Tài liệu Công thức và bài tập xác xuất doc

PHẦN I: XÁC SUẤT
1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố:
1.1. Công thức cộng xác suất:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-[p(AB)+p(AC)+p(BC)]
+p(ABC)
1.2. Công thức nhân xác suất:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A) 
1 2 1 2 1 1 2 1
( ) ( ). ( / ) ( / )
n n n
p A A A p A p A A p A A A A
−
=
1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và
A
1.3.1.
( )
x x n x
n n
p x C p q
−
=
, p=p(A), q=1-p
1.4. Công thức xác suất đầy đủ:
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
n n
p F p A p F A p A p F A p A p F A= + + +
1.5. Công thức Bayes:

( . ) ( ). ( / )
( / )
( ) ( )
i i i
i
p A F p A p F A
p A F
p F p F
= =
2. Biến ngẫu nhiên:
2.1. Bảng phân phối xác suất (biến ngẫu nhiên rời rạc)
2.2. Hàm mật độ xác suất (
( )f x
) (biễn ngẫu nhiên liên tục)
2.2.1.
( )f x
≥
0
2.2.2.
( ) 1f x dx
+∞
−∞
=
∫
2.2.3.
( ) ( )
b
a
p a x b f x dx≤ ≤ =
∫

2.3. Hàm phân phối xác suất (
( )F x
) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu nhiên liên tục)
2.3.1.
( )F x
=p(
F
<x)
2.3.2.
'( ) ( )F x f x=
2.3.3.
( ) ( )
x
F x f t dt
−∞
=
∫
2.4. Kỳ vọng
2.4.1.
1 1 2 2
( )
n n
E x x p x p x p= + + +
(từ bảng phân phối xác suất)
2.4.2.
( ) ( )E x xf x dx
+∞
−∞
=
∫

2.5. Phương sai:
2.5.1.
2 2
( ) ( ) [ ( )]V x E x E x= −
2.5.2.
2 2
( ) ( ) [ ( ) ]V x x f x dx xf x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
= −
∫ ∫
3. Một số phân phối xác suất thông dụng:
3.1. Phân phối chuẩn tổng quát:
2
~ ( ; )X N
µ σ
3.1.1.
2
2
( )
2
1
( )
2
x
f x e
µ
σ
σ π
−

−
=
3.1.2.
( ) 1f x dx
+∞
−∞
=
∫
3.1.3.
ModX MedX
µ
= =
;
2
( ) , ( )E x V x
µ σ
= =
3.1.4.
( ) ( ) ( )
b a
p a x b
µ ϕ
ϕ ϕ
σ σ
− −
≤ ≤ = −
3.1.5. Phân phối chuẩn tắc
2
0, 1
µ σ

= =
3.1.5.1.
~ (0,1)T N
3.1.5.2.
2
2
1
( )
2
t
f t e
π
−
=
3.1.5.3. Đổi biến
X
T
µ
σ
−
=
3.1.5.4.
( ) ( ) ( )p a x b b a
ϕ ϕ
≤ ≤ = −
3.2. Phân phối Poisson:
~ ( )X P
λ
,
λ

>0
3.2.1.
( )
!
k
p k e
k
λ
λ
λ
−
= =
3.2.2.
( ) ( )E x V x
λ
= =
3.3. Phân phối nhị thức:
~ ( , )X B n p
3.3.1.
( ) ( ) , 1
k k n k
n n
p X k p k C p q p q
−
= = = + =
3.3.2.
0
( ) 1
n
k

p X k
=
= =
∑
3.3.3.
( )E x np=
,
0 0
,ModX x np q x np q= − ≤ ≤ +
3.3.4. Khi n=1:
~ (1, )X B p
:phân phối không-một
3.3.4.1.
2
( ) , ( ) , ( )E x p E x p V x pq= = =
3.3.5. Xấp xỉ phân phối nhị thức:
3.3.5.1. Bằng phân phối Poisson:
n
>50,
p
<0.1;
~ ( , ) ~ ( )X B n p X P
λ
≈
,
np
λ
=
.
( )

