2
vËy víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x + 2.
4.2) Phơng pháp hệ số bất định.
- Nếu hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau với mọi giá trị của biến số x thì ngời ta goi là hai đa thức hằng
đẳng hoặc hai đa thức đồng nhÊt. KÝ hiƯu f(x)  g(x).
- Hai ®a thøc (®· viết dới dạng thu gọn) đợc gọi là đồng nhất (hằng đẳng) khi và chỉ khi các hệ số của
các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó là bằng nhau.
*) Ví dụ:
Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
Giải
Đa thức bị chia có bậc là ba, đa thức chia có bậc hai, nên thơng là một nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc
nhất là x3 : x2 = x.
Gọi thơng của phép chia là x + c, ta cã:
x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c)
x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c.
Hai ®a thøc trên đồng nhất nên :
c 1 0
c 1


c  2 a   a  3

  2c b
b 2


VËy víi a = -3, b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2, thơng là x - 1.
4.3) Phơng pháp xét giá trị riêng.
*) Ví dụ:
Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
Giải
Gọi thơng của phép chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 lµ Q(x), ta cã:
x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)
Vì đẳng thức đúng với mọi x, nên lần lợt cho x = 1, x = -2 ta đợc :
1  a  b 0
a  b  1
a  3



 8  2a  b 0
 2a  b 8
b 2
Víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2 và thơng là x - 1.
4.4) Phơng pháp vận dụng vào định lý Bơdu
a) Định lý: Số d trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x
= a.(Nghĩa là r = f(a)).
b) Chú ý: Đa thức f(x) chia hÕt cho x - a khi vµ chØ khi f(a) = 0
Các bài tập áp dụng cho các phơng pháp trên.
Bài 1. Xác định a và b để ®a thøc x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phơng của một đa thức.
HD: sử dụng phơng pháp hệ số bất định, ta có ha đáp sè.
x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2

x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2
Bài 2. Xác định a và b để đa thức x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hÕt cho ®a thức x2 - x - 2.
HD: sử dụng phơng pháp giá trị riêng, ta đợc kết quả a = 2; b = - 4.
Bài 3. Xác định các hệ số a vµ b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 + x + 1;
b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 d -6, chia cho x - 1 d 21.
HD: ta cã kÕt qu¶
a) a = 1; b = 1;
b) a = 3; b = -1.
Bài 4. Tìm các giá trị nguyên của x để:
a) Giá trị của biểu thức x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hết cho giá trị của biểu thức x + 1;
b) Giá trị của biểu thức 2x2 + x - 7 chia hết cho giá trị cđa biĨu thøc x - 2.
HD
a) Thùc hiƯn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 d lµ -3
Suy ra -3  (x + 1)  x  {0; -2; 2; -4}.
b) x  {3; 1; 5; -1}.
Bµi 5. Cho ®a thøc A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuộc Q). Xác định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1.
HD
*) Cách 1. (Đặt phÐp chia ®a thøc).
A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho đa thức (x + 1) đợc thơng là
a2x2 + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) và đa thức d là -a2 + a + 6
- Để đa thức A(x) chia hết cho đa thức x + 1 thì đa thức d phải bằng 0, tức là
-a2 + a + 6 = 0, giải phơng trình ta đợc a = -2; a = 3.
*) Cách 2. (Dùng phơng pháp hệ số bất định).
+) Tìm h¹ng tư bËc cao nhÊt a2x3 : x = a2x2, h¹ng tư bËc thÊp nhÊt -2a : 1 = -2a


+) BiĨu diƠn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau đó dùng phơng pháp đồng nhất để tìm ra a = -2; a
= 3 và kết luận.
*) Cách 3. (Dùng phơng pháp xét giá trị riêng).

