các bài luyên tập môn toán lớp 9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (647.2 KB, 95 trang )
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Ngày soạn: 15/3/2015
Ngày giảng: 18/3/2015
CHUYÊN ĐỀ 1: THỰC HIỆN TÍNH VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC
(tiết 1-4)
I. Kiến thức:
- Sử dụng các phép tính, các phép biến đổi trên căn thức để giải.
- Các dạng bài tập:
+ Thực hiện tính với biểu thức số
+ Rút gọn các biểu thức đại số
+ So sánh các biểu thức số.
II. Bài tập tổng hợp:
Tiết 1:
Bài 1 :
1) Đơn giản biểu thức : P =
14 6 5 14 6 5+ + −
.
2) Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x
+ − +
−
÷
÷
−
+ +
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để
Q
> - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x
≠
1. Biểu thức rút gọn : Q =
1
2
−x
.
b)
Q
> - Q
⇔
x > 1.
c) x =
{ }
3;2
thì Q
∈
Z
Bài 2 : Cho biểu thức P =
1 x
x 1 x x
+
+ −
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
.
Hướng dẫn :
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 1
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x
≠
1. Biểu thức rút gọn : P =
x
x
−
+
1
1
.
b) Với x =
1
2
thì P = - 3 – 2
2
.
Bài 3 : Cho biểu thức : A =
1
1
1
1
+
−
−
−
+
x
x
x
xx
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
4
1
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để
A
= A.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x
≥
0, x
≠
1. Biểu thức rút gọn : A =
1−x
x
.
b) Với x =
4
1
thì A = - 1.
c) Với 0
≤
x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì
A
= A.
Bài 4 : Cho biểu thức : A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a
+ −
÷ ÷
− +
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >
2
1
.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a
≠
9. Biểu thức rút gọn : A =
3
2
+a
.
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
2
1
.
Tiết 2:
Bài 5 : Cho biểu thức: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x
+ − − − +
− +
÷
− + −
.
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x
∈
Z ? để A
∈
Z ?
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠
±
1.
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 2
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
b) Biểu thức rút gọn : A =
x
x 2003+
với x ≠ 0 ; x ≠
±
1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A
∈
Z .
Bài 6 : Cho biểu thức: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
− +
− +
−
÷
÷
−
− +
.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
1
−
+
x
x
.
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x =
{ }
9;4
thì A
∈
Z.
Bài 7 : Cho biểu thức: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x
+ −
+ +
÷
÷
− + + −
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
2
++ xx
b) Ta xét hai trường hợp :
+) A > 0
⇔
1
2
++ xx
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)
+) A < 2
⇔
1
2
++ xx
< 2
⇔
2(
1++ xx
) > 2
⇔
xx +
> 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Bài 8 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+ − −
− +
−
− +
(a
≥
0; a
≠
4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a
≥
0, a
≠
4. Biểu thức rút gọn : P =
2
4
−a
b) Ta thấy a = 9
∈
ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Tiết 3:
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 3
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Bài 9 : Cho biểu thức: N =
a a a a
1 1
a 1 a 1
+ −
+ −
÷ ÷
÷ ÷
+ −
1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a
≥
0, a
≠
1. Biểu thức rút gọn : N = 1 – a .
b) Ta thấy a = - 2004
∈
ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bài 10 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+
−
+
−
−
−+
−+
=
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
347x −=
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x
≥
0, x
≠
1. Biểu thức rút gọn :
3x
16x
P
+
+
=
b) Ta thấy
347x −=
∈
ĐKXĐ . Suy ra
22
33103
P
+
=
c) P
min
=4 khi x=4.
Bài 11 : Cho biểu thức
−
−
−
−
+
−
+
+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. Rút gọn P. b. Tìm x để
2
1
P −<
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x
≥
0, x
≠
9. Biểu thức rút gọn :
3x
3
P
+
−
=
b. Với
9x0
<≤
thì
2
1
P −<
c. P
min
= -1 khi x = 0
Bài 12: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a
+ −
− + +
÷
÷
÷
− +
với x>0 ,x
≠
1
a. Rút gọn A
b. Tính A với a =
( ) ( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
( KQ : A= 4a )
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 4
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Tiết 4:
Bài 13: Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x
− − − −
− + −
÷ ÷
÷ ÷
−
+ − − +
với x
≥
0 , x
≠
9, x
≠
4 .
a. Rút gọn A.