!
k
k k n k
n
p x k C p q e
k
λ
λ
− −
= = =
3.3.5.2. Bằng phân phối chuẩn:
0.5, 0.5, ,np nq np npq
µ σ
≥ ≥ = =
.
~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq≈
1
( ) ( )
k
p x k f
µ
σ σ
−
= =
; p(
1
k
<X<
2 1
2

) ( ) ( )
k k
k
µ µ
ϕ ϕ
σ σ
− −
= −
3.4. Phân phối siêu bội:
~ ( , , )
A
X H N N n
[N:tổng số phần tử,
A
N
:Số phần tử có tính chất A
trong N, n: số phần tử lấy ngẫu nhiên].Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n.
.
( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
p X k
C
−
−
= =

3.4.1.
( ) ,
A
N
E X np p
N
= =
;
( ) . , 1
1
N n
V X npq q p
N
−
= = −
−
3.4.2. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức:
0.05 ~ ( , )n N X B n p≤ ⇒
;
( ) ,
k k n k
A
n
N
p X k C p q p
N
−
= = =
3.5. Biến ngẫu nhiên 2 chiều: X và Y độc lập
( ). ( )

ij i j
P p x q y⇔ =
với mọi i,j
3.6.Hiệp phương sai và hệ số tương quan:
3.6.1. Hiệp phương sai(cov):
cov( , ) ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y= −
3.6.2. Hệ số tương quan
,X Y
ρ
:
,
cov( , )
( ) ( )
X Y
X Y
X Y
ρ
σ σ
=
PHẦN 2: THỐNG KÊ
1. Tổng thể và mẫu
1.1. Thực hành tính toán trên mẫu:
1.1.1. Tính trung bình (
n
X
):
1
1
n
n i

i
X x
n
=
=
∑
1.1.2. Tính tỷ lệ mẫu: (
n
f
);
A
n
m
f
n
=
(
A
m
:số phần tử mang tính chất A; n: kích thước mẫu)
1.1.3. Tính phương sai mẫu:
2 2 2
1
1
[ ( ) ]
1
k
i i
S n x n X
n

= −
−
∑
1.2. Ước lượng tham số của tổng thể:
1.2.1. Ước lượng điểm:
2 2
( ) , ( ) , ( )
n n
E X E f p E S
µ σ
= = =
1.2.2. Ước lượng khoảng:
1.2.2.1. Ước lượng khoảng cho trung bình: Với độ tin cậy 1-
α
cho trước, 1 mẫu kích
thước n.
30n
≥
,
2
σ
biết
30n
≥
,
2
σ
chưa biết
X
,

σ
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +
2
.u
n
α
σ
ε
=
(
1
α
−
0.5-
2
α

2
u
α
)
X
,s
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +

2
.
s
u
n
α
ε
=
(
1
α
−
0.5-
2
α

2
u
α
)
n
<30,
2
σ
biết
n
<30,
2
σ
chưa biết

Như TH1
X
,s
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +
( 1, )
2
.
n
s
t
n
α
ε
−
=
1.2.2.2. Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy
1
α
−
cho trước, với 1 mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu
n
f
. Tìm 2 số
1 2
,p p
thoả:
1 2

( ) 1p p p p
α
≤ ≤ = −
,
1,2 n
p f
ε
= m
Công thức:
2
(1 )f f
u
n
α
ε
−
=
1.2.2.3. Ước lượng khoảng cho phương sai:Giả sử tổng thể có
2
σ
chưa biết. Dựa vào 1
mẫu kích thước n, với độ tin cậy 1-
α
cho trước.
TH1:
µ
chưa biết, biết
2
S
. Khi đó ta có

2 2
2
2 2
1 2
( 1) ( 1)
[ , ]
n S n S
σ
χ χ
− −
∈
trong đó
2 2
1
( 1, )
2
n
α
χ χ
= −
,
2 2
2
( 1,1 )
2
n
α
χ χ
= − −
TH2:

µ
biết. Khi đó
2
2 2
1 2
( ) ( )
[ , ]
i i i i
n x n x
µ µ
σ
χ χ
− −
∈
∑ ∑
, trong đó
2 2
1
( , )
2
n
α
χ χ
=
,
2 2
2
( ,1 )
2
n

α
χ χ
= −
1.2.3. Kiểm định giả thuyết thống kê:
1.2.3.1. Kiểm định giả thuyết thống kê cho
µ
1.2.3.1.1. TH1:
2
σ
biết
Giả thuyết thống kê
W
α
:
2
σ
biết (miền bác bỏ
0
H
)
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
≠
0
µ

0
{ ,
X
W u n u
α
µ
σ
−
= =
>
2
u
α
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
<
0
µ
0
{
X
W u n
α
µ

σ
−
= =
,u<-
u
α
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
>
0
µ
0
{
X
W u n
α
µ
σ
−
= =
,u>
u
α
}

1.2.3.1.2. TH2:
30n ≥
,
2
σ
không biết
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
≠
0
µ
0
{ ,
X
W u n u
s
α
µ

−
= =
>
2
u
α
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
<
0
µ
0
{
X
W u n
s
α
µ
−
= =
,u<-
u
α
}

0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
>
0
µ
0
{
X
W u n
s
α
µ
−
= =
,u>
u
α
}
1.2.3.1.3. TH3:
n
<30,
2
σ
không biết
Giả thuyết thống kê

W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
≠
0
µ
0
{ ,
X
W t n t
s
α
µ
−
= =
>
( 1, )
2
n
t

α
−
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
<
0
µ
0
{
X
W t n
s
α
µ
−
= =
,
t
<-
( 1, )
2
n
t
α

−
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
>
0
µ
0
{ ,
X
W t n
s
α
µ
−
= =
t
>
( 1, )
2
n
t
α
−
}

1.2.3.2. Kiểm định giả thuyết thống kê cho tỷ lệ:
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
0: 0
H p p=
1:
H p
≠
0
p
0
0 0
{ ,
(1 )
f p
W u u
p p
n
α
−
= =
−
>
2
u

α
}
0: 0
H p p=
1:
H p
<
0
p
0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n
α
−
= =
−
,
u
<-
u
α
}
0: 0
H p p=
1:

H p
>
0
p
0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n
α
−
= =
−
,
u
>
u
α
}
1.2.3.3. Kiểm định giả thuyết thống kê cho phương sai:
1.2.3.3.1. TH1:
µ
chưa biết
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ

0
H
)
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
≠
2
0
σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ
−
= =
,

2
χ
<
2
1
χ
hoặc
2
χ
>
2
2
χ
2 2 2 2
1 2
( 1,1 ) ( 1, )
2 2
,
n n
α α
χ χ χ χ
− − −
= =
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1

:H
σ
<
2
0
σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ
−
= =
,
2
χ
<
2
( 1,1 )n
α
χ
− −
2 2
0 0

:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
>
2
0
σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ
−
= =
,
2
χ
>
2
( 1, )n

α
χ
−
1.2.3.3.2. TH2:
µ
biết.
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
≠
2
0
σ
2
2
2
0

( )
{
i i
n x
W
α
µ
χ
σ
−
= =
∑
,
2
χ
<
2
1
χ
hoặc
2
χ
>
2
2
χ
2 2 2 2
1 2
( ,1 ) ( , )
2 2

,
n n
α α
χ χ χ χ
−
= =
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
<
2
0
σ
2
2
2
0
( )
{
i i
n x
W
α
µ

χ
σ
−
= =
∑
,
2
χ
<
2
( ,1 )n
α
χ
−
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
>
2
0
σ
2
2
2

0
( )
{
i i
n x
W
α
µ
χ
σ
−
= =
∑
,
2
χ
>
2
( , )n
α
χ
1.2.4. So snh 2 tham số của tổng thể:
1.2.4.1. So snh 2 số trung bình:
1.2.4.1.1. TH1:
2 2
1 2
30, 30, ,m n
σ σ
≥ ≥
biết

