cac cau 5 de thi vao 10

CÂU 5 CỦA ĐỀ THI CÁC TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Với x > 0, ta có:
A 4 x 

A 4 x 

1 4 x 3

 2016
4x
x 1
với x > 0.

1 4 x 3
1
4 x 3

 2016 (4 x  2  )  (4 
)  2014
4x
x 1
4x
x 1


1
1   4 x  4 x 1
 (2 x ) 2  2.2 x


  2014
 
x 1
2 x (2 x ) 2  


1

(2 x 

2 x

)2 

(2 x  1) 2
 2014 2014
x 1

1

0
1
2 x 
2 x
 min A 2014  
 x
4
 2 x  1 0

1

1
1
1


 .... 
2 3
3 4
120  121
2. Cho A = 1  2
1
1
1
 .... 
2
35
B=

Chứng minh rằng: B > A
1
1
1
1


 .... 
2 3
3 4
120  121 =
Ta có: A = 1  2

1 2
2 3

 .... 
1 2 1 2
2 3
2 3

=





 





120  121



120  121

1 2
2 3
120  121


 .... 
1
1
= 1
= 2  1  3  2  .......  121  120 = - 1 + 11 = 10
1
2
2


2 k  1  k
*
k k
k  k 1
Với mọi k  N , ta có: k
1
1
1
 .... 
2
35
Do đó: B =





 B 2  1 2 

2 3

3  4  ..... 

35  36

 = 2 



120  121



(1)





1  36 2   1  6  10

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: B > A
3. Cho biểu thức A = (4x5 + 4x4  5x3 + 5x  2)2014 + 2015. Tính giá trị của biểu thức A khi x =

1
2

√

√ 2−1
√ 2+1


1
Ta có: x = 2

√

2

√

( √2−1 )
1
√ 2−1
√2−1
2
( √ 2+1 ) . ( √ 2−1 ) =
2
√ 2+1 =
3−2 √2
5 √ 2−7

17−12 √ 2
29 √2−41
4
8
 x2 =

; x3 = x.x2 =
; x4 (x2)2 = 16
; x5 = x.x4 = 32
29 √2−41+34−24 √2−25 √ 2+35+20 √ 2−20−16
=−1
8
Do đó: 4x5 + 4x4  5x3 + 5x  2 =
Vậy A = (4x5 + 4x4  5x3 + 5x  2)2014 + 2015 = (1)2014 + 2015 = 1 + 2015 = 2016
3
2
4. Giải phương trình x +6 x +5 x−3−(2 x+5 ) √ 2 x +3=0

3

2

Giải phương trình x +6 x +5 x−3−(2 x+5 ) √ 2 x +3=0 (1)
3

ĐKXĐ :

x≥

−3
2

2

x +6 x +5 x−3−(2 x+5) √ 2 x +3=0
⇔ x 3 +4 x 2 +5 x−3−(2 x+5 )( x+1)−(2 x +5 )( √2 x+3−x−1 )=0

x 2 −2
⇔ x 3 +4 x 2−2 x−8+(2 x+5 ).
=0
x +1+ √ 2 x +3
x 2−2
⇔(x 2 −2)( x +4 )+(2 x +5 ).
=0
x+1+ √ 2 x+3
2 x +5
⇔(x 2 −2) x+4+
=0
x +1+ √ 2 x +3

(

Với
Nên

x≥

−3
2

)

(

thì : x +4 +

2 x +5

>0
x +1+ √ 2 x+3

)

x2 −2 =0 ⇔
¿ [ x =√ 2 [ ¿
[ x =− √ 2

Thay vào PT (1)

x=√ 2 thỏa mãn

Cách khác
x3  6 x 2 5 x  3   2 x  5  2 x  3 0

Câu 5
Khi đó viết lại PT đã cho như sau:

x

3

ĐKXĐ:

x 

3
2

 3 x 2  3 x  1  3 x 2  2 x  1  2  x  1  2 x  3 2 x  3  3  2 x  3   2 2 x  3

 