b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm
x Z∈
để
A Z∈
(KQ : A=
3
2x −
)
Bài 14: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A =
1
2
d. CMR : A
2
3
≤
. (KQ: A =
2 5
3
x
x
−
+
)
Bài 15: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
− + + −
với x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A =
1
x
x x+ +
)
Bài 16: Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
− +
+ + − +
với x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rút gọn A.
b. CMR :
0 1A≤ ≤
( KQ : A =
1
x
x x− +
)
III. Bài tập về nhà:
Bài 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
− − + −
− − +
÷ ÷
÷ ÷
−
+ − + −
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z∈
để
A Z∈
( KQ : A =
5
3x +
)
Bài 18: Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
− + +
− −
− + − −
với a
≥
0 , a
≠
9 , a
≠
4.
a. Rút gọn A.
b. Tìm a để A < 1
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 5
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
c. Tìm
a Z
∈
để
A Z∈
( KQ : A =
1
3
a
a
+
−
)
Bài 19: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
− + + −
+ − −
÷ ÷
÷ ÷
− −
− − +
với x > 0 , x
≠
4.
a. Rút gọn A.
b. So sánh A với
1
A
( KQ : A =
9
6
x
x
+
)
Bài 250: Cho A =
( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y
y x
x y x y
− +
−
−
÷
+
÷
−
− +
với x
≥
0 , y
≥
0,
x y
≠
a. Rút gọn A.
b. CMR : A
≥
0 ( KQ : A =
xy
x xy y− +
)
Bài 21 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
− + + −
− + − +
÷
÷
÷
− + − +
Với x > 0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A =
( )
2 1x x
x
+ +
)
Bài 22: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
−
− −
÷
÷
÷
−
+ − + − −
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z∈
để
A Z∈
c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A =
1
1
x
x
−
+
)
Bài 23 : Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
x
x x x
+ −
+ − −
÷ ÷
÷ ÷
−
+ − −
với x
≥
0 , x
≠
9
. a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A < -
1
2
( KQ : A =
3
3a
−
+
)
Bài 24 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
+ − − −
− − −
÷ ÷
÷ ÷
− −
− + −
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 6
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
b. Tính A với x =
6 2 5−
(KQ: A =
4
4
x
x +
)
c . CMR : A
1≤
Bài 25 : Cho A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
+
+
÷
− − − +
với x > 0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A (KQ: A =
1x
x
−
)
b.So sánh A với 1
Bài 26 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
− −
− + −
÷ ÷
÷ ÷
−
− + +
Với
1
0,
9
x x≥ ≠
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =
6
5
c. Tìm x để A < 1.
( KQ : A =
3 1
x x
x
+
−
)
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 7
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Ngày soạn:
Ngày giảng:
CHUYÊN ĐỀ 2: GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
(tiết 5-8)
1. Phương pháp chung :
Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .
- Tìm ĐKXĐ của phương trình .
- Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học.
- Giải phương trình vừa tìm được .
- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .
2. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:
Tiết 1:
a/. Phương pháp1 : Nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương 2 vế PT):
• Giải phương trình dạng :
)()( xgxf =
Ví dụ 1: Giải phương trình :
11 −=+ xx
(1)
ĐKXĐ : x+1
≥
0
⇔
x
≥
-1
Với x
≥
-1 thì vế trái của phương trình không âm .Để phương trình có nghiệm thì
x-1
≥
0
⇒
x
≥
1.Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình :
x+1 = (x-1)
2
⇔
x
2
-3x= 0
⇔
x(x-3) = 0 ⇔
=
=
3
0
x
x
Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x
≥
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
131 =−+ xx
xx −=−⇔ 131
( 1) ĐKXĐ :
≥−
≥−
013
01
x
x
⇔
≤
≥
13
1
x
x
⇔
1
≤
13
≤
x
(2)
Bình phương hai vế của (1) ta được :
2
)13(1 xx −=−
017027
2
=+−⇔ xx
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 8
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Phương trình này có nghiệm
10
1
=x
và
17
2
=x
.Chỉ có
10
1
=x
thoã mãn (2) .
Vậy nghiệm của phương trình là
10
=
x
* Giải phương trình dạng :
)()()( xgxhxf =+
Ví dụ 3: Giải phương trình:
121 =+−− xx
xx ++=−⇔ 211
(1)
ĐKXĐ:
02
01
≥+
≥−
x
x
⇔
2
1
−≥
≤
x
x
⇔
12
≤≤−
x
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được :
xxx ++++=− 22211
⇔
01
2
=−+ xx
Phương trình này có nghiệm
2
51−−
=x
thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phương trình là
2
51−−
=x
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3
1+x
27
3
=−+ x
(1)
Lập phương trình hai vế của (1) ta được:
82).7)(1(371
3
=−++−++ xxxx
⇔
(x-1) (7- x) = 0
⇔ x =-1 (đều thoả mãn (1 )
x =7 (đều thoả mãn (1 )
Vậy
7;1 =−= xx
là nghiệm của phương trình .