Bài 6. Xác định hằng số a sao cho:
a) 10x2 - 7x + a chia hÕt cho2x - 3;
b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 d 4;
c) ax5 + 5x4 - 9 chia hÕt cho x - 1.
Bµi 7. Xác định các hằng số a và b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 - x + 1;
b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10;
c) ax4 + bx3 + 1 chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2;
d) x4 + 4 chia hÕt cho x2 + ax + b.
Bài 8. Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 th× d 7, chia cho x - 3 thì d - 5.
Chuyên đề phân thức đại số
I) Phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
A
a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng B ,
trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0
A là tử thức (tử).
B là mẫu thức
Mỗi một đa thức cũng đợc coi là một đa thức có mẫu là 1.
b) Hai phân tức bẳng nhau:
A
C
A
C
Với hai phân thức B và D , ta nói B = D nếu A.D = B.C
2) Bài tập:
Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thøc sau:
x2  x  2
x
x 2 y 3 7 x3 y 4


2

x2
x x  2
35 xy ;
a) 5
b) 
;
2
3
2
3  x x  6x  9
x  4x  x  2x


2
9 x
5
c) 3  x
;
d) 10  5 x
;
3
x
x

5

 3x

5 y 20 xy


2  x  5
2
7
8
x
e)
;
f)
;
2
2
x

2
x

1
 
x2 
x  x  2 x  3x  2


2
x 1
x 1
x 1 ;
g) x  1

;
h)
x3  8
x  2
2
i) x 2 x 4
.
Bi 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hÃy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau.
A
6 x 2 3x
4 x 2  3x  7 4 x  7
 2

A
2x  3 ;
a) 2 x  1 4 x  1 ;
b)
4x2  7 x  3
A
x2  2 x
x2  2x


2
x2  1
x 2  2 x 1 ;
A .
c)
d) 2 x  3 x  2
Bµi 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em h·y sưa sai

cho ®óng.
5 x  3 5 x 2  13x  6
x 1
x2  3


2
x2  4
a) x  2
;
b) x  3 x  6 x  9 ;
x2  2 x  2

2
c) x  1 x 1 ;
Bài 5. Ba phân thức sau có b»ng nhau kh«ng?
x2  x  2 x  2 x2  4
;
;
x2  1 x 1 x2  x 2 .
Bài 6. Tìm tập xác định của các ph©n thøc sau:

2 x2  5x  3 2 x2  x  3
 2
2
d) x  3x  4 x  5 x  4 .


3
x2  3

2
a) 5 x  2 ;
b) x  6 x  9 ;
x
2 x 1
2
2
c) x  3 x ;
d) x  3 x  2 .
Bµi 7. tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau b»ng 0.
3x  1
x2  x
2
a) x  5 ;
b) 2 x  1 ;
2
2
x  3x  2
x  2x
2
2
x 1 ;
c)
d) x  4 x  4 ;
x 4  x3  x  1
x4  5x2  4
4
3
2
4

2
e) x  x  2 x  x  1 ;
f) x  10 x  9 .
Bµi 8. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên:
2 x 1
3
6
2
3
a) x  x  1 ;
b) x  3 ;
c) x 1 ;
II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
a) Tính chất:
A A.M

- Tính chất 1: B B.M (M là đa thức khác đa thức 0).
A A: M

- Tính chất 2: B B : M (M là nhân tử chung khác 0).
A A

b) Quy tắc đổi dấu: B B .
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hÃy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong các
đẳng thức sau:
x x2
x
x 2 8 3 x3  24 x



2
...
a) 5 x  5 ... ;
b) 2 x  1
;

...
3 x 2  3xy

x  y 3 y  x 2

 x 2  2 xy  y 2
...
 2
x y
y  x2 ;
c)
;
d)
5 x  5 y 5x 2  5 y 2
x3 x 2
...


2
...
2 y 2x .
x

1
x

1
e)
;
f)
Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trớc.
8x2  8x  2
4x  3
2
, A 1  2 x
, A= 12x +9x
2
4
x

2
15
x

1




a) x  5
;
b)

