14 HSG Toan 9 Phan 8

“Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm
“Bờ bến”.
Bộ đề thi HSG Toán 9 các Tỉnh, TP. HCM – Hà Nội
Phần 8
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học 2010 - 2011
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 1
Câu I.
2
1) Cho pt: x  2m x  2m  1 0. Chứng minh pt ln có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
2x x  3
P 2 2 1 2
x1  x2  2(1  x1 x2 ) khi m thay đổi.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 1 1
  .
a
b c CMR: A  a 2  b2  c2 là số hữu tỉ.
2) a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn
b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. CMR :
Câu II. .

2

B

1
1
1


2
2
(x  y) (y  z) (z  x)2 số hữu tỉ.

2

 x   x  10

 
  .
x

1
x

1
9




1) Giải phương trình:

 2
1
1
 x  x   1   4
y
y


2
 x 3  x  x  1 4.

y 2 y y3
2) Giải hệ phương trình: 
Câu III. Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE

cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính BPE.
Câu IV. Cho đường trịn tâm O và dây cung AB cố định ( O  AB ). P là điểm di
động trên đoạn thẳng AB ( P  A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P
tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O)
tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N  P ).


1) Chứng minh rằng ANP BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh rằng đường trung trực đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Câu V.
1. Cho a1 , a2 ,...., a45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1  a2  ....  a45 130. Đặt
d j a j 1  a j , ( j 1,2,...,44).
d
Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu j xuất hiện ít nhất 10 lần.

2
2
2
2
2
2
2. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a  b  b  c  c  a  2011.
a2
b2
c2
1



Chứng minh rằng: b  c c  a a  b 2

2011
.
2

.......................... HẾT ............................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 - 2017
Mơn thi: TỐN

Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

Đề số 2
Bài 1. (4,0 điểm)

P

x
( x  y )(1 



y
xy

( x  y )( x  1) ( x  1)(1 

y)
Cho biểu thức:
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2.

y)

Bài 2. (4,0 điểm)
2
1. Tìm m để phương trình ( x  1)( x  3)( x  5) m có 4 nghiệm phân biệt

1 1 1 1
    1

x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 x3 x4

 x 2 2  xy 2
 2
y 2  x 2 y
2. Giải hệ phương trình : 
Bài 3. (4 điểm)
1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60.
3
3
3
2 2 2
2. Cho x, y, z là các số dương khác nhau đôi một và x  y  z chia hết cho x y z . Tìm
3
3
3
2 2 2
thương của phép chia x  y  z : x y z

Bài 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các tiếp tuyến tại
B và C của (O) cắt nhau tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC và AC lần lượt
tại M, N.
1. Chứng minh tứ giác BONC nội tiếp và tam giác ANB cân.
2. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại I, BI cắt DM tại K. Chứng minh K là trung điểm
của DM.
3. Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P sao cho IP // DN, AP cắt BC tại Q. Gọi G là trung điểm
của DK. Chứng minh ba điểm Q, I, G thẳng hàng.
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : 0  x, y , z 2 và x + y + z = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức : A  x  y  z .
------HẾT------


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUÃNG NGÃI

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 3
Bài 1:(4 điểm)
a) Cho a; b là hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn 2a 2 + a = 3b2 + b.
a b
Chứng minh 2a+2b+1 là phân số tối giản.

b) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn: 15x2 − 7y2 = 9
Bài 2: (4 điểm)
a) Cho



3
3
x 
2

2 ; x≠0 và

3  2x 

3  2x a .

6  2 9  4x 2
P
x
Tính giá trị biểu thức
theo a.
1
1
1


2
b) Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn 1  a 1  b 1  c
.

Tìm giá trị lớn nhất của Q =abc
Bài 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình:

 x  1  x  2   4  x  1

x 2
12
x 1
.



1 
1 
2 x 1
2 y 1
 3
 1
x

y
x

y




b) Giải hệ phương trình:
và
.