* Giải phương trình dạng :
=+ )()( xhxf
)(xg
Ví dụ5: Giải phương trình
1+x
-
7−x
=
x−12
⇔
1+x
=
x−12
+
7−x
(1)
ĐKXĐ:
121
7
12
1
07
012
01
≤≤⇔
≥
≤
−≥
⇔
≥−
≥−
≥+
x
x
x
x
x
x
x
Bình phương hai vế ta được: x- 4 = 2
)7)(12( −− xx
(3)
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 9
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phương
trình (3) ta được :
(x - 4)
2
= 4(- x
2
+ 19x- 84)
⇔
5x
2
- 84x + 352 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm x
1
=
5
44
và x
2
= 8 đều thoả mãn (2) .
Vậy x
1
=
5
44
và x
2
= 8 là nghiệm của phương trình.
* Giải phương trình dạng :
=+ )()( xhxf
)(xg
+
)(xq
Ví dụ 6: Giải phương trình :
1+x
+
10+x
=
2+x
+
5+x
(1)
ĐKXĐ :
≥+
≥+
≥+
≥+
05
02
010
01
x
x
x
x
⇔
−≥
−≥
−≥
−≥
5
2
10
1
x
x
x
x
⇔ x ≥ -1 (2)
Bình phương hai vế của (1) ta được :
x+1 + x+ 10 + 2
)10)(1( ++ xx
= x+2 + x+ 5 + 2
)5)(2( ++ xx
⇔
2+
)10)(1( ++ xx
=
)5)(2( ++ xx
(3)
Với x
≥
-1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được
)10)(1( ++ xx
= 1- x Điều kiện ở đây là x
≤
-1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)
−≤
−≥
1
1
x
x
⇔ x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1).
+ / Lưu ý :
Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương trình vô
tỉ quen thuộc, cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn:
Với hai số dương a, b nếu a = b thì a
2n
= b
2n
và ngược lại (n= 1,2,3 )
Chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đó là những vấn đề
hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương pháp này.
+ / Bài tập áp dụng:
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 10
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
1.
4
2
−x
= x- 2 4.
3
45+x
-
3
16−x
=1
2.
41
2
++ xx
= x+ 1 5.
x−1
=
x−6
-
)52( +− x
3.
x−1
+
x+4
=3 6.
3
1−x
+
3
2−x
=
3
32 −x
Tiết 2:
b /. Phương pháp 2 : đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
Ví dụ1: Giải phương trình:
416249
2
+−=+− xxx
(1)
ĐKXĐ:
≥+−
≥+−
04
016249
2
x
xx
⇔
≤
∀≥−
4
0)43(
2
x
xx
⇔ x ≤ 4
Phương trình (1)
⇔
43 −x
= -x + 4
⇔
−=−
+−=−
443
443
xx
xx
⇔
=
=
0
2
x
x
Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phương trình (đều thoả mãn x
≤
4 ).
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
44
2
=− xx
+
168
2
+− xx
= 5 ĐKXĐ:
∉∀
x
R
Phương trình tương đương :
2−x
+
4−x
= 5
Lập bảng xét dấu : x 2 4
x- 2 - 0 + +
x- 4 - - 0 +
Ta xét các khoảng :
+ Khi x < 2 ta có (2)
⇔
6-2x =5
⇔
x = 0,5(thoả mãn x
≤
2)
+ Khi 2
≤
x
≤
4 ta có (2)
⇔
0x + 2 =5 vô nghiệm
+ Khi x > 4 ta có (2)
⇔
2x – 6 =5
⇔
x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phương trình:
314 +−− xx
+
816 +−− xx
= 1 ; ĐKXĐ: x
≥
1
Phương trình được viết lại là :
414)1( +−−− xx
+
916)1( +−−− xx
= 1
⇔
2
)21( −−x
+
2
)31( −−x
= 1
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 11
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
⇔
21 −−x
+
31 −−x
=1 (1)
- Nếu 1
≤
x < 5 ta có (1)
⇔
2-
1−x
+ 3 -
1−x
= 1
⇔
1−x
=2
⇔
x= 5 không thuộc khoảng đang xét
- Nếu 5
≤
x
≤
10 thì (1)
⇔
0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm
- Nếu x> 10 thì (1)
⇔
-5 = 1 phương trinh vô nghiệm
Vậy phương trình có vô số nghiệm : 5
≤
x
≤
10
+ Lưu ý:
- Phương pháp này được sử dụng khi biểu thức dưới dấu căn phân tích được thành dạng
hằng đẳng thức. Áp dụng hằng đẳng thức
2
A
=
A
- Chú ý dấu khi xét các khoảng giá trị của ẩn.