;
Bµi 3. Dïng tÝnh chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức
bằng nó vµ cã cïng tư thøc.
3
x 1
x 5
x 2  25
a) x  2 vµ 5 x ;
b) 4 x vµ 2 x 3 ;
Bài 4. Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau
thành một cặp phân thøc b»ng nã vµ cã cïng mÉu thøc:
3x
7x  2
4x
3x
a) x  5 vµ 5  x ;
b) x  1 vµ x  1 ;
2x
x 3
2
x 4
2
x  1  x  3
x  1  x  2 
c) x  8 x  16 vµ 2 x 8 ;
d)
và
;
Bài 5. Các phân thức sau có bằng nhau không?
x3 y 3

x2
x2
x2
3
2
2
2
a) xy và y ;
b) x  y vµ x  y ;


1 x
x 1
 3( x  1)
3( x  1)
2
2
c) ( x  1)(3  x ) vµ ( x  1)( x  3) ;
d) (1  x) vµ ( x 1) ;
Bài 6. HÃy viết các phân thức sau dới dạng một phân thức có mẫu thức lµ 1 - x3;
x2
x
x 1
3
2
a) x  1 ;
b) x  1 ;
c) x  x  1 .
Bµi 7. áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phơng trình bằng các phân thức sau:
xy 2

1 x2
a) 2 x  x ;
b) x  1 ;
y 2  x2
 2 x 1
c) x  y ;
d)  x 2 .
Bài 8. Viết các phân thức sau dới dạng những phân thức có cùng mẫu thức:
x
x
y
2
a) x vµ x  1 ;
b) 2 y vµ x ;
2x  y
x
x 1
1 x
3
3
5 4
4 5
c) x  y vµ x  y ;
d) x y vµ x y .
Bµi 9. Viết các phân thức sau dới dạng những phân thøc cã cïng tư thøc:
x
1
x 2
y
y

a) x vµ x  3 ;
b)
vµ x ;
x2  y2
x3 y 2
x2 y3
x y
2
c) 2 x  xy vµ x ;
d) x  y và x y ;
III) Rút gọn phân thức
1) Phơng pháp:
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
14 xy 5 (2 x  3 y )
8 xy (3x  1)3
2
2
3
a) 21x y (2 x  3 y ) ;
b) 12 x (1  3 x) ;
20 x 2  45
2
c) (2 x  3) ;
80 x 3  125 x
e) 3( x  3)  ( x  3)(8  4 x) ;
32 x  8 x 2  2 x3
x 3  64

g)
;
x2  5x  6
2
i) x  4 x  4 .
x 2  xy  x  y
2
k) x  xy  x  y ;

5 x 2  10 xy
3
d) 2(2 y  x ) ;
9  ( x  5) 2
2
f) x  4 x  4 ;
5 x3  5 x
4
h) x  1 ;
10 xy 2 ( x  y )
3
J) 15 xy ( x  y ) ;

7 x 2  14 x  7
2
n) 3 x  3 x ;
x 2  xy
2
2
o) y  x ;

3 x 2  12 x  12
x4  8x
l)
;
2
2a  2ab
m) ac  ad  bc  bd ;
2x  2 y
2
2
¬) x  2 xy  y ;

2  2a
3
p) a  1 ;
x 4  2 x3
4
3
v) 2 x  x ;

x2  6 x  9
2
q) x  8 x  15 ;
x7  x4
6
u) x  1 ;


24,5 x 2  0,5 y 2
( x  2) 2  ( x  2) 2

2
16 x
)
;
x) 3,5 x  0,5 xy ;
(a  b)(c  d )
a 3  3a 2  2a  6
2
2
2
2
2
a 2
y)
;
z) (b  a )( d  c ) .
Bµi 2. Chøng minh các đẳng thức sau:
x 2 y 2 xy 2  y 3 xy  y 2
x 2  3xy  2 y 2
1


2
2
3
2
2
3
2x  y ;
x y .

a) 2 x  xy  y
b) x  2 x y xy 2 y
Bài 3. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức:
45 x (3  x)
y 2  x2
3
2
3
3
a) 15 x ( x  3) ;
b) x  3x 2 y  3xy  y .
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
1
ax 4  a 4 x
x3  x 2  6 x
2
2
3
a) a  ax  x víi a = 3, x = 3 ;
b) x  4 x víi x = 98
x3  3x
1