3



2

  x  1  3  x  1  2  x  1  2 x  3 2 x  3  3  2 x  3   2 2 x  3  1

Đặt

 a x  1


b  2 x  3


 a 

b 0

1
3

2  x    
2


1  a 3  3a 2  2a b3  3b 2  2b  2 
Khi đó:  


  a  b  a 2  ab  b 2  3a  3b  2 0





 a b
 2
2
 a  ab  b  3a  3b  2 0  3
2  a  a  1  a  2  b3  3b2  2b
Mặt khác:  

 a 0
b 0  b3  3b 2  2b 0  a  a  1  a  2  0  
  2 a  1
Do
   a 0
 3
a, b 0

Kết hợp với

. Từ đó suy ra

vơ nghiệm (vì

 x  1
a b  x  1  2 x  3   2

x

2
x

1

2
x

3


+ Với
S 2

Vậy tập nghiệm của PT là

)

 x  1
 x 2
 2
 x 2
(thỏa mãn)

 

5. Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn : x + 2y £ 3
S = x +3 + 2 y +3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
0 £ (a - b) 2 Û 2ab £ a 2 + b 2 Û ab £

Từ
Dấu = xảy ra khi a = b

Nên

2. x + 3 £

Do đó

2S £

a 2 + b2
2

4 + x +3
8 + 2y + 6
4 y + 3 = 2 2. 2y + 6 £
2
2
và

x + 7 + 2y +14

£ 12 Û S £ 6
2

ìï 2 = x + 3
ïï
ìï x =1
ï
Û í 2 2 = 2y + 6 Û ïí
ïï
ïỵï y =1
ïï x + 2y = 3
ïỵ
Dấu = xảy ra
vậy max S = 6.
6. Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
x  y
x  y


S  2

x  y2
xy
S 
Ta có:

 x  y

2

x2  y2



 x  y

2

xy

2 xy
x2  y 2
 1+ 2

2
x  y2
xy
 2 xy
x2  y 2  x 2  y 2
 3+  2


2
2 xy 
2 xy
x y
Do x; y là các số dương suy ra

2 xy
x2  y2
2 xy x 2  y 2

2 2
.
2
x2  y 2
2 xy
x  y 2 2 xy
2

;«=»

2

2
2
x y
2 xy
 2
  x 2  y 2  4 x 2 y 2   x 2  y 2  0
2
2 xy
x y
2
2
x  y  x  y ( x; y  0)



x2  y 2
x  y 2 xy 
1
2 xy
;« = »  x  y
Cộng các bđt ta được S 6
S 6  x  y .Vậy Min S = 6 khi và chỉ khi x = y
2

2

7. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z . Chứng minh rằng:

x

2

 1
1 1  27
 y2  z2   2  2  2  
y
z  2
x

 1 1 1 
x2  y 2
1  x2 y2
2 1

VT  x 2  y 2  z 2   2  2  2  3 

z

 2 2
 2
2
2 
x
y
z
z
x
y
y
x




Ta có:

x2 y 2
x2 y2


2
. 2 2
2
2

2
y
x
y
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:
 x2
z2   y2
z 2  15 z 2  1
1 
VT 5   2 



 2
 2 2
2 
2 
y 
 z 16 x   z 16 y  16  x
x2
z2
x2 z 2
1


2
.

2

2
2
2
z 16 x
2
Lại áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: z 16 x

y2
z2
y2 z2
1

2 2 .

2
2
2
z 16 y
z 16 y
2
1
1
2
2
8
 2 

2
2
2

x
y
xy  x  y 
( x  y)2
15 z 2  1
1  15 z 2
8
15  z  15
.
 