Bài tập áp dụng
1.
96
2
+− xx
+
2510
2
++ xx
= 8
2.
12
2
++ xx
+
44
2
+− xx
=
44
2
++ xx
3.
143 −++ xx
+
168 −−+ xx
= 5
4.
5233 −++ xx
+
522 −−− xx
= 2
2
Tiết 3:
c.Phương pháp 3 : đặt ẩn phụ:
+ /. Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phương trình: 2x
2
+ 3x +
932
2
++ xx
=33
ĐKXĐ :
∀
x
∈
R
Phương trình đã cho tương đương với: 2x
2
+ 3x +9 +
932
2
++ xx
- 42= 0 (1)
Đặt 2x
2
+ 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện
bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta được phương trình mới : y
2
+ y – 42 = 0
⇒
y
1
= 6 , y
2
= -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
Từ đó ta có
932
2
++ xx
=6
⇔
2x
2
+ 3x -27 = 0
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 12
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Phương trình có nghiệm x
1
= 3, x
2
= -
2
9
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2 : Giải phương trình:
x
+
4
x
= 12 (ĐKXĐ : x
≥
o)
Đặt
4
x
= y
≥
0
⇒
x
= y
2
ta có phương trình mới
y
2
+ y -12 = 0 phương trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)
⇒
4
x
= 3
⇒
x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
1+x
+
x−3
-
)3)(1( xx −+
= 2 (1)
ĐKXĐ :
≥−
≥+
03
01
x
x
⇔
≤
−≥
3
1
x
x
⇔ -1 ≤ x ≤ 3
Đặt
1+x
+
x−3
= t
≥
0
⇒
t
2
= 4 + 2
)3)(1( xx −+
⇒
)3)(1( xx −+
=
2
4
2
−t
(2) .thay vào (2) ta được
t
2
– 2t = 0
⇔
t(t-2) = 0 ⇔
=
=
2
0
t
t
+ Với t = 0 phương trình vô nghiệm.
+Với t = 2 thay vào (2) ta có :
)3)(1( xx −+
= 0
⇒
x
1
= -1; x
2
= 3 (thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x
1
= -1và x
2
= 3
Ví dụ 4: Giải phương trình : 5
1
3
+x
= 2( x
2
+ 2)
Ta có
1
3
+x
=
1+x
1
2
+− xx
Đặt
1+x
= a
≥
0 ;
1
2
+− xx
= b
≥
0 và a
2
+ b
2
= x
2
+ 2
Phương trình đã cho được viết là
5ab = 2(a
2
+ b
2
)
⇔
(2a- b)( a -2b) = 0
⇔
=−
=−
02
02
ba
ba
+ Trường hợp: 2a = b
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 13
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
⇔
2
1+x
=
1
2
+− xx
⇔
4x + 4 = x
2
– x +1
⇔
x
2
– 5x -3 = 0
Phương trình có nghiệm x
1
=
2
375 −
; x
2
=
2
375 +
+ Trường hợp: a = 2b
⇔
1+x
= 2
1
2
+− xx
⇔
x+ 1 = 4x
2
-4x + 3 = 0
⇔
4x
2
-5x + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=
2
375 +
và x=
2
375 −
Ví dụ 5: Giải phương trình:
1+x
+ 2 (x+1) = x- 1 +
x−1
+ 3
2
1 x−
(1)
Đặt
1+x
= u
≥
0 và
x−1
= t
≥
0
ĐKXĐ: -1
≤
x
≤
1 thì phương trình (1) trở thành.