Bài 4: (6 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB cố định. EF là dây cung di động trên nửa
EF=

AB
R
2

. Gọi H là giao điểm của AF và BE; C

đường trịn đó, sao cho E thuộc cung AF và
là giao điểm của AE và BF; I là giao điểm của CH và AB.
·

a) Tính số đo CIF
b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC + BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động trên
nửa đường trịn.
c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường trịn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính
diện tích lớn nhất đó theo R.
Bài 5: (2 điểm)
Tìm cạnh của hình vng nhỏ nhất, biết rằng: hình vng đó chứa 5 đường trịn có bán
kính bằng 1 và 5 đường trịn này đơi một khơng có q 1 điểm chung.
--------------Hết-------------


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2014 - 2015
Mơn thi: TỐN – Bảng A
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

Đề số 4
Câu 1. (4 điểm):
a. Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điểu kiện: a2 + a = 2b2 + b.
Chứng monh rằng a – b và a + b + 1 đều là các sơ chính phương.

b. Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của n hợp số nhưng không
thể viết được thành tổng của n + 1 hợp số.
Câu 2. (5 điểm):
2
2
a. Giải phương trình: 6 x  1  9 x  1 6 x  9 x
2
2

 x  y  xy 2
 2
2
b. Giải hệ phương trình:  x  y 2 x  4 y

Câu 3. (3 điểm):
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: abc = 1.
1
1
1


Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 .

Câu 4. (6 điểm):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC của đường
tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M
qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a. Ba điểm D, E, F thẳng hàng .
AB AC BC



b. MF ME MD

Câu 5. (2 điểm):
Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng
6 cm. Chứng mỉnhằng có thể vẽ được một hình trịn đường kính bằng 3 cm chứa ít nhất 11 điểm
trong số các điểm đã cho.
............Hết...........


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 5
Câu 1. (5,0 điểm)
3
3
1) Tính giá trị của biểu thức A  26  15 3  26  15 3 .

 a 2 2 
a 2
a  7   3 a  2 1
P 



 . 
 : 
3
11

a
3

a

2
a

3
a

2

2

 
 
2) Rút gọn biểu thức

1 

a  2 
.

Câu 2. (4,0 điểm)
3
2
1) Giải phương trình: 3 x  8 2 x  3 x  10 .

2) Giải hệ phương trình sau:

2
2
 x  y  xy  1 4 y
 2
( x  1)( x  y  2)  y

.

Câu 3. (4,0 điểm)
2
1. Cho hàm số y x . Tìm các giá trị của m để đường thẳng  có phương trình y  x  m
4
4
cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) thoả mãn: ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) 18 .

2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện
20abc  30( ab  bc  ca)  21abc

Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vng tại A (ABBC. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M và N. OA và MN cắt nhau tại D.
1) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.

1
1
1


2) Chứng minh : AD HB HC .

3) Cho AB=3 và AC=4. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BMN.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho ba số dương a, b và c thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
1
 2
 2

2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2 .
2

---------------Hết----------------


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HÀ NAM

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học: 2010 - 2011
Môn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 6
Bài 1.(6 điểm)

A

6  2 5  13  48
3 1

1. Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.

2
2
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y  A x(A  x)(A  x )

2. Gọi d1 ,d 2 là các đường thẳng lần lượt có phương trình:

d1 :y 2x  3m  2 và d 2 : y (m 2  m)x  4
a) Tìm m để hai đường thẳng d1 ,d 2 song song.
b) Tuỳ theo giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2

B  2x  y  3m  2    (m 2  m)x  y  4 

2

Bài 2.(6 điểm)

2(x 2  2) 3



x 3  8  2x



1. Giải phương trình:
2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

x 4  3x 3  (2m  1)x 2   3m  1 x  m 2  m 0
Bài 3.(1 điểm)



 



 x 2 y  1  x  y 2 x  1  y 0

 x 3  y3 16
Giải hệ phương trình : 
Bài 4.(6 điểm)
Cho 3 điểm cố định A, B, C phân biệt và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường trịn (O) đi qua

B và C (O không thuộc BC). Qua A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến đường tròn (O) (E và F là
các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, N là trung điểm của đoạn thẳng EF.
1. Chứng minh rằng: E và F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
2. Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E’. Chứng minh tứ giác BCE’E là hình thang.
3. Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng
cố định khi đường tròn (O) thay đổi.


