De HSG11 tap 21120

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 11
Câu 1 (3,0 điểm).
1.
2.

2
2
x  
Giải phương trình: x  x  1  x  x  1 2 
.
x
Giả sử phương trình bậc hai ẩn
(m
2

là

tham

số):

x 2  2  m  1 x  m3   m  1 0

Tìm

giá

trị

lớn

có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 4 .
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

nhất

P  x13  x23  x1 x2  3 x1  3 x2  8 

.

Câu 2 (1,5 điểm).
Giải hệ phương trình:
Câu 3 (1,5 điểm).

2
3
2
 x  x y  xy  xy  y 1
( x , y  )
 4
2
 x  y  xy (2 x  1) 1

.



x  1  x2
x
,
y

Cho
là hai số thực dương thoả mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  y .

 y 



1  y 2 2012

.

Câu 4 (3,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là
điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác








ABC và L là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng OA  OB  OC OH và ba
điểm O, H, L thẳng hàng.
2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao





cho MAB MBC MCD MDA  . Chứng minh đẳng thức sau:

AB 2  BC 2  CD 2  DA2
cot  
2 AC.BD.sin 
,

trong đó  là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại
tiếp đường tròn tâm I . Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại
 7 5   13 5 
M  1;  5  , N  ;  , P   ; 
 2 2   2 2  (M, N, P không
tiếp tam giác ABC tại các điểm

trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường
thẳng AB đi qua điểm

Q   1; 1

và điểm A có hồnh độ dương.



cos x  cos 3x 1  2 sin  2 x  
4.

Câu 5.(1,0 điểm) Giải phương trình

—Hết—

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 12
Câu 1.(4 điểm)
 x  y m  2
 2
2
2
1. Cho hệ phương trình  x  y  2 x  2 y  m  4 (trong đó m là tham số; x và y là

ẩn)
a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm.
A  xy  2 x  y  2011



b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
.
2. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn
3
x 4   3m 1 x 2  6m  2 0

Câu 2.(1,0điểm)
 x  y  xy 1
 2
x  3  y 2  3 4
Giải hệ phương trình 

Câu 3.(1 điểm)
1

1 x
Chứng minh rằng nếu x, y là các số thực dương thì 
Câu 4.(3,0 điểm)

2



1

1 y

A 1; 2

2

1

1  xy
B 4;3

1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm   và   . Tìm tọa
0
độ điểm M trên trục hồnh sao cho góc AMB bằng 45 .
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H.
Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D,
E, F (D khác A, E khác B, F khác C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác
 6 17 
D  2;1 , E  3; 4  , F  ; 
5 5 .

ABC; biết rằng
3. Cho tam giác ABC, có a BC , b CA, c  AB . Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn

nội tiếp, nửa chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng
IA2
IB 2
IC 2


2
c  p  a a  p  b b  p  c 
sin 2x  3 tan 2x  sin 4 x
2.
tan 2 x  sin 2 x
Câu 5. (1,0 điểm) Giải phương trình:

-------------Hết-------------


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 13

Câu 1. (1 điểm)
2
Cho hàm số y x  4 x  3 có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Dựa

x 2  4 x  3 2m  1

vào đồ thị, tìm m để phương trình:
có đúng 2 nghiệm.

Câu 2. (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
mx 2  2  m  1 x  3  m  2  0

có

hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1  2 x2 1 .
Câu3. (3,0 điểm)
 7 x  y  2 x  y 5

2 x  y  x  y 1
1) Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình: 9( 4 x  1  3x  2) x  3 .

3) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x  4 x  1  x  4 1  x m .

Câu 4. (4điểm)
1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là điểm bất kì. Chứng minh rằng:
MA2  MB 2  MC 2 3MG 2  GA2  GB 2  GC 2 . Khi M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam
2
2
2
giác ABC, tìm vị trí của M để MA  MB  MC đạt giá trị bé nhất.