u + 2u
2
= -t
2
+ t +3ut
⇔
(u –t )
2
+ u(u-t) + (u-t) = 0
⇔
(u-t)(2u – t +1 ) = 0
⇔
=+
=
tu
tu
12
⇔
−=++
−=+
xx
xx
1112
11
⇔
−=
=
25
24
0
x
x
thoả mãn điều kiện -1
≤
x
≤
1 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 6: Giải phương trình:
12 −− xx
+
12 −+ xx
=
2
3+x
ĐKXĐ : x
≥
1
Đặt
1−x
= t
≥
0
⇒
x = t
2
+ 1 phương trình đã cho trở thành
2
)1( +t
+
2
)1( −t
=
2
4
2
+t
⇔
1+t
+
1−t
=
2
4
2
+t
⇔
=
=+−
0
044
2
2
t
tt
(t
≥
1) ⇔
=
=
0
2
t
t
⇔
=
=
1
5
x
x
∈
ĐKXĐ: x≥ 1
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 14
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5
+ / . Nhận xét :
Phương pháp đặt ẩn nhằm làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ .Song
để vận dụng phương pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi hướng giải quyết
cách đặt ẩn như thế nào cho phù hợp như :
Đặt ẩn phụ để được phương trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3)
Đặt ẩn phụ để đưa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5)
+ /. Bài tập áp dụng:
1/ x
2
– 5 +
6
2
−x
= 7 3/
3
2
x
- 3
3
x
=20
2/ x
x
1
- 2x
3
x
= 20 4/
8
3
+x
= 2x
2
– 6x +4
5/
96 −+ xx
+
96 −− xx
=
6
23+x
Tiết 4:
d. Phương pháp 4 : đưa về phương trình tích :
+ / Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2110 ++ xx
= 3
3+x
+ 2
7+x
- 6 (1)
ĐKXĐ : x
≥
-3
Phương trình (1) có dạng :
)7)(3( ++ xx
- 3
3+x
+ 2
7+x
+6 = 0
⇔
3+x
(
)37 −+x
-2(
)37 −+x
) =3
⇔
(
)37 −+x
(
23 −+x
) =0
⇔
=−+
=−+
023
037
x
x
⇔
=+
=+
43
97
x
x
⇔
=
=
1
2
x
x
∈
ĐKXĐ.
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 15
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3
1 x−
+
2+x
=1
ĐKXĐ : x
≥
-2
Đặt
2+x
= t
≥
0 Khi dó
3
1 x−
=
3
2
3 t−
Phương trình (1)
⇔
3
2
3 t−
+ t = 1
⇔
3
2
3 t−
= 1- t
⇔
3- t
3
= (1-t)
3
⇔
t
3
- 4t
2
+ 3t + 2 =0
⇔
(t-2) ( t
2
-2t -1) = 0
Từ phương trình này ta tìm được x=2 ; x= 1 + 2
2
là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ3 : Giải phương trình: (4x-1)
1
2
+x
= 2(x
2
+ 1) + 2x - 1 (1)
Đặt
1
2
+x
=y ; y
≥
0
(1)
⇔
(4x-1) y = 2y
2
+ 2x -1
⇔
2y
2
- (4x -1) y + 2x – 1= 0
⇔
( 2y
2
- 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0
⇔
(y- 2x+1) (2y- 1) = 0
Giải phương trình này ta tìm được x = 0 ; x =
3
4
là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 4: Giải phương trình: (
11 −+ x
)(
11 +− x
) = 2x
ĐKXĐ: -1
≤
x
≤
1 (1)
đặt
x+1
= u (0
≤
u
≤
2
)
suy ra x = u
2
-1 phương trình (1) trở thành :
(u -1 ) (
)12
2
+−u
= 2 ( u
2
-1)
⇔
(u -1 ){ (
)12
2
+−u
- 2 (u+1)} = 0
⇔
(u-1) (
)122
2
−−− uu
= 0
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 16
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
⇔
=−−−
=−
0122
01
2
uu
u
(+) u-1 = 0
⇒
u =1 ( thoả mãn u
≥
0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
(+)
122
2
−−− uu
= 0
⇔
2
2 u−
= 2u + 1
⇔
+=−
≥+
)12(2
012
2
uu
u
(thoả mãn vì u
≥
0 ) ⇔ 5u
2
+ 4u - 1 = 0 ⇒
=
<−=
5
1
)(01
2
1
u
loaiu
nên có x = u
2
2
-1 = (
5
1
)
2
– 1 =
25
24−
thoã mãn điều kiện (1)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x =
25
24−
.
+ /.Nhận xét :
Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta
cần chú ý các bước sau .
+ Tìm tập xác định của phương trình .
+ Dùng các phép biến đổi đại số , đưa phương trình về dạng f(x) g(x) ….= 0 (gọi là
phương trình tích) . Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ;… là những phương trình quen
thuộc.
+ Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x) = 0
g( x) = 0 ;… thuộc tập xác định .
+ Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phương pháp khác như nhóm các số
hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đưa về phương
trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải .
+ /.Bài tập áp dụng:
1/.
67
3
−− xx
= 0 3/. x(x+5) = 2
225
3
2
−−+ xx
2/.
2
2
−− xx
- 2
2
2
+− xx
=
1−x
4/. 2( x
2
+ 2x + 3) = 5
233
23
+++ xxx
(Các phương pháp 5 đến 9 tham khảo thêm)
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 17
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
e. Phương pháp 5 : đưa về hệ phương trình :
+ /.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
25 x−
-
2
15 x−
=2 (ĐKXĐ: 0
≤
x
2
≤
15)
Đặt:
2
25 x−
= a (a
≥
0) (* )
2
15 x−
= b ( b
≥
0) ( ** )
Từ phương trình đã cho chuyển về hệ phương trình :
≠+
+=+−
=−
0
)(2))((
2
ba
bababa
ba
⇔
=+
=−
5
2
ba
ba
⇔
=
=
2
3
2
7
b
a
Thay vào phương trình (*) ta có 25 –x
2
=
4
49
⇔
x
2
=
4
51
⇒
x =
2
51
±
(
∈
ĐKXĐ ) .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
2
51
±
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
35
3)3(5)5(
−+−
−−+−−
xx
xxxx
= 2 (1) (ĐKXĐ : 3
≤
x
≤
5)
Đặt
≥=−
≥=−
)0(3
)0(5
ttx
uux
Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình :
=+−
=+
2
2
22
22
tutu
tu
⇒ ut = 0 ⇔
=
=
0
0
t
u
⇔
=
=
5
3
x
x
(thỏa mãn điều kiện )
Vậy phương trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3
2 x−
+
1
−
x
= 1 ;(ĐKXĐ: x
≥
1)
Đặt
≥=−
=−
)0(1
2
3
ttx
ux
Khi đó ta có u
3
= 2 – x ; t
2
= x- 1 nên u
3
+ t
3
= 1
Phương trình đã cho đợc đa về hệ:
=+
=+
)2(1
)1(1
33
tu
tu
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 18
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Từ phương trình (1)
⇒
u = 1 – t .Thay vào phương trình (2) ta có :
( 1 – t )
3
+ t
2
= 1
⇔
t( t
2
- 4t + 3 = 0
⇔
=+−
=
034
0
2
tt
t
⇔
=
=
=
3
1
0
t
t
t
Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x
≥
1 ) là nghiệm của phơng trình đã cho .
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3
2
)1(
+
x
+
3
2
)1(
−
x
+
3
2
1
−
x
= 1
Đặt:
3
1
+
x
= a ;
3
1
−
x
= b nên ta có: a
2
=
3
2
)1(
+
x
; b
2
=
3
2
)1(
−
x
ab =
3
2
1
−
x
. Ta được phương trình : a
2
+ b
2
+ ab = 1 ( 1)
−=
+=
1
1
3
3
xb
xa
Ta được phương trình : a
3
– b
3
= 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
=−
=++
2
1
33
22
ba
abba
Từ hệ phương trình ta suy ra a –b = 2
⇒
b = a – 2
Thay vào hệ phương trình (1) ta đợc : (a -1 )
2
= 0
⇒
a =1
Từ đó ta được x = 0
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0
+ /.Nhận xét :
Qua 4 ví dụ trên cho ta thấy phương pháp hệ phơng trình có những điểm sáng tạo và
đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải tư duy hơn do đó phương pháp này được áp dụng
cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ý một số điểm sau:
+ Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình
+ Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung .
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen
thuộc .
Ngoài ra người học còn biết kết hợp phương pháp này với phơng pháp khác nhau
phương pháp đặt ẩn phụ , phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 19
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
+ /.Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau :
1.
x
1
+
2
2
1
x−
= 2 2. 2
3
12
−
x
= x
3
+ 1 3.
3
1 x
−
+
3
1 x
+
=1
4.
3
1
−
x
+
3
21−x
=
3
32 −x
5.
x
+−
44
= x
f /. Ph ương pháp 6 : chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó phương trình
vô nghiệm .
+ /.Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phương trình:
1
−
x
-
15
−
x
=
23 −x
(1)
ĐKXĐ:
≥−
≥−
≥−
023
015
01
x
x
x
⇔
≥
≥
≥
3
2
5
1
1
x
x
x
Với x
≥
1 thì x < 5x do đó
1
−
x
<
15
−
x
Suy ra vế trái của (1) là số âm , còn vế phải là số không âm .