Bài 5.(1 điểm)
Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho

AM.BC  BM.CA  CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất.
…………… Hết ……………..
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
ĐĂK NƠNG
NĂM HỌC 2010 - 2011
Mơn thi: TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề
Đề số 7
Bài 1: (4,0 điểm)
 2 x 2 x
4x 
x3
A 


.
 :

2 x 2 x x 4 2 x  x

1) Cho biểu thức
Tìm điều kiện của x để A > 0.
2
x
1
1

2 1  1
2 1 1
2) Cho
4
3
2
2011
Tính giá trị của biểu thức: B ( x  x  x  2 x  1)

Bài 2: (4,0 điểm)
1) Giải phương trình:

√ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+ √ x 2+ 2 x −3

.

2

 x  2 y  1 0
 2
 y  2 z  1 0

 z 2  2 x  1 0.
2) Cho x, y z là nghiệm của hệ phương trình: 
10
3
2011
Tính giá trị của biểu thức: C x  y  z .

Bài 3: (4,0 điểm)
1) Tìm các cặp số ( a, b) thỏa mãn hệ thức: a  b  2011  a  b  2011 .
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: n2 – 14n + 38 là một số chính phương.
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho đường trịn tâm O, hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. E là một điểm nằm
trên cung nhỏ AD . Nối CE cắt OA tại M và nối BE cắt OD tại N.
1) Chứng minh: AM .ED  2OM .EA
OM ON

2) Chứng minh tích AM DN là một hằng số. Từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng
OM ON

AM DN , khi đó cho biết vị trí của điểm E?

Bài 5: (3,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:


a 3  b3  c 3 a 2  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2 9



 .

2abc
ab  c 2 bc  a 2 ca  b 2 2
--------HẾT--------

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TP. HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP
NĂM HỌC 2014 - 2015
Mơn Tốn
(Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề)
---------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 8
Câu 1 (2 điểm):
4
a) Phân tích đa thức thành nhân tử : f ( x )  x  4 x  3

b) Chứng minh đẳng thức:

3
1+ √
2

+

3
1− √

2

√3 1 − 1 − √3
1+ 1+

√

2

√

=1

2

Câu 2 (2 điểm):
a) Giải phương trình:

x 2  1  10 x  x 2  9  2 x 2  14 x  12

 x 2  2  x  y 2  3  y 5
 2
 x  2  x  y 2  3  y 2
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2 điểm):

m  4  x   m  3 y 1
a) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình 
(m là
tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.

2

2.xy  x  2    y  4 
b) Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số xy sao cho:

2

Câu 4 ( 3 điểm):
1. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc
đường tròn (O; r), trong đó A di động, E cố định ( với A ≠ E). Qua E vẽ một đường thẳng vng
góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C. Gọi giao điểm của AE với (O ; R) là I và K, M là
trung điểm của đoạn thẳng AB .
a) Chứng minh BC2 + IK2 không phụ thuộc vị trí điểm A .
b) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng
CM ln đi qua một điểm cố định.
2. Cho đường trịn tâm O đường kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ trên
đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. Tìm vị trí của điểm M để chu vi
tam giác COD là nhỏ nhất .
Câu 5 (1 điểm): Cho ba số dương a, b, c thoả mãn:

a 2  b 2  b 2  c 2  c 2  a 2 1.


a2
b2
c2
1




Chứng minh rằng: b  c c  a a  b 2 2
----------- Hết-------------

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TP. THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP
NĂM HỌC 2014 - 2015
Mơn Tốn
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
---------------------------

Đề số 9
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
6 x  ( x  6) x  3
3
1


A = 2( x  4 x  3)(2  x )  2 x  10 x  12 3 x  x  2 .

Điều kiện x 0 , x  4; x  9 ; x  1
2 3

2) Rút gọn biểu thức: B =
Bài 2 (6,0 điểm)

2  2 3



2
2

3
2

3

3a  1 a  1 2a(a 2  1)

 2
x  a 2 ( a là tham số)
1) Cho phương trình : a  x a  x
a) Giải phương trình trên.
b ) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số nguyên tố.

 x 3  y3  z 3 3xyz
 2
 x  2(y  z)
2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau: 
Bài 3 (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho :
 abc n 2 - 1

cba (n  2) 2
Với n  Z ; n >2

2) Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 .
Chứng minh : 52  3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54
Bài 4 (4,0 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh là a và N là một điểm trên cạnh AB. Tia CN cắt tia DA tại E.
Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DE. Gọi M là trung điểm của EF.
1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM.
2) Xác định vị trí điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích
hình vng ABCD.


