DE THI HSG LOP 9 2017 CO DA

PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN
TRƯỜNG THCS TT TÂY SƠN
Đề thi chính thức

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG
Năm học: 2017 - 2018
Đề thi mơn: Tốn 9
Thời gian làm bài: 120' (không kể thời gian giao
đề)

Bài 1: (4,0 điểm)
P

x



2
x2

x  2 x ( x  1)( x  2 x )

x x
Cho biểu thức:
a. Rút gọn P .
b. Tính P khi x 3  2 2 .
c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (4,0 điểm)

Giai các phương trình
2

a) x  10 x  27  6  x  x  4

b)

x 2  12  5 3x  x 2  5

Bài 3: (4,0 điểm)
2
a. Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y  2 xy  3 x  2 0
3

 x  1
 3  2x
1
1


  3 3 
3
(
x

1)
y
y
x

1
x


1;
y

0



b. Cho
, chứng minh:

x

y

Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao
điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vng góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung
điểm của EF.
a) Chứng minh: CM vng góc với EF.
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC là 3a 2

Bài 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c 3 . Chứng
minh rằng:
a 1 b 1 c 1


3
1  b2 1  c2 1  a 2

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
Bài 1: (4,0 đ)
Câ
u

x
2
x2


x ( x  1)
x ( x  2)
x ( x  1)( x  2)

P

a
2đ

b.
1đ

c
1đ

Nội dung cần đạt



x( x  2)  2( x  1)  x  2 x x  2 x  2 x  2  x  2

x ( x  1)( x  2)
x ( x  1)( x  2)



x x  2x  2 x  x
x ( x  1)( x  2) ( x  1)


x ( x  1)( x  2)
x ( x  1)( x  2) ( x  1)

x 3  2 2 

x  2  2 2  1  ( 2  1) 2  2  1

( x  1)
2 1 1
2 2


1  2
( x  1)
2 1  1
2
ĐK: x  0; x 1 :
P

P

( x  1)
x  1 2
2

1 
( x  1)
x1
x1

Học sinh lập luận để tìm ra x 4 hoặc x 9
Bài 2: (4,0đ)
Câu
1.

Nội dung
ĐK: 4 x 6 :

2
2
(2,0đ) VT x  10 x  27 ( x  5)  2 2 , dấu “=” xẩy ra  x 5

VP  6  x  x  4  (12  12 )(( 6  x )2  ( x  4) 2 )  VP 2 , dấu “=” xẩy ra


1
1

 6  x  x  4  x 5

6 x
x 4

VT VP  x 5 (TMĐK), Vậy nghiệm của phương trình: x 5

2.
(2,0đ)

Để phương trình có nghiệm thì :
2

x 2  12 

2

x  12  4 3 x  6  x  5  3 

x2
  x  2 

2
x

12

4


x 1

x 2  5 3 x  5 0  x 

x2  4
x 2  12  4

3  x  2  


 3  0  x 2
x2  5  3 

5
3

x2  4
x2  5  3


x2



x2

2
x2  5  3
Dễ dàng chứng minh được x  12  4
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

 3  0, x 

5
3

Bài 3: (4,0đ)
Nội dung
2

y  2 xy  3x  2 0  x  2 xy  y x 2  3x  2  ( x  y ) 2 ( x  1)( x  2)

Câua

2

2

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp

2,0đ
 x  1 0


x

2

0

nên phải có 1 số bằng 0.

 x  1  y 1
 x  2  y 2


Vậy có 2 cặp số nguyên ( x; y ) ( 1;1) hoặc ( x; y ) ( 2; 2)
x  1; y  0

 x  1  0; y  0 

1
x 1
1
 0;
 0; 3  0
3
( x  1)
y
y

Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương:
Câub
(2,0đ

1
1
1
3
 1  1 3. 3
.1.1 


2
3
3
3
( x  1)
( x  1)
( x  1)
x 1
3

3

(1)

3

 x  1
 x  1
 x  1  3( x  1)
2

  1  1 3 3 
 .1.1  
 
y
 y 
 y 
 y 
1
1

1 3
 1  1 3. 3 3 .1.1  3   2
3
y
y
y
y

(3)

Từ (1); (2); (3):
3

 x  1
1
1
3
3( x  1) 3

 6

  3
3
( x  1)  y  y
x 1
y
y
3

 x  1

1
1 3  6 x  6 3x
3  2x x


 3(
 )
  3
3
( x  1)  y  y
x 1
y
x 1 y

Bài 4: : (6,0đ)
Câu
a(2,0đ)

(*)

Nội dung

(2)


E
M

A

N

D

B

F

C

Ta có:
∠ ECD =∠BCF

(cùng phụ với ∠ ECB )

Chứng minh được:  EDC =  FBC (cạnh góc vng – góc nhọn)

 CE = CF
  ECF cân tại C
Mà CM là đường trung tuyến nên CM  EF

b

Vì  EDC =  FBC  ED = FB

(2,0đ)

 NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:
BC2 = NB.BF  a2 = NB.DE (đpcm)
*  CEF vng tại C có CM là đường trung tuyến nên

 AEF vng tại A có AM là đường trung tuyến nên

CM 
AM 

EF
2

EF
2

 CM = AM  M thuộc đường trung trực của AC.
Vì ABCD là hình vng nên B, D thuộc đường trung trực của AC

 B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm).
1
c(2,0đ)
AF  AE  CB 
SACFE = SACF + SAEF = 2

1
 (AB  BF)  AE  AD 
2
1
 (a  x).DE
2
1
 (a  x)x
2

SACFE = 3.SABCD



1
(a  x)x 3a 2  6a 2  ax  x 2 0
2


 (2a  x)(3a  x) 0
Do x > 0; a > 0  3a + x > 0  2a  x 0  x = 2a

 A là trung điểm của DE  AE = a

AN AE

1
Vì AE //BC nên NB BC
 N là trung điểm của AB.
Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

Bài 5
(2 đ)

Theo Cơsi ta có:

1  b 2 2b

nên:

a 1
b2 (a  1)
b2 (a  1)
ab  b

(
a

1)


(
a

1)

a  1 
2
2
1 b
b 1
2b
2


a 1
ab  b
a  1 
2
1 b

2

Tương tự ta có:
b 1
bc  c
b  1 
2
1c
2
c 1
ca  a
c  1 
2
1a
2

(2)

(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
a  1 b 1 c 1
a  b  c  ab  bc  ca


3 
2
2
2
1b 1c 1a
2

2

Mặt khác:


3(ab  bc  ca)  a  b  c  9 

a  1 b 1 c 1


3
1  b2 1  c 2 1  a2

Nên (*)
Dấu "=" xảy ra khi

a b c 1

(*)

a  b  c  ab  bc  ca
0
2

(đpcm)