Vậy phương trình vô nghiệm .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
116
2
+−
xx
+
136
2
+−
xx
+
4
2
54
+−
xx
= 3 +
2
⇔
2)3(
2
+−
x
+
4)3(
2
+−
x
+
4
2
1)2(
+−
x
= 3 +
2
(*)
Mà
2)3(
2
+−
x
+
4)3(
2
+−
x
+
4
2
1)2(
+−
x
≥
2
+
4
+ 1 = 3 +
2
⇒
Vế phải của phương trình đã cho lớn hơn vế trái .
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
+ /.Bài tập áp dụng:
a)
1
−
x
-
1
+
x
= 2 b)
6
2
+
x
= x - 2
1
2
−
x
c).
x−6
+
2+x
= x
2
- 6x +13
g /. Phương pháp 7 : Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
+ /.Các ví dụ :
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 20
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Ví dụ 1: Giải phương trình:
763
2
++
xx
+
14105
2
++
xx
= 4 – 2x – x
2
(1)
Ta có vế trái của (1)
763
2
++
xx
+
14105
2
++
xx
=
4)1(3
2
++
x
+
9)1(5
++
x
≥
4
+
9
= 5
Vế phải của (1) : 4 -2x –x
2
= 5 – (x + 1)
2
≤
5
Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 .Do đó phương trình (1) có nghiệm là x = -1
Ví dụ 2: Giải phương trình:
4−x
+
x−6
= x
2
-10x + 27 (1)
ĐKXĐ: 4
≤
x
≤
6
Xét vế phải của (1) ta có :
x
2
– 10x + 27 = ( x-5)
2
+ 2
≥
2 với mọi x và vế trái của (1)
(
2
64 xx −−−
)
2
≤
2
)46()1((
22
−+−
x
=1 hay
4−x
+
x−6
≤
2
Vì vậy phương trình (1) có nghiệm là :
=−+−
=+−
(**)264
(*)22710
2
xx
xx
Giải phương trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**)
Vậy x =5 là nghiệm của phương trình (1)
+ /. Bài tập áp dụng :
1.
16123
2
+−
xx
+
134
2
+−
yy
= 5
2.
1263
2
++
xx
+
9105
2
+−
xx
= 3-4x -2x
2
3.
5,33
2
+−
xx
=
)44)(22(
22
+−+−
xxxx
h /. Ph ương pháp 8 : sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
+ /. Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phương trình :
3
2−x
+
1
+
x
= 3 (1)
ĐKXĐ: x
≥
1
Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phương trình (1)
Với x > 3 thì
3
2−x
> 1 ,
1
+
x
> 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3.
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 21
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
Với x< 3 và x
≥
-1
⇔
-1
≤
x
≤
3 thì
3
2−x
< 1,
1
+
x
< 2
nên vế trái của (1) nhỏ hơn 3.
Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình :
5
2
28
+
x
+ 2
3
2
23
+
x
+
1
−
x
+
x
=
2
+ 9 (1) ĐKXĐ:
1
0
01
≥⇔
≥
≥−
x
x
x
Ta thấy x =2 là nghiệm của (1)
+ / .Nhận xét :
Khi giải các phương trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thường ta sử dụng phương
pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng .Rồi tìm cách chứng minh rằng
ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác .
+ /.Bài tập áp dụng :
1.
3
2
26
+
x
+ 3
x
+
3+x
= 8
2.
12
2
−
x
+
23
2
−−
xx
=
322
2
++
xx
+
1
2
+−
xx
i / . Ph ương pháp 9 : sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ =” ở bất đẳng thức không chặt
+ / . Các ví dụ
Ví dụ1: Giải phương trình
2−x
+
1995
+
y
+
1996−z
=
2
1
(x+y+z)
ĐKXĐ : x
≥
2; y
≥
-1995; z
≥
1996
Phương trình (1)
⇔
x+y+z = 2
2−x
+ 2
1995
+
y
+ 2
1996−z
⇔
2
)12(
−−
x
+
2
)11995(
−+
y
+
2
)11996(
−−
z
= 0
⇔
=−
=+
=−
11996
11995
12
z
y
x
⇔
=
−=
=
1997
1994
3
z
y
x
( thoã mãn ĐKXĐ ).