2.)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1;  1) và hai đường thẳng
d1 : x  y  1 0 ,
d 2 : 2 x  y  5 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d 2 .
a. Viết phương trình đường trịn có tâm nằm trên d1 , đi qua điểm M và tiếp xúc với
d2 .

b. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M cắt d1 , d 2 lần lượt ở B và C
sao cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC  3AB.
B 2;  1 ,

 đường cao hạ từ A và phân giác góc C
3) Trong hệ trục Oxy cho ABC có 
lần lượt có phương trình 3x  4 y  27 0 và x  2 y  5 0 . Tìm tọa độ điểm A và
điểm C. Phân giác góc C nói trên là phân giác trong hay phân giác ngoài?
Câu 5. (1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 .Chứng minh
rằng:


a3
b3
c3
3



a  bc b  ca c  ab 2


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 14
2

Câu 1. (1.0 điểm) Cho hàm số y  x  2 x  2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d) có
phương trình y  x  m . Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
2
2
sao cho OA  OB  82 .

Câu 2. (3,0 điểm)

3  2 x 2  3x  2

1
2
1

2
x

x

1
1. Giải bất phương trình
.
3
2. Giải phương trình 2 3 x  7  5 x  6 4 .
 2 x  2( x 2  y 2 ) 7
 2
2
3. Giải hệ phương trình 2( x  y ) 5
.

Câu 3. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD

 A D 90  có đỉnh D(2; 2) và CD 2 AB . Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm
0

22 14
; )
5 5 là trung điểm của HC . Xác định toạ độ
D lên đường chéo AC . Điểm
đỉnh B , biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng  : x  2 y  4 0 .
2. Cho tam giác ABC là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số x ta
M(

đều có:
1
1  x 2 cosA  x  cos B  cos C 
2
.
1
3

4
0
0
Câu 4. (1.0 điểm) Chứng minh rằng: sin10 cos10
.
1 1 1
  1
Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c .
a2
b2
c2
a bc




4
Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab
.

Câu 6.(1,0 điểm). Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của
P(x) = (5x - 3) n (n  N* ) ,
1
2
3
k
2n+1
20
biết C2n+1 + 2C2n+1 + 3C2n+1 +...+ kC2n+1 +...+ (2n+1)C2n+1 = 21.2

Câu 7.(1,0 điểm) Giải phương trình:



2 cos 2 x  2 3 sin x cos x  1 3 sin x  3 cos x

-----------------Hết-----------------

.


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 15
Câu 1 (4,0 điểm).
2 x


 x  y  y 10


 x 2  1  2 x 12

y2
a) Giải hệ phương trình: 
2
 cos 2 x  cos 4 x  6  2sin 3x

b) Giải phương trình:
Câu 2 (2,0 điểm).

u1 4


1
un 1  un  4  4 1  2un

u
9
Cho dãy số  n  xác định bởi 
Tìm cơng thức số hạng tổng qt un của dãy số.





n  N *

.

Câu 3 (4,0 điểm)
n

n1
3
1) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n, số 2  1 chia hết cho 3 nhưng
n 2
không chia hết cho 3 .

2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy
ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ
số khác nhau.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc


BAE
CAF
, gọi M, N lần lượt là hình chiếu vng góc của F trên các đường thẳng

AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Chứng minh
rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau.
Câu 5 (4,0 điểm)
a) Chứng minh đẳng thức sau:
2
0
2016

2
1
2016

2
2
2016

2
3
2016

C   C  C   C 

2

2

2015
2016
1008
 ...   C2016
   C2016
 C2016
2

2

b) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x  x  6  y
Câu 6 (2,0 điểm).

Cho các số dương a, b, c thoả mãn a  b  c 3 . Chứng minh rằng:
a 1 b 1 c 1


3
1  b2 1  c2 1  a 2

---------- Hết ---------

.


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 16
Câu 1 (2 điểm)
2

1. Cho hàm số y  x  2mx  3m và hàm số y  2 x  3 . Tìm m để đồ thị các hàm
số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hồnh độ của chúng đều dương.
2. Giải bất phương trình:
Câu 2 (2 điểm)
1. Giải phương trình:

 x 2  8 x  12  10  2 x

(4 x 3  x  3)3  x 3 

3
2

2

2. Giải phương trình: 2 x  11x  23 4 x  1
Câu 3 (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1; 4) . Đường thẳng d qua M, d cắt
trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B
dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
2

2

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x  2)  ( y  3) 9 và điểm
A(1;  2) . Đường thẳng  qua A,  cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của
độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 4 (3 điểm)
1. Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
AB 2  BC 2  CD 2  DA2  AC 2  BD 2 .
1
1 1
 2 2
2
2. Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: ha b c (trong đó AB=c; AC=b;
đường cao qua A là ha ).

Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương .
2

Chứng minh rằng:

2

 a  b   b  c   c  a 
2a
2b
2c


3 
2
b c c a a b
 a  b  c
…………………Hết………………….

2


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 17
2
2
Câu 1.(2.0 điểm): Cho hai hàm số y x , y  x  2 x  4 có đồ thị lần lượt là

 P1  ,  P2  .
P
P
a). Tìm tọa độ giao điểm A, B của  1  và  2  biết hoành độ của điểm A, xA  0 .
P , P
b). Gọi a là đường thẳng qua A và cắt  1   2  lần lượt tại E và F khác A, b là
P , P
đường thẳng qua B và cắt  1   2  lần lượt tại G và H khác B. Chứng minh
rằng EG song song với HF.
Câu 2. (3.0điểm):

a). Giải bất phương trình

 x2  x  6
 x2  x  6

x 2  3x  4
x 4

 x 2  1 y 4  1 2 xy 2 ( y 3  1)
 x, y  R 
 2
4
4
xy
(3
xy

2)

xy
(
x

2
y
)

1


b). Giải hệ phương trình 
2

2

c). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x  4 x  21   x  3x  10.
Câu 3. (2,0 điểm):
a). Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, N là điểm nằm trên



5  1
1
BN  BM
AN  AB  AC
4
8
4
đoạn BM sao cho
. Chứng minh

b). Giả sử ABC là tam giác nhọn, dựng các đường cao AA’, BB’, CC’ của tam
giác. Chứng minh rằng B ' C ' 2 R.sin A.cos A .
Câu 4. (1,0 điểm): Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kỳ trong tam giác. Gọi
diện

, MCA, MAB lần lượt là Sa , Sb , Sc . Chứng minh
tích của các tam giác MBC



 
Sa .MA  Sb .MB  Sc .MC 0
.

Câu 5. (1,0 điểm): Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

x yz 

minh
x 2  xy  y 2

4 yz  1

y 2  yz  z 2
z 2  zx  x 2 3 3


.
4 zx 1
4 xy  1
4

Câu 6.(1,0 điểm) Giải phương trình
2
 sin x  cos x   2sin 2 x 2   
2

1  cot x






sin   x   sin   3 x  

2  4

4
 .

----------------- Hết ----------------

3
2 . Chứng


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 18
2
Câu 1: (3 điểm) Cho phương trình x  2 x  3m  4 0 (m là tham số).

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x12 x22 x12  x2 2  4 .

c) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn

  3; 4 .
2
2

Câu 2: (1 điểm) Cho bất phương trình (m  4m  3) x  2(m  1) x  2  0 . Tìm các giá

trị của tham số m để bất phương trình vơ nghiệm.
Câu 3: (1 điểm) Giải phương trình:

cos 2 x 

sin 3x  cos 3 x
sin x(1  tan x)
2sin 2 x  1
.

 x 2  y 2  2 y  6  2 2 y  3 0

2
2
2
2
Câu 4: (1 điểm) Giải hệ phương trình ( x  y )( x  xy  y  3) 3( x  y )  2 .

Câu 5: (1 điểm) Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

P

a a
b b
c c



2c  a  b
2a  b  c
2b  c  a .

I 3;3
Câu 6: (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm   và

 4
 13 
M  2; 
N  3; 
 3  thuộc đường thẳng AB , điểm  3  thuộc đường
AC 2 BD . Điểm

thẳng CD . Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.
2
2
2
Câu 7: (1 điểm) Giải bất phương trình 1  x x  1  x  x  1(1  x  x  2) trên

tập số thực.




