DE THI HOC SINH GIOI TOAN 7 CAP TRUONG 2018

phòng GD và ĐT phù yên
Trờng THCS Võ Thị Sáu

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
lớp 7- năm học 2010- 2011
Môn: Toán

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề chính thức

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
(a  b)( x  y )  (a  y )(b  x )
abxy ( xy  ay  ab  by )
A=
1
3
Víi a = 3 ; b = -2 ; x = 2 ; y = 1

Bµi 2: Chøng minh r»ng: NÕu 0 < a1 < a2 < ….. < a9 th×:
a1  a2  ....  a9
 3
a3 a6 a9

Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C. Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5,
các diện tÝch cđa B vµ C tØ lƯ víi 7 vµ 8; A vµ B cã cïng chiỊu dµi vµ tỉng các chiều rộng
của chúng là 27m. B và C có cùng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. HÃy tính
diện tích của mỗi mảnh đất đó.
Bài 4: Cho 2 biÓu thøc:
4x  7
3x 2  9 x 2

x 3
A= x 2 ; B =

a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên
b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên.
Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự
hai ®iĨm D vµ E sao cho BD = CE
a) Chøng minh tam giác ADE là tam giác cân.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE
c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD vµ AE. Chøng minh BH = CK
d) Chøng minh 3 đờng thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm.

phòng GD và ĐT phù yên
Trờng THCS Võ Thị Sáu

kì thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
lớp 7- năm học 2010- 2011
Môn: Toán

Đáp án và thang điểm
Bài

Cách giải

Điểm
TP

Điểm
toàn bài

(a  b)( x  y )  (a  y )(b  x)
abxy ( xy  ay  ab  by )
A=
a ( x  y )  b( x  y )  a (b  x)  y (b  x )
abxy ( xy  ay  ab  by )
=

1

0,5
0,5

 ax  ay  bx  by  ab  ax  by  xy
abxy ( xy  ay  ab  by )
=
 ay  bx  ab  xy
= abxy( xy  ay  ab  by )

0,5
0,25
0,25

 ( xy  ay  ab  by )
= abxy( xy  ay  ab  by )
1
= abxy

0,5

1
1
3
1
3
(  2)  1
2
Víi a = 3 ; b = -2 ; x = 2 ; y = 1 ta đợc: A = 3

2

1

Ta có: 0 < a1 < a2 < ….. < a9 nªn suy ra:
a1 + a2 + a3 < 3a3 (1)
a4 + a5 + a6 < 3a6 (2)
a7 + a8 + a9 < 3a9 (3)
Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta đợc:
a1 + a2 + ….. + a9 < 3(a3 + a6 + a9)

a1  a2  ....  a9
 3
a

a

a
3
6
9

V× a1 + a2 + ….. + a9 > 0 nªn ta đợc:

Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng của các mảnh ®Êt A, B, C
theo thø tù lµ SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC.
Theo bµi ra ta cã:
SA 4
SB 7


S B 5 ; SC 8 ; d = d ; r + r = 27(m) ; r = r ; d = 24(m)
A
B
A
B
B
C
C

Hai hình chữ nhật A và B có cùng chiều dài nên các diện tích
của chúng tØ lƯ thn víi c¸c chiỊu réng. Ta cã:
3

S A 4 rA
rA rB rA  rB 27
 
 
 3
S B 5 rB  4 5
45
9

 rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC

Hai hình chữ nhật B và C có cùng chiều rộng nên các diện tích
của chúng tỉ lệ thuận với các chiều dài. Ta có:
SB 7 d B
7 dC 7.24
 

21
SC 8 d C  d = 8
8
(m) = dA
B

Do ®ã: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m2)
SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m2)
SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m2)
4

2,5

4 x  7 4( x  2) 1
1
4 
x 2
x 2
a) Ta cã: A = x  2 =


Với x Z thì x - 2 Z.

1
Để A nguyên thì x 2 nguyên. x - 2 là íc cđa 1

Ta cã: x - 2 = 1 hc x - 2 = -1. Do ®ã: x = 3 hc x = 1

0,25
0,25
0,25

2

0,75
0,5
0,25
0,5

1
0,25

4,5

1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5

3

Vậy để A nguyên thì x = 3 hoặc x = 1

0,5

2

3x  9 x  2
3 x( x  3)  2
2
3 x 
x 3
x 3
x 3
+) B =
=


Víi x Z thì x - 3 Z.
2
Để B nguyên thì x 3 nguyên. x - 3 là ớc cđa 2
Ta cã: x - 3 =  2 hc x - 3 = 1.

5

Do ®ã x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2
Vậy để B nguyên thì x = 5 hoặc x = 1 hc x = 4 hc x = 2
b) Từ câu a) suy ra: Để A và B cùng nguyên thì x = 1
A

ABC có AB = AC.
GT DB = CE (D tia ®èi cđa CB; E
tia ®èi cđa BC)
H
K
a) ADE c©n
M
b) MB = MC, chøng minh AM
D
B
C E
KL là tia phân giác góc DAE
O
c) BH AD = H; CKAE = K
chøng minh: BH = CK
d) AMBHCK t¹i 1 điểm

0,25
0,5
0,5

8

0,5

Chứng minh:


a) ABC cân có AB = AC nên: C C



Suy ra: D CE
XÐt  ABD vµ  ACE cã:
AB = AC (gt)
 D 
 CE

(CM trªn)

DB = CE (gt)
Do ®ã  ABD =  ACE (c - g - c)
AD = AE (2 cạnh tơng ứng). Vậy ADE cân tại A.
b) Xét AMD và AME có:
MD = ME (Do DB = CE vµ MB = MC theo gt)
AM: Cạnh chung
AD = AE (CM trên)
Do đó AMD = AME (c - c - c)


 MAD
MAE
.

VËy AM lµ tia phân giác của DAE
c) Vì ADE cân tại A (CM câu a)). Nên ADE AED
Xét BHD và CKE cã:


BDH
CEK

(Do ADE AED )

DB = CE (gt)
 BHD = CKE (Cạnh huyền- góc nhọn)
Do đó: BH = CK.
d) Gọi giao ®iĨm cđa BH vµ CK lµ O.
XÐt AHO vµ AKO cã:
OA: C¹nh chung
AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (v× BHD = CKE ))
 AHO = AKO (Cạnh huyền- Cạnh góc vuông)



Do đó OAH OAK nên AO là tia phân giác của KAH
hay AO là

0,5

1
0,5

1
0,5
0,25

1
0,5
0,25

1

0,25
0,75



tia phân giác của DAE
.

Mặt khác theo câu b) AM là tia phân giác của DAE
.
Do đó AO AM, suy ra 3 đờng thẳng AM; BH; CK cắt nhau t¹i
O.