GTTK
W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ
≠
2 2
2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
−
 
= = >
 
 
+
 
 

0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
−
 
= = < −
 
 
+
 
 
0 1 2
:H

µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
−
 
= = >
 
 
+
 
 
1.2.4.1.2. TH2:
m
<30,
n

<30,
2 2
1 2
,
σ σ
biết, X,Y cĩ phn phối chuẩn
GTTK
W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ
≠
2 2
2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
−
 

= = >
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
−
 
= = < −
 

 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
−
 
= = >
 
 
+

 
 
1.2.4.1.3. TH3:
2 2
1 2
30, 30, ,m n
σ σ
≥ ≥
khơng biết
GTTK
W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ
≠
2 2
2
1 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 

 
−
 
= = >
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 
 
−

 
= = < −
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 
 
−
 
= = >

 
 
+
 
 
1.2.4.1.4. TH4:
m
<30,
n
<30, X,Y cĩ phn phối chuẩn,
2 2
1 2
σ σ
=
khơng biết
GTTK
W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ
≠
2,
2 2
;
1 1

m n
X Y
W t t t
s
m n
α
α
 
+ −
 ÷
 
 
 
−
 
= = >
 
 
 
+
 ÷
 
 
 
( ) ( )
2 2
1 2
2
1 1
2

m s n s
s
m n
− + −
=
+ −
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
( )
2,
2
;
1 1
m n
X Y
W t t t
s
m n
α
α
+ −
 

 
−
 
= = < −
 
 
 
+
 ÷
 
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
( )
2,
2
;
1 1
m n
X Y
W t t t

s
m n
α
α
+ −
 
 
−
 
= = >
 
 
 
+
 ÷
 
 
 
1.2.4.1.5. TH5:
m
<30,
n
<30, X,Y cĩ phn phối chuẩn,
2 2
1 2
σ σ
≠
chưa biết
GTTK
W

α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ
≠
2 2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
2 2
1, 1,
1 2
2 2
1 2
; ; , ; , ;
m n
s s t v t vX Y
W g g t t t t t v v t
m n v v
s s
m n
α
α α
   
− −
 ÷  ÷
   

 
 
+−
 
= = > = = = = =
 
+
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
( )
1 2 ( 1, )
1,
2 2
1 2
; ; ,
n
m
X Y

W g g t t t t t
s s
m n
α α
α
−
−
 
 
−
 
= = < − = =
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
2 2
1 2
;

X Y
W g g t
s s
m n
α
 
 
−
 
= = >
 
 
+
 
 
1.2.4.2. So snh 2 tỷ lệ:
GTTK
W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H
µ µ
≠
( )
1 2 1 2
1 2

2
; ; ,
1 1
1
f f k k
W u u u f f
m n
f f
m n
α α
 
 
−
 
= = > = =
 
 
 
− +
 ÷
 
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ

<
2
µ
( )
1 2
;
1 1
1
f f
W u u u
f f
m n
α α
 
 
−
 
= = < −
 
 
 
− +
 ÷
 
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=

1 1
:H
µ
>
2
µ
( )
1 2
;
1 1
1
f f
W u u u
f f
m n
α α
 
 
−
 
= = >
 
 
 
− +
 ÷
 
 
 
1.2.4.3. So snh 2 phương sai:

GTTK
W
α
2 2
0 1 2
:H
σ σ
=
2 2
1 1 2
:H
σ σ
≠
( )
( )
2
1
2
2
2
2
1
, ; 1, 1 ,
1, 1
s
W g g f hayg f f f m n f
s f n m
α α
α
 

 
= = < > = − − =
 
− −
 
 
2 2
0 1 2
:H
σ σ
=
2 2
1 1 2
:H
σ σ
>
2
1
2
2
, ( 1, 1)
s
W g g f m n
s
α α
 
= = > − −
 
 