M
,
N
,

P
BM

k BC ,
ABC
Câu 8: (1 điểm) Cho tam giác đều
và các điểm
thỏa mãn

2

4
CN  CA AP  AB
3
15
,
. Tìm k để AM vng góc với PN .

…………………Hết…………………

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 19
2 3 sin x.  1  cos x   4 cos x.sin 2

x
3
2
0

2sin x  1
Câu 1. (1,0 điểm) Giải phương trình:

Câu 2.(2,0 điểm)
a) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ
số khác nhau?
b) Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên
bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để kết quả thu
được là một số chia hết cho 3?
Câu 3.(2,0 điểm)
20

 2 1 
 2x  3 
x  .
x
a) Tìm số hạng khơng chứa trong khai triển: 
0
1
1
2
2
3
2016 2017
b) Tính tổng: S C2017C2017  C2017 C2017  C2017 C2017  ...  C2017 C2017 .

Câu 4. (3,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm
SA, N là trung điểm SD và G là trọng tâm tam giác SBC.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (MNG).
b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (MNG) với SC, SB. Chứng
minh: MQ và NP cắt nhau, AQ và DP cắt nhau. Gọi I là giao điểm của MQ và NP; J
là giao điểm của AQ và DP. Chứng minh rằng I, J, S thẳng hàng.

c) Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, E là giao điểm của SO và mặt phẳng
SE
(MNG). Tính tỉ số SO .

Câu 5.(1,0 điểm)
Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: 2016 x  2016 y  z xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:

P

1
1
20162


x 2  1 y 2  1 z 2  20162 .


y

 y 2 0
x  2
x 1  x

 2
 x  2 x 2 1  y 2 3
 2
Câu 6. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :  y

( x, y  R )

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 20
Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình sin 3x  2cos2 x 3  4sin x  cos x(1  sin x).
2
Câu 2 (1điểm). Giải bất phương trình 4 x  1  2 2 x  3 ( x  1)( x  2).
0
1
2
Câu 3 (1 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn  3. An  Cn 73 . Tìm số hạng

3 n
)
x với x > 0.
không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
A 3;1 , B  3;9  , C  2;  3 
Câu 4 (1 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho    
.
a) Gọi D là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo BC . Xác định tọa độ D.
(2 x 

3

b) Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt đoạn thẳng CD tại M sao cho tứ giác
ABCM
có diện tích bằng 24.
Câu 5 (1điểm).
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AB và CD.
Gọi I, J là trung điểm của AD và BC. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.
a)Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).
b)Xác định thiết diện của hình chóp với (IJG). Thiết diện là hình gì ? Tìm điều kiện

đối
với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
Câu 6 (1 điểm).
Để chuẩn bị tiêm phòng dịch Sởi - Rubella cho học sinh khối 11 và khối 12.
Bệnh viện tỉnh Nghệ An điều động 12 bác sỹ đến truờng THPT Anh Sơn 2 để tiêm
phòng dịch gồm 9 bác sỹ nam và 3 bác sỹ nữ. Ban chỉ đạo chia 12 bác sỹ đó thành 3
nhóm, mỗi nhóm 4 bác sỹ làm 3 cơng việc khác nhau. Tính xác suất để khi chia ngẫu
nhiên ta được mỗi nhóm có đúng 1 bác sỹ nữ.
Câu 7 (1 điểm).


Cho góc xOy = 900 và điểm A cố định (A O) nằm trên tia phân giác của xOy .
Đường tròn thay đổi đi qua A và O cắt Ox, Oy tại điểm thứ hai lần lượt là M, N.
Chứng minh OM + ON là hằng số.
Câu 8 (1 điểm).


Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có C(-1;-2) ngoại tiếp đường tròn tâm
I. Gọi M, N, H lần luợt các tiếp điểm của (I) với cạnh AB, AC, BC. Gọi K(-1;-4) là
giao điểm của BI với MN. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC, biết H(2;1).
 3  x  y  1  x3  2 y 2  9 x  5
 3
3
2
2
Câu 9 (1 điểm). Giải hệ phương trình sau:  x  y  12 x  3 y 3 y  6 x  7

Câu 10 (1 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 3abc.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

1
1
1
 3 3
 3
3
2a  b  6 2b  c  6 2c  a 3  6 .
3

------ HẾT -----Nếu bạn nào có nhu cầu đáp án liên hệ với 01694838727