3
5
c) 3 x  x víi x = 2 ;
10ab  5a 2
1
1
2

e) 16b  8ab víi a = 6 , b = 7 ;
2x  4 y
2
2
g) 0, 2 x  0,8 y víi x + 2y = 5;

x 4  2 x3
1

2
3
d) 2 x  x víi x = 2 ;
a7 1
15
8
f) a  a víi a = 0,1;

a 2  b 2  c 2  2ab
2
2
2
e) a  b  c  2ac ;

a 2  b2
2
2
f) a  a  b  b ;
a 3 (b 2  c 2 )  b 3 ( c 2  a 2 )  c 3 ( a 2  b 2 )
a 2 (b  c)  b 2 (c  a )  c 2 ( a  b)
h)

;

x2  9 y 2
h) 1,5 x  4,5 y víi 3x - 9y = 1.
a b
Bµi 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị cđa biĨu thøc P = a  b .
Bµi 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biÕn x.
x2  y2
2ax  2 x  3 y  3ay
a) ( x  y )(ay  ax ) ;
b) 4ax  6 x  6 y  6ay ;
Bài tập nâng cao.
Bài 7. Rút gọn các biểu thức.
m4  m
ab 2  a 3  a 2b
2
a 3b  b 4
a) 2m  2m  2 ;
b)
;
xy  1  x  y
ax  ay  bx  by
c) y  z  1  yz ;
d) ax  ay  bx  by ;

a3 1
2
g) 2a  4a  2 ;
x 2  (a  b) x  ab
2

i) x  (a  b) x  ab ;
3x3  2 x 2  4 x  5
6 x 2  3x  9 ;
k)
a2 x  b2 x
x
x
n) a  b ;
33 x  33 y
x
y
o) 3  3 ;
a 2 (b  c)  b 2 (c  a )  c 2 (a  b)
ab 2  ac 2  b3  bc 2
p)
;

x 2  a 2  b 2  2bc  2ax  c 2
2
2
2
2
j) x  b  a  2bx  2ac  c ;
x x 2
2
l) x  5 x  6 .
1  (2a  3b) 2
m) 2a  3b  1 ;
24 m  24 n
2n

2m
¬) 2  2 ;

2 x 3  7 x 2  12 x  45
3
2
q) 3 x  19 x  33 x  9 ;


x 3  y 3  z 3  3xyz
x 3  y 3  z 3  3xyz
2
2
2
2
2
2
u) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) ;
) ( x  y )  ( y  z )  ( z x) .
Bài 8. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0.
x 4 x3  x  1
x4  5x2  4
4
3
2
4
2
a) x  x  2 x  x  1 ;
b) x  10 x  9 .
Bµi 9. ViÕt gän biĨu thức sau dới dạng một phân thức.

A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
HD: Nh©n biĨu thøc A víi x2 + x + 1, tõ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau
x2 y2  z 2
2
2
2
Bµi 10. Rót gän ( y  z )  ( z  x)  ( x  y ) biÕt r»ng x + y + z = 0.
3x 2 y
Bài 11. Tính giá trị của ph©n thøc A = 3 x  2 y , biÕt r»ng 9x2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x <0.
HD
9 x 2  4 y 2  12 xy 20 xy  12 xy 8 xy 1



2
2
Ta cã A2 = 9 x  4 y  12 xy 20 xy  12 xy 32 xy 4
1


3
x

2
y

0,3
x

2

y

0

A

0
Do 2y < 3x < 0
. vËy A = 2 .
4
4
4
(1  4)(5  4)(9  4)...(214  4)
4
4
4
4
Bµi 12. Rót gän biĨu thøc: P = (3  4)(7  4)(11  4)...(23  4) .
HD
XÐt n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
( 1.1  2)(1.3  2) (3.5  2)(5.7  2)
(19.21  2)(21.23  2)
 1.1  2
1

.... 


(21.23  2)(23.25  2) 23.25  2 577
Do ®ã P = (1.3  2)(3.5  2) (5.7  2)(7.9  2)

1
Bµi 13. Cho ph©n sè A = 1, 00...01 (mÉu cã 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ số thập phân.
HD
10100
100
Ta có A = 10 1 . Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta đợc:
100 100
100
100
10 (10 1) 99...9 00...0

0, 99...9
00...0


10200 1
99...9
100
100

200
A=
(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra ph©n sè).
(a 2  b2  c 2 )(a  b  c)2  (ab  bc  ca )2
(a  b  c) 2  (ab  bc ca)
Bài 14. Cho phân thức: M =
a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M.
HD:
a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.

Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0  a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
 (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
 a+b=b+c=c+a
 a = b = c.
vËy ®iỊu kiƯn ®Ĩ phân thức M có nghĩa là a, b, c không ®ång thêi b»ng 0,
tøc lµ a2 + b2 c2  0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do ®ã dỈt a2 + b2 + c2 = x;
ab + bc + ca = y. Khi ®ã (a + b + c)2 = x + 2y.
x ( x  2 y )  y 2 x 2  2 xy  y 2 ( x  y )2


x  y a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
x y
x y
Ta cã M = x  2 y  y


(Điều kiện là a2 + b2 c2 0)
IV) Quy đồng mẫu thức.
1) Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức:
- Phân tích các mẫu thành nhâ tử (nếu cần).
- Lập tích các nhân tử bằng số và chữ:
+) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu.
+) Nhân tử bằng chữ là luỹ thừa với số mũ lớn nhất.
2) Bài tập áp dụng
Các bài tập cơ bản và nâng cao.
Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thøc sau:
25
14

11
3
,
,
2
5
4
3
a) 14 x y 21xy ;
b) 102 x y 34 xy ;
3x 1 y  2
1
x 1 x  1
, 2 3
, 2 4,
4
3 2
3
c) 12 xy 9 x y ;
d) 6 x y 9 x y 4 xy ;
3  2x
5
2
, 2 2,
4
5
e) 10 x y 8 x y 3xy ;
2x
x 2
,

3
2
g) ( x  2) 2 x ( x 2) ;
Bài 2. Quy đông mẫu thức các phân thức sau.
7 x 1 5 3x
, 2
2
a) 2 x  6 x x  9 ;

4x  4
x 3
,
;
f) 2 x( x  3) 3x ( x  1)
5
3
,
3
h) 3x  12 x (2 x  4)( x  3) .
x 1
x2
,
2
2
b) x  x 2  4 x  2 x ;
7
4
x y
,
, 2

2
d) 5 x x  2 y 8 y  2 x ;
x
x 1
x 1
, 2
, 2
3
f) x  1 x  x x  x  1 ;
a d
ad
, 2
2
h) a  ab  ad  bd a  ab  ad  bd ;

4 x 2  3x  5
2x
6
, 2
,
3
x 1
x  x 1 x  1 ;
c)
2
5x
4x
3
, 2
,

3
2
e) x  6 x  12 x  8 x  4 x  4 2 x  4 ;
a x
ax
, 2
2
2
2
g) 6 x  ax  2a 3 x  4ax  4a ;
x
y
z
, 2
, 2
2
2
2
2
2
2
2
i) x  2 xy  y  z x  y  2 yz  z x  2 xz  y  z ;
x
x2  y 2
1
3
2
,
,x y

,
, 2
2
2
3
x

y
x

2
xy

y
x

1
2
x

2
x

x

1
j)
;
k)
;

x2
2 x 1
x 1
, 2
, 2
2
l) 6 x  7 x  3 2 x  7 x  6 3 x  5 x 2 .
Bài 3. Quy đồng mẫu thức các ph©n thøc:
ax bx b a
2 x 1
x  2a
, 2 2,
, 2
3
2
2
2
a) axb a xb axb ;
b) x  4ax  4a x  2ax ;
ax
a x
a b
a c
, 2
, 2
2
2
2
2

2
c) 6 x  ax  2a 3 x  4ax  4a ;
d) a  bc  ac  ab a  bc  ac  b ;
x
x2
x 1
x2
x
2x 1
, 2
, 2
,
,
3
2
2
2
e) x  27 x  6 x  9 x  3x  9 ;
f) x  3x  2  2 x  5 x  3  2 x  7 x  6 .
Bµi 4. Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể ®ỉi dÊu ®Ĩ t×m MTC cho thn tiƯn).
x  1 x 1
1
2x  1
a x
2 x2  1
,
,
, 2
, 3
2