 2  2
 
2


16
x
y
16
(
x

y
)
2
x

y
2
2







Và
nên
(vì x  y  z )
1 1 15 27
z
VT 5    
x y 
2 2 2
2 . Đẳng thức xảy ra khi
2 .
Suy ra :
 1 1 1  27
x2  y 2  z 2  2  2  2  
y
z  2 .
x
Vậy





8. Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 4.
1

1
 1
Chứng minh rằng xy xz

Hướng dẫn:
Vì x + y + z = 4 nên suy ra x = 4 – (y + z)


1 1
1 1 1
1 1
 1     1    x
x y z
y z
Mặt khác: xy xz
do x dương. (*)

Thay x = 4 – (y + z) vào (*) ta có :
1 1
1
1
 4   y  z    2  y   2  z 0 
y z
y
z

 1


y



2

  1
y  

  z


2


z  0


Luôn đúng với mọi x, y, z dương, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : y = z = 1, x = 2.

9. Giải hệ phương trình
 x 2  2 y 2  3xy  2 x  4 y 0
 2
2
 x  5 2 x  2 y  5





 x 2  2y 2  3xy  2x  4y 0
(1)

 2
2
(2)
(x  5) 2x  2y  5
x

 y 2

Từ (1)  (x-2y) (x-y-2) = 0   y x  2
x
y
2
2
2 thì (2)  (x  5) x  5 . Đặt x2 – 5 = a nên ta có hệ phương trình :
*Xét
 x 2  5 a
 a x
 2

a x  5 suy ra x2 – a2 -5= a-x – 5  (a-x)(a+x+1) = 0   a  x  1 .

- Khi a = x ta có phương trình x2 – x – 5 = 0
1  21
x1,2 
 y1,2 1  21
2

- Khi a = -x-1 thì ta có phương trình x2 + x – 4 = 0
x 3,4 

 1  17
 3  17
 y3,4 
2
2
.

2
2
* Xét y = x-2 thì (2)  (x  5) 9

 x 2  5 3  x 2 8  x 2 2  y 2 2  2

2
 x  5  3  x  2  y  2  2

Vậy hệ phương trình đã cho có 8 nghiệm…
3
2
10.Giải phương trình : 4 x  25 x  43 x  x 3x  2 22  3x  2.

Cách 1
+ ĐKXĐ:

3x  2 0  x 

2
3 (*)

2

+ Biến đổi phương trình đã cho trở thành: (x  1)(4x  21x  22  3x  2) 0

 x 1 thỏa mãn điều kiện (*) hoặc 4x 2  21x  22  3x  2 0 (1)
2
+ Biến đổi (1) trở thành 3x  2 21x  22  4x


 3x  2  21x  22  4x 2





2

2
(Điều kiện 21x  22  4x 0(**) )

 16 x 4  168 x 3  617 x 2  927 x  486 0

 (4 x 2  19 x  18)(4 x 2  23 x  27) 0  4 x 2  19 x  18 0 hoặc 4 x 2  23 x  27 0
19  73
23  97
 x
x
8
8
hoặc
19  73
23  97

 x
;x 
8
8
+ Kiểm tra các giá trị của x, ta thấy
thỏa mãn (*) và (**)
 19  73 23  97 
;
1;

8
8


 .
+ Kết luận: tập nghiệm của phương trình đã cho là

Cách 2
+ ĐKXĐ:

3x  2 0  x 

2
3 (*)

2
+ Biến đổi phương trình đã cho trở thành: (x  1)(4x  21x  22  3x  2) 0

 x 1 thỏa mãn điều kiện (*) hoặc 4x 2  21x  22  3x  2 0 (1)
2

+ Biến đổi (1) trở thành 4x  19 x  18 (2 x  4)  3x  2
 4x 2  19 x  18 (2 x  4) 

 4x 2  19 x  18 

3x  2 

(2 x  4) 2  ( 3x  2) 2
(2 x  4)  3x  2 (Nhân liên hợp, do điều kiện (*))

x 2  19 x  18
(2 x  4)  3x  2

 4 x 2  19 x  18 0 hoặc (2 x  4)  3x  2 = 1
19  73
 x
8
hoặc 3x  2 5  2x (2)