Bài 5 (2,0 điểm)
0




Cho tam giác ABC có B  C  105 và AB  AC 2 2BC. Tính B và C

………… Hết ………….

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TP. HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP
NĂM HỌC 2012 - 2013
Mơn Tốn
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
---------------------------

Đề số 10

Bài 1 (2,0đ) Cho biểu thức: A =

x4 x 4  x 4 x 4
8 16
1  2
x x

Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2 (2,0đ) Giải các phương trình:
a.

√ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+√ x 2+ 2 x −3

b.

 4x  2

x  8 3 x 2  7 x  8

Bài 3 (1,5đ)
3
2013
3
3
a. Cho f ( x ) ( x  12 x  31) . Tính f (a) với a  16  8 5  16  8 5
2
b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y  2 xy  3x  2 0

Bài 4 (1,5 điểm)
a
b
c a 2 b2 c2
 2  2  

2
c
a
c
a
b
a. Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 và b

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ.
b. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3.
a
b
c
3



2
2
2
Chứng minh rằng 1 b 1 c 1 a 2
Bài 5 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường
tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt

là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
a. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
b. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

BE 3 CE

3
DF .
c. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và BF


d. Nếu tam giác vng BEF có một hình vng BMKN nội tiếp (K  EF; M BE và N BF)
2 2
sao cho tỉ số giữa cạnh hình vng với bán kính đường trịn nội tiếp tam giác BEF là 2 . Hãy

tính các góc nhọn của tam giác BEF?
…………………..Hết………………..

PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
VĨNH YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn Tốn
(Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề)
---------------------------

Đề số 11
Câu 1: (3,5 điểm)

2
1 
a 2

P 

:

a  0, a 4 và
a  2  a  4 a  4 . Rút gọn biểu thức P và
 a 2 a
a. Cho
tính giá trị của biểu thức P khi a 4  2 3.
b. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm
A, B, C và tính diện tích tam giác ABC .
Q
c. Cho

A  1;1 , B  3;2  , C  4;4 

. Hãy vẽ các điểm

1
1
1

 ... 
2 4
4 6

2014  2016 . Tính Q  2016  2 .





Câu 2: (1,5 điểm)
1 1
 1
x
,
y
x
y
a. Tìm tất cả các số nguyên dương
thỏa mãn
.
x
,
y
b. Cho các số nguyên tố
và số nguyên dương z thỏa mãn phương trình
1 2016 z


x
y
5 . Tìm tất cả các bộ số  x, y , z  .
Câu 3: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng:

a b c 
a.

1
1
1


a
b
c.

1
1
1


1
b. 2  a 2  b 2  c
.

Câu 4: (3,0 điểm)

O ;R 
 O2 ; R2  ( R2  R1 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A .
Cho hai đường tròn 1 1 và
B   O1; R1 
C   O2 ; R2 
Gọi BC là tiếp tuyến chung ngồi của hai đường trịn đã cho (

và
).
Đường thẳng BC cắt đường thẳng O1O2 tại điểm D.


a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vng.
DB theo R1 , R2 .
b. Tính độ dài đoạn thẳng
O
O ;R
O ;R
c. Đường trịn   tiếp xúc ngồi với  1 1  và  2 2  lần lượt tại E , F . Chứng minh
rằng D, E , F thẳng hàng.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
T

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x 2  y 2  y 2  z 2  z 2  x 2 2015 .
x2
y2
z2


yz zx xy .

-----------Hết-----------

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Mơn Tốn
(Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề)
---------------------------

Đề số 12
Câu 1. (2,0 đ)
1
2  6 x  9x  1

1
1
P 


x  ;x 

1 3 x
 2 x  1 1  4x 
4
9
a) Cho biểu thức:
với x  0;
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
3
3

b) Cho x  5  2 13  5  2 13 . Tính giá trị của biểu thức A = x2015 – x2016 + 2017.