Là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình:
763
2
++
xx
+
14105
2
++
xx
= 4 – 2x – x
2
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 22
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
⇔
4)1(3
2
++
x
+
9)1(5
2
++
x
= 5 – (x+1)
2
(*)
Vế trái của (*)
4)1(3
2
++
x
+
9)1(5
2
++
x
≥
2 + 3 = 5
Vế phải của (*) 5 – (x+1)
2
≤
5
Vì thế phương trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của
phương trình (*) bằng nhau và bằng 5
⇔
x+ 1 = 0
⇔
x = -1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =-1
Ví dụ3: Giải phương trình:
14 −x
x
+
x
x 14
−
=2 (1) ĐKXĐ: x>
4
1
áp dụng bất đẳng thức
a
b
b
a
+
≥
2 với a,b > 0
xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi a =b
Dấu “=” của (1) xảy ra khi x=
14
−
x
⇔
x
2
- 4x +1 = 0 (do x>
4
1
)
Giải phương trình này ta tìm đợc x=
32 ±
(thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy x=
32 ±
là nghiệm của phương trình.
+ /. Nhận xét :
Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các
bước sau :
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)
≥
a , g(x)
≤
a
(a là hằng số )
Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời
f(x) =a và g(x) = a
+ Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x)
≥
m hoặc h
(x)
≤
m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra.
+ Áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki
+ /. Bài tập áp dụng:
1.
1282
2
+−
xx
= 3 -
4
2
13123
+−
xx
3.
1
19
−x
+
4
2
1
5
−
x
+
6
2
23
95
+−
xx
= 3
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 23
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
2.
2−x
+
x−10
= x
2
-12x + 40 4.
116
156
2
2
+−
+−
xx
xx
=
186
2
+−
xx
Ngày soạn:
Ngày giảng:
CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(tiết 9-12)
Tiết 1
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Định nghĩa: Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c và a’x + b’y = c’. Khi đó
ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
ax+by=c(1)
( )
' ' '(2)
I
a x b y c
+ =
- Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x0;y0) thì được gọi là nghiệm của hệ (I)
- Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
2. Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:
- Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)
- Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d’)
* Nếu (d) cắt (d)
⇔
' '
a b
a b
≠
⇒
hệ có nghiệm duy nhất
* Nếu (d) // (d’)
⇔
' ' '
a b c
a b c
= ≠
⇒
hệ vô nghiệm
* Nếu (d) trùng (d’)
⇔
' ' '
a b c
a b c
= =
⇒
hệ có vô số nghiệm.
3. Hệ phương trình tương đương:
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp
dùng định thức:
a/ Quy tắc thế ( Sgk Toán 9-T2-Tr 13)
b/ Quy tắc công đại số ( Sgk Toán 9-T2-Tr 16)
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 24
Giáo án Ôn thi HSG Toán 9 Năm học 2014 - 2015
c/ Phương pháp dùng định thức: (Để nhớ định thức ta nhớ câu: Anh Bạn Cầm Bát Ăn
Cơm)
Từ hệ phương trình (I) ta có:
' ' ; ' ' ' '
' ' ' ' ' '
= = − = = − = = −
x y
a b c b a c
D ab a b D cb c b D ac a c
a b c b a c
- Nếu D
0
≠
, thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
y
D
à y =
D
x
D
x v
D
=
- Nếu D = 0 và D
x
0
≠
hoặc D
y
0
≠
, thì hệ phương trình vô nghiệm
- Nếu D = D
x
= D
y
= 0, thì hệ phương trình có vô số nghiệm
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
• Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Giải và biện luận.
Bài toán 1 : Giải và biện luận hệ :
2 2 (1)
3 (2)
mx y m
x y
+ =
+ =
Giải
Các bạn có thể chọn một trong ba phương pháp:
* Cách 1: Phương pháp thế
Ta có: Từ (2)
⇒
y = 3 - x. Thế vào (1) ta được:
Pt (1)
⇔
mx + 2(3 - x) = 2m (m - 2)x = 2m - 6 (3).
+ Nếu m - 2 = 0
⇔
m = 2 thì (3) trở thành 0 = - 2, vô nghiệm (không được nói là phương
trình vô lí !).
+ Nếu m - 2
≠
0
⇔
m
≠
2 thì (3)
⇔
x =
2 6
2
m
m
−
−
Thay vào (2) ta được:
(2)
⇔
: y = 3 -
2 6
2
m
m
−
−
=
2
m
m −
Hệ có nghiệm duy nhất : (x;y) = (
2 6
2
m
m
−
−
;
2
m
m −
).
* Cách 2: Phương pháp định thức:
Từ hệ phương trình ta có:
Họ và tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 25