+ Giải (2) được

x

23 

97
8

19  73
23  97

 x
;x 
8
8
+ Kiểm tra các giá trị của x, ta thấy
thỏa mãn (*) và (**)

 19  73 23  97 

;
1;

8
8



.
+ Kết luận: tập nghiệm của phương trình đã cho là

Cách 3
+ ĐKXĐ:

3x  2 0  x 

2
3 (*)

2
+ Biến đổi phương trình đã cho trở thành: (x  1)(4x  21x  22  3x  2) 0

 x 1 thỏa mãn điều kiện (*) hoặc 4x 2  21x  22  3x  2 0 (1)
2
+ Biến đổi (1) trở thành 4x  19 x  18 (2 x  4)  3x  2
 4x 2  23 x  27 (5  2 x) 

3x  2 

(5  2 x) 2  ( 3x  2) 2
(5  2 x)  3x  2 (Nhân liên hợp, do điều kiện (*))


 4x 2  23 x  27 

4x 2  23 x  27
(5  2 x)  3x  2

 4x 2  23x  27 0 hoặc 5  2 x  3x  2 = 1
23  96
 x
8
hoặc 3x  2 2 x  4 (2)

19  73
x
8
+ Giải (2) được
19  73
23  97
 x

;x 
8
8
+ Kiểm tra các giá trị của x, ta thấy
thỏa mãn (*) và (**)
 19  73 23  97 
;
1;

8
8

 .

+ Kết luận: tập nghiệm của phương trình đã cho là

11. Cho hai số dương x, y thỏa xy=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 9
26
 
P = x y 3x  y
27
3 9
6

xy
x
y
Áp dụng bđt Cosi ta có:
2

(1)
26
13
26
13
 

3x  y
3 (2)
3x+y 2 3xy 6  3 x  y 3
3 9
26
3 9
26
13
5
 
 

x
y
3
x

y
x
y
3
x


y
Từ (1) và (2) suy ra:P=
6 3 P=
3
3 x  y
 x 1( x  0)
5


Vậy MinP= 3 khi  xy 3  y 3

12.Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện:
5a 2  2abc  4b 2  3c 2 60

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = a + b + c
2

2

2

2

2

2

2

Ta có 5a  4b  3c  2abc 60 suy ra 4b  60 và 3c  60  b <15.và c <20

 15  b 2 > 0.và 20 - c2 >0
2
2
2
Xét phương trình ẩn a: 5a  2abc  4b  3c  60 0
Có:

Δ=b 2c 2 -5(4b 2 +3c 2 -60) = b 2c 2  20b 2 -15c 2  300
Δ 20(15  b 2 )  c 2 ( 15 - b 2 ) (15  b 2 )(20  c 2 )  0

 bc 
a 
 1


 bc 
a2 
Phương trình có hai nghiệm: 
Với

a

 bc 

 15  b   20 
2

5

c2 

 15  b   20  c 
2

5

 15  b   20  c   0
2

5

 bc 


2

2

( a2  0 loại )

1
(15  b 2  20  c 2 ) 35   b  c  2
2

5
10


2

2

35   b  c   10  b  c  60   b  c  5 
a b c 

6
10
10
Từ đó suy ra:

 y  z 5
 y  z 5


  x 1

 x  y  z 6
15  y 2 20  z 2
 z  y 1

Vậy GTNN của A = 6 đạt được khi: 

 x 1

 y 2
 z 3


a2

b2
c2


12
13. Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh: b  1 c  1 a  1
.

Với a, b, c là các số lớn hơn 1, áp dụng BĐT Cơ-si ta có:
a2
b2
 4  b  1 4 a
 4  c  1 4 b
b 1
. (1) c  1
(2)
c2
 4  a  1 4c
a 1
(3)
a2
b2
c2


12
Từ (1), (2) và (3) suy ra b  1 c  1 a  1
.