Câu 2. (2,0 đ)
a) Giải phương trình:

x 2  3x  1  x  3 x 2  1

b) Tìm các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn: 5 x  3 y 2 xy  11 .
Câu 3. (2,0 đ)
4
n
a) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n  4 là hợp số.
b) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x
y
z
P


x 1 y 1 z 1

Câu 4. (3,0 đ)
Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng 2cm. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AD,


0

DC. Gọi I, H thứ thự là giao điểm của AF với BE, BD. Vẽ BIM 45 (M thuộc cạnh BC), O là
giao điểm của IM và BD.
a) Tính độ dài của AI, BI.

b) Chứng minh 4 điểm B, I, H, M cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh DH.BO = OH.BD.
Câu 5. (1,0 đ)


Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
3

1 
1 
1   10 

 a    b    c    
b 
c 
a  3  .


---------------Hết---------------

PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐƠNG SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Mơn Tốn – Bảng A
(Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề)
---------------------------

Đề số 13
1 1
1
2
1
1
(  ).

.(

)
3
x y x  y  2 xy ( x  y )
x
y

Bài 1: Cho biểu thức: A =
a, Rút gọn biểu thức A.

x

y

: xy xy

b, Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 + 5 ; y = 3 - 5
Bài 2: Cho 3 số a, b, c  0 thỏa mãn: a b c và a3+b3 +c3 = 3abc.
a b b c c a



a
c ;
P= c

c
a
b


Q = a b b c c a

Chứng minh rằng : P.Q = 9.
2
Bài 3: Giải phơng trình : (4x – 1) x  1 = 2(x2+1) + 2x -1.

 x  y  x  y

 x  y  18 xy  4 x  3 y  13
Bài 4: Giải hệ phương trình sau: 

Bài 5: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 và x 4+y4+z4 =3xyz. Hãy tính giá trị của biểu thức
M = x2006 + y2006 + z2006
Bài 6: Cho Parabol (P) có phương trình y = x2 và điểm A(3;0) ; Điểm M thuộc (P) có hồnh độ a.
a) Xác định a để đoạn thẳng AM có độ dài ngắn nhất .
b) Chứng minh rằng khi AM ngắn nhất thì đường thẳng AM vng góc với tiếp tuyến của
(P) tại điểm M.
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x3 + x2 + x +1 = 2003y
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông ở A. I là trung điểm của cạnh BC, D là một điểm bất kỳ trên
cạnh BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB, AC theo thứ tự tại E và F.

a) Chứng minh rằng: 5 điểm A,E,I,D,F cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: AE.AC = AF.AB.
c) Cho AC = b; AB = c. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AEF theo b, c
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên BC. Qua P vẽ PQ//AC
(Q  AB) và PR//AB (R  AC). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR.

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HÂU LỘC

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013
Mơn Tốn
(Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề)
---------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 14
Câu 1 (4,0 đ): Cho biểu thức

M

x2
x 1
1


x x  1 x  x 1 1 x

a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tính giá trị của M với x 9  4 2 .
c) Chứng minh

M

1
3.

Câu 2 (4,0 đ): Cho đường thẳng: y = (m - 2)x + 3 ( m là tham số) (d).
a) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng : y = 2x - 1
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1.
Câu 3 (4,0 đ): Giải các phương trình sau:
x2
3
3

 2
1
a) x  1 x  2 x  x  2

b)

x2  1 x 1  x 1

Câu 4 (2,0điểm: Giải phương trình nghiệm nguyên:
x 2 y  xy  x 4 .

Câu 5 (5,0đ):

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HB = 2cm,

HC = 4,5cm. Vẽ

đường trịn tâm A bán kính AH. Kẻ các tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M và N là các tiếp
điểm, khác điểm H).
a) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.


b) Tính diện tích tứ giác BMNC.
c) Gọi K là giao điểm của CN và HA. Tính các độ dài AK, KN.
2
2
2
Câu 6 (1,0đ): Cho x  y  z 3 .

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  y  2 z .
-----------------------------------Hết---------------------------------------