2
3
a) 2 x  2 2 x  2 1  x ;
b) x  a  x  ax  a x  a ;
24
4x
18
x 1
x
2x  1
,
, 2
, 4
, 7
3
2
2
4
2
c) 4 x  x x  2 x 2 x  x ;
d) 2 x  x x  2 x  4 x  8 x ;
2x
y
4 xy
,
, 2
2
2
2
2

2
e) x  3 xy  2 y  3x  4 xy  y 3x  7 xy  2 y .
Bài 5. Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau.


x2  5x  6 2 x2  7 x  5
, 2
2
 x  4x  3 ;
a) x  4
3
2
x  2 x  5 x  26 x3  4 x 2  10 x  12
, 3
3
2
2
c) x  5 x  17 x  13 x  x  2 x  16 ;

x3  2 x 2  x  2
x3  5 x  4
,
3
2
3
2
b) x  x  4 x  4 x  2 x  3x  4 ;

x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx
x 3  y 3  z 3  3 xyz

,
x 2  y 2  z 2  2 yz
( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2 .
d)
x
x2
, 2
2
Bµi 6. Cho biĨu thøc B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 vµ hai ph©n thøc 2 x  7 x  15 x 3 x 10
a) Chia đa thức B lần lợt cho các mẫu của hai phân thức đà cho.
b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đà cho.
1
2
, 2
2
Bài 7. Cho hai phân thức: x 4 x  5 x  2 x  3 . Chøng tá r»ng cã thĨ chän ®a thøc
x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đà cho. HÃy quy đồng mẫu
thức.
V) Phép cộng các phân thức đai số.
1) Cộng hai phân thức cùng mẫu: Cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu
2) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau:
- Quy đồng mẫu thức các phân thức.
- Cộng hai phân thức cùng mẫu (sau khi đà quy đồng).
3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cộng các phân thức cùng mẫu thøc:
x2  2
2 x
1 2x 3  2 y 2x  4

 3


2
3
3
x( x  1) 2 ;
6x y ;
a) 6 x y 6 x y
b) x( x  1)
3x  1
x2  6x

2
2
c) x  3 x  1 x 3 x 1 ;
Bài 2. Cộng các phân thức khác mẫu thức:
5
7
11


2
2
a) 6 x y 12 xy 18 xy ;

x 2  38 x  4 3 x 2  4 x  2
 2
2
d) 2 x  17 x  1 2 x  17 x  1 .

1

1
x

 2
2
2
c) x  6 x  9 6 x  x  9 x  9 ;
x
x
4 xy

 2
2
e) x  2 y x  2 y 4 y x .
Bài 4. Cộng các phân thức:
1
1
1


a) ( x  y )( y  z ) ( y  z )( z  x) ( z  x )( x  y ) ;
4
3
3


b) ( y  x )( z  x) ( y  x)( y  z ) ( y  z )( x  z ) ;

x2  2
2

1
 2

3
d) x  1 x  x  1 1  x ;

4 x  2 5 y  3 x 1
 2 
3
15
x
y
9 x y 5 xy 3 ;
b)
3 3x  3 3x  2
x3  2 x
2x
1


 2

2
3
c) 2 x 2 x  1 2 x  4 x ;
d) x  1 x  x  1 x  1 ;
y
4x
1
3

x  14
 2
 2
 2
2
e) 2 x  xy y  2 xy ;
f) x  2 x  4 ( x  4 x  4)( x  2) ;
1
1
1
1
1



g) x  2 ( x  2)(4 x  7) ;
h) x  3 ( x  3)( x  2) ( x  2)(4 x  7) ;
Bµi 3. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung råi thùc hiÖn phÐp céng.
4
2
5x  6
1  3x 3x  2
3x  2




2
2x  1 2x  4x2 ;
a) x  2 x  2 4  x ;

b) 2 x

1
1
1


c) x( x  y )( x  z ) y ( y  x)( y  z ) z ( z  x)( z